GIẢI BÀI TẬP BÌNH SAI GIÁN TIẾP - VÍ DỤ 2153

Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
GIẢI BÀI TẬP BÌNH SAI GIÁN TIẾP -
VÍ DỤ 2/153
h
1
= +0,023m; S
AB
= S
1
= 5km
h
2
= +1,114m; S
BC
= S
2
= 5km
h
3
= +1,142m; S
AC
= S
3
= 5km
h
4
= +0,078m; S
AD
= S
4
= 2km

h
5
= +0,099m; S
BD
= S
5
= 2km
h
6
= +1,216m; S
DC
= S
6
= 2km
Hãy lập hệ phương trình số hiệu chỉnh và kiểm tra kết quả các
hệ số trong hệ phương trình số hiệu chỉnh?
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
1
A
C
B
D
h
1
h
2
h
3
h
4

h
6
x
z
y
h
5
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
Giải:
- Trong lưới độ cao đã cho chưa có điểm nào biết trước độ cao
nên số lượng ẩn t được xác định theo công thức:
t = p – 1 = 4 – 1 = 3
p = 4 – Số lượng điểm chưa biết độ cao (A, B, C, D)
- Chọn hiệu độ cao xác suất nhất giữa các điểm D – A, D – B, D
– C làm ẩn số và lần lượt biểu diễn bằng x, y, z. Nghĩa là ta có:
H
A
– H
D
= x; H
B
– H
D
= y; H
C
– H
D
= z
- Theo sơ đồ trên hình đã cho ta viết được các phương trình giá
trị đo:

h
1
+ v
1
= H
B
– H
A
= (H
B
– H
D
) – (H
A
– H
D
) = y – x
h
2
+ v
2
= H
C
– H
B
= (H
C
– H
D
) – (H

B
– H
D
) = z – y
h
3
+ v
3
= H
C
– H
A
= (H
C
– H
D
) – (H
A
– H
D
) = z – x
h
4
+ v
4
= H
A
– H
D
= x

h
5
+ v
5
= H
B
– H
D
= y
h
6
+ v
6
= H
C
– H
D
= z
- Chuyển thành phương trình số hiệu chỉnh ta có:
v
1
= -x + y – h
1
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
2
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
v
2
= -y + z – h
2

v
3
= -x + z – h
3
v
4
= x – h
4
v
5
= y – h
5
v
6
= z – h
6
- Ta có: x = x
o
+ δ
x
y = y
o
+ δ
y
z = z
o
+ δ
z
- Chọn giá trị gần đúng của ẩn số là:
x

o
= h
4
= 0,078 m
y
o
= h
5
= 0,099 m
z
o
= h
6
= 1,216 m
- Thay x
o
, y
o
, z
o
vừa chọn vào các phương trình số hiệu chỉnh ta
có:
v
1
= -x
o
- δ
x
+ y
o

+ δ
y
– h
1
= -0,078 - δ
x
+ 0,099 + δ
y
– 0,023
=
= - δ
x
+ δ
y
– 0,002(m) = - δ
x
+ δ
y
– 2(mm)
v
2
= -y
o
- δ
y
+ z
o
+ δ
z
– h

2
= -0,099 - δ
y
+ 1,216 + δ
z
– 1,114
=
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
3
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
= - δ
y
+ δ
z
+ 0,003(m) = - δ
y
+ δ
z
+ 3(mm)
v
3
= -x
o
- δ
x
+ z
o
+ δ
z
– h

3
= -0,078 - δ
x
+ 1,216 + δ
z
– 1,142
=
= - δ
x
+ δ
z
– 0,004(m) = - δ
x
+ δ
z
– 4(mm)
v
4
= x – h
4
= x
o
+ δ
x
– h
4
= δ
x
v
5

= y – h
5
= y
o
+ δ
y
– h
5
= δ
y
v
6
= z – h
6
= z
o
+ δ
z
– h
6
= δ
z
- Vậy ta có hệ phương trình số hiệu chỉnh như sau :
v
1
= - δ
x
+ δ
y
– 2

v
2
= - δ
y
+ δ
z
+ 3
v
3
= - δ
x
+ δ
z
– 4
v
4
= δ
x
v
5
= δ
y
v
6
= δ
z
- Viết lại hệ trên như sau :
v
1
= -1.δ

x
+ 1.δ
y
+ 0.δ
z
– 2 (1)
v
2
= 0.δ
x
– 1.δ
y
+ 1.δ
z
+ 3 (2)
v
3
= -1.δ
x
+ 0.δ
y
+ 1.δ
z
– 4 (3)
v
4
= 1.δ
x
+ 0.δ
y

+ 0.δ
z
(4)
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
4
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
v
5
= 0.δ
x
+ 1.δ
y
+ 0.δ
z
(5)
v
6
= 0.δ
x
+ 0.δ
y
+ 1.δ
z
(6)
(v
i
= a
i
.δ
x

+ b
i
.δ
y
+ … + t
i
.δ
u
+ L
i
)
- Ta có: Pt (1) a
1
= -1 b
1
= 1 c
1
= 0 L
1
= -2
Pt (2) a
2
= 0 b
2
= -1 c
2
= 1 L
2
= 3
Pt (3) a

3
= -1 b
3
= 0 c
3
= 1 L
3
= -4
Pt (4) a
4
= 1 b
4
= 0 c
4
= 0 L
4
= 0
Pt (5) a
5
= 0 b
5
= 1 c
5
= 0 L
5
= 0
Pt (6) a
6
= 0 b
6

= 0 c
6
= 1
L
6
= 0
- Tính trọng số của các hiệu độ cao đo:
P
i
= C/S
i
(chọn C = 10)
P
1
= P
2
= P
3
= 2 (vì S
1
= S
2
= S
3
= 5)
P
4
= P
5
= P

6
= 5 (vì S
4
= S
5
= S
6
= 2)
- Thành lập hệ phương trình chuẩn :
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
5
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
[Paa].δ
x
+ [Pab].δ
y
+ [Pac].δ
z
+ [Pal] = 0
[Pab].δ
x
+ [Pbb].δ
y
+ [Pbc].δ
z
+ [Pbl] = 0
[Pac].δ
x
+ [Pbc].δ
y

+ [Pcc].δ
z
+ [Pcl] = 0
- Tính các hệ số của các phương trình trong hệ phương trình
trên, kết quả như bảng dưới đây:
i P
i
a
i
b
i
c
i
L
i
P
i
a
i
a
i
P
i
b
i
b
i
P
i
c

i
c
i
P
i
a
i
b
i
P
i
a
i
c
i
P
i
b
i
c
i
P
i
a
i
L
i
P
i
b

i
L
i
P
i
c
i
L
1 2
-
1 1 0 -2 2 2 0 -2 0 0 4 -4 0
2 2 0 -1 1 3 0 2 2 0 0 -2 0 -6 6
3 2
-
1 0 1 -4 2 0 2 0 -2 0 8 0 -8
4 5 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0
5 5 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0
6 5 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0
[Paa] [Pbb] [Pcc] [Pab] [Pac] [Pbc] [PaL]
[PbL
] [PcL]
Tổng cộng 9 9 9 -2 -2 -2 12 -10 -2
- Thay số ta có hệ phương trình số hiệu chỉnh như sau:
9.δ
x
- 2.δ
y
- 2.δ
z
+ 12 = 0

-2.δ
x
+ 9.δ
y
-2.δ
z
- 10 = 0
-2.δ
x
- 2.δ
y
+ 9.δ
z
- 2 = 0
- Kiểm tra các hệ số của hệ phương trình chuẩn theo 3 phương
trình sau:
[Paa] + [Pab] + [Pac] + [PaL] = [PaS] (1)
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
6
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
[Pab] + [Pbb] + [Pbc] + [PbL] = [PbS] (2)
[Pac] + [Pbc] + [Pcc] + [PcL] = [PcS] (3)
Trong đó :
a
1
+ b
1
+ c
1
+ L

1
= S
1
a
2
+ b
2
+ c
2
+ L
2
= S
2
a
3
+ b
3
+ c
3
+ L
3
= S
3
- Lập các bảng kiểm tra các phương trình :
Bảng kiểm tra phương
trình (1)
i P
i
a
i

b
i
c
i
L
i
S
i
P
i
a
i
a
i
P
i
a
i
b
i
P
i
a
i
c
i
P
i
a
i

L
i
P
i
a
i
S
i

1 2
-
1 1 0 -2
-
2 2 -2 0 4 4
2 2 0
-
1 1 3 3 0 0 0 0 0
3 2
-
1 0 1 -4
-
4 2 0 -2 8 8
4 5 1 0 0 0 1 5 0 0 0 5
5 5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
6 5 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
[Paa] [Pab] [Pac] [PaL] [PaS]
Tổng cộng: 9 -2 -2 12 17

[Paa] + [Pab] + [Pac] +
[PaL] [PaS]

So sánh: 17 17 OK
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
7
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
Bảng kiểm tra phương
trình (2)
i P
i
a
i
b
i
c
i
L
i
S
i
P
i
a
i
b
i
P
i
b
i
b
i

P
i
b
i
c
i
P
i
b
i
L
i
P
i
b
i
S
i
1 2
-
1 1 0 -2
-
2 -2 2 0 -4 -4
2 2 0
-
1 1 3 3 0 2 -2 -6 -6
3 2
-
1 0 1 -4
-

4 0 0 0 0 0
4 5 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
5 5 0 1 0 0 1 0 5 0 0 5
6 5 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
[Pab] [Pbb] [Pbc]
[PbL
] [PbS]
Tổng cộng: -2 9 -2 -10 -5

[Pab] + [Pbb] + [Pbc] +
[PbL] [PbS]
So sánh: -5 -5 OK
Bảng kiểm tra phương
trình (3)
i P
i
a
i
b
i
c
i
L
i
S
i
P
i
a
i

c
i
P
i
b
i
c
i
P
i
c
i
c
i
P
i
c
i
L
i
P
i
c
i
S
i
1 2
-
1 1 0 -2
-

2 0 0 0 0 0
2 2 0
-
1 1 3 3 0 -2 2 6 6
3 2 - 0 1 -4 - -2 0 2 -8 -8
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
8
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
1 4
4 5 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
5 5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
6 5 0 0 1 0 1 0 0 5 0 5
[Pac] [Pbc] [Pcc] [PcL] [PcS]
Tổng cộng: -2 -2 9 -2 3

[Pac] + [Pbc] + [Pcc] +
[PcL] [PcS]
So sánh: 3 3 OK
- Giải hệ phương trình số hiệu chỉnh theo phương pháp khử
Gauss :
9.δ
x
- 2.δ
y
- 2.δ
z
= -12
-2.δ
x
+ 9.δ

y
-2.δ
z
= 10
-2.δ
x
- 2.δ
y
+ 9.δ
z
= 2
a b c VP
9 -2 -2 -12
-2 9 -2 10 2L
1
+ 9L
2
→
L
2
-2 -2 9 2 2L
1
+ 9L
3
→
L
3
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
9
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15

9 -2 -2 -12
0 77 -22 66
0 -22 77 -6 2L
2
+ 7L
3
→
L
3
9 -2 -2 -12
0 77 -22 66
0 0 495 90
- Vậy hệ đã cho tương đương với hệ dưới đây:
9.δ
x
- 2.δ
y
- 2.δ
z
= -12
77.δ
y
-22.δ
z
= 66
495.δ
z
= 90
- Giải ra ta có kết quả:δ
x

= -1,091 (mm)
δ
y
= 0,909 (mm)
δ
z
= 0,182 (mm)
- Từ đó suy ra giá trị xác suất nhất của x, y, z là:
x = x
o
+ δ
x
= 0,078 - 1,091.10
-3
= 0,0769 ≈ 0,77 (m)
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
10
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu Hầm K15
y = y
o
+ δ
y
= 0,099 + 0,909.10
-3
= 0,0999 ≈ 0,100 (m)
z = z
o
+ δ
z
= 1,216 + 0,182.10

-3
= 1,21618 ≈ 1,216
(m)
Lời giải đầy đủ Ví dụ 2 trang 153 – BÌNH SAI GIÁN TIẾP
11