GIẢI ĐỀ THI BÀI TẬP BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN CỦA KHÓA TRƯỚC

Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15
GIẢI ĐỀ THI BÀI TẬP BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
CỦA KHÓA TRƯỚC
Một lưới độ cao như hình vẽ với các số liệu cho ghi trong
bảng. Hãy áp dụng phương pháp bình sai điều kiện để tính độ cao
điểm E, F.
Hiệu độ cao h
i
(m)
Khoảng cách S
i
(km)
Độ cao điểm gốc
(m)
h
1
= +3,250 S
1
= 5 H
A
= 120,450
h
2
= -1,462 S
2
= 2 H
B
= 120,709
h
3
= +1,525 S

3
= 2,5 H
C
= 124,705
h
4
= -2,462 S
4
= 2,5 H
D
= 123,690
h
5
= -1,010 S
5
= 2
h
6
= -2,989 S
6
= 5
h
7
= +1,452 S
7
= 2
A
E
C
B

F
D
h
1
h
6
h
3
h
5
h
4
h
7
h
2
BÀI LÀM
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
1
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15
1) Xác định số lượng phương trình điều kiện
- Bài toán đã cho là một lưới độ cao phụ thuộc. Trong đó:
+ Tổng số đại lượng đo: n = 7 (h
1
, h
2
, h
3
, h
4

,
h
5
, h
6
, h
7
)
+ Tổng số điểm trong lưới: p = 6 (A, B, C, D, E, F)
+ Tổng số điểm đã biết cao độ: k = 4 (A, B, C, D)
- Số phương trình điều kiện độc lập là:
r = n – (p – k) = 7 – (6 – 4) = 5
2) Thành lập phương trình điều kiện số hiệu chỉnh
- Ký hiệu x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
là giá trị bình sai của hiệu độ cao
các tuyến 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì ta có thể viết các phương trình điều kiện
như sau:

x
1
– x
5
+ H
A
– H
C
= 0 (1)
x
1
+ x
6
+ H
A
– H
B
= 0 (2)
x
3
+ x
7
+ H
B
– H
D
= 0 (3)
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
2
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15

x
4
+ x
7
+ H
C
– H
D
= 0 (4)
x
1
+ x
2
+ x
7
+ H
A
– H
D
= 0 (5)
- Trong đó:
x
i
= h
i
+ V
i
(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
- Thay các giá trị x
i

vào các phương trình (1), (2), (3), (4), (5) ta
có:
h
1
+ V
1
– h
5
– V
5
+ H
A
– H
C
= 0 (1)
h
1
+ V
1
+ h
6
+ V
6
+ H
A
– H
B
= 0 (2)
h
3

+ V
3
+ h
7
+ V
7
+ H
B
– H
D
= 0 (3)
h
4
+ V
4
+ h
7
+ V
7
+ H
C
– H
D
= 0 (4)
h
1
+ V
1
+ h
2

+ V
2
+ h
7
+ V
7
+ H
A
– H
D
= 0 (5)
- Hay là:
V
1
– V
5
+ W
a
= 0 (1)
V
1
+ V
6
+ W
b
= 0 (2)
V
3
+ V
7

+ W
c
= 0 (3)
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
3
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15
V
4
+ V
7
+ W
d
= 0 (4)
V
1
+ V
2
+ V
7
+ W
e
= 0 (5)
- Trong đó:
W
a
= h
1
– h
5
+ H

A
– H
C
= 0 (1’)
W
b
= h
1
+ h
6
+ H
A
– H
B
= 0 (2’)
W
c
= h
3
+ h
7
+ H
B
– H
D
= 0 (3’)
W
d
= h
4

+ h
7
+ H
C
– H
D
= 0 (4’)
W
e
= h
1
+ h
2
+ h
7
+ H
A
– H
D
= 0 (5’)
- Thay các giá trị:
h
1
= 3,250 (m)
h
2
= -1,462 (m)
h
3
= 1,525 (m)

h
4
= -2,462 (m)
h
5
= -1,01 (m)
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
4
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15
h
6
= -2,989 (m)
h
7
= 1,452 (m)
H
A
= 120,45 (m)
H
B
= 120,709 (m)
H
C
= 124,705 (m)
H
D
= 123,690 (m)
vào các phương trình (1’), (2’), (3’), (4’), (5’) ta tính được các giá trị
W
a

, W
b
, W
c
, W
d
, W
e
:
W
a
= 3,25 – (-1,01) + 120,45 – 124,705 = 5.10
-3
(m) = 5 (mm)
(1’)
W
b
= 3,25 + (-2,989) + 120,45 – 120,709 = 2.10
-3
(m) = 2 (mm)
(2’)
W
c
= 1,525 + 1,452 + 120,709 – 123,69 = -4.10
-3
(m) = -4 (mm)
(3’)
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
5
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15

W
d
= -2,462 + 1,452 + 124,705 – 123,69 = 5.10
-3
(m) = 5 (mm)
(4’)
W
e
= 3,25 + (-1,462) + 1,452 + 120,45 – 123,69 = 0
(5’)
- Vậy ta có hệ phương trình số hiệu chỉnh là:
V
1
– V
5
+ 5 = 0 (1)
V
1
+ V
6
+ 2 = 0 (2)
V
3
+ V
7
- 4 = 0 (3)
V
4
+ V
7

+ 5 = 0 (4)
V
1
+ V
2
+ V
7
= 0 (5)
- Viết lại hệ trên như sau:
1.V
1
+ 0.V
2
+ 0.V
3
+ 0.V
4
– 1.V
5
+ 0.V
6
+ 0.V
7
+ 5 = 0 (1)
1.V
1
+ 0.V
2
+ 0.V
3

+ 0.V
4
+ 0.V
5
+ 1.V
6
+ 0.V
7
+ 2 = 0 (2)
0.V
1
+ 0.V
2
+ 1.V
3
+ 0.V
4
+ 0.V
5
+ 0.V
6
+ 1.V
7
- 4 = 0 (3)
0.V
1
+ 0.V
2
+ 0.V
3

+ 1.V
4
+ 0.V
5
+ 0.V
6
+ 1.V
7
+ 5 = 0 (4)
1.V
1
+ 1.V
2
+ 0.V
3
+ 0.V
4
+ 0.V
5
+ 0.V
6
+ 1.V
7
= 0 (5)
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
6
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15
- Ta xác định được các giá trị a
i
, b

i
, c
i
, d
i
, e
i
với i = 1, 2, …, 7 như
sau: các hệ số a
i
là các hệ số của phương trình (1), các hệ số b
i
là các
hệ số của phương trình (2), các hệ số c
i
là các hệ số của phương trình
(3), các hệ số d
i
là các hệ số của phương trình (4), các hệ số e
i
là các
hệ số của phương trình (5).
a
1
= 1 b
1
= 1 c
1
= 0 d
1

= 0 e
1
= 1
a
2
= 0 b
2
= 0 c
2
= 0 d
2
= 0 e
2
= 1
a
3
= 0 b
3
= 0 c
3
= 1 d
3
= 0 e
3
= 0
a
4
= 0 b
4
= 0 c

4
= 0 d
4
= 1 e
4
= 0
a
5
= -1 b
5
= 0 c
5
= 0 d
5
= 0 e
5
= 0
a
6
= 0 b
6
= 1 c
6
= 0 d
6
= 0 e
6
= 0
a
7

= 0 b
7
= 0 c
7
= 1 d
7
= 1 e
7
= 1
3) Tính trọng số của các hiệu độ cao đo
- Công thức xác định:
i
i
S
C
P
=
, chọn C = 10
- Ta có:
2
5
10
S
C
P
1
1
===
5
2

10
S
C
P
2
2
===

4
5,2
10
S
C
P
3
3
===
4
5,2
10
S
C
P
4
4
===
5
2
10
S

C
P
5
5
===
2
5
10
S
C
P
6
6
===
5
2
10
S
C
P
7
7
===
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
7
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15
4) Thành lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ
0WK
P
ae

K
P
ad
K
P
ac
K
P
ab
K
P
aa
aedcba
=+






+






+







+






+






0WK
P
be
K
P
bd
K
P
bc
K
P
bb

K
P
ab
bedcba
=+






+






+






+







+






0WK
P
ce
K
P
cd
K
P
cc
K
P
bc
K
P
ac
cedcba
=+







+






+






+






+







0WK
P
de
K
P
dd
K
P
cd
K
P
bd
K
P
ad
dedcba
=+






+







+






+






+






0WK
P
ee
K
P
de
K
P
ce

K
P
be
K
P
ae
eedcba
=+






+






+






+







+






- Tính các hệ số của phương trình chuẩn:
10
7
5
1
2
1
5
0.0
2
0.0
5
1)1).((
4
0.0
4
0.0
5

0.0
2
1.1
p
aa
=+=++
−−
++++=






2
1
5
0.0
2
0.1
5
1).0(
4
0.0
4
0.0
5
0.0
2
1.1

p
ab
=++
−
++++=






0
5
0.1
2
0.1
5
1).0(
4
0.0
4
0.1
5
0.0
2
1.0
p
ac
=++
−

++++=






0
5
0.1
2
0.0
5
1).0(
4
0.1
4
0.0
5
0.0
2
1.0
p
ad
=++
−
++++=







2
1
5
0.1
2
0.0
5
1).0(
4
0.0
4
0.0
5
0.1
2
1.1
p
ae
=++
−
++++=







1
2
1
2
1
5
0.0
2
1.1
5
0.0
4
0.0
4
0.0
5
0.0
2
1.1
p
bb
=+=++++++=






Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
8

Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15
0
5
0.1
2
1.0
5
0.0
4
0.0
4
0.1
5
0.0
2
1.0
p
bc
=++++++=






0
5
0.1
2
1.0

5
0.0
4
0.1
4
0.0
5
0.0
2
1.0
p
bd
=++++++=






2
1
5
0.1
2
1.0
5
0.0
4
0.0
4

0.0
5
0.1
2
1.1
p
be
=++++++=






20
9
5
1
4
1
5
1.1
2
0.0
5
0.0
4
0.0
4
1.1

5
0.0
2
0.0
p
cc
=+=++++++=






5
1
5
1.1
2
0.0
5
0.0
4
0.1
4
1.0
5
0.0
2
0.0
p

cd
=++++++=






5
1
5
1.1
2
0.0
5
0.0
4
0.0
4
1.0
5
0.1
2
0.1
p
ce
=++++++=







20
9
5
1
4
1
5
1.1
2
0.0
5
0.0
4
1.1
4
0.0
5
0.0
2
0.0
p
dd
=+=++++++=







5
1
5
1.1
2
0.0
5
0.0
4
1.0
4
0.0
5
0.1
2
0.1
p
de
=++++++=






10
9
5

1
5
1
2
1
5
1.1
2
0.0
5
0.0
4
0.0
4
0.0
5
1.1
2
1.1
p
ee
=++=++++++=






- Thay các giá trị vừa tìm được vào hệ ta có:
05K

2
1
.K
2
1
.K
10
7
eba
=+++
02.K
2
1
K.1.K
2
1
eba
=+++
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
9
Đoàn Việt Hùng – Cao học Cầu – Hầm K15
04.K
5
1
.K
5
1
.K
20
9

edc
=−++
05.K
5
1
.K
20
9
K
5
1
edc
=+++
0.K
10
9
.K
5
1
.K
5
1
.K
2
1
.K
2
1
edcba
=++++

- Biến đổi ta có hệ phương trình như sau:
7K
a
+ 5K
b
+ 5K
e
+ 50 = 0 (1)
1K
a
+ 2K
b
+ 1K
e
+ 4 = 0 (2)
9K
c
+ 4K
d
+ 4K
e
– 80 = 0 (3)
4K
c
+ 9K
d
+ 4K
e
+ 100 = 0 (4)
5K

a
+ 5K
b
+ 2K
c
+ 2K
d
+ 9K
e
= 0 (5)
**********************************
Lời giải đề thi khóa trước – BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN
10