Hệ phương trình siêu việt- ViettelStudy

TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


1



************************************************************
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PT, HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT
Bài số 1 :
a/ Giải hệ phương trình

Lời giải : Điều kiện
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ :
Đặt: Ta có ( I )
Nhân hai phƣơng trình của hệ ( I ) vế theo vế , đƣợc: 3(3x+2y)(3x-2y) = (*)
Kết hợp (1) với (*) Ta có 15 = Do đó t = 1Thế vào hệ ( I ) đƣợc hpt :
Thỏa mãn điều kiện đã nêu .
Nên đây là nghiệm của hệ phƣơng trình
Lời giải 2: Điều kiện
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ :
Nhân hai vế phƣơng trình (2) với và áp dụng = (Với mọi a,b,c
dƣơng a và b ) Ta đƣợc :


( Vì từ pt (1) suy ra 3x-2y = )

3x+2y = 5 (2’)
Kết hợp với phƣơng trình (1) Ta đƣợc hệ phƣơng trình : Thỏa
mãn điều kiện đã nêu Nên đây là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho
b/ Giải hệ phương trình :

Lời giải : Điều kiện
Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với :
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


2




Thỏa mãn điều kiện
Nên là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho.
Bài số 2 :
Giải hệ phương trình

Lời giải : Điều kiện xy .
= Suy ra: =
Phƣơng trình (1) trở thành : - - 2 = 0 Đặt t = Ta có t
2
– t – 2 =
0 t = 2 ( Loại t = - 1 )
Nhƣ vậy: = 2 Do đó = 1 (1’) .
Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình

-Hệ (II) có hai nghiệm : và Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn
điều kiện xy Nên đây là hai nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho.
Bài số 3 :
Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt :
- - 2mx + m
2

= 2 – x
2

Lời giải : Viết phƣơng trình thành :
4. = 2. - (x – m)
2
=
2. = (x – m)
2
(*) (Chú ý : = )
Bài toán trở thành :Tìm giá trị của m để phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.
-Viết phƣơng trình (*) thành :

2. =

TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


3



(Đặt t = x – 1)

Nhận thấy : Phƣơng trình ( 1 ) và phƣơng trình ( 1’) đều không thể có hai nghiệm trái dấu (Do
các hệ số a , c cùng dấu ) Để phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì :
Không thể xẩy ra các trường hợp :
*- Trong hai pt (1) và (1’) : một phương trình có hai nghiệm cùng dấu – cả 2 nghiệm thỏa mãn
điều kiện ; Phương trình kia có hai nghiệm trái dấu – một nghiệm thỏa mãn điều kiện và một
nghiệm bị loại

**- Hai phương trình (1) và (1’) đều có hai nghiệm phân biệt , đồng thời chúng có một nghiệm
chung
Do vậy mà phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt chỉ khi một trong 2 trƣờng hợp sau xẩy ra:
-Trường hợp 1: pt (1) có hai nghiệm dƣơng phân biệt ,đồng thời pt ( 1’) có
nghiệm kép t
0

Điều này xẩy ra m =

-Trường hợp 2: pt (1) có nghiệm kép dƣơng , đồng thời phƣơng trình (1’) có 2
nghiệm âm phân biệt

Điều này xẩy ra m =
Trả lời :Có hai giá trị của m để phƣơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là
m
1
= và m
2
=
(Bài kiểm tra Học Kỳ I năm học 2009-2010 Lớp 12 CB Trƣờng THPT Tân kỳ I
Tỉnh Nghệ an – Thầy Đặng Hữu Trung ra đề )

Bài số 4 : Giải và biện luận theo tham số m phƣơng trình sau :
(1)
Lời giải :Viết phƣơng trình thành dạng mới

Lời giải : (Cùng dạng với Bài số 3 ở trên).Ta có : =

x
2

+ 2mx + m = 0 (2)
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


4



-Giải và biện luận phƣơng trình (1) Đƣa về giải và biện luận phƣơng trình (2).
*Nếu ’= m
2
-m < 0 Tức là 0 < m < 1 Thì phƣơng trình vô nghiệm
*Nếu ’= m
2
- m = 0 Tức là m
1
= 1 m
2
= 0 Thì phƣơng trình có nghiệm
Kép (m = 1nghiệm kép x = - 1 ; m = 0 nghiệm kép là x = 0 )
*Nếu ’= m
2
- m > 0 Tức là : m < 0 hoặc m > 1 thì phƣơng trình có hai
nghiệm phân biệt x
1
= - m - và x
1
= - m + ./.
Bài số 5 :
Giải phương trình : -

Lời giải : Điều kiện x
= Ta có =
và = = .
Do đó Phƣơng trình trở thành : = ( x
2
– 1 ).Chia 2 vế cho
đƣợc phƣơng trình: = x
2
– 1 (*)
Điều kiện x
2
– 1 , kết hợp điều kiện x .Ta suy ra điều kiện x .
Với điều kiện x Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế phƣơng trình (*),đƣợc phƣơng trình
tƣơng đƣơng : = = t (Đặt = t ) Thì có hpt:

x = 2 thỏa mãn điều kiện x .
Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = 2
Bài số 6 :
Giải phương trình :
Lời giải : Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ,đƣợc = (x – 2)
(x – 2) = 0
Bài số 7 : Giải phương trình : 2.
Lời giải : Điều kiện
Đặt t = 2. Thì : (*) :
Thế (2) vào (1) suy ra Chia
hai vế phƣơng trình cho đƣợc :
Phƣơng trình này có nghiệm duy nhất t = - 1 (Nhẩm nghiệm ,Chứng minh
duy nhất – Dựa vào tính chất các hàm số liên tục ).Thế t = -1 vào hpt (*)
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747

5



Nhƣ vậy ta có : x = , k z là nghiệm của pt
Bài số 8 :
Giải phương trình : = 1 (*)
Lời giải : Điều kiện - 3 và x
Chú ý : = 2. = -
Nên = = - và lại có =
Do đó ta có :
(*) - = 1 =
6 = (4-x)(3+x) x
2
-7x -18 = 0 x = 9 ( Loại x = -2 )
Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = 9 .
Bài số 9 :
Giải phƣơng trình : - = 2.
Lời giải : Điều kiện x > 0 , x 1 Phƣơng trình viết thành :
- = 2. 4.4
t
– 6
t
- 18.9
t
= 0 .với t = .Chia
hai vế phƣơng trình cho 4
t
rồi đặt > 0 đƣợc pt :

X = ( Loại X = - ) Vậy = , t = -2
Nhƣ vậy ta có: = - 2 x = (Thỏa mãn 0 < x ).
Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x =
Bài số 10 : Giaỉ hệ phƣơng trình
với điều kiện , theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân (3)
Lời giải : Điều kiện x , y , z đều dƣơng và khác 1
Theo giả thiết theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân
suy ra: = = 1 = 1 suy ra y = z
Do đó ,ta có hệ phƣơng trình : là nghiệm hpt
Bài số 11 :
Với giá trị nào của tham số m thì phƣơng trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt :
= + 1 (*)
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


6



Lời giải :
Ta có + 1 = (m
2
-

)
2
+

> 0 với mọi m , Do đó lấy lôgarit
cơ số hai vế của (*) thì ta có :(*) = + 1)

= - + 1)
-Gọi t (1) (Gọi cho gọn.)
Ta tìm giá trị của t để phƣơng trình = t Có 4 nghiệm phân biệt .
Sau đó, tìm đƣợc m , từ đẳng thức (1)
Dùng phƣơng pháp đồ thị,(chỉ cần lập bảng biến thiên,không cần vẽ đồ thị )Ta có: phƣơng
trình = t có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < t < 1
Suy ra :phƣơng trình có 4 nghiệm phân biệt khi 0 < < 1
0 > > -1 1 > >


Giải hệ bpt này ta đƣợc những giá trị cần tìm của m.
Bài số 12 :
Giải hệ phƣơng trình
Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành:



Là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho
Bài số 13 : Cho phƣơng trình = 0 (1)
-Tìm tích các nghiệm số của phƣơng trình
Lời giải : Điều kiện x > 0 và x .Chuyển vế rồi lấy lôgarit cơ số 6 hai vế,
đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng : = 2 + . Đặt t =
ta có phƣơng trình bậc hai : t
2
– t .( - . ) – 2 = 0 (2)
-Với mỗi giá trị của x > 0 , x tƣơng ứng với một giá trị t = .Và ngƣợc lại,mỗi giá
trị của t tƣơng ứng một giá trị x = ( Do t = )
-Phƣơng trình (2) có tối đa là 2 nghiệm .Do đó phƣơng trình (1) có tối đa 2 nghiệm.
-Gọi : là hai nghiệm của phƣơng trình (1)thì ta có
Mà t

1
và t
2
là hai nghiệm của phƣơng trình (2) nên theo Vi-et : t
1
+ t
2
= - .
Do đó : = .
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


7



Bài số 14 : Giải và biện luận theo tham số a hệ phƣơng trình:
Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành :

Theo Vi-et ta có: x , y là hai nghiệm của phƣơng trình : t
2
– (1-a).t + (1-a)
2
= 0 (*)
Phƣơng trình (*) có nghiệm khi = -(1-a)
2
0 tức là khi a = 1.Với a = 0 ta có x = y = 0.
Trả lời :-Nếu a thì hệ phƣơng trình vô nghiệm .
- Nếu a = 1 hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất
Bài số 15 :

Giải hệ phƣơng trình:
Lời giải :Điều kiện
Với điều kiện đã nêu hệ phƣơng trình tƣơng
đƣơng với với hệ phƣơng trình:

(Do điều kiện đã nêu: nên x-2 0) x = y
Vậy hệ phƣơng trình có vô số nghiệm ,công thức tổng quát của nghiệm
Tức là :
Bài số 16 : Cho hệ phƣơng trình:
1/ Giải hệ phƣơng trình khi m = 3
2/ Tìm giá trị của m sao cho hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất ?
Hãy xác định nghiệm duy nhất đó ?
Lời giải : Điều kiện xy 0 .Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ :
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


8




1/Với m =3 : Hệ phƣơng trình trở thành
-Phƣơng trình (2) có 2 nghiệm t
1
= và t
2
= 3
*Với t = - Ta có :

*Với t = 3 Ta có :

Nhƣ vậy với m = 3 hệ phƣơng trình có hai nghiệm và
2/Xác định m để hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất :
Hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ phƣơng trình :
có nghiệm duy nhất .
Khi và chỉ khi phƣơng trình (*) có nghiệm duy nhất .Khi và chỉ khi = 8m +25 = 0.
Vậy m = - thì hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất
-Khi m = - thì phƣơng trình (*) có nghiệm kép t = .
Hệ phƣơng trình trở thành:
Trả lời : m = - thì hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất,
Bài số 17 : Cho hệ phƣơng trình
Với a >0 và a .Xác định giá trị của a để hệ phƣơng trình có nghiệm duy
nhất và giải hệ phƣơng trình trong trƣờng hợp đó.

Lời giải : Điều kiện : Ta có :
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


9







.
-Thấy :hệ phƣơng trình (1a),(2) không thỏa mãn yêu cầu có
nghiệm duy nhất .Mọi cặp (x;y) thỏa mãn x+y > 0 và x
2
-y

2
= 2 đều
là nghiệm .Chẳng hạn ( ) và ( là hai nghiệm của hệ phƣơng trình.
-Xét a ,(a > 0 ,a ):
-Hệ phƣơng trình (1b) ,(2) :
có nghiệm duy nhất là : Đây là nghiệm duy nhất của hệ phƣơng trình
(với 0 < a ,a và a )
Trả lời : Với 0 < a , a và a Hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất: :
MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT MŨ,LÔGARIT
Bài số 18 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI)
Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Hãy so sánh hai số :
A = và B =
Lời giải : Với mọi số tự nhiên n , ta có : n(n+2) (*)
Lấy lôgarit cơ số n hai vế bđt (*) đƣợc bđt tƣơng đƣơng :
1+ 2. 1+
-
(**)
Vì nên bđt (**) có vp Do đó từ (**) suy ra :

Vậy với mọi số tự nhiên lớn hơn 1 , ta có:
TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747


10



Lời giải 2 : Áp dụng bđt côsi ,có : + 2 (1)
-Với mọi số tự nhiên ta có (n+1)
2

n(n+2) Lấy lôgarit cơ số (n+1) hai vế đƣợc bđt
Cùng chiều: 2 + (2)
-Từ (1) và (2) suy ra : đúng với mọi n là số tự nhiên
lớn hơn 1.
Bài số 19 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI - Tổng quát hóa Bài số 18)
Cho ba số thực a , b , k với k > 0 , b > a > 1. Hãy so sánh hai số :
A = B =
Lời giải : Vì b > a > 1 , k > 0 Nên : b(a+k) > a(b+k)
Lấy lôgarit cơ số b hai vế, đƣợc bđt cùng chiều : >
1+ > +
> - 1 .( Chú ý: 0 < < 1)
> – 1 >
Trả lời :Nếu a , b , k là 3 số thực với k > 0 , b > a > 1 Thì >
Bài số 20 :
Chứng minh với a , b thì : +
Lời giải : Với a >1 , b >1 ta có > 0 , > 0 . Do đó áp dụng bđt côsy :
loga+logb > 2(loga+logb) > loga+logb+
4log > ( )
2
> (1)

Ta lại có: > 2. (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh : >
*****************************************************************************

*****************************************************************************