Các vấn đề về Khoảng cách - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P3

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về khoảng cách


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-


a
2a
a
a
I
A
B
C
D
S
H
A
D
C
B
SCD
D
A
I
2a

3a
a
N
M
O
B
C
A
H


Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình thang nội tiếp trong ñường tròn ñường kính AD,
AD//BC, AD=2a, AB=BC=CD=a, SA
⊥
(ABCD), d(A,(SCD)) = a
2
, I là trung ñiểm AD. Tính khoảng
cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau BI và SC.
Giải
-
DC AC
( ).
DC A
DC SAC
S
⊥

=> ⊥

⊥



Mà DC
⊂
(SCD) => (SAC)
⊥
(SCD) theo giao tuyến SC.
Do ñó kẻ AH
⊥
SC (H
∈
SC) => AH
⊥
(SCD).
⇒
AH = d(A, (SCD)) = a
2
.
- (SCD) chứa SC và // với BI
=> d(BI, SC) = d(I, (SCD)).







Ta có:
( ,( )) 1
2

d I SCD DI
AH DA
= =

=> d(I, (SCD))=
1 2
( , ).
2 2
a
AH d IB SC
= =
Bài 2.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc, OA=a, OB=2a, OC=3a. M là trung ñiểm
OB. Tính d(AM, OC).

Giải
- Gọi N là trung ñiểm BC, khi ñó (AMN) chứa AM và // với OC
=> d(AM,OC) = d (O, (AMN)).
-
MN OB
( ).
MN A
MN AOB
O
⊥

=> ⊥

⊥


Mà MN
⊂
(AMN) => (AOB)
⊥
(AMN) theo giao tuyến AM.
Do ñó kẻ OH
⊥
AM (H
∈
AM) => OH
⊥
(AMN)
=> OH=d(O,(AMN)).
CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 03)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 03) thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 03). ðể sử dụng hiệu
quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 07+08)
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về khoảng cách


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2
-


120
a
2a
30
M
C'
A'
B'
B
A
C
H
B
1
A
30
A
1
C
1
C
B
H
K
- Ta có
2

2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
.
2
2
a a
OH OH
OH OA OM a a a
= + = + = => = => =
Bài 3.
Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC=2a,
0
120
ACB∠ =
, góc giữa ñường thẳng A’C
và (ABB’A’) bằng 30
0
. M là trung ñiểm của BB’. Tính khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và CC’.

Giải
- (CAB)
⊥
(ABB’A’) theo giao tuyến AB,
nên trong (CAB) kẻ CH
⊥
AB (H
∈
AB)
=> CH

⊥
(ABB’A’) =>
0
( ' ,( ' ') ' 30 .
A C ABB A CA H∠ = ∠ =

- (ABB’A’) chứa AM và // với CC’
=> d(AM, CC’) = d(C, (ABB’A’))=CH.
- Tính CH?
Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin ta có:
AB
2
=CA
2
+CB
2
-2CA.CB.cos 120
0

= a
2
+4a
2
-2a.2a.
1
( )
2
−
= 7a
2

=> AB=a
7
.
Mặt khác ta có:
1
.
2
ABC
S AB CH
∆
=


0
1 1
. .sin120 .
2 2
CACB AB CH
=

a.2a.
3
2
= a
7
.CH => CH = a.
3
7
= a
21

7
= d (AM, CC’).
Bài 4.
Cho lăng trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh bằng a, góc giữa cạnh bên AA
1
và mặt ñáy
bằng 30
0
. Hình chiếu H của A trên (A
1
B
1
C
1
) thuộc B
1
C
1
. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA
1
và
B
1
C

1.

Giải
- AH
⊥
( A
1
B
1
C
1
) => góc giữa AA
1
và (A
1
B
1
C
1
) là góc
1
AA
H
∠
, theo giả thiết
1
AA
H
∠
=30

0
.
- Xét tam giác vuông AHA
1
, ta có:
cos 30
0
=
1
1
A H
AA
=> A
1
H = AA
1
cos30
0
= a
3
2
.
-
∆
A
1
B
1
C
1

ñều, A
1
H =a
3
2
=> A
1
H
⊥
B
1
C
1
.
- Kẻ HK
⊥
AA
1
(K
∈
AA
1
), ta có:
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
B C A H
B C ( A H) B C HK
B C AH
A

⊥

=> ⊥ => ⊥

⊥


=> HK là ñoạn vuông góc chung của A A
1
và B
1
C
1

=> HK = d(A A
1
, B
1
C
1
).
- Tính HK?
1
AA 1 1
1 1
. .
2 2
H
S A H AH AA HK
∆

= = => A
1
H.AH = AA
1
.HK => HK=
1
1
3
.
A H.AH
3
2
.
AA 2
a
AH
AH
a
= =

Xét tam giác vuông AA
1
H, ta có:
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về khoảng cách


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3
-


B
A
S
C
D
H
E
K
K
SDC
D
A
H
K
O
N
M
C
B
A
A'
B'
C'
H
sin 30
0

=
1
AH
AA

1 3 3
.
2 2 2 2 4
AH a a a
AH HK
a
= <=> = => = =

Bài 5. Chóp SABC ñáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = a, góc giữa các cạnh bên và mặt ñáy bằng
60
0
. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SC theo a.

Giải
- Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).
Ta có
0
60
SAH SBH SCH∠ = ∠ = ∠ =

=> AH=BH=CH => H là trung ñiểm của BC.
- Gọi D là ñiểm ñối xứng với A qua H
=> AB//CD => AH//(SCD)
=> d(AB,SC) = d(AB,(SCD))=d(A,(SCD)).
- Gọi E là trung ñiểm của CD.

Khi ñó (SHE)
⊥
(SCD) theo giao tuyến SE,
nên trong (SHE) kẻ HK
⊥
SE(K
∈
SE)
=> HK
⊥
(SCD) => HK=d(H,(SCD)).
- Ta có:
2 2 2
1 1 1
HK HS HE
= +
Mà :
- Xét tam giác vuông SHA, ta có: tan60
0
=
SH
AH
=> SH=AH.tan60
0
=
1
2
. tan60
0
=

1
2
.
2. 3
a =
6
2
a
.
- Xét tam giác vuông HEC ( vuông tại E), ta có: HE
2
= HC
2
- EC
2
=
2
2 2
2 3
( ) ( )
2 2 4
a a a
− =
Do ñó:
2
2
2
2 2 2 2
2
1 1 1 2 4 2

.
3 3 2
3
6 2
( )
4
2
a a
HK HK
HK a a a
a
a
= + = + = => = => =


- Ta có:
1
( ,( )) 2
HK DH
d A SCD DA
= =

1 1
( ,( )) .
2 2
2
a
d A SCD HK=> = =

Bài 6.

Cho lăng trụ ñều ABCA’B’C’ (lăng trụ ñứng có ñáy là tam giác ñều) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi
M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, BB’. Tính d(B’M, CN).

Giải
- B’M//AN => B’M//(ACN)
=> d(B’M//CN)= d(B’M,(ACN))= d(B’,(ACN))=d(B,(ACN)).
(BB’ cắt (ACN) tại trung ñiểm N của BB’
=> d(B’,(ACN))= d(B,(ACN)) ).
- Gọi O là trung ñiểm BC, kẻ OK
⊥
CN(K
∈
CN). Khi ñó:
(OAK)
⊥
(ACN) => OH=d(O, (ACN)).
- Ta có:
2 2 2
1 1 1
OH OK OA
= +
Mà:
- Tam giác vuông OKC ñồng dạng với tam giác vuông NBC (
C
∠
chung)
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về khoảng cách

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


N
ACN
B'
B

2 2
2 2
2 2
( )
2 2
2
a a
OK CO OK OK
a a
NB CN
a
CB BN
a
= <=> = <=> =
+
+



2
2
.
2 2 4
5 2 5
5
2
4
a a a
a
OK
a
a
= = =

+) OA=
3
2
a
.
2
2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 20 4 64 3 3
.
3 3 64 8
3
20 4

a a
OH OH
OH a a a
a a
= + = + = => = => =

Ta có:
1
( ,( )) 2
OH CO
d B ACN CB
= =

- d(B,(ACN)) = 2.OH=
3
4
a
= d(BM’, CN).


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn