Các vấn đề về Khoảng cách - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P2

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về khoảng cách


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-


45
I
B
C
A D
S
E
H
SCD
A
B
I


Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a,
( ) ( )
SAB ABCD
⊥
, SA = SB, góc giữa
SC và (ABCD) bằng 45

0
. Tính khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SCD).

Giải:
Gọi I là trung ñiểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S
SI AB
⇒ ⊥

( ) ( )
( )
( ),
SAB ABCD
SI ABCD
SI SAB SI AB
⊥

⇒ ⊥

⊂ ⊥



0
45
SCI⇒ =

Vì
/ /( ) ( ,( )) ( ,( ))
BA SCD d B SCD d I SCD
⇒ =

Gọi J là trung ñiểm của CD, ta có:
( )
CD IE
CD SIE
CD SI
⊥

⇒ ⊥

⊥


mà
( ) ( ) ( )
CD SCD SIE SCD
⊂ ⇒ ⊥
theo giao tuyến SE.
Do ñó trong mặt phẳng (SIE)
kẻ
( ) ( )
IH SE H SE IH SCD
⊥ ∈ ⇒ ⊥

( ,( ))
IH d I SCD
⇒ =

Ta có:
2 2 2

1 1 1
IS
IH IE
= +
Mà IE = a,
2
2 2 2
5
2 2
a a
SI IC BI BC a
 
= = + = + =
 
 

(
∆
SIC vuông cân nên SI = IC)
2
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 9
5 5
5
2
IH a a a a
a
⇒ = + = + =
 
 

 

2
2
5 5
9 3
a a
IH IH⇒ = ⇒ =
Vậy
5
( ,( ))
3
a
d B SCD = .
Bài 2.
Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a,
( )
SA ACBD
⊥
, góc giữa mặt bên (SBC) và
mặt ñáy (ABCD) bằng 60
0
, G là trọng tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G ñến mặt phẳng (SBC).

Giải :
CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 02)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách thuộc khóa học

Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức
ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 05+06)
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về khoảng cách


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


M
D
A
B
C
S
G
K
SBC
S
M
G
I
A

C
B
S
H
K
SAH
S
B
K
Ta có :
0
60
SBA∠ =

Gọi M là trung ñiểm của AD, ta có :
( ,( )) 2
( ,( )) 3
d G SBC SG
d M SBC SM
= =

2
( ,( )) ( ,( ))
3
d G SBC d M SBC
⇒ =

Vì
/ /( ) ( ,( )) ( ,( ))
AM SBC d M SBC d A SBC

⇒ =

Do
( ) ( )
SAB SBC
⊥
theo giao tuyến SB
nên kẻ
( ) ( )
AK SB K SB AK SBC
⊥ ∈ ⇒ ⊥

( ,( ))
AK d A SBC
⇒ =

Ta có:
2 2 2
1 1 1
AS
AK AB
= +

Mà ta lại có:
0 0
tan 60 .tan 60 3
SA
SA AB a
AB
= ⇒ = =

( )
2
2
2
2 2 2
1 1 1 4 3 3
3 4 2
3
a a
AK AK
AK a a
a
⇒ = + = ⇒ = ⇒ =

Vậy
2 3 3
( ,( )) .
3 2 3
a a
d G SBC = =

Bài 3.
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
2
AB a
=
, I là trung ñiểm của
BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là ñiểm H thỏa mãn I nằm giữa AH. Tính khoảng
cách từ trung ñiểm K của SB tới mặt phẳng (SAH).

Giải:
( )
BI AH
BI SAH
BI SH
⊥

⇒ ⊥

⊥


Ta có:
( ,( )) 1
2
d K SAH SK
BI SB
= =

1 1 1
( ,( )) .2
2 4 4 2
a
d K SAH BI BC a
⇒ = = = =

Bài 4.
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D là ñiểm ñối
xứng với A qua I,
( )
SD ABC
⊥
, K là hình chiếu vuông góc của I trên SA,
2
a
IK
=
. Tính khoảng cách từ
D ñến mặt phẳng (SBC).

Giải:
( ) ( )
SAD SBC
⊥
theo giao tuyến SI, nên kẻ
( ) ( )
DH SI H DI DH SBC
⊥ ∈ ⇒ ⊥

( ,( ))
DH d D SCB

⇒ =

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các vấn ñề về khoảng cách


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


M
N
B
C
A
D
S
H
K
l
C
B
A
D
S
K
H

Ta có:
2 2 2
1 1 1
DH DS DI
= +
Mà
3
2
a
DI AI= =

Ta có
∆
vuông SDA ñồng dạng với
∆
vuông IHA
(góc A chung)
2 2
3 6
2
2
SD DA SD a a
SD
a
IK KA
AI IK
⇒ = ⇔ = ⇒ =
−

Do ñó:

2 2
2 2
1 1 1 2
2
6 3
2 2
a
DH
DH a
a a
= + = ⇒ =
   
   
   

Vậy
( ;( ))
2
a
d D SBC =
.
Bài 5. Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB ñều, tam giác SCD vuông cân
tại S. H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách từ H ñến mặt phẳng
(SCD).

Giải:
Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, CD.
Khi ñó
( ) ( )
SMN ABCD

⊥
theo giao tuyến MN.
Do ñó, kẻ
( ) ( )
SH MN H MN SH ABCD
⊥ ∈ ⇒ ⊥

( ) ( )
SHN SCD
⊥
theo giao tuyến SN.
Do ñó kẻ
( )
HK SN K SN
⊥ ∈

( ) ( ,( ))
HK SCD HK d H SCD
⇒ ⊥ ⇒ =

Ta có:
2 2 2
1 1 1
HK HS HN
= +

Mặt khác:
2 2 2
3
, ,

2 2
a a
MN a SM SN MN SM SN
= = = ⇒ = + ⇒ ∆
SMN vuông tại S.
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 4 16 3
3 3 16
3
2
2
a
SH
SH SM SN a a a
a
a
⇒ = + = + = + = ⇒ =
   
 
 
 
 

3
4
a
SH⇒ =

2 2
1
4 2
a
HN SN SH SN CD
 
= − = =
 
 

Do ñó ta có:
2 2
2 2 2 2
1 1 1 16 16 64 3
3
3 3 8
16 16
a
HK
a a
HK a a a
= + = + = ⇒ =
Vậy
3
( , ))
8
a
d H SCD = .
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về khoảng cách


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


I
O
M
N
A
D
C
B
S
E
K
P
H
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
( )
SA ABCD
⊥
,
2 , 2 ; .
SA a AB a AD DC a
= = = =

Gọi M là trung ñiểm của SD. Tính khoảng cách từ M ñến mặt phẳng
(SBC).

Giải:
Gọi E là trung ñiểm AB, N là trung ñiểm SE, O là tâm hình vuông ADCE,
I SO MN
= ∩

Ta có:
/ / / / / /( )
MN DE BC MN SBC
⇒

( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
d M SBC d MN SBC d I SBC
⇒ = =

Xét tam giác ACB có
1
2
CE a AB BC AC
= = ⇒ ⊥
( )
BC AC
BC SAC
BC SA
⊥

⇒ ⊥


⊥


mà
( ) ( ) ( )
BC SBC SAC SBC
⊂ ⇒ ⊥
theo giao tuyến SC.
Do ñó kẻ
( ) ( )
IH SC H SC IH SBC
⊥ ∈ ⇒ ⊥

( ,( ))
IH d I SBC
⇒ =

Tính IH: Kẻ
( ), ( )
OK SC K SC AP SC P SC
⊥ ∈ ⊥ ∈

Ta có:
1 1
2 4
IH OK AP
= =

Mà
( ) ( )

2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
AS
2 2
AP a
AP AC a
a a
= + = + = ⇒ =

1
4 4
a
IH AP
⇒ = =

Vậy
( ,( ))
4
a
d M SBC
=
.


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn