Thể tích khối Chóp - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P2

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-



Bài 1. Cho chóp S.ABC có góc
0 0
90 , 30 ,( ) ( ).
BAC ABC SAB ABC
∠ = ∠ = ⊥
Tam giác SBC ñều cạnh a.
Tính thể tích chóp S.ABC theo a
Giải:
Ta có:
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) sin 30
2
SAB ABC
a
SAB ABC AB AC SAB h AC BC
AC AB
⊥



∩ = ⇒ ⊥ ⇒ = = =


⊥


Do
( )
AC SAB AC SA SAC
⊥ ⇒ ⊥ ⇒

vuông tại A nên ta có:
2 2
3
2
a
SA AB SC AC= = − =

Tam giác SAB cân tại S, M là trung ñiểm SB suy ra AM là ñường cao của tam giác này và:
2
2 2
2 1 2
( ) .
2 2 3 24
SABC ABC
SB a a
AM SA V CA S= − = ⇒ = =

Bài 2.

Cho chóp SABC ñáy là tam giác vuông cân tại B có BC = a. Mặt SAC vuông góc với ñáy, các mặt
bên còn lại tạo với ñáy 1 góc 45 ñộ. Tính thể tích chóp?
Giải:

Kẻ
,( ) ( ) ( )
SH BC SAC ABC SH ABC
⊥ ⇒ ⇒ ⊥

Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB, BC
0
, 45 .
SI AB SJ BC SIH SJH⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ∠ = ∠ =
Ta có:
SHI SHJ HI HJ
∆ = ∆ ⇒ =

⇒
BH là ñường phân giác góc ABC, nên H là trung ñiểm AC.
Khi ñó:
3
1
HI HJ SH= .
2 3 12
SABC ABC
a a
V SH S= = ⇒ = =

Bài 3.
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñường chéo AC =

2 3
a
, BD = 2a và cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ
ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải:
Từ giả thiết AC =
2a 3
; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung ñiểm O của mỗi ñường chéo.
Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =
3
a
; BO = a , do ñó
0
A D 60
B∠ =
hay tam giác ABD ñều.
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 02)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp thuộc khóa học Toán 12
– Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược
giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng
sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Thể tích khối chóp


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của
chúng là SO ⊥ (ABCD)









Do tam giác ABD ñều nên với H là trung ñiểm của AB, K là trung ñiểm của HB ta có
DH AB
⊥

và DH =
3
a
; OK // DH và
1 3
2 2

a
OK DH= =
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O
ñến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là ñường cao ⇒
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + ⇒ =

Diện tích ñáy
2
D
4S 2. . 2 3
ABC ABO
S OAOB a
∆
= = =
; ñường cao của hình chóp
2
a
SO
=
.
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3

. D D
1 3
.
3 3
S ABC ABC
a
V S SO= =
.
Bài 4.
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh A, AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh
huyền BC vuông góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại ñều hợp với mặt ñáy các góc 60
o
. Hãy tính thể tích
của khối chóp S.ABC.
Giải:
Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ⊥ mp (ABC)
Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC
⇒góc SIH = góc SJH = 60
o
⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ
⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông
⇒ I là trung ñiểm AB ⇒ IH = a/2
Trong tam giác vuông SHI ta có
3
2
a
SH =

V
(SABC)

=
3
1 3
.
3 12
ABC
a
SH S
∆
=
(ñvdt)


Bài 5.
Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB=a
3
,
0
60
BAD∠ = ,
(SAB)
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính
cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN.

Giải
+) V
NSDC
=?
- Ta có: SA

2
+SB
2
=a
2
+3a
2
=4a
2
=AB
2

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


E
N
M
A
D
B
C

S
I
H
=>
∆
SAB vuông tại S => SM=
1
2
AB a
=

=>
∆
SAM ñều.
- Gọi H là trung ñiểm AM => SH
⊥
AB.
-
( ) ( )
( )
( ),
SAB ABCD AB
SH ABCD
SH SAB SH AB
⊥ =

=> ⊥

⊂ ⊥


- V
NSDC
= V
SNDC
=
1
. .
3
NDC
S SH
∆

Mà:


+
0
1 1 1 1
. . . .sin 60
2 2 2 2
NDC BDC BDA
S S S AB AD
∆ ∆ ∆
= = =
=
2
1 3 3
.2 .2 .
4 2 2

a
a a =

+ SH=
3
2
a
(SH là ñường cao trong tam giác ñều SAM).

V
NSDC
=
2 3
1 3 3
. .
3 2 2 4
a a a
=
.
+) d(SM, DN)=?
- Gọi E là trung ñiểm của AD, ta có: BN//=ED => BNDE là hình bình hành => BE//ND.
- Gọi I là trung ñiểm của AE => MI//BE => MI//ND =>
( , ) ( , )
SM DN SM MI
∠ = ∠

- Ta có: SI
2
= MS
2

+ MI
2
- 2MS.MI.cos
SMI
=>
2 2 2
cos
2. .
MS MI SI
SMI
MS MI
+ −
=

Mà: + SM=
1
2
AB=
1
2
.2a = a.
+ MI
2
= AM
2
+ AI
2
- 2AM.AI.cos60
0
= a

2
+
2 2
1 3
2. . .
2 2 2 4
a a a
a− =
+ Xét tam giác vuông SHI, ta có: SI
2
= SH
2
+ HI
2
=
2 2
3
( )
2
a
HI
+
.
Hơn nữa tam giác AHI ñều => HI=
2 2
2 2
3
2 4 4
a a a
SI a

=> = + =


cos
2
2 2
3
3
4
0
3 4 3
2. .
2
a
a a
SMI
a
a
+ −
= = 〉
.

( ) ( ) ( )
3
, os , os , os
4 3
SM MI SMI c SM DN c SM MI c SMI∠ = ∠ => ∠ = ∠ = =
.
Bài 6.
Cho hình chóp tứ giác SABCD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD), ñáy

ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a
3
. Gọi I là ñiểm thuộc SC sao cho SI = 2CI và AI
⊥
SC. Tính
thể tích khối chóp SABCD.

Giải
- Gọi O = AC
∩
BD
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


C
O
D
B
A
S
I
M

A
B
C
S
H
-
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAC SBD SO
SAC ABCD SO ABCD
SBD ABCD
∩ =


⊥ => ⊥


⊥


-
1
.
3
SABCD ABDC
V S SO
=

Mà: + S

ABCD
= AB.AD = a.a
3
= a
2
3
.
+
1 1
. .
2 2
SAC
S SO AC SC AI
∆
= =

=> SO.AC = SC.AI (*).
Hơn nữa:
AC =
2 2 2 2
3 2 .
AD DC a a a
+ = + =

SC =
2 2 2 2
SO OC SO a
+ = +
.
AI =

2 2 2 2
1
( )
3
AC CI AC SC
− = −
(SI=2 IC => IC=
1
3
SC
)
=
2
2 2
2 2 2 2
1
4 35
9 9 3
SC SO a
AC a a SO
+
− = − = −
(ðk: SO < a
35
).
Thay vào (*) ta có: SO.2a =
2 2 2 2
1
. 35
3

SO a a SO
+ −


6a.SO =
2 2 2 2
. 35
SO a a SO
+ −


36.a
2
.SO
2
=
2 2 2 2
( ).(35 )
SO a a SO
+ −


SO
4
+ 2a
2
.SO
2
- 35a
4

= 0. Coi ñây là phương trình trùng phương, ta có SO=a
5
.
Vậy V
SABCD
=
3
2
1 . 15
. . 3. 5
3 3
a
a a =
.
Bài 7.
Cho hình chóp SABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30
o
, M là trung
ñiểm của SC. Tính thể tích khối chóp SABM.
Giải:

o
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 30
( ) ( )
SAB SAC SA
SAB ABC SA ABC SBA
SAC ABC
∩ =



⊥ → ⊥ → =


⊥


- Xét
SAB
∆
ta có: SA = SB.tan30
o
= 3a.
1
3
= a
3
.
Gọi H là trung ñiểm của AC
Khi ñó: MH //SA
→
MH
⊥
(ABC)
-
3
1 1
. .
3 3

1 1 1 1
. . .
3 3 2 6
1 1 1
. . . . .3a.4a. 3 . 3
6 2 12
SABM SABC MABC ABC ABC
ABC ABC ABC
V V V S SA S MH
S SA S SA S SA
BA BC SA a a
∆ ∆
∆ ∆ ∆
= − = −
= − =
= = =

Nguồn :
Hocmai.vn