- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm toán
Bài tập quy hoạch tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (570.71 KB, 50 trang )
BÀI TẬP
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
LỜI NÓI ĐẦU
Tài liệu này được tác giả tự biên soạn với mục đích ôn tập thi cuối kỳ môn Quy Hoạch
Tuyến Tính cho riêng cá nhân và lớp VB2-Toán K1, Đại Học Sư Phạm TPHCM. Do thời gian
gấp rút nên các chương từ thuật toán đơn hình về sau chỉ kịp giải bài tập, phần lý thuyết anh chị
tự tìm hiểu thêm trong các tài liệu được Giảng Viên cung cấp.
Do chỉ soạn trong thời gian ôn thi nên còn sơ sài, tác giả mong nhận được những chia sẻ,
góp ý của anh chị để kỳ thi được kết quả tốt hơn.
Chi tiết xin liên hệ qua địa chỉ mail:
Chân thành cảm ơn
Tác giả
TRẦN HỮU KHANH
MỤC LỤC
Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH LỒI 1
Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH và CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ 9
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 26
Chương 4: BÀI TOÁN ĐỒI NGẪU 38
Chương 5: BÀI TOÁN VẬN TẢI 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO 47
1
Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH LỒI
1. Đường thẳng
Giả sử
1 2
,
n
x x
. Đường thẳng qua
1
x
và
2
x
được định nghĩa là tập
1 2
1 ,x x x x
hay
1 2
1 2 1 2 1 2
, , , 1
x x p x p x p p p p
Nếu viết lại định nghĩa đầu tiên theo dạng
1 2 1
,x x x x x
Khi
2
x
phương trình trên có dạng
1 2 1
x x x x
, đây là phương trình tham số
của đường thẳng qua
1
x
và
2
x
trong hình học giải tích.
2. Đoạn thẳng
Giả sử
1 2
,
n
x x
. Ta định nghĩa đoạn thẳng nối hai điểm
1
x
và
2
x
như sau:
(i) Đoạn thẳng đóng
1 2 1 2
; 1 ,0 1
x x x x x x
(ii) Đoạn thẳng mở
1 2 1 2
; 1 ,0 1
x x x x x x
(iii) Nửa đoạn thẳng đóng – mở
1 2 1 2
; 1 ,0 1
x x x x x x
(iv) Nửa đoạn thẳng mở – đóng
1 2 1 2
; 1 ,0 1
x x x x x x
Hiển nhiên
1 2
;x x
là một đoạn của đường thẳng qua
1
x
và
2
x
nằm giữa và bao gồm hai
điểm
1
x
và
2
x
.
1 2
;x x
không bao gồm
1
x
và
2
x
,
1 2
;x x
không bao gồm
2
x
và
1 2
;x x
không bao gồm
1
x
Hình 2. Đường thẳng và đoạn thẳng qua
1
x
và
2
x
3. Tập lồi
Một tập
n
là tập lồi nếu
chứa hai điểm nào đó thì
chứa cả đoạn thẳng nối hai
điểm ấy. Ta nói một tập
n
là lồi nếu:
1 2
,
,0 1
x x
1 2
1 x x
2
a)
b)
Hình 3. a) Tập lồi, b) Tập không lồi
4. Nửa không gian mở, đóng
Giả sử
n
c
,
0
c
và
. Tập
,
n
x x cx
(hoặc
,
n
x x cx
) được
gọi là nửa không gian mở trong
n
, và tập
,
n
x x cx
(hoặc
,
n
x x cx
) được
gọi là nửa không gian đóng trong
n
5. Siêu phẳng
Giả sử
n
c
,
0
c
và
. Tập
,
n
x x cx
được gọi là siêu phẳng trong
n
.
6. Không gian con
Một tập
n
là không gian con nếu
1 2
1 2
,
,
x x
p p
1 2
1 2
p x p x
7. Tổ hợp lồi
Một điểm
n
b
gọi là tổ hợp lồi của hệ
1
, ,
m n
a a
nếu tồn tại
m
số thực
1
, ,
m
p p
sao cho
1 2
1 2
m
m
b p a p a p a
với
1
, , 0
m
p p
và
1
1
m
p p
Hoặc, nếu chúng ta định nghĩa một ma trận
A
cỡ
m n
có hàng thứ
i
là
i
i
A a
và nếu
ta lấy
1
, ,
n
m
p p p
và
e
là một
m
-vectơ thì ta có
b
là một tổ hợp lồi của hàng thứ
i
của
A
nếu
' , 0, 1
b A p p ep
có một nghiệm
m
p
Chú ý rằng nếu
b
là một tổ hợp lồi của hai điểm
1 2
,
n
a a
, điều này tương đương với
1 2
,b a a
8. Bao lồi
Giả sử
n
. Bao lồi của
ký hiệu là
là giao của tất cả các tập lồi trong
n
chứa
. Hiển nhiên, nếu
là lồi thì
3
Hình 8. Tập
và bao lồi của nó
9. Đỉnh (điểm cực biên)
Giả sử
là tập lồi trong
n
. Điểm
x
được gọi là đỉnh (hay điểm cực biên) của
nếu
x
không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai điểm phân biệt
1 2
,x x
.
Một tập lồi
n
có thể không có đỉnh (ví dụ như mặt phẳng
,
n
x x cx
và
quả cầu mở
B x
không có đỉnh), số đỉnh có thể là hữu hạn (ví dụ như tập
, 0, 1
n
x x x ex
, với
e
trong một
n
-vectơ, có
n
đỉnh
i
e
,
1,2, ,i n
, với
i
e
là một
n
-
vectơ với
1
i
i
e
và
0
i
j
e
,
i j
), hay số đỉnh có thể là vô hạn (ví dụ như quả cầu đóng
n
B x
là vô hạn số đỉnh được cho bởi
,
n
x x x x
10. Đa diện và khối đa diện
Một tập trong
n
mà giao của hữu hạn nửa khoảng đóng trong
n
được gọi là đa diện.
Nếu một đa diện là giới nội (nghĩa là, mỗi
x
trong đa diện
x
cho vài giá trị không đổi
) nó được gọi là khối đa diện.
BÀI TẬP
:
Bài 1.1: Chứng minh tập hợp rỗng
là tập lồi?
Ta cần chứng minh:
1 2
,
,0 1
x x
1 2
1 x x
Xét hai mệnh đề:
1 2
,x x
và
1 2
1 x x
Đây là các mệnh đề sai
Do đó mệnh đề:
1 2
,
,0 1
x x
1 2
1 x x
là mệnh đề đúng.
4
Vậy:
là tập lồi.
Bài 1.2: Chứng minh nửa không gian mở, đóng đều là các tập lồi?
Chứng minh nửa không gian mở là tập lồi
Đặt
,
n
x x cx
là nửa không gian mở, ta cần chứng minh:
1 2
,
,0 1
x x
1 2
1 x x
Vì
1 2
,x x
nên có
1
cx
và
2
cx
Do đó:
1 2 1 1 2 1 2 1
1
c x x cx c x c x cx cx cx
Mặt khác:
2 1
0
cx cx
nên
2 1
0
cx cx
(vì
0 1
)
Do đó:
1 2 1 2 1
1 0c x x cx cx cx
Suy ra:
1 2
1 x x
Vậy: Nửa không gian mở
,
n
x x cx
là tập lồi.
(Chứng minh tương tự cho trường hợp nửa không gian đóng)
Bài 1.3: Chứng minh mỗi siêu phẳng trong
n
là một tập lồi?
Đặt
,
n
x x cx
là siêu phẳng trong
n
, ta cần chứng minh:
1 2
,
,0 1
x x
1 2
1 x x
Vì
1 2
,x x
nên
1
cx
và
2
cx
Do đó:
1 2 1 1 2 1 2 1
1
c x x cx c x c x cx cx cx
Mặt khác:
2 1
0
cx cx
nên
2 1
0
cx cx
Do đó:
1 2 1 2 1
1 0c x x cx cx cx
Suy ra:
1 2
1 x x
Vậy: Siêu phẳng
,
n
x x cx
là tập lồi.
Bài 1.4: Chứng minh rằng quả cầu đóng và quả cầu mở là các tập lồi?
Chứng minh quả cầu đóng là tập lồi:
Xét quả cầu đóng
,
n
B x x x x x
quanh điểm
n
x
.
Ta cần chứng minh:
1 2
,
,0 1
x x B x
1 2
1
x x B x
5
Ta có:
1 2 1 2
1 1 1
x x x x x x x
1 2
1
x x x x
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
1 2 1 2
1 1
x x x x x x x x
Mà:
1 1 1
1 1 1
x x x x x x
(vì
0 1
)
và:
2 2 2
x x x x x x
(vì
0 1
)
Nên:
1 2 1 2
1 1
x x x x x x x
Vì :
1 2
,
x x B x
nên có:
1
x x
và
2
x x
Do đó:
1 2
1 1x x x
Hay:
1 2
1 x x x
Suy ra:
1 2
1
x x B x
Vậy: Quả cầu đóng là tập lồi
(Chứng minh tương tự cho trường hợp quả cầu mở)
Bài 1.5: Chứng minh rằng: Nếu
i
i I
là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) tập lồi trong
n
, thì
giao của chúng
i
i I
là một tập lồi?
Lấy
1 2
,
i
i I
x x
và
0 1
. Khi đó mỗi
i I
,
1 2
,
i
x x
Với mọi
0 1
ta có
1 2
1
i
x x
(vì
i
là tập lồi)
Suy ra
1 2
1
i
i I
x x
Vậy:
i
i I
là một tập lồi.
Bài 1.6: Chứng minh rằng tổng của hai tập lồi là tập lồi?
Giả sử
và
là hai tập lồi trong
n
. Ta chứng minh tổng của
và
, kí hiệu là
, là một tập lồi.
Lấy
1 2
,z z
, với
1 1 1 2 2 2
,
z x y z x y
, trong đó
1 2
,x x
và
1 2
,y y
Với mọi
0 1
ta có:
1 2 1 1 2 2
1 1
z z x y x y
1 2 1 2
1 1
x x y y
6
Vì
và
là các tập lồi nên có:
1 2
1 x x
và
1 2
1 y y
Do đó:
1 2 1 2
1 1x x y y
Hay là:
1 2
1 z z
Vậy:
là một tập lồi.
Bài 1.7: Chứng minh rằng hiệu của hai tập lồi là tập lồi?
Chứng minh tương tự bài 1.6
Bài 1.8: Chứng minh rằng tích của một số thực với một tập lồi là tập lồi?
Giả sử
là tập lồi trong
n
và
. Ta chứng minh tích của
và
, kí hiệu
, là
tập lồi
Lấy
1 2
,z z
, với
1 1 2 2
,
z x z x
, trong đó
1 2
,x x
Với mọi
0 1
ta có:
1 2 1 2
1 1
z z x x
1 2
1
x x
Suy ra:
1 2
1 z z
Vậy:
là một tập lồi.
Bài 1.9: Chứng minh rằng đường thẳng trong
n
là tập lồi?
Đường thẳng
qua hai điểm
1
x
và
2
x
được định nghĩa là tập
1 2 1
,x x x x x
Lấy hai điểm bất kỳ thuộc
là
1 2 1
1
x x x
và
1 2 1
2
x x x
Với mọi
0 1
ta có:
1 2 1 1 2 1
1 2
1
x x x x x x
1 1 2 1 2 1
1 2
1 1
x x x x x x
1 2 1
1 2
1x x x
Vậy: Đường thẳng trong
n
là tập lồi.
Bài 1.10: Chứng minh rằng đoạn thẳng qua hai điểm trong
n
là tập lồi?
Thay
0 1
trong bài 1.9 ta được kết quả
Bài 1.11: Cho
1 2
; ; ;
m
x x x
là tổ hợp lồi của các vectơ
1 2
; ; ;
m
x x x
. Chứng minh
là tập
lồi?
Ta cần chứng minh:
7
1
1
1
, ,
, , 0
1
m
m
m
x x
p p
p p
1
1
m
m
p x p x
(1)
Điều kiện đủ: hiển nhiên. Chẳng hạn lấy
2
m
thì
lồi theo bài 1.10.
Điều kiện cần: chứng minh theo quy nạp.
Kiểm tra
1
m
ta có (1) đúng (hiển nhiên)
Giả sử (1) đúng với
m k
, ta cần chứng minh (1) đúng với
1m k
Lấy
1 1
1 1
1 1
, ,
, , 0
1
k
k
k
x x
p p
p p
- Nếu
1
0
k
p
thì
1 1 1
1 1 1
k k k
k k k
p x p x p x p x p x
. Do đó (1) đúng với mọi
m k
- Nếu
1
1
k
p
thì
1 2
0
k
p p p
.
Mà
0
i
p
nên
1 1
0
k
p p p
1 2
0
k
p p p
Do đó:
1 1 1 1
1 1 1
k k k k
k k k
p x p x p x p x x
- Nếu
1
0 1
k
p
thì chúng ta có thể viết:
1
1
1
1
1
1 1
1 1
k
k
k k
i k
k k
i i k
i i
i i
i i
pp
x x
p x p p x
p p
Vậy: Tổ hợp lồi là tập lồi.
Bài 1.12: Chứng minh rằng đa diện lồi là tập lồi?
Giả sử đa diện lồi
sinh bởi các điểm
0,
i
x i m
là:
1
m
i
i
i
x p x
, trong đó
1
1
m
i
i
p
;
0
i
p
,
0,i m
.
Lấy
1
1
m
i
i
i
x x
,
2
1
m
i
i
i
x x
thuộc
(
1 1
1
m m
i i
i i
;
0
i
,
0
i
,
0,i m
)
Với mọi
0 1
ta có:
1 2
1 1
1 1
m m
i i
i i
i i
x x x x
1 1 1
1 1
m m m
i i i i
i i i i
i i i
x x x x
1
1
m
i
i i
i
x
8
Ta có:
1 1 1 1 1
1 1
m m m m m
i i i i i i i i
i i i i i
Và:
1 0
i i
(vì
0
i
,
0
i
,
0,i m
và
0 1
)
Do đó:
1 2
1
1 1
m
i
i i
i
x x x
Vậy:
là một tập lồi.
Bài 1.13: Cho các tập lồi
1
A
,
2
A
,…,
m
A
và các số thực
1
,
2
,…,
m
. Chứng minh rằng: tập
1 1 2 2
m m
A A A
cũng là tập lồi?
- Trước hết ta chứng minh các
1 1
A
là tập lồi
Lấy
1 2
1 1
,
z z A
, với
1 1 2 2
1 1
,
z x z x
, trong đó
1 2
1
,
x x A
Với mọi
0 1
ta có:
1 2 1 2
1 1
1 1
z z x x
1 2
1
1
x x
Vì
1
A
là tập lồi nên có:
1 2
1
1
x x A
Suy ra:
1 2
1 1 1
1
x x A
Hay là:
1 2
1 1
1
z z A
Do đó:
1 1
A
là tập lồi.
Tương tự ta cũng có
2 2
A
, …,
m m
A
cũng là các tập lồi.
- Tiếp theo ta chứng minh
1 1 2 2
A A
là tập lồi
Lấy
1 2
1 1 2 2
,
u u A A
, với
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
,
u x y u x y
, trong đó
1 2
1 1 1 1
,
x x A
và
1 2
2 2 2 2
,
y y A
Với mọi
0 1
ta có:
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 1
u u x y x y
1 2 1 2
1 2
1 1
x x y y
Vì
1 1
A
và
2 2
A
lồi nên có:
1 2
1 1 1
1
x x A
và
1 2
2 2 1
1
y y A
Do đó:
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 1
x x y y A A
Hay là:
1 2
1 1 2 2
1
u u A A
Do đó:
1 1 2 2
A A
là tập lồi.
Tương tự ta sẽ chứng minh được
1 1 2 2 3 3
A A A
là tập lồi
Từ đó suy ra
1 1 2 2
m m
A A A
là tập lồi
Vậy:
1 1 2 2
m m
A A A
là tập lồi.
9
Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
và CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓ
1. Các ký hiệu thường dùng trong quy hoạch tuyến tính (QHTT)
Giả sử ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
ij
m m mn
a a a
a a a
A a
a a a
là ma trận cấp
m n
. Ta ký hiệu:
1 2
; ; ;
i i i in
A a a a
là ma trận dòng (hay vectơ dòng) thứ
i
của
A
1
2
j
j
j
mj
a
a
A
a
là ma trận cột (hay vectơ cột) thứ
j
của
A
T
A
là ma trận chuyển vị của
A
1 2
j j jm
B A A A
là ma trận vuông được thành lập từ
m
cột của
A
1
B
là ma trận nghịch đảo của
B
1 2
; ; ;
n
n
u x x x
1 2
; ; ;
n
n
v y y y
1 2
; ; ;
n
n
c c c c
1 2
; ; ;
n
n
b b b b
Tích vô hướng của hai vectơ
1 2
; ; ;
n
n
c c c c
và
1 2
; ; ;
n
n
u x x x
được định
nghĩa và ký hiệu như sau:
1 1 2 2
,
n n
c u c x c x c x
2. Bài toán QHTT tổng quát
Dạng:
, min max
f x c u
i i
Au b
(1)
i i
Au b
(2)
i i
Au b
(3)
0
j
x
(4)
0
j
x
(5)
j
x
(6)
10
Trong đó:
f x
được gọi là hàm mục tiêu;
Mỗi ràng buộc loại (1), (2) và (3) được gọi là ràng buộc cưỡng bức;
Mỗi ràng buộc loại (4), (5) và (6) được gọi là ràng buộc tự nhiên;
Mỗi vectơ thỏa mãn mọi ràng buộc gọi là một phương án;
3. Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc và chính tắc
Dạng chuẩn tắc Dạng chính tắc
, min
f x c u
Au b
0
u
, min
f x c u
Au b
0
u
Bằng phép biến đổi đơn giản dưới đây có thể đưa bài toán quy hoạch tuyến tính bất kỳ về
hoặc là dạng chuẩn tắc, hoặc là dạng chính tắc:
Mỗi ràng buộc
i i
Au b
có thể đưa về
1
i n i
Au x b
với
1
0
n
x
Mỗi ràng buộc
i i
Au b
có thể đưa về
1
i n i
Au x b
với
1
0
n
x
Mỗi ràng buộc
i i
Au b
có thể viết thành hệ các ràng buộc
i i
Au b
và
i i
Au b
Mỗi ẩn
j
x
không có ràng buộc về dấu được viết thành hiệu của hai ẩn mới không âm:
0, 0
j j j j j
x x x x x
Mỗi ẩn
0
j
x
ta đặt
0
j j j
x t t
4. Bài toán QHTT đối ngẫu
Các bài toán quy hoạch tuyến tính
P
và
Q
sau đây được gọi là đối ngẫu của nhau
Bài toán gốc
P
Bài toán đối ngẫu
Q
, min
f x c u
i i
Au b
i i
Au b
i i
Au b
0
j
x
0
j
x
j
x
, max
T T
f y b v
0
j
y
0
j
y
j
y
j
j
vA c
j
j
vA c
j
j
vA c
Nếu bài toán
P
(bài toán gốc) có các dạng đặc biệt thì bài toán đối ngẫu
Q
của nó, theo
định nghĩa, được xác định như sau:
11
Bài toán gốc
P
Bài toán đối ngẫu
Q
, min
f x c u
Au b
0
u
, max
T T
f y b v
T T T
A v c
, max
f x c u
Au b
0
u
, min
T T
f y b v
T T T
A v c
Đối với bài toán QHTT bất kỳ, bằng một số phép biến đổi đã biết, có thể đưa hệ ràng
buộc về dạng:
, 0
Au b u
Khi đó ta nói hệ ràng buộc đã được chính tắc hóa.
5. Điểm cực biên
Giả sử
là tập lồi trong
n
. Điểm
x
được gọi là điểm cực biên của
nếu
x
không
thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai điểm phân biệt
1 2
,x x
.
Định lí: (Tìm điểm cực biên)
:
n
M u Au b
trong đó
A
là ma trận cấp
m n
là tập lồi đa diện.
v M
là điểm
cực biên của
M
khi và chỉ khi tồn tại
1 2
; ; ; 1;2; ;
n
i i i m
sao cho
1 2
; ; ;
n
i i i
a a a
là độc lập
tuyến tính và
v
là nghiệm của hệ phương trình
,
1;2; ;
t t
i i
a u b
t n
, trong đó
t
i
a
là hàng thứ
t
i
của ma
trận
A
.
6. Giải bài toán QHTT bằng thuật toán điểm cực biên
Xét bài toán QHTT dạng tổng quát:
, min
:
,
n
f u c u
TT
Au b u
Trong đó
A
là ma trận
m n
,
n
b
,
n
c
Gọi:
M
là tập các phương án chấp nhận được của
TT
ext M
là tập các điểm cực biên của
M
*
M
là tập các phương án tối ưu của
TT
Định lí:
*
M
khi và chỉ khi
M
và hàm mục tiêu
f u
bị chặn dưới trên
M
(nếu
max
f u
thì thay điều kiện bị chặn dưới của
f u
bởi điều kiện bị chặn trên)
12
Thuật toán điểm cực biên giải bài toán QHTT
- Bước 1: Kiểm tra
*
M
- Bước 2: Tìm
ext M
- Bước 3: Xác định
min ,
f u u ext M
(hoặc
max ,
f u u ext M
)
BÀI TẬP
:
Bài 2.1: Trong các bài toán sau, bài toán nào là QHTT
a)
2 3 min
2 5
1
x y
x y
y
b)
2 2
max
2 10
3
x y
x y
xy
c)
5 max
2 2
x y
x y
d)
5 max
2 2
x y
x y
a) Xét ánh xạ:
2
:
; 2 3
f
x y f x y
Lấy:
1 1
;u x y
và
2 2
;v x y
Ta có:
1 1 1 1
; 2 3f u f x y x y
2 2 2 2
; 2 3f v f x y x y
1 2 1 2 1 1 2 2
; 2 3 3f u v f x x y y x y x y
f u f v
Lại có:
1 1 1 1 1 1
; 2 3 2 3
f u f x y x y x y f u
Do đó:
f
là ánh xạ tuyến tính
Chứng minh tương tự ta cũng được
; 2 5g x y x y
và
; 1h x y y
cũng là các
ánh xạ tuyến tính
Hơn nữa tập
; : 2 5 ; : 1
G x y x y x y y
là giao của hai tập lồi nên là tập lồi
(xem chương 1)
Vậy: a) là bài toán QHTT
b) Xét ánh xạ:
2
2 2
:
;
f
x y f x y
Lấy:
1 1
;u x y
và
2 2
;v x y
13
Ta có:
2 2
1 1 1 1
;
f u f x y x y
2 2
2 2 2 2
;
f v f x y x y
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
;
2
2
f u v f x x y y x x y y
x y x y x x y y
f u f v x x y y
f u f v
Lại có:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
;
f u f x y x y x y f u f u
Do đó:
f
không là ánh xạ tuyến tính
Vậy: b) không là bài toán QHTT
c) Ta có:
2 2
x y
2 2
2 2
x y
x y
Chứng minh tương tự câu a) ta được
; 5g x y x y
,
; 2 2
g x y x y
và
; 2 2
h x y x y
là các ánh xạ tuyến tính
Hơn nữa tập
; : 2 2 ; : 2 2
G x y x y x y x y
là giao của hai tập lồi nên là
tập lồi (xem chương 1)
Vậy: c) là bài toán QHTT
d) Ta có:
2 2
x y
2 2
2 2
x y
x y
Chứng minh tương tự câu a) ta được
; 5g x y x y
,
; 2 2
g x y x y
và
; 2 2
h x y x y
là các ánh xạ tuyến tính
Xét tập
; : 2 2 ; : 2 2
G x y x y x y x y
Lấy
0;2
u G
và
0; 2
v G
. Chọn
1
2
. Khi đó:
1 1
1 0;2 0; 2 0;0
2 2
u v G
Nên
G
không là tập lồi
Vậy: d) không là bài toán QHTT
Bài 2.2: Đưa bài toán sau về dạng chuẩn tắc và chính tắc
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
2 min
3 4 5
7
4
0, 0
f x x x x
x x x
TT x x x
x x x
x x
14
Đưa bài toán
TT
về dạng chuẩn tắc
TcT
:
- Đổi dấu hàm mục tiêu để đưa về dạng min
1 2 3
2 min
f x x x x
- Đổi dấu ràng buộc thứ hai để đổi chiều bất đẳng thức
1 2 3
7
x x x
- Thay ràng buộc thứ ba bởi hệ hai bất đẳng thức
1 2 3
1 2 3
16
16
x x x
x x x
- Ẩn
3
x
không có ràng buộc về dấu được viết thành hiệu của hai ẩn mới không âm
3 3 3 3 3
0, 0
x x x x x
Đặt
1 1
x y
,
2 2
x y
,
3 3
x y
,
3 4
x y
ta được bài toán dạng chuẩn tắc là:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 min
3 4 4 5
7
4
4
0, 1,4
i
f y y y y y
y y y y
y y y y
TcT
y y y y
y y y y
y i
Đưa bài toán chuẩn tắc
TcT
về dạng chính tắc
ToT
:
- Đưa vào ràng buộc thứ nhất ẩn
5
0
y
ta được:
1 2 3 4 5
3 4 4 5
y y y y y
- Đưa vào ràng buộc thứ hai ẩn
6
0
y
ta được:
1 2 3 4 6
7
y y y y y
Viết lại:
1 2 3 4 6
7
y y y y y
- Thay ràng buộc thứ ba và thứ tư bởi đẳng thức
1 2 3 4
4
y y y y
Ta được bài toán dạng chính tắc là:
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 6
1 2 3 4
2 min
3 4 4 y 5
7
4
0, 1,6
i
f y y y y y
y y y y
ToT y y y y y
y y y y
y i
15
Bài 2.3: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 3
2 5 min
3 2 4
5 3 7
2 3 2 8
0, 0
f x x x x x
x x x x
TT x x x
x x x x
x x
Ta có:
1 2 3 4
1 2 3 4 1
1 2 3 2
1 2 3 4 3
1
2
3
4
2 5 min
3 2 4 1 0
5 3 7 2 0
2 3 2 8 3
0 4
5
0 6
7
f x x x x x
x x x x y
x x x y
x x x x y
TT
x
x
x
x
Nên bài toán đối ngẫu là:
1 2 3
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1 3 4
1 2
4 7 8 max
3 5 2 2 4 0
2 3 1 5
3 3 6
2 5 7
0, 0
f y y y y
y y y x
y y y x
TT
y y y x
y y x
y y
Bài 2.4: Xác định tập các điểm cực biên của các tập lồi đa diện được xác định bởi các hệ sau:
a)
1 2
1 2
1 2
1 2
3
2 12
3 15
0, 0
x x
x x
x x
x x
b)
1 2
1 2
1
2 3 6
4 5 20
0
x x
x x
x
c)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
2 15
0, 0, 0
x x x
x x x
x x x
d)
1 2 3
1 2 3
1
3
2 15
0
x x x
x x x
x
:
n
M u Au b
trong đó
A
là ma trận cấp
m n
là tập lồi đa diện.
v M
là điểm
cực biên của
M
khi và chỉ khi tồn tại
1 2
; ; ; 1;2; ;
n
i i i m
sao cho
1 2
; ; ;
n
i i i
a a a
là độc lập
tuyến tính và
v
là nghiệm của hệ phương trình
,
1;2; ;
t t
i i
a u b
t n
, trong đó
t
i
a
là hàng thứ
t
i
của ma
trận
A
.
16
a) Giải bài toán bằng hình học
Ta có:
1 2
1 2
2
1 2 1 2
1
2
3
2 12
; : 3 15
0
0
x x
x x
M x x x x
x
x
Tập
M
là đa diện lồi
OABCD
với 5 đỉnh
0;0
O
,
0;3
A
,
2;5
B
,
6;3
C
và
5;0
D
(mỗi đường thẳng với phần gạch
chéo chỉ rõ nửa mặt phẳng bị bỏ đi).
3
5
2
x
2
6
1
x
Vậy: Các điểm cực biên cần tìm là:
0;0
,
0;3
,
2;5
,
6;3
và
5;0
b) Ta có:
1 2
2
1 2 1 2
1
2 3 6
; : 4 5 20
0
x x
M x x x x
x
Ma trận
2 3
4 5
1 0
A
và ma trận
6
20
0
b
Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 2 vectơ trong hệ gồm 3 vectơ hàng của
A
, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ
b
qua chúng ta được:
-
1 2
1 2
2 3 6
1 :
4 5 20
x x
x x
. Giải hệ ta được:
1
45 8
;
48 11
v
-
1 2
1
2 3 6
2 :
0
x x
x
. Giải hệ ta được:
2
0; 2
v
-
1 2
1
4 5 20
3 :
0
x x
x
. Giải hệ ta được:
3
0;4
v
Kiểm tra ta có
1 2 3
, ,
v v v M
Vậy: Các điểm cực biên cần tìm là
45 8
;
48 11
,
0; 2
và
0;4
c) Ta có:
1 2 3
1 2 3
3
1 2 3 1
2
3
3
2 15
; ; : 0
0
0
x x x
x x x
M x x x x
x
x
17
Ma trận
1 1 1
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
và ma trận
3
15
0
0
0
b
Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 3 vectơ trong hệ gồm 5 vectơ hàng của
A
, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ
b
qua chúng ta được:
-
1 2 3
1 2 3
1
3
1 : 2 15
0
x x x
x x x
x
. Giải hệ ta được:
1
0;12; 9
v
-
1 2 3
1 2 3
2
3
2 : 2 15
0
x x x
x x x
x
. Giải hệ ta được:
2
6;0;9
v
-
1 2 3
1 2 3
3
3
3 : 2 15
0
x x x
x x x
x
. Giải hệ ta được:
3
3;6;0
v
-
1 2 3
1
2
3
4 : 0
0
x x x
x
x
. Giải hệ ta được:
4
0;0;3
v
-
1 2 3
1
3
3
5 : 0
0
x x x
x
x
. Giải hệ ta được:
5
0;3;0
v
-
1 2 3
2
3
3
6 : 0
0
x x x
x
x
. Giải hệ ta được:
6
3;0;0
v
-
1 2 3
1
2
2 15
7 : 0
0
x x x
x
x
. Giải hệ ta được:
7
0;0;15
v
-
1 2 3
1
3
2 15
8 : 0
0
x x x
x
x
. Giải hệ ta được:
8
15
0; ;0
2
v
-
1 2 3
2
3
2 15
9 : 0
0
x x x
x
x
. Giải hệ ta được:
9
15;0;0
v
18
-
1
2
3
0
10 : 0
0
x
x
x
. Giải hệ ta được:
10
0;0;0
v
Kiểm tra ta có
2 3 4 5 7 8 9 10
, , , , , , ,
v v v v v v v v M
Vậy: Các điểm cực biên cần tìm là
6;0;9
,
3;6;0
,
0;0;3
,
0;3;0
,
0;0;15
,
15
0; ;0
2
,
15;0;0
và
0;0;0
d) Ta có:
1 2 3
3
1 2 3 1 2 3
1
3
; ; : 2 15
0
x x x
M x x x x x x
x
Ma trận
1 1 1
1 1 1
1 0 0
A
và ma trận
3
15
0
b
Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 3 vectơ trong hệ gồm 3 vectơ hàng của
A
, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ
b
qua chúng ta được:
-
1 2 3
1 2 3
1
3
1 : 2 15
0
x x x
x x x
x
. Giải hệ ta được:
1
0;12; 9
v
Kiểm tra ta có
1
v M
Vậy: Điểm cực biên cần tìm là
0;12; 9
Bài 2.5: Cho bài toán QHTT
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2 max
2 2 1 1
2 1 2
4 3 3
0 4
f x x x
x x
TT x x
x x
x
Trong các phương án sau
1
1;0
x
,
2
2 1
;
3 6
x
,
3
7; 1
x
và
4
7 1
;
9 9
x
,
phương án nào là phương án cực biên, phương án nào là phương án tối ưu, phương án nào là
phương án cực biên tối ưu?
Ta có:
1 2 4
1
f x f x f x
và
3
9
f x
Suy ra:
3 1 2 4
f x f x f x f x
Do đó
3
x
không phải là phương án tối ưu (vì
max
f x
)
19
Từ ràng buộc
2
cho ta
1 2
1, ,f x x x
.
Suy ra:
1
x
,
2
x
và
4
x
là các phương án tối ưu. Hơn nữa:
1
x
thỏa dấu = với hai ràng buộc
2
và
4
, chúng độc lập tuyến tính. Do đó
1
x
là
phương án cực biên tối ưu.
2
x
thỏa dấu = với hai ràng buộc
1
và
2
, chúng độc lập tuyến tính. Do đó
2
x
là
phương án cực biên tối ưu.
4
x
chỉ thỏa dấu = với một ràng buộc
2
, không đủ hai ràng buộc độc lập tuyến tính. Do
đó
4
x
là phương án tối ưu không cực biên.
3
x
chỉ thỏa dấu = với một ràng buộc
3
, không đủ hai ràng buộc độc lập tuyến tính. Do
đó
3
x
không phải là phương án cực biên.
Bài 2.6: Giải bài toán QHTT sau bằng thuật toán điểm cực biên
1 2
1 2
1 2
1
2 min
2 3 6 1
4 5 20 2
0 3
f x x x
x x
TT
x x
x
Chứng minh
*
M
- Chứng minh
M
Dễ thấy
1;1
là một phương án của bài toán nên
M
.
- Chứng minh hàm mục tiêu bị chặn dưới
Từ ràng buộc (1) ta được:
2 1
2
2 2
3
x x
(vì
1
0
x )
Từ ràng buộc (2) ta được:
1 2
5
2 10
2
x x
Suy ra:
1 2 2
7
2 10
2
x x x
Tức là:
1 2 2
7 7
2 10 10 2 17
2 2
f x x x x
(vì
2
2
x )
Do đó hàm mục tiêu
1 2
2
f x x x
bị chặn dưới
- Suy ra:
*
M
(vì
M
và
f x
bị chặn dưới).
Tìm
ext
M
Ta có:
1 2
2
1 2 1 2
1
2 3 6
; : 4 5 20
0
x x
M x x x x
x
20
Ma trận
2 3
4 5
1 0
A
và ma trận
6
20
0
b
Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 2 vectơ trong hệ gồm 3 vectơ hàng của
A
, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ
b
qua chúng ta được:
-
1 2
1 2
2 3 6
1 :
4 5 20
x x
x x
. Giải hệ ta được:
1
45 8
;
11 11
v
-
1 2
1
2 3 6
2 :
0
x x
x
. Giải hệ ta được:
2
0; 2
v
-
1 2
1
4 5 20
3 :
0
x x
x
. Giải hệ ta được:
3
0;4
v
Kiểm tra ta được
1 2 3
, ,
v v v M
Suy ra: Điểm cực biên cần tìm là
45 8
;
48 11
,
0; 2
và
0;4
Tìm
min
f v
1
45 8 45 8 82
; 2. 1.
11 11 11 11 11
f v f
2
0; 2 2.0 1. 2 2
f v f
3
0;4 2.0 1.4 4
f v f
Ta có:
1 2 3
f v f v f v
Nên phương án tối ưu là
*
45 8
;
48 11
x
và
*
82
11
f x
Vậy:
*
82
11
f x
ứng với
*
45 8
;
11 11
x
Bài 2.7: Giải bài toán QHTT sau bằng thuật toán điểm cực biên
1 2
1 2
2
1 2
1 2
2 max
2 2 1 1
0 2
2 1 3
4 3 4
f x x x
x x
TT x
x x
x x
Chứng minh
*
M
- Chứng minh
M
Dễ thấy
1;0
là một phương án của bài toán nên
M
.
21
- Chứng minh hàm mục tiêu bị chặn trên
Từ ràng buộc (3) ta được:
1 2 1 2
2 1 ,
f x x x x x
Do đó hàm mục tiêu
1 2
2
f x x x
bị chặn trên
- Suy ra:
*
M
(vì
M
và
f x
bị chặn trên).
Tìm
ext
M
Ta có:
1 2
2
2
1 2
1 2
1 2
2 2 1
0
; :
2 1
4 3
x x
x
M x x
x x
x x
Ma trận
2 2
0 1
1 2
1 4
A và ma trận
1
0
1
3
b
Thiết lập các hệ con độc lập tuyến tính gồm đúng 2 vectơ trong hệ gồm 4 vectơ hàng của
A
, sau đó biểu thị tuyến tính của vectơ
b
qua chúng ta được:
-
1 2
2
2 2 1
1 :
0
x x
x
. Giải hệ ta được:
1
1
;0
2
v
-
1 2
1 2
2 2 1
2 :
2 1
x x
x x
. Giải hệ ta được:
2
2 1
;
3 6
v
-
1 2
1 2
2 2 1
3 :
4 3
x x
x x
. Giải hệ ta được:
3
1 5
;
3 6
v
-
2
1 2
0
4 :
2 1
x
x x
. Giải hệ ta được:
4
1;0
v
-
2
1 2
0
5 :
4 3
x
x x
. Giải hệ ta được:
5
3;0
v
-
1 2
1 2
2 1
6 :
4 3
x x
x x
. Giải hệ ta được:
5
5 1
;
3 3
v
Kiểm tra ta có
2 4 5
, ,
v v v M
Suy ra: Điểm cực biên cần tìm là
2 1
;
3 6
,
1;0
và
3;0
Tìm
max
f v
2
2 1 2 1
; 1. 2. 1
3 6 3 6
f v f
22
4
1;0 1. 1 2.0 1
f v f
5
3;0 1. 3 2.0 3
f v f
Ta có:
5 2 4
f v f v f v
Nên phương án tối ưu là
*
2 1
;
3 6
x
hoặc
*
1;0
x
và
*
1
f x
Vậy:
*
1
f x
ứng với
*
2 1
;
3 6
x
hoặc
*
1;0
x
Bài 2.8: Giải bài toán sau bằng thuật toán điểm cực biên:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2
2
4 5 2 max
2 2
1
5
2 2
0
f x x x x
x x x
x x x
TT
x x
x x
x
Chứng minh
*
M
- Chứng minh
M
Dễ thấy
1;1;1
là một phương án của bài toán nên
M
.
- Chứng minh hàm mục tiêu bị chặn trên
Lấy ràng buộc (1) + (2) + (4) ta được:
1 2 3
4 5
x x x
(6)
Nhân ràng buộc (3) với 3 ta được:
2 3
3 3 15
x x
(7)
Lấy (6) + (7) ta được:
1 2 3
4 2 2 20
x x x
(8)
Cộng hai vế của (8) với
2
7x
ta được:
1 2 3 2
4 5 2 20 7x x x x
Vì
2
0
x
nên
1 2 3
4 5 2 20
x x x
Do đó hàm mục tiêu
1 2 3
4 5 2f x x x x
bị chặn trên
- Suy ra:
*
M
(vì
M
và
f x
bị chặn trên).
Tìm
ext
M
Ta có:
1 2 3
1 2 3
3
1 2 3 2 3
1 2
2
2 2
1
; ; : 5
2 2
0
x x x
x x x
M x x x x x
x x
x
