THIẾT kế và mô PHỎNG THUẬT TOÁN LQG điều KHIỂN ổn ĐỊNH vị TRÍ của VIÊN BI TRÊN THANH THẲNG




Hệ thống Bóng và thanh còn được gọi là "cân bằng bóng trên
thanh thẳng”, thường được thấy trong hầu hết phòng thí nghiệm điều
khiển ở trường đại học. Nó thường được liên kết với bài toán điều
khiển như ổn định chiều ngang máy bay trong khi hạ cánh và trong
luồng khí hỗn loạn. Có hai bậc tự do trong hệ thống này: một là bóng
lăn lên và xuống trên thanh, hai là thanh quay quanh trục của nó.
Mục đích của hệ thống là để điều khiển vị trí của bóng đến một điểm
tham chiếu mong muốn và loại bỏ các nhiễu khi đẩy bóng di chuyển.
Điều quan trọng là chỉ ra rằng vòng lặp hở của hệ thống là
không ổn định và phi tuyến. Bài toán 'không ổn định' có thể được
khắc phục bằng cách khép kín vòng lặp hở với một bộ điều khiển
phản hồi. Phương pháp không gian trạng thái hiện đại có thể được sử
dụng để ổn định hệ thống. Đặc tính phi tuyến là không đáng kể khi
thanh thẳng chỉ lệch một góc nhỏ từ vị trí ngang. Trong trường hợp
này, có thể tuyến tính hóa hệ thống. Tuy nhiên, các phi tuyến trở nên
đáng kể khi góc của thanh thẳng từ phương ngang lớn hơn 30 độ,
hoặc nhỏ hơn -30 độ. Do đó một kỹ thuật điều khiển tiên tiến hơn sẽ
được sử dụng để điều khiển hệ thống [1]
 
!"
Một mô hình cho hệ thống có thể nhận được bởi xem xét hệ
phương trình của động cơ servo DC (cơ cấu truyền động) và các
1
động học của bóng lăn. Do vậy mô hình động cơ DC có thể được mô
tả bằng một phần phi tuyến qua hàm truyền, các phi tuyến là do bão
hòa và vùng chết. Bởi vậy, hàm truyền động cơ DC từ điện áp u to
góc servo
θ

được đưa ra
( )u s s
θ
α
=
+ αβ
(1)
với
m g
m l
k k
R J
α =
và
m g
k k
β
=
, và các hằng số k
m
, k
g
, R
m
và J
l
mô tả các thông số cơ khí k
m
(N.m/ A): Hằng số momen quay
Hình1. 1: Thí nghiệm Bóng và thanh [2]

K
g
:Tỉ lệ bánh răng tổng
R
m
(Ω): Điện trở phần ứng
J
m
(kg. m
2
): quán tính phần ứng
J
l
= J
m
× k
g
× k
m
kg.m
2
: quán tính tại đầu ra
Mặt khác, động học bóng được mô hình bởi hàm truyền từ góc
servo
θ
tới dịch chuyển x
2
2
x
s

γ
θ
=
Với
5
7
gr
L
γ
−
=
và g, r và L mô tả
r = bán kính của bản lề
L = chiều dài tay đòn
g = hằng số trọng trường
Sơ đồ mô hình Bóng và thanh được chỉ ra trong Hình 1. 2. Tuy
nhiên, chỉ có động học tuyến tính được xem xét trong thiết kế. Kết
quả, mô tả không gian trạng thái của mô hình vòng lặp hở được sử
dụng

x Ax Bu
y Cx
= +


=

&
(2)
0 1

A
γ αβ
 
=
 
−
 
;
0
B
α
 
=
 
 
,
57 0
0 100
C
 
=
 
 
Với các trạng thái vector x có một ý nghĩa vật lý

1
2
x
x
x

 
= =
 
 
[ ]
[ ]
/
rad
rad s
θ
θ
•
 
 
 
 
#$%&'() *+,$ !-"
Quả bóng được đặt trên một thanh và có thể lăn tự do dọc theo
chiều dài của thanh. Cánh tay đòn một đầu được gắn với thanh và
đầu kia gắn với một đĩa servo. Khi đĩa servo quay một góc
θ
, thì tay
đòn sẽ nâng hoặc hạ thanh một góc α làm thay đổi vị trí quả bóng.
3
Bộ điều khiển có nhiệm vụ kiểm soát góc quay của đĩa servo để giữ
cho quả bóng cân bằng tại vị trí mong muốn.
./01$/%2/345 6% *+,$7/8
9+:$
;<$=%8$/' >%?$9$9/07
-  &@%.A0B$@5.$C:$98

-/D%(0E$!;"
-CFG!;"
HI$(J  /5 KLMN$/%2/3OP
Q/5GN R8 $/A
S$G%.T01
4

UPVWXOP
O)%&@OP!;"
OPY
Trong lý thuyết điều khiển tối ưu, LQR (Linear Quadratic
Regulator) là một phương pháp thiết kế các luật điều khiển phản hồi
trạng thái cho các hệ tuyến tính mà tối thiểu hóa hàm giá trị toàn
phương[8] Trong LQR, thuật ngữ “Linear-Tuyến tính” nói đến
động học hệ thống mà mô tả bởi một tập các phương trình vi phân
tuyến tính và thuật ngữ “Quadratic – toàn phương” nói đến chỉ số
hiệu suất (thực hiện) mà mô tả bởi hàm toàn phương. Mục đích của
thuật toán LQR là tìm một bộ điều khiển phản hồi trạng thái Lợi ích
của thuật toán điều khiển là nó tạo ra một hệ thống bền vững bằng
việc đảm bảo các giới hạn ổn định.
Hình 2. 1: Nguyên tắc phản hồi trạng thái
Đầu ra của bộ điều khiển phản hồi trạng thái là :
[ ]
u Kx= −
(2.38)
Trong đó:
5
x : trạng thái của hệ thống .
K: véctơ thu được dựa trên các tiêu chuẩn tối ưu hóa và
mô hình hệ thống .

A, B: ma trận trạng thái của đối tượng được điều khiển
CI( +/@?T$/+Z 8/(/'N [E/
$/8
Các bộ lọc biến trạng thái (State Variable Filters-SVFs) có thể
được sử dụng để có phản hồi trạng thái hoàn chỉnh. Khi phổ nhiễu
được đặt theo nguyên tắc ngoài dải thông của bộ lọc, nhiễu đo lường
có thể bị xóa bỏ bởi sự lựa chọn hợp lý ω của bộ lọc [10]. Ví dụ,
thông tin về vị trí được đo với nhiều nhiễu ở bất kỳ thời điểm nào.
SVFs loại bỏ ảnh hưởng của nhiễu và tạo ra ước lượng tốt các vị trí
và gia tốc (Hình 2.3). Tuy nhiên, SVFs gây ra chậm pha (Hình 2.4).
6
Trễ pha có thể giảm bởi gia tăng ω của SVF. Thực tế, lựa chọn
omega hài hòa giữa trễ pha và độ nhạy với nhiễu [10].
Hình 2. 3: Phản hồi trạng thái chính xác của quá trình
đạt được bằng sử dụng bộ lọc biến trạng thái (SVF)
Hình 2. 4: Trễ pha giữa tín hiệu vào và ra của SVF với một omega 50
(rad/ sec)
CI=%8KOP\]O/[8?P%8M?8/ \K/G8?^]CI
( _8(G8^
SVF
7
Hướng khác để ước lượng trạng thái trong của hệ thống là
bằng sử dụng bộ ước lượng toàn phương tuyến tính (Linear
Quadratic Estimator – LQE) (Hình 2.5). Trong lý thuyết điều khiển,
LQE được xem như là một bộ lọc Kalman hoặc một bộ quan sát
[8]. Bộ lọc Kalman là bộ ước lượng hồi quy.
Một bộ lọc Kalman được dựa vào mô hình toán của quá trình.
Nó được điều khiển bởi các tín hiệu điều khiển tới quá trình và các
tín hiệu đo lường. Khi chúng ta sử dụng các bộ lọc Kalman hoặc các
bộ quan sát, nhiễu ở đầu vào của quá trình hầu như được coi là

“nhiễu hệ thống” như hình 2. 5
Hình 2. 5: Nguyên lý của bộ quan sát
#OP
LQG là sự kết hợp của LQR và LQE [8]. Điều này có nghĩa
là LQG là một phương pháp thiết kế các luật điều khiển phản hồi
trạng thái cho các hệ thống tuyến tính với nhiễu Gausian phụ mà tối
8
thiểu hàm giá trị toàn phương đã cho. Cấu trúc điều khiển được chỉ
ra trong Hình 2. 6.
Hình 2. 6: LQG
Thiết kế của LQR và LQE có thể được thực hiện riêng rẽ.
LQG cho phép chúng ta tối ưu chất lượng hệ thống và để giảm nhiễu
đo lường. LQE đưa ra các trạng thái ước lượng của quá trình. LQR
tính toán vector hệ số tối ưu và sau đó tính toán tín hiệu điều khiển.
Tuy nhiên, trong bộ điều khiển phản hồi trạng thái thiết kế giảm sai
lệch bám là không tự động nhận ra. Trong các hệ thống điều khiển
chuyển động, ma sát Coulomb là phi tuyến chính, gây ra sai lệch
tĩnh. Vấn đề này có thể được giải quyết, bằng việc giới thiệu một tích
phân phụ cho cấu trúc điều khiển LQG [8]. Sự khác nhâu giữa quá
trình và mô hình được tích hợp, thay vì sai lệch giữa mẫu và đầu ra
quá trình (trong bộ điều khiển PID). Thêm khâu tích phân cho cấu
trúc LQG dẫn tới hệ thống như được chỉ ra trong Hình 2.7
9
Hình 2. 7: Thêm khâu tích phân cho LQG
Z`a
Sự kết hợp của các kết quả LQR và LQE tối ưu trong bộ điều
khiển LQG, mà tối ưu theo hàm giá trị toàn phương. Bộ ước lượng
và bộ điều khiển phản hồi trạng thái có thể được thiết kế độc lập.
Cho phép chúng ta thỏa hiệp giữa hiệu suất điều khiển và nỗ lực điều
khiển, và kể đến cả nhiễu đo lường và nhiễu quá trình.

10
#
b_bWcdefghiOPX
_jUkWkYlmVWnCYnV
o
#%?p 5.$7/%ZOP/%2/3<FF
?q R8/'+/?'8r$
Hình 3. 1: LQG = LQR + LQE
#q$K.
Ta đi tính toán các thông số LQR và LQE riêng rẽ
#OPY
Chúng ta xét đối tượng tuyến tính rời rạc theo thời gian được
mô tả bởi
1k k k
k k k
x Ax Bu
y Cx Du
+
= +


= +

(3.1)
11
với chỉ số hiệu xuất được xác định như
0
( )
T T
k k R k k R k

J e Q e u R u
∞
=
= ∑ +

(3.2)
Trong các phương trình (3.1) và (3.2) A, B, C và D là các ma
trận trạng thái rời rạc của đối tượng được điều khiển, x định nghĩa
trạng thái của đối tượng, e là sai số bám, u là tín hiệu điều khiển, Q
R
và R
R
là các ma trận theo tiêu chí tối ưu (Q
R
là ma trận trọng số bán
xác định dương và R
R
là ma trận trọng số xác định dương). Bộ điều
khiển phản hồi trạng thái tối ưu sẽ đạt được bằng chọn một vector
phản hồi.
1
( )
T T
LQR R
K B PB R B PA
−
= +
ở đó P là nghiệm của ma trận giảm phương trình Riccati:
1
( ) 0

T T T T
R R
A PA P A PB B PB R B PA Q P
−
− − + + + =
Đầu ra của bộ điều khiển phản hồi trạng thái là
LQR m
u K x= −
với
[ ]
2 1
T
m m m
x x x=
x
m2
và x
m1
được xác định trong Hình 3.2. Các thông số dưới đây
từ Bóng và thanh được sử dụng trong các mô phỏng:
1
11 12
21 22
2
0.990 0.000 0.019
,
0.001 1.000 0.000
b
a a
A B

a a
b
 
 
   
= = = =
 ÷
 ÷
 
 
   
 
 

0.000 0.000
, 0.0001
0.000 1000
R R
Q R
 
= =
 ÷
 
12
Các giá trị này cho kết quả trong các hệ số khuếch đại bộ điều
khiển phản hồi dừng dưới đây

[ ]
18.102657.90
LQR d p

K K K


= =


3.2.1. LQE
Ma trận phản hồi L cho ước lượng tối ưu của các trạng thái quá
trình được tính như:
1
( )
T T
E
L PC CPC R I
−
= +
với P là nghiệm của ma trận dưới đây phương trình Riccati
( ) ( )
T
E
next P A I LC PA Q= − +
ở đây A và C là các ma trận trạng thái rời rạc của đối tượng
được điều khiển, Q
E
là đồng biến nhiễu hệ thống, R
E
là đồng biến
nhiễu cảm biến. Các thiết lập sau đây được sử dụng
[ ]
0.990 0.000

, 0 1
0.001 1.000
A C
 
= =
 
 
10 0.0
, 1000
0.0 10
E E
Q R
 
= =
 
 
Các thiết lập cho kết quả trong các hệ số ổn định dưới đây
1
2
0.0043
0.0951
LQE
L
L
L
 
 
= =
 
 

 
 
13
##st$
Cấu trúc mô phỏng trong miền số được đề xuất như sau:
Hình 3. 2: Cấu trúc mô phỏng bộ điều khiển LQG
1
Cấu trúc trên được thực hiện trong Matlab ( thông qua Card Arduino) như sau:
Hình 3. 3: Cấu trúc mô phỏng thực hiện trong Matlab
Transport
Delay
Scope3
Scope2
Scope1
In1Out1
SVF2
In1Out1
SVF
Random
Number
uy
fcn
MATLAB Function
1
s
Integrator5
1
s
Integrator4
1

s
Integrator3
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
1
Gain9
1
Gain8
19
Gain7
-K-
Gain6
-K-
Gain5
10
Gain4
19
Gain3
0
Gain2
1.7
Gain18
0000
Gain10
-K-
Gain1

Band-Limited
White Noise
Coloum thuc
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
1
Với sơ đồ cấu trúc của bộ lọc SVF như sau:
Hình 3. 4: Sơ đồ cấu trúc bộ lọc SVF
Kết quả mô phỏng
Hình 3. 5: Kết quả mô phỏng
Với LQG, nhiễu đo lường của quá trình hầu như không ảnh hưởng đến hệ thống. Kết quả này được
minh họa trong hình 3.5, vị trí thực (đường số 2) và vị trí nhiễu (đường số 4) đã bị tác động bởi nhiễu đo
lường, trong khi, vị trí ước lượng (đường số 3) và tín hiệu điều khiển (đường dưới cùng) đã gần như sạch.
Khâu tích phân được sử dụng để bù tác động của nhiễu quá trình. Để đạt được việc này có thể điều chỉnh
khâu tích phân bằng tay, hoặc có thể được bao gồm trong việc giải phương trình Riccati. Bằng cách so sánh
hai kết quả mô phỏng được chỉ ra trong Hình 3.6, ta quan sát thấy rằng khi khâu tích phân được sử dụng thì
nhiễu đã được giảm.
1
Hình 3. 6: Nhiễu theo dõi khi không có khâu tích phân ( đường trên) và nhiễu theo dõi khi có khâu
tích phân (đướng dưới)
Bộ ước lượng và bộ điều khiển phản hồi có thể được thiết kế độc lập. Cho phép chúng ta có thể so sánh
giữ chất lượng hệ thống và năng lực điều khiển và đưa vào tính toán nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường. Tuy

nhiên, nó không thường xuyên tường minh trong việc tìm mối quan hệ giữa biến trạng thái và biến điều
khiển. Phần lớn bài toán điều khiển thông số thường không mô hình hóa được trong khi LQG được giới hạn
với thông số mô hình hóa được. Thậm chí với đối tượng tuyến tính, mô hình toán của đối tượng là không rõ
ràng, nó có thể phát sinh từ những động học không mô hình hóa được, và biến thông số. Những yếu tố không
rõ này không được đưa vào tính toán trong thiết kế LQG.
_@(%Z0u$#
Từ các cơ sở lý thuết của Chương 1 và Chương 2, tác giả đã xây dựng được bộ điều khiển LQG trên cơ
sở MRAS cho hệ thống Bóng và thanh. Kết quả điều khiển được kiểm chứng bằng mô phỏng trên phần mềm
Matlab Simulink.
Qua kết quả mô phỏng có các kết luận:
- Hệ thống hoạt động ổn định;
- Tín hiệu ước lượng trạng thái hệ thống tốt hơn nhiều do không bị tác động bởi nhiễu đo lường
- Tín hiệu điều khiển thể hiện được khả năng phản ứng của hệ thống để giữ ổn định vị trí viên bi
2
;
v
;/7//5%5.$C:$98
;J $/5G
Hình trên là hệ thống Bóng và thanh ở Phòng thí nghiệm Điện – Điện tử thuộc Khoa Điện tử - Trường
Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên được dùng để nghiên cứu và thử nghiệm các phương pháp điều
khiển với những nguyên lý mới.
Hệ thống Bóng và thanh có các thành phần: Arduino Board: nhận tín hiệu phản hồi từ sensor vị trí
(GP2D12) và giao tiếp với máy tính, xuất tín hiệu ra mạch công suất (Cầu H) để điều khiển động cơ; Mạch
cầu H: Thực hiện nhiệm vụ đảo chiều động cơ; Động cơ dùng để truyền động hệ thống; Sensor vị trí
(GP2D12) dùng để phát hiện vị trí bóng trên thanh và gửi tín hiệu về bộ điều khiển.
3
;%?p /%2/35.$
;%?p /%2/35.$
Hình 4. 3: Cấu hình cổng kết nối. Hình 4. 4: Cấu hình thời gian thực
Hình 4. 5: Cấu hình điều khiển động cơ RC servo.

4
Hình 4. 6: Lọc tín hiệu qua bộ lọc thông thấp. Hình 4. 7: Đọc tín hiệu analog và chuẩn hóa tín hiệu
Hình 4. 8: Cấu trúc kết nối điều khiển mô hình thực
Hình 4. 9: Kết quả hệ thực nghiệm
;#5.$/%2/3OP0u$J
;# wux2./ %?p /%2/3
5
Hình 4. 10: Sơ đồ cấu trúc điều khiển LQG tương tự
4.3.1.1 T 0u$JKLMN$  2%@ T/%Z
yCI( wWz0u$J
;CI( wWz0u$J
yOPY
;T OPY
Điểm đặt
Vận tốc
ước lượng
Vị trí
ước lượng
Tín hiệu
điều khiển
6
yOP\
Hình 4. 13: Mạch LGE
Vị trí
ước lượng
Vị trí
Thanh trượt
Tín hiệu
điều khiển
Vận tốc

ước lượng
7
yOP
Hình 4. 14: Mạch LQG
Tín hiệu điều
khiển
8
;#  2@=%AJ $/5G9Gst$
Trong phần này, đầu tiên mô hình của hệ thống điều khiển được mô phỏng bằng sử dụng phần mềm
Simulink/ Matlab. Sau đó, các mạch điện tử tương tự tương ứng được thực hiện và mô phỏng bằng sử dụng
phần mềm Multisim. Kết quả mô phỏng này giúp xác định quá trình chuyển đổi LQG từ miền s sang các
mạch tương tự tương ứng là đúng hay không đúng. Cuối cùng mạch điện tử tương tự được thực hiện và kiểm
tra trong hệ thống thực.
Chúng tôi mong muốn rằng với cùng một đầu vào, các kết quả mô phỏng là tương tự. Điều này được chỉ
ra bằng các kết quả thực nghiệm và mô phỏng.
Hình 4. 15 Kết quả thực nghiệm sử dụng phần mềm
Matlab/ Simulink
Hình 4. 16: Các kết quả thực nghiệm cho mạch điện tương tự tương
đương sử dụng Multisim.
_@(%Z0u$;
Để kiểm nghiệm kết quả mô phỏng của Chương 3, tác giả đã xây dựng được hệ thực nghiệm bộ điều
khiển LQG số và tương tự cho hệ thống Bóng và thanh. Qua kết quả điều khiển có các kết luận:
- Hệ thống hoạt động ổn định;
- Tín hiệu ước lượng trạng thái hệ thống tốt do không bị tác động bởi nhiễu đo lường dẫn tới kết quả
bám giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào là rất tốt;
- Tín hiệu điều khiển thể hiện được khả năng phản ứng của hệ thống để giữ ổn định vị trí viên bi.
9