Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ thể hiện trong mô hình xạ ảnh của không gian affine

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN – TIN.
  
ĐỀ TÀI :
“ CÁC PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM VÀ
CÁC PHÉP THẤU XẠ. THỂ HIỆN TRONG
MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN
AFFINE”
GVHD: PGS.TS LÊ ANH VŨ.
1
MỞ ĐẦU:
Felix Klein là người đầu tiên đưa ra cách phân loại hình học theo nhóm các biến
đổi trong nó, dựa vào cách phân loại này thì hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát
nhất trong tất cả các môn hình học cao cấp và sơ cấp sử dụng công cụ tuyến tính. Số
lượng khái niệm, định lí của hình học xạ ảnh không nhiều nhưng nó đúng cho mọi hình
học khác. Hơn thế từ một số khái niệm, định lí của hình học xạ ảnh có thể suy ra được
các khái niệm, định lí của hình học sơ cấp và affine. Thế mạnh của hình học xạ ảnh là có
thể giải quyết các bài toán về tính đồng qui và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng)
một cách tổng quát. Ngoài ra ta có thể sáng tạo các bài toán sơ cấp qua nguyên lý đối
ngẫu, phương pháp đưa điểm ra vô tận
2
MỤC LỤC
Đề tài:
Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ. Thể hiện trong
mô hình xạ ảnh của không gian Affine.
A. Mô hình xạ ảnh của không gian Affine.
I. Xây dựng mô hình.
II. Một số thể hiện trong mô hình.
B. Phép chiếu xuyên tâm.
I. Định nghĩa.
II. Các định lý.

III. Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm.
IV. Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P
2
.
V. Một số ứng dụng.
C. Phép thấu xạ.
I. Phép thấu xạ cặp.
II. Phép thấu xạ đơn.
III. Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P
2
và P
3
.
IV. Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ .
V. Bài tập.

3
A. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFFINE
I. XÂY DỰNG MÔ HÌNH:
Xuất phát từ không gian affine A
n
ta đã biết cách xây dựng mô hình của không
gian xạ ảnh P
n
bằng cách thêm vào A
n
những điểm vô tận. Bây giờ ngược lại, từ không
gian xạ ảnh P
n
ta hãy bỏ bớt đi một số điểm nào đó để xây dựng mô hình của không gian

affine.
Ta hãy chọn trong P
n
một siêu phẳng  bất kỳ và đặt
A
n
= P
n
\ là tập hợp những điểm thuộc P
n
mà không thuộc . Ta sẽ chứng minh A
n
là
một không gian affine
Gọi V
n+1
là không gian vecto nền của không gian xạ ảnh P
n
.
Trang bị cho V
n+1
cấu trúc affine chính tắc:
Khi đó,
( )
1 1
V ,V ,
n n
ϕ
+ +
là một

không gian affine, kí hiệu lại là
1n
A
V
+

và kí
hiệu
1
0
n
V
+
∈
r
là điểm
1
0
n
A
V
+
∈
.
Mỗi điểm
1
[ ]
n n
X P V
+

∈
(đại diện bởi
vectơ
1n
x V
+
∈
r
) tương ứng với một không
gian vectơ con một chiều của V
n+1
. Xét đường
thẳng affine d
X
qua O có không gian phương là
x
r
( không gian vectơ 1 chiều sinh bởi
x
r
).
Đường thẳng affine này chỉ phụ thuộc điểm X
mà không phụ thuộc vectơ đại diện.
4
1 1 1
:
( , ) :
n n n
V V V
x y xy y x

ϕ
+ + +
× →
= −
uur
a
Cho siêu phẳng xạ ảnh
°
( )W
π
∆=
trong P
n
[V
n+1
] ( W là không gian vectơ con
n chiều trong V
n+1
). Đặt W
A
là siêu phẳng affine qua O nhận W làm không gian phương.
Ta trang bị cho
[ ]\
n n
A P V
= ∆
cấu trúc không gian affine liên kết với W như
sau:
Trong
1n

A
V
+
lấy một siêu phẳng affine
A
W
+
song song (nhưng khác) với
A
W
.
Khi đó,
A
W
+

là một không gian affine n chiều nhận W làm không gian phương.
Lấy
n
X A
∈
, tức là
[ ]
n
X P V
∈
và
X
∉∆
. Khi đó vectơ đại diện của

X là
x W
∉
r
. Suy ra
1
{0}
n
x W
x W V
+

∩ =


⊕ =


r r
r
.
Từ đó, ta có:
X A
d W X
+ +
∩ =
,
X
+

là duy nhất và ánh xạ

:
n
A
A W
X X
θ
+
+
→
a

là song ánh.
A
n
, W cùng với ánh xạ

:
( , ) :
n n
f A A W
X Y XY X Y
+ +
× →
=
uuuuuur
uuur
a

là một không gian affine, thật vậy:
1
A
:
, : !
n
a
X A v W X W
+ +
∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈
r

( )X X
θ
+
=
,(
θ
là song ánh).
Mặt khác do
A
W
+
là không gian affine n chiều nhận W làm không gian phương nên tồn
tại duy nhất
a
Y W
+ +
∈
sao cho:

X Y v
+ +
=
uuuuuur
r
. Lại vì
θ
là song ánh nên có duy nhất
n
Y A
∈
(tương ứng với Y
+
qua
1
θ
−
) thỏa:
XY X Y v
+ +
= =
uuuuuur
uuur r
.
Vậy
, , ! :
n n
X A v W Y A XY v
∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ =
r uuur r

5

2
A
:
, , :
n
X Y Z A XY YZ X Y Y Z X Z XY
+ + + + + +
∀ ∈ + = + = =
uuuuuur uuuuur uuuuuur
uuur uur uuur
Vậy ta đã trang bị cho
[ ] \
n n
A P V
= ∆
cấu trúc không gian affine liên kết với W.
II. MỘT SỐ THỂ HIỆN TRONG MÔ HÌNH:
1. Tọa độ và mục tiêu affine:
Xét mục tiêu xạ ảnh
( ) { }
0 1 2
: , , , , ,
n
A A A A E
ℜ
của không gian xạ ảnh P
n
.

Chọn siêu phẳng
1 2
, , ,
n
A A A
∆ =
làm siêu phẳng vô tận.
Gọi E
i
là giao điểm của đường thẳng A
0
A
i
với siêu phẳng chứa các đỉnh A
i
còn lại
của mục tiêu và điểm E (i=1 n).
Đặt e
i
=
0 i
A E
uuuur
(i=1 n), ta được hệ
vectơ {e
i
}
i=1 n
là các vectơ cơ sở trong không
gian vectơ V

n
. Do đó ta có thể dùng bộ điểm
{A
0
; E
1
, E
2
,…, E
n
} (1) làm mục tiêu affine
của không gian affine A
n
= P
n
\.
Một điểm X trong P
n
có tọa độ xạ
ảnh là X(x
0
: x
1
:…: x
n
).(X
∉
).
Do đó x
0

≠
0. Ta đặt X
i
=
0
i
x
x
(i=1 n).
Vậy tọa độ điểm X(1:X
1
: X
2
:…: X
n
).
Với điểm O đã chọn (trong cách xây dựng mô hình affine ), ta có:
( ) ( )
( )
0 0
, , 1,2, ,
i i
OX X OA A e A i n
ϕ ϕ ϕ
= = = ∀ =
uuur uuuur
nên
OX
uuur
=

0
OA
uuuur
+X
1
.
0 1
A E
uuuuur
+…+X
n
.
0
A
n
E
uuuuur

Suy ra
0
A X
uuuur
=X
1
.
0 1
A E
uuuuur
+…+X
n

.
0
A
n
E
uuuuur
Vậy trong không gian affine, điểm X có tọa độ đối với mục tiêu (1) là X(X
1
, X
1
,…, X
n
).
2.Các m_phẳng affine:
6
Xét một m_phẳng P
m
nào đó của P
n
mà không nằm trong siêu phẳng P
n-1
= ( Với
1 2
, , ,
n
A A A
∆ =
) . Đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn,  có phương trình x
0
= 0 và

P
m
có phương trình là:
ij
0
. 0 , 1, 2, ,
n
j
j
a x i n m
=
= = −
∑
Trong đó ma trận A=(a)
ij
có hạng rank(A) = n – m .
Gọi A
m
là tập hợp những điểm X
thuộc P
m
mà không thuộc  tức là
A
m
= P
m
I
A
n
và có tọa độ X(x

0
: x
1
:
…: x
n
).
Ta có:
ij
0
. 0 , 1,2, ,
n
j
j
a x i n m
=
= = −
∑

Do X không thuộc  nên x
0
≠ 0 nên
chia 2 vế của phương trình m_phẳng
cho x
0
, ta được:
ij
1
. 0 , 1,2, , (I)
n

j io
j
a X a i n m
=
+ = = −
∑
Ta thấy ma trận hệ số của hệ phương trình này cũng có hạng là n – m.
Thật vậy, ta hãy xét hệ phương trình sau:
ij
0
. 0
, 1,2, ,
0
n
j
j
o
a x
i n m
x
=

=

= −


=

∑

.
Đặt
7
10 11 12 1
11 12 1
20 21 22 2
21 22 2
1
,0 ,1 ,2 ,
,1 ,2 ,
và
1 0 0 0
n
n
n
n
n m n m n m n m n
n m n m n m n
a a a a
a a a
a a a a
a a a
B B
a a a a
a a a
− − − −
− − −
 
 
 

 
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
L
L
L
L
K
K
L
L
K
.
Ta có rank(B) = n – m + 1 vì P
m
không thuộc .
Nếu rank(B
1
) < n – m thì rank(B) < n – m +1 (vô lý) nên rank(B
1

) = n – m.
Vậy hệ (I) xác định phương trình của một m_phẳng affine.
3. Các phép biến đổi affine:
Trong tập hợp tất cả những phép biến đổi xạ ảnh của P
n
, ta xét những phép biến
đổi xạ ảnh biến siêu phẳng P
n-1
thành chính nó. Mỗi phép biến đổi như vậy biến mỗi
điểm có tọa độ xạ ảnh (x
0
: x
1
:…: x
n
) thành điểm có tọa độ xạ ảnh (x
0
’
: x
1
’
:…: x
n
’
) sao cho
nếu x
0
= 0 thì x
0
’

= 0 và nếu x
0
≠
0 thì x
0
’
≠
0. Muốn vậy phương trình của phép biến đổi
xạ ảnh cần phải có phương trình x
0
= x
0
’
.Do đó phương trình của phép biến đổi xạ ảnh có
dạng:
'
ij
0
'
0 0
. , 1,2, ,
n
i j
j
x a x i n
x x
=

= =




=

∑
Trong đó ma trận A của phép biến đổi xạ ảnh là một ma trận vuôn cấp n+1 không suy
biến và có dạng:
A=
10 11 1
20 21 2
0 1
1 0 0
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
L
L
L L L

L
L
Khi đó phép biến đổi xạ ảnh nói trên của P
n
sẽ sinh ra trên không gian affine A
n
một phép biến đổi affine. Thực vậy, ta hãy lấy một điểm X
∈
A
n
có tọa độ xạ ảnh là (x
0
:
x
1
:…: x
n
), trong đó x
0
≠
0. Qua phép biến đổi xạ ảnh nói trên điểm X biến thành điểm X
’
có tọa độ xạ ảnh là (x
0
’
: x
1
’
:…: x
n

’
). Chuyển tọa độ xạ ảnh của X và của X
’
sang tọa độ
affine ta có phép biến đổi là:
8
'
1 11 1 12 2 1 10
'
2 21 1 22 2 2 20
'
1 1 2 2 0
. . .
. . .

. . .
n n
n n
n n n nn n n
X a X a X a X a
X a X a X a X a
X a X a X a X a

= + + + +

= + + + +





= + + + +

(*) Với X
i
=
0
i
x
x
, X’
i
=
0
'
i
x
x
(i=1 n).
Trong đó ma trận A
’
=(a
ij
),( i,j=1 n) là ma trận vuông cấp n không suy biến nên ta
được phương trình (*) là phương trình một phép biến đổi affine.
4. Tỉ số kép:
a. Giả sử A,B,C,D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng xạ ảnh (d) của P
n
nhưng không có điểm nào trong bốn điểm nằm trên siêu phẳng vô tận =P
n-1
. Ta chọn

mục tiêu xạ ảnh {E
i
;E}
i=0 n
sao cho E
0
≡
A, E
1
=(d)
I
. Khi đó các điểm B,C,D có tọa độ
biểu thị tuyến tính qua E
0
và E
1
.
Ta có: A
≡
E
0
(1:0:0:…:0), E
1
(0:1:
…:0).
Do đó tọa độ các điểm còn lại là:
B(1:b:0:…:0), C(1:c:0:…:0),
D(1:d:0:…:0).
Do A
≠

B nên b
≠
0. Suy ra
1 1
0 b
=b
≠
0.
Vậy ta có
(ABCD)=
1 1 1 1
0 0
: :
1 1 1 1
c d
c d
c b d b
b c b d
=
− −
.
Nếu chuyển tọa độ các điểm xạ ảnh sang tọa độ affine ta có:
A(0,0,…,0), B(b,0,…,0), C(c,0,…,0), D(d,0,…,0).
Từ đó ta tính được tọa độ các vectơ sau:
9
(d)
P
n-1
E
0

E
1
A
B
C
D
CA
uuur
=(-c,0,…,0),
CB
uuur
=(b-c,0,…,0) ,
DA
uuur
=(-d,0,…,0),
DB
uuur
=(b-d,0,…,0)
Do đó (ABC)=
c
c b−
và (ABD)=
d
d b−
Vậy ta được (ABCD)=
( )
( )
ABC
ABD
b. Nếu có một trong bốn điểm A,B,C,D là điểm vô tận, chẳng hạn là điểm D thì khi đó ta

có D
≡
E
1
và ta có:
(ABCD)=
1 1 1 0
0 0 1
1
: :
1 1 1 0
1
1
c
c c
c b c b
b c b
= =
− −
.
Vậy (ABCD
∞
)=(ABC).
A. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
I. Định nghĩa
Trong không gian xạ ảnh
n
P
cho 2 siêu phẳng
α

và
β
và điểm
\{ }
n
C P
α β
∈ ∪

Và
:
c
p
α β
→
sao cho
X
α
∈
thành
( ) '
c
p X X
=
sao cho
CX 'X
β
∩ =
Khi đó
c

p
được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ
α
lên
β
với tâm C.
Nhận xét:
- Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn
xác định bởi cặp siêu phẳng α , β và
tâm chiếu C.
- Phép chiếu xuyên tâm giữ bất động
tất cả những điểm giao của hai siêu
phẳng α và β.
II. Một số định lý
10
1.Định lý 1 :
Nếu coi 2 siêu phẳng
α
và
β
là 2 không gian xạ ảnh (n-1) - chiều thì phép chiếu xuyên
tâm là một đẳng cấu xạ ảnh.
Chứng minh:
Gọi
W
n
và
W '
n
là 2 không gian vecto nền của

α
và
β
Đặt
δ α β
= ∩
là (n-2)-phẳng
Cho
1 1
{ , , , }
n n
A A A
−
hệ điểm độc lập xạ ảnh của
α
Trong đó:
1, 1
\
i
n
A i n
A
δ
α δ
∈ ∀ = −
∈
Ta có:
'
( )
n c n

A p A
=
Hệ
'
1 1
{ , , , }
n n
A A A
−
độc lập xạ ảnh.
Thật vậy: nếu
'
1 1
{ , , , }
n n
A A A
−
phụ thuộc xạ ảnh
Thì
' '
n n
A A
δ α
∈ ⇒ ∈
(vô lý.!) ( Do
1 1
, ,
n
A A
−

độc lập xạ ảnh trong
δ
)
Gọi
i
e
là vector đại diện của
1,
i
A i n
∀ =
'
n
e
là vector đại diện của
'
n
A
e
là vector đại diện của C
Ta có:
'
, ,
n n
C A A
thẳng hàng
Suy ra:
'
n n
e ae be

= +
Nếu:
' '
' '
0 .
0 .
n n
n n n n
a e b e A C
b e a e A A
• = ⇒ = ⇒ ≡
• = ⇒ = ⇒ ≡
Vậy
, 0a b
≠
chọn a=1 suy ra:
'
n n
e e be= +
11
Đặt
1 1
'
1 1
{ , , , }
' { , , , }
n n
n n
e e e
e e e

ε
ε
−
−
=
=
là 2 cơ sở của
W
n
và
W '
n
Do
dim dim '
n n
W W
=
suy ra tồn tại duy nhất đẳng cấu tuyến tính
: '
n n
W W
ϕ
→
sao cho
'
( ) 1, 1 và ( )
i i n n
e e i n e e
ϕ ϕ
= ∀ = − =

Ta sẽ chứng minh
X
α
∈
có vector đại diện
x
thì sẽ có
( ) '
c
p X X
β
= ∈
vector đại
diện là
( ) 'x x
ϕ
=
Lấy
X
α
∈
có vector đại diện
x
. Suy ra:
( ) '
c
p X X
β
= ∈
Do

( ) ( ) ( )
( )
0 0 1 0
0 0 1 0
'
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 1 0

( )
( )
( )
( )
( ) ( )
n n
n n
n n
n n
n n n
n
X x x e x e x e
x x e x e x e
x x e x e x e
x x e x e x e be
x x e x e x e x be
x x ce c x b
α
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ

ϕ
ϕ
∈ ⇒ = + + +
⇒ = + + +
⇒ = + + +
⇒ = + + + +
⇒ = + + + +
⇒ = + =
Suy ra:
( ), ,x x e
ϕ
phụ thuộc tuyến tính nên ba điểm mà
( ), ,x x e
ϕ
đại diện thẳng
hàng, tức
( )x
ϕ
đại diện cho một điểm nào đó thuộc đường thẳng CX .
Mặt khác:
( ) W '
n
x
ϕ
∈
và
'CX X
β
∩ =
Dẫn đến:

( )x
ϕ
là vector đại diện của X’
Vậy ta đã chứng minh
c
p
được cảm sinh từ đẳng cấu tuyến tính
ϕ
sao cho
X
α
∈
có vector đại diện
x
thì sẽ có
( ) '
c
p X X
β
= ∈
vector đại diện là
( ) 'x x
ϕ
=
. Do đó
c
p
là một đẳng cấu xạ ảnh.
2.Định lý 2:
12

Cho 2 siêu phẳng
, '
α α
trong
1
[ ]
n n
P V
+
thì ánh xạ xạ ảnh
: 'f
α α
→
là một phép
chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi phần tử của
'
α α
∩
là tự ứng. Tức là
', ( )M f M M
α α
∀ ∈ ∩ =
Chứng minh:
Cách 1:
Rõ ràng phép chiếu xuyên tâm biến mọi điểm
'M
α α
∈ ∩
thành chính nó.
Ngược lại: giả sử

: 'f
α α
→
là ánh xạ xạ ảnh mà
', ( )M f M M
α α
∀ ∈ ∩ =
Nếu:
+
'
α α
=
thì
f id
α
=
và f là phép chiếu xuyên tâm với tâm
C
α
∉
+
'
α α
≠
Đặt W,W’ lần lượt là không gian vector nền của
α
và
'
α
Và

'Z W W
= ∩
Gọi:
: W W '
γ
→
là đẳng cấu tuyến tính cảm sinh bởi φ với
²
1
[ ]
n n
P V
ϕ
+
=
lúc đó:
( )
f
ϕ γ
=
Nhận xét:
| ' | ' | ' | '
, 0
W W W W
f id id
α α α α
γ λ λ
∩ ∩ ∩ ∩
= ⇒ = ≠
( Giờ ta sẽ chứng minh với 3 điểm thẳng hàng

( ) ( )
\ ' , ' ( ) '\ 'M M f M
α α α α α α
∈ ∩ = ∈ ∩
,
( )C
α β
∉ ∪
thì với
X
α
∈
và
( ) ' 'f X X
α
= ∈
cũng đi qua điểm C. từ đó kết luận C là tâm chiếu ).
Lấy
( )
\ 'M
α α α
∈ ∩
có
\w W Z
∈
làm vector đại diện
Suy ra:
( ) 'w w
γ
=

là vector đại diện của
( )
( ) ' '\ 'f M M
α α α
= ∈ ∩
Khi đó:
W Z w
= ⊕< >
,
' 'W Z w
= ⊕< >
và {w,w’} độc lập tuyến tính.
Xét điểm
'C MM
∈
có vector đại diện
( )
' ( ')w w W W
λ
− ∉ ∪
.
Lấy
X
α
∈
có vector đại diện là x
( ) ' 'f X X
α
= ∈
có vector đại diện là

( ) 'x x
γ
=
.
Ta có:
13
( ) ( )
( )
(z Z)
( )
( ) '
( ) '
x z aw
x z aw
x z aw
x x a w w
γ γ γ
γ λ
γ λ λ
= + ∈
⇒ = +
⇒ = +
⇒ − = −
Điều này nói cho chúng ta biết: X, X’ đi qua C . Tức là f là phép chiếu xuyên tâm từ C
lên
α
lên
'
α
.

Cách 2:
Gọi P
n-2
= α ∩ β.
+) Chiều thuận: f là một
phép chiếu xuyên tâm
thì hiền nhiên nó giữ
bất động những điểm
nằm trên P
n-2
.
+) Chiều đảo: f là ánh xạ xạ ảnh có tính chất f(M) = M với mọi M thuộc P
n-2
cần chứng
minh f là phép chiếu xuyên tâm.
Trong α chọn một mục tiêu xạ ảnh là {A
1
, A
2
, …A
n-1
,A
n
, E} với A
1
, A
2
, …,A
n-1
thuộc

P
n-2
, ta có A
n
, E không thuộc P
n-2
, gọi A’
n
= f(A
n
) và E’ = f(E).
Trên β ta có mục tiêu là {A
1
, A
2
, …A
n-1
,A’
n
, E’} là ảnh của mục tiêu
{A
1
, A
2
, …A
n-1
,A
n
, E} qua f. Gọi M = A
n

E ∩ β thì M thuộc P
n-2
do f(M) = M nên
đường thẳng A’
n
E’ cũng qua M. Trong mặt phẳng xạ ảnh tạo bởi hai đường thẳng A
n
E và
A’
n
E’ gọi C là giao điểm của A
n
A’
n
và EE’. Gọi f ’ là phép chiếu xuyên tâm có cơ sở nền
là α và β với tâm chiếu là C. Ta có: f ’(A
i
) = A
i
với i = 1,2,…,n-1 do A
i
với i = 1,2,…,n-1
nằm trên P
n-2
và f ’(A
n
) = A’
n
và f ’(E) = E’. Do sự xác định duy nhất của phép biến đổi xạ
ảnh xác định bởi {A

1
, A
2
, …A
n-1
,A
n
, E} và {A
1
, A
2
, …A
n-1
,A’
n
, E’} nên f ≡ f ’.
Vậy f là phép chiếu xuyên tâm.
14
3.Định lý 3:
Trong
n
P
với cho hai siêu phẳng
α
và
'
α
. Giả sử
: 'f
α α

→
là một ánh xạ xạ ảnh,
không phải là phép chiếu xuyên tâm. Khi đó ta có thể phân tích f thành tích của m phép
chiếu xuyên tâm với
1m n
≤ +
Chứng minh:
• Xét trường hợp
'
α α
≠
và trong
'
α α
∩
có một p-phẳng
β
mà mọi điểm
β
của đều tự ứng đối với f
( )
0 2p n≤ < −
.
Vì f không phải là phép chiếu xuyên tâm nên
'
β α α
≠ ∩
.
Lấy một điểm
A

α
∈
nhưng
'A
α
∉
, điểm
I
β
∈
, điểm B trên đường thẳng IA
mà không trùng với I, A.
Đặt A’=f(A), B’=f(B), thì A’B’ đi qua I.
Do đó AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm C nào đó.
Lấy một siêu phẳng
1
α
chứa
β
và A nhưng không chứa A’ thì chứa cả B.
Gọi
1 1
: 'g
α α
→
là phép chiếu xuyên tâm bởi tâm C.
Khi đó, tích
1 1
:g f
α α

→
°
là một ánh xạ xạ ảnh,
(p+1)-phẳng tổng
A
β
+
nằm trên giao
1
α α
∩
và mọi điểm của (p+1)-phẳng tổng
A
β
+
đều bất động đối với
1
g f°
(vì các điểm trên
β
đều bất động khi qua f và g
1
nên
β
bất động qua
1
g f°
và A qua f biến thành A’ mà A’ qua g
1
biến thành giao điểm

của CA’ với α
1
tức là điểm A vậy A bất biến qua
1
g f°
, mọi điểm thuộc
A
β
+

đều
biểu thị qua p+1 điểm độc lập trong β và A suy ra nó bất động ).
Nếu
1
g f°
không phải là phếp chiếu xuyên tâm ( tức là
1
A
β α α
+ ≠ ∩
) thì cho
1
g f°
đóng vai trò như f ban đầu ta lại có phép chiếu xuyên tâm
2 1 2
:g
α α
→
sao
15

cho
2 1 2
:g g f
α α
→
° °
giữ bất động mọi điểm của một (p+2)- phẳng nào đó nằm
trong
2
α α
∩
.
Tiếp tục cách làm như thế sau một số hữu hạn bước ta có thể tìm được các phép chiếu
xuyên tâm
1 1 2 1 2 1
: ' , : , , :
p p p
g g g
α α α α α α
−
→ → →
sao cho tích
1
:
q q
h g g f
α α
= →° ° °
giữ bất động các điểm của một (n-2)-phẳng.
Do đó h là một phép chiếu xuyên tâm.

Suy ra
1 1
1

q
f g g h
− −
=
° ° °
là tích của q+1 phép chiếu xuyên tâm. Vì
2q p n+ ≤ +
nên
1 1 1.q n p n
+ ≤ − − ≤ −
• Xét trường hợp
'
α α
≠
và trong
'
α α
∩
không có điểm nào tự ứng dối
với f. Lấy một điểm
C
α
∈
, đặt C’=f(C) rồi lấy một siêu phẳng
''
α

đi qua
C, không đi qua C’ mà
''
α α
≠
. Gọi
: ' ''s
α α
→
là phép chiếu xuyên tâm
bởi tâm là một điểm
'U CC
∈
, thì
: ''s f
α α
→
°
là một ánh xạ xạ ảnh có
điểm
''C
α α
∈ ∩
tự ứng . Áp dụng trường hợp trên suy ra là tích của một
số
1n
≤ −
phép chiếu xuyên tâm. Do đó f là tích của một số
n
≤

phép chiếu
xuyên tâm.
• Cuối cùng xét trường hợp
'
α α
=
. Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên tâm
: ' '''r
α α
→
nào đó thì
: '''r f
α α
→
°
là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào một
trong hai trường hợp trên. Suy ra f là tích của một số
1n
≤ +
phép chiếu
xuyên tâm.
III.Đối Ngẫu Của Phép Chiếu Xuyên Tâm:
Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thì phép chiếu xuyên tâm
cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đối ngẫu. Do tính đối ngẫu cho nên ở đây
chúng tôi chỉ nêu khái niệm và định lý mà không chứng minh lại. Và hãy xem như là một
bài tập
16
1 Định nghĩa:
Trong không gian xạ ảnh
n

P
cho 2 điểm O và O’ và siêu phẳng
\ OO'
n
P
α
∈

Gọi B là bó đường thẳng tâm O , B’ là bó đường thẳng tâm O’
Và
: 'p B B
α
→
theo quy tắc
m B
∀ ∈
biến thành
( ) 'p m m
α
=
sao cho
( )
m ' 'O m
α
∩ =
Khi đó
p
α
được gọi là phép chiếu xuyên siêu phẳng từ O lên O’ với cơ sở
α

và 2 tâm
O,O’
n=2 phép chiếu xuyên siêu phẳng được gọi lại là phép chiếu xuyên trục.
2. Một số định lý:
Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh.
Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên siêu phẳng là
đường nối hai tâm phải tự ứng.
Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạ ảnh đều có thể phân tích
thành không quá n+1 phép chiếu xuyên siêu phẳng.
3. Bài tập áp dụng.
Hãy phát biểu các bài tập ở mục 1.4 dưới dạng bài toán đối ngẫu rồi chứng minh bằng
phép chiếu xuyên siêu phẳng.
IV. Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P
2
:
1. Định nghĩa :
a) Định nghĩa 1:
Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi là phép chiếu
xuyên tâm (phép phối cảnh) nếu các đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn đi qua
một điểm C cố định, điểm C được gọi là tâm phối cảnh.
17
b) Đối ngẫu của định nghĩa 1:
Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng được gọi là
phép chiếu xuyên trục (phép phối cành) nếu giao điểm của các cặp đường thẳng tương
ứng luôn nằm trên một đường thẳng t cố định, đường thẳng t được gọi là trục phối cảnh.
2.Định lý:
a) Định lý 1:
Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai hàng điểm {m} và {m’} là
phép chiếu xuyên tâm là giao điểm O của hai giá tự ứng, tức f(O) = O.
b) Định lý đối ngẫu của định lý 1:

Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai chùm đường thẳng {S} và
{S’} là phép chiếu xuyên trục là đường thẳng nối S và S’ tự ứng, tức f(SS’) = SS’.
V. Một số áp dụng:
Áp dụng 1 : Chứng minh định lý papus bằng phép chiếu xuyên tâm
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 2 đường thẳng phân biệt
1 2
,d d
cắt nhau tại O. Trên d
1
cho 3
điểm phân biệt
, ,A B C O≠
. Trên d
2
cho 3 điểm phân biệt A’, B’, C’ khác O . Gọi D,E,F
lần lượt là giao điểm của BC’ và B’C, CA’ và AC’ , AB’ và A’B. Khi đó D,E,F thẳng
hàng.
Chứng minh:
Gọi
' 'M AC B C
= ∩
và
' 'N AB A C
= ∩
18
Xét các phép chiếu xuyên tâm
1
: 'h AB d
→
với tâm A’ và

1
: 'g d B C
→
với tâm C’
Đặt
: ' 'f gh AB B C
= →
f biến B’ thành B’ => f là phép chiếu xuyên tâm từ AB’ đến B’C.
Ngoài ra, f lần lượt biến A,F,N lần lượt thành M,D,C.
Vì vậy, AM
( )
'AC
≡
,DF, NC
( )
'A C
≡
đồng quy tại tâm chiếu của f.
Mà
' 'AC A C E
∩ =
suy ra D,E,F thẳng hàng.
Áp dụng 2: (Chứng minh định lý Desargues thứ I )
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai tam đỉnh ABC và A’B’C’.
' ', ' ', ' 'D AB A B E BC B C F AC A C
= ∩ = ∩ = ∩
Chứng minh D,E,F thẳng hàng khi và chỉ khi AA’,BB’,CC’ đồng quy.
Chứng minh:
Chiều thuận:
Gọi

' ' ', ' , 'M CC A B N CC DF P CC AB
= ∩ = ∩ = ∩
.
Xét 2 phép chiếu xuyên tâm sau:
:h AB DF
→
với tâm C biến A,B,D,P thành F,E,D,N
: 'g DF AB
→
với tâm C’ biến F,E,D,N thành A’,B’,D,M
19
Đặt
: ' 'f g h AB A B= →°
là phép chiếu xuyên tâm
(Do là tích của các phép chiếu xuyên tâm và f giữ bất động
' 'D AB A B
= ∩
)
Do đó: AA’, BB’,MP
( )
'CC
≡
phải đồng quy tại tâm chiếu O của f.
Suy ra: AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Chiều đảo:
Xét hai tam đỉnh DBB’ và FCC’ có A = DB∩FC, A’ = DB’∩FC’, O = BB’∩CC’ do O,
A, A’ thẳng hàng (do AA’, BB’, CC’ đồng qui tại O ) nên áp dụng chiều thuận của định
lý Desargues thứ I thì BC, B’C’, DF đồng qui tại E, tức D, E, F thẳng hàng.
Bài Tập áp dụng:
Chứng minh các bài toán sau bằng phép chiếu xuyên tâm:

a) Định lý Menalaus
b) Trong
[ ]
2
P V
, cho 2 đường thẳng phân biệt d và d’ và ba điểm phân biệt
A, B ,C không thuộc các đường thẳng đó. Một đường thẳng thay đổi đi
qua A cắt d tại M, cắt d’ tại M’. Gọi N’ là giao điểm của BM và d’, N là
giao điểm CM’ và d. Chứng minh rằng có điểm
[ ]
2
I P V∈
để I, N, N’
luôn thẳng hàng. Xét trường hợp đặc biệt khi B trùng với C.
c) Trong
[ ]
2
P V
, cho 2 đường thẳng phân biệt d và d’ và ba điểm phân biệt
A, B ,C không thuộc các đường thẳng đó. Một đường thẳng thay đổi đi
qua A cắt d tại M, cắt d’ tại M’. Xác định tập hợp giao điểm của BM và
CM’. Chọn đường thẳng vô tận qua A,B,C từ đó suy ra một kết quả của
hình học affine phẳng bằng mô hình xạ ảnh của không gian affine.
20
B - CÁC PHÉP THẤU XẠ
I. Phép thấu xạ cặp:
a) Định nghĩa:
- Trong P
n
cho m – phẳng (α) và (n – m – 1) – phẳng (β) bù nhau, tức là

n
P
α β
α β
∩ =∅


⊕ =

ta bảo α và β là (m, n – m – 1) – cặp.
- Cho f là một phép biến đổi xạ ảnh của P
n
, ta nói f là thấu xạ cặp ( thấu xạ (m,n –
m – 1) – cặp ) với (α , β) là cặp nền nếu f giữ bất động mọi điểm nằm trên α và β. Tức là:
( )
, Xf X X
α β
= ∀ ∈ ∪
.
- Trong trường hợp m = 0 thì thấu xạ
( 0, n – 1 ) – cặp được gọi là thấu xạ tâm với tâm là α = O
và cơ sở thấu xạ là siêu phẳng β.
b) Định lý:
Cho f là thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp nền là (α , β)
mà
n
P
f id
≠
khi đó tồn tại duy nhất

{ }
\ 0,1k K
∈
sao cho
( )
thì X'X f X X
α β
∀ ∉ ∪ = ≠

thì đường thẳng nối X và X’ cắt α tại A và cắt β tại B đều
có tỷ số kép của hàng 4 điểm (ABXX’) = k.
Chứng minh:
Gọi f là phép thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp nền là (α , β) với α là cái phẳng m – chiều
(m < n) và β là cái phẳng (n – m – 1) – chiều bù với α và hai cái phẳng này chứa toàn
những điểm kép của f. Vì dim α = m nên có thể chọn trong đó m+1 điểm độc lập xạ ảnh
là
0 1
, , ,
m
A A A
. Vì dim β = n – m – 1 nên ta có thể chọn trong đó n – m điểm
21
độc lập xạ ảnh là
1 2
, , ,
m m n
A A A
+ +
. Chọn thêm một điểm E không nằm trên α
và β ( điều này có thể làm được vì α và β là hai phẳng chéo nhau ) ta được một mục tiêu

xạ ảnh trong P
n
là
{ }
0 1 1
: , , , , , , ,
m m n
R A A A A A E
+
. Gọi
{ }
0 1 1
, , , , , ,
m m n
e e e e e
+
là cơ sở nền của mục tiêu R. Đối với mục tiêu
trên thì m - phẳng α có phương trình là
1 2
0
m m n
x x x
+ +
= = = =
còn (n –
m – 1 ) – phẳng β có phương trình là
0 1
0
m
x x x

= = = =
. Qua phép thấu
xạ f các điểm thuộc α và β đều kép nên ta suy ra biểu thức tọa độ của f đối với mục tiêu
đã chọn có dạng :
'
'
. . voi p 0 và 0,1, .
. . voi q 0 và 1, 2, .
i i
j j
k x p x i m
k x q x j m m n

= ≠ =


= ≠ = + +


Ma trận A của f có (m + 1) số p và có (n – m) số q trên đường chéo chính, các phần
tử khác đều bằng 0, tức:
1
0 . . . . 0
0 . . . . .
. . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . 0
0 . . . . 0
n

p
p
A
p
q
q
+
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
Nếu p = q thì f là ánh xạ đồng nhất.
Nếu X và X’ là hai điểm tương ứng của f ( tức là X’ = f (X) ) với X không là điểm
kép của f. Giả sử X = (x
0
:x
1
:…:x
m
:x
m+1
:….:x

n
) vì X không thuộc β (do X không là
điểm kép của f ) nên trong các số x
0
,x
1
,…,x
m
phải có ít nhất một số khác 0 và trong các
số x
m+1
,….,x
n
phải có ít nhất một số khác 0 (do X không thuộc α ). Ta có X’ = (px
0
:px
1
:
…:px
m
:qx
m+1
:….:qx
n
). Giả sử đường thẳng nối X và X’ cắt α tại A và cắt β tại B. Điểm
A thuộc đường thẳng XX’ nên A có tọa độ là:
[ ] [ ] [ ]
. . 'A X X
λ µ
= +

, mặt khác A thuộc α nên tọa độ của A thỏa phương
trình của α.
22
Giả sử
[ ] [ ]
0 1 1
: : : : : :
m m n
A a a a a a
+
=
thì
1 2
0
m m n
a a a
+ +
= = = =
.
Ta có:
. . . 0 voi 1, 2, ,
j j j
a x q x j m m n
λ µ
= + = = + +
. Vì có ít nhất
một x
j
≠0 nên
. 0 q

λ µ
+ =
, ta lấy
1 và q
µ λ
=− =
khi đó
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 1
. ' ( ) : ( ) : :( ) : 0 : : 0
m
A q X X q p x q p x q p x= − = − − −
Tương tự đường thẳng XX’ cắt β tại B có tọa độ là
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2
. ' 0: : 0 :( ) :( ) : : ( )
m m n
B p X X p q x p q x p q x
+ +
= − = − − −
Do X = (x
0
:x
1
:…:x
m
:x
m+1
:….:x
n

) có x
i
≠0 với 0≤ i ≤ m và x
j
≠0 với m +1≤ j ≤ n nên
0 do p q
i j
i j
x x
px qx
≠ ≠
Ta có:
( ) ( )
' '
( ) 0
0 ( )
1 1
: :
( ) 0
0 ( )
i i i
j i j
i i i
j j j
x q p x x
x x p q x
p
k ABXX XX AB
px q p x px
q p q

qx qx p q x
−
−
−
= = = = =
−
−
−
Và k ≠ 0 vì p và q đều khác 0; k ≠ 1 vì p ≠ q (do f khác ánh xạ đồng nhất). Vậy tỷ số kép
( )
'ABXX
không phụ thuộc vào điểm X.
II. Phép thấu xạ đơn:
a) Định nghĩa:
- Phép biến đổi xạ ảnh
:
n n
f P P
→
được gọi là phép thấu xạ đơn
nếu có một siêu phẳng α mà mọi đểm của nó đều là điểm bất động.
- Siêu phẳng α được gọi là cơ sở nền hay nền thấu xạ.
- Nhận xét rằng phép đồng nhất là một trường hợp đặc biệt của phép thấu xạ đơn,
lúc đó siêu phẳng bất kỳ nào của P đều là cơ sở nền của phép thấu xạ.
b) Định lý:
Nếu f là một thấu xạ đơn khác phép đồng nhất thì có duy nhất một điểm bất động O
sao cho mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó ( bất biến ) nhưng nói chung
23
không bất động ( tức là một điểm bất kỳ của đường thẳng có thể biến thành một điểm
khác cũng thuộc đường thẳng đó ) điểm đó gọi là tâm thấu xạ.

Nhận xét:
- Nếu tâm thấu xạ O không nằm trên nền thấu xạ α thì phép thấu xạ đơn chính là
phép thấu xạ tâm O và cơ sở thấu xạ là siêu phẳng α.
- Nếu tâm thấu xạ O thuộc siêu phẳng α thì thấu xạ f được gọi là thấu xạ đơn đặc
biệt.
Chứng minh:
- Giả sử f là phép thấu xạ đơn, khác phép đồng nhất và có cơ sở nền là α. Do α là
siêu phẳng nên có thể chọn trong α hệ n điểm độc lập xạ ảnh là
{ }
1 2
, , ,
n
A A A
và
có các vectơ đại diện là
1 2
, , ,
n
e e e
. Gọi d là đường thẳng bất kỳ không nằm trong α
và cắt α tại A. Lấy
0 0
và A d A
α
∈ ∉
ta có
'
0 0
( )A f A=
và A

0
, A, A
0
’ thẳng hàng. Ta có
thể tìm được các vectơ e
0
, a, e’
0
là đại diện cho A
0
, A, A
0
’ mà e’
0
= e
0
+ a ( điều này có
thể làm được vì giả sử x, y, z là ba vectơ đại diện cho A
0
, A, A
0
’ thì do ba điểm A
0
, A,
A
0
’ thẳng hàng nên có một vectơ biểu thị tuyến tính qua hai vecto còn lại, tức: z = mx +
ny, đặt e’
0
= z, e

0
= mx, a = ny cũng là ba vectơ đại diện cho A
0
’, A
0
, A mà e’
0
= e
0
+ a ).
- Lấy E là điểm có vecto đại diện là e = e
0
+ e
1
+ … +e
n
thì ta được
{ }
0 1 2
, , , , ,
n
A A A A E
là mục tiêu của P
n
.
Do A thuộc α nên vecto đại diện của nó biểu thị
tuyến tính qua hệ vecto
1 2
, , ,
n

e e e
, tức:
a = a
1
.e
1
+ a
2
.e
2
+ … + a
n
.e
n
, vậy A = (0 : a
1
:
a
2
: … : a
n
) và
A’
0
= A + A
0
= ( 1 : a
1
: a
2

: … : a
n
).
Xét E
0
= A
1
+A
2
+…+A
n
= (0:1:1:…:1) do các
A
1
, A
2
,….,A
n
bất động nên E
0
bất động. Gọi φ là phép biến đổi tuyến tính liên kết với f .
Do
0 0
' ( )A f A=
và A
1
, A
2
,….,A
n

bất động, f(E
0
)=E
0
nên ta có:
24
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
. ' . . . .
. voi 1,2, ,
.
Cho 1 , ta có :

. . .
n n
i i i
n n
n n n n
n n n
e k e k e a e a e a e
e k e i n
e e e k e e e
k
e e e e e e e e e e e e

k e k e k e e e e
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = + + + +
= =
+ + + = + + +
=
+ + + = + + + ⇔ + + + = + + +
⇔ + + + = + + + ⇒ 1, 1,
i
k i n= ∀ =
Ma trận của f là :
0
0 1
0
0 0
. 1 0 0
0
0
. 0 0 1
n
k
k a
M
k a
 
 
 

 
=
 
 
 
 
Nhận thấy
( )
0 0 1 0 2 0
1: : : :
n
O k k a k a k a= −
là một điểm bất
động của f. Bây giờ chứng minh một đường thẳng d bất kỳ qua O bất động. Lấy X = ( x
0
:
x
1
: x
2
:….: x
n
) thuộc d và
X’ = f(X) = ( k
0
.x
0
: k
0
.a

1
.x
0
+ x
1
: k
0
.a
2
.x
0
+ x
2
: …. : k
0
.a
n
.x
0
+ x
n
)
= X + x
0
.O tức là f(X) thuộc đường thẳng nối O với X ( là d ). Vậy d là đường
thẳng bất động. (đpcm)
Nhận xét:
Vậy một phép thấu xạ nào giữ bất động một siêu phẳng thì hoặc đó là thấu xạ tâm
hoặc là thấu xạ đặc biệt.
III. Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P

2
và P
3
:
1. Trong không gian P
2
:
- Thấu xạ ( 0, 1) – cặp nền là ( O ,d ) với O là một điểm và d là đường thẳng không
qua O. Với mỗi điểm
và M d M O
∉ ≠
đường thẳng OM cắt d tại A và nếu M’ = f(M) thì
(OAMM’) = k ( với k là một số cho trước ).
25