hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao

HÌNH HỌC
11
GV: PHAN NHẬT NAM
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN
A
I(-1; 0)
O
D(1; 0)




PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
I . Các ký hiệu và thuật ngữ của phép biến hình :
1. Định nghĩa: Nếu ký hiệu phép biến hình là
f
thì ta viết
')( MMf 
khi đó M’ được gọi là ảnh
của M qua phép biến hình
f
.
2. Phép biến hình của một hình: (H) là một hình tùy ý tronng mặt phẳng và
f

là một phép biến hình
trong mặt phẳng :



Phép biến hình
f
biến (H) thành (H’)


 
)(/)(')'( MfMMfMH 

Vậy để chứng minh (H’) là ảnh của (H) qua phép biến hình
f
ta cần chứng minh :


M’

(H’)



M

(H) :
')( MMf 

3. Phép đồng nhất : Phép biến hình mà biến mỗi điểm M tùy ý trên mặt phẳng thành chính nó được gọi

là phép đồng nhất.
4. Phép giời hình: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Giải sử
f
là một phép biến hình tùy ý :



Nếu
''MN M N
thì
f
là một phép dời hình:
Ví dụ : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho phép biến hình
f
:

a. Chứng minh
f
là phép dời hình.
b. Tìm ảnh của đường thẳng
: 2 5 0xy   
qua phép dời hình
f

c. Tìm ảnh của đường tròn
   
22
( ): 1 2 2C x y   
qua phép dời hình

f

d. Tìm ảnh của elip
22
( ): 1
32
xy
E 
qua phép dời hình
f

Giải :
a. Trong mặt phẳng Oxy, xét hai điểm tùy ý :
11
( ; )M x y
và
22
( ; )N x y

Khi đó :

(H)
(H’) =
(H)


: M
M’=
N
N’=

: M(x; y)
M’(x’; y’) =
:
M’=
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com


Ta có:
 
11
' 3; 1M x y
,
 
22
' 3; 1N x y

       
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
' ' ( 3) ( 3) ( 1) ( 1)M N x x y y x x y y MN            

Do đó
f
là một phép dời hình
 
dfcm

b. Cách 1: (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của

f
)
Xét
( ; )M x y 
ta có


Khi đó ta có:
 
' 3 ' 3
' 3; ' 1
' 1 ' 1
x x x x
M x y
y y y y
   

   

   


Vì
2 5 0 ( ' 3) 2( ' 1) 5 0M x y x y         


' 2 ' 4 0 ' ': 2 4 0x y M x y        

Vậy ảnh của


qua phép dời hình
f
là
': 2 4 0xy   

Cách 2: (Sử dụng tính chất của đường thẳng)
Chọn 2 điểm phân biệt M(5; 0), N(1; 2) thuộc đường thẳng
: 2 5 0xy   
khi đó ta có:



Gọi
' ( ) 'f    
đi qua hai điểm M’(2; 1) và N’(-2; 3)

'(2;1) '
21
': ': 2 4 0
42
' ' (4; 2)
M
xy
xy
co VTCP N M




        




  



c. Cách 1: (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của
f
)
Xét
( ; ) ( )M x y C
ta có

:
N’=
: M(x; y)
M’(x’; y’) =
: M(5; 0)
M’= = (5 – 3; 0 + 1) = (2 ; 1)
N(1; 2)
N’= = (1 - 3; 2 + 1) = (-2 ; 3)
: M(x; y)
M’(x’; y’) =
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com

Khi đó ta có:
 

' 3 ' 3
' 3; ' 1
' 1 ' 1
x x x x
M x y
y y y y
   

   

   


Vì
2 2 2 2
( ) ( ' 3 1) ( ' 1 2) 2 ( ' 4) ( ' 3) 2M C x y x y            


22
' ( '):( 4) ( 3) 2M C x y     

Cách 2: (Sử dụng tính chất đường tròn)
Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và bán kính
2R 


Gọi C’(I’,R’) là ảnh của (C) qua phép dời hình
f
khi đó ta có:
' ( )I f I

và
'2RR

(vì
f
là phép dời hình nên không thay đổi kích thước của hình )
Vậy ảnh của (C) qua phép dời hình
f
là
22
( '):( 4) ( 3) 2C x y   

d. (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của
f
)

Xét
( ; ) ( )M x y C
ta có

Khi đó ta có:
 
' 3 ' 3
' 3; ' 1
' 1 ' 1
x x x x
M x y
y y y y
   


   

   


Vì
2 2 2 2
( ' 3) ( ' 1) ( 3) ( 1)
( ) 1 ' ( '): 1
3 2 3 2
x y x y
M E M E
   
       

Vậy ảnh của (E) qua phép dời hình
f
là
22
( 3) ( 1)
( '): 1
32
xy
E



5. Tính chất của phép dời hình:
a. Định lý : Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn tỷ số
khoảng cách của chúng. Biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng.

b. Hệ quả: Phép dời hình biến :
 Đường thẳng thành đường thẳng
 Tia thành tia
 Đoạn thẳng thành đoạn thẳng
 Tam giác tành tam giác bằng nó (đồng thời biến các tâm của tam giác này thành tâm của
tam giác kia(tam giác ảnh))
: I(-1; 2)
I’ =
: M(x; y)
M’(x’; y’) =
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
 Đường tròn thành đường tròn bằng nó (biến tâm đường tròn này thành tâm đường tròn
kia)
 Biến góc thành góc bằng nó
II. Bài tập minh họa:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình
Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(-1 ; 2), C(2; - 4) qua phép biến hình
f
.
Từ đó xét xem
f
có phải là phép dời hình không.
ĐS: A’(1; 5) , B(-7; 6), C(3; -1).
f
: Không phải là phép dời hình.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

Tìm ảnh của các điểm A(2; 1), B(-1 ; 3), C(-2; 4) qua phép biến hình

f
.
Từ đó xét xem
f
có phải là phép dời hình không.
ĐS: A’(4; 3) , B(-4; -4), C(-7; -7).
f
: Không phải là phép dời hình.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

Đây có phải là phép dời hình không? Vì sao?
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình



Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình?vì sao?
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình



Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình?vì sao?
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

:
M’=
:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 3y – 2 = 0 qua phép biến hình
f
trên.
Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

a. Chứng minh rằng
f
là phép dời hình.
b. Tìm ảnh của đường tròn
   
22

( ): 1 2 4C x y   

ĐS:
   
22
( '): 2 3 4C x y   

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

a. Chứng minh rằng
f
là phép dời hình.
b. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0
c. Tìm ảnh của đường tròn
   
22
( ): 3 1 2C x y   

d. Tìm ảnh của parabol
2
( ): 4P y x

ĐS: d’: x – 2y – 2 = 0,
   
22
( '): 2 1 2C x y   
,
   
2
( '): 2 4 1P y x  

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

Khẳng định nào dưới đây sai ?
A.
f
là phép dời hình
B. Nến
A Oy
thì
()f A A
(điểm A bất biến đối với phép biến hình
f
)
C.
f
là phép đồng nhất.
D.
 
(2;3)fM
thuộc đường thẳng 2x + y + 1 = 0
E. M và
()fM
đối xứng nhau qua trục hoành.
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình



Tìm ảnh của A(4; -1) qua
f

rồi
g
(tức là tìm
 
'A f g A


)

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

:
M’(x’; y’)=

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
PHÉP TỊNH TIẾN
A. Cơ sở lý thuyết :
1. Định nghĩa :

v
T
: phép tịnh tiến theo vectơ
v

vMMMM  ':'!
. M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

Ký hiệu :
)(' MTM
v

hoặc
v
T
: M M’
 Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định nếu ta biết được vectơ tịnh tiến của nó.
 Khi vectơ tịnh tiến là vectơ không thì phép tịnh tiến đó biến mọi điểm M thành chính nó. Ta gọi
phép tịnh tiến theo vectơ không là phép đồng nhất.
2. Biểu thức tọa độ : Cho vectơ
);( bav
. Khi đó ta có phép tịnh tiến :


có tọa độ được xác định theo công thức






byy
axx
'
'

3. Tính chất của phép tịnh tiến :
i. Định lý : Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tức là :
v
T
: M M’
N N’

MN = M’N’
{ hơn nữa khi đó ta có :
''NMMN 
}
ii. Hệ quả :
 Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của
chúng.
 Phép tịnh tiến theo vectơ
v
biến :
 Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
 Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.
 Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. {khi đó
ta chỉ cần xác định ảnh của tâm}.
B. Các dạng toán thường gặp :
I. Các bài toán tọa độ :
1. Xác định pt ảnh (d’) của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ

);( bav
:
Phương pháp 1:
 Chọn điểm M(x
0
; y
0
) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vectơ pháp tuyến
);( BAn
của đường
thẳng d.
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x
0
’ ; y
0
’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến
v
T
.
M’(x’ ; y’)
: M(x ; y)
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến
);( BAn

0)'()'(:)'(
00
 yyBxxAd


Phương pháp 2:
 Chọn hai điểm M(x
0
; y
0
) , N(x
1
; y
1
) cụ thể thuộc đường thẳng (d) .
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x
0
’ ; y
0
’) và N’(x
1
’ ; y
1
’) là ảnh của M và N qua phép tịnh tiến
v
T
.
 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’
''
'
''
'
:)'(

10
1
10
1
yy
yy
xx
xx
d








2. Xác định pt ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
);( bav
:
 Xác định tâm O(x
0
; y
0
) và bán kính R của đường tròn (C).
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O’(x
0
’ ; y
0
’) của tâm O qua phép tịnh tiến

v
T
.
 Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính R :
   
2
2
0
2
0
'':)'( RyyxxC 

3. Xác định pt ảnh (H’) của đường (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ
);( bav
:
 Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H):
0),( yxf
.
 Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến
v
T

)';'(
'
'
byaxM
byy
axx










0)';'()(  byaxfHM

 (H’) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến
v
T


(H’) là tập hợp tất cả các điểm M’
0);(:)'(  byaxfH

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (Oxy) cho
 
1; 2u 

a. Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :
Đường thẳng a có phương trình : 3x - 5y + 1 = 0
Đường thẳng b có phương trình : 2x + y + 100 = 0
b. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) :
22
4x 1 0x y y    

c. Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) :
22

1
94
xy


d. Viết phương trình ảnh của (H) :
22
1
16 9
xy


Giải:
a. Gọi
( ; )M x y a
. Xét tịnh tiến

M’(x’ ; y’)
: M(x ; y)
a
a’
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Theo biểu thức tọa độ ta có:
' 1 ' 1
( ' 1; ' 2)
' 2 ' 2
x x x x
M x y

y y y y
   

   

    


Ta có:
( ' 1; ' 2) 3( ' 1) 5( ' 2) 1 0M x y a x y        


3 ' 5 ' 7 0 ' ':3 5 7 0x y M a x y        

Vậy
( ) '
u
T a a
thì
':3 5 7 0a x y  

Hoàn toàn tương tự ta có :
( ' 1; ' 2)M x y b  

2( ' 1) ( ' 2) 100 0 2 ' ' 100 0x y x y         

Do đó
'bb
(tức là
':2 100 0b x y  

) {vì b cùng phương với
 
1; 2u 
}
b.
     
22
' 1 ' 2 4 ' 1 ' 2 1 0x y x y        
hay (C’):
22
6x 5 10 0x y y    

c.
       
2 2 2 2
' 1 ' 2 1 2
1 ( '): 1
9 4 9 4
x y x y
E
   
    

d.
       
2 2 2 2
' 1 ' 2 1 2
1 ( '): 1
16 9 16 9
x y x y

H
   
    


II. Các bài toán hình học cổ điển :
1. Chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học :
 Từ giả thuyết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định.
 Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được. (tức là dựng một hình bình hành
phù hợp sao cho một cạnh chứa 2 điểm vừa xác định ở bước trên)
 Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để chứng minh các yếu tố trong hình hoặc xác
định các tính chất của hình.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và điểm B’sao cho tia B’B cắt cạnh AC. Phía ngoài
tam giác ABC dựng các hình bình hành BB’A’A, BB’C’C và AA”C”C sao
cho A là trung điểm của đoạn AA”. Chứng minh rằng :
" " ' ' ' 'AA C C BB A A BB C C
S S S
(với
()H
S
: diện tích của hình (H))
Giải:
Ta có: BB’A’A , BB’C’C và AA”C”C là hình bình hành
''B B A A
,
''B B C C
và
""AA CC

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Lại có A là trung điểm của A’A”
'"A A AA

Do đó :
' " " ' 'A A AA CC C C B B   

Theo định nghĩa phé tịnh tiến ta có:




Mà
'BB
T
là phép dời hình nên ta có
A’B’C’CA và ABCC”A” là các ngũ giác bằng nhau
' ' ' " "A B C CA ABCC A
SS

Lại có :
' ' ' ' ' ' '
" " ' ' ' '
" " " '
BB A A BB C C A B C CA ABC
ACC A BB A A BB C C
ACC A ABCC A ABC
S S S S
S S S

S S S
  

  



(đpcm)
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có
63AB 
cm,
12CD 
cm,
0
60BAD 
,
0
150ABC 
,

0
90ADC 
. Tính độ dài các cạnh BC và DA.
Giải:
Xét phép tịnh tiến :
Khi đó ta có :
AM BC
và AB = MC =
63

Do đó: ABCM là hình bình hành
00
180 30BCM ABC   
(vì
0
150ABC 
)
Lại có:
0 0 0
360 ( ) 60 30BCD A B D MCD      

Theo định lý cosin cho tam giác MDC ta có:

2 2 2
2 . cos 36 6MD CM CD CM CD MCD MD     
cm.
Ta có:
2 2 2
144MC MD DC MDC    
vuông tại M
00
60 30MDC MDA   

A
A”
A’
C”
C
C’
B’

B
A
: A’
A’B’C’CA
ABCC”A”
C
C’

B
B’
A”
A
C”
C
A
D
B
C
M









M
: A

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com

DMA
cân tại M (vì
00
60 30MAD MAB  
)

0
0
6
6
.sin 6.sin120
63
63
sin30
sin sin sin
BC MA MD
BC cm
AD DM DM AMD
AD
AD cm
AMD MAD MAD
  







    






2. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước : (quỹ tích)
 Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho
vEM 
không đổi. (tức là phải tìm ra một hình bình
hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố định)
 Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E.
 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi . Biết AB = a
và CD = b (với a, b khôngđổi). Tìm quỹ tích điểm C trong các trường hợp sau
a. Góc
0
90ADB 

b. DA = DB
Giải:
a.
 Gọi I là trung điểm AB


I cố định
gt ADB
vuông tại D

22
AB a
ID IA IB   

Do đó điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm I và
bán kính
2
a
R 
bỏ đi hai điểm A và B ((C):cố định)
 Goi A’ thuộc cạnh AB sao cho:
'AA b
AB a


'AA CD
là hình bình hành

'DC AA
(với
'AA
cố
định) . Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

Mà điểm D chạy trên đường tròn (C) nên điểm C sẽ chạy trên đường tròn (C’).
Vậy tập hợp tất cả các điểm C là đường tròn (C’) tâm
 
'
'
AA
I T I
và bán kính
2
a
R 
bỏ đi hai giao
điểm của (C’) và đường thẳng AB.
A
B
D
C
I
I’
A’






PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
b.

 Gọi d là trung trực của AB

d cố định (vì A, B cố định)
theo giả thiết ta có
DA DB


D chạy trên d (bỏ trung điểm AB)
 Goi A’ thuộc cạnh AB sao cho:
'AA b
AB a


'AA CD
là hình bình hành

'DC AA
(với
'AA
cố định) . Từ đó theo định
nghĩa phép tịnh tiến ta có:

Mà điểm D chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’.
Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng
 
'
'
AA
d T d
,bỏ giao điểm của d’ và đường thẳng AB

Ví dụ 2: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi
trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm
trên một đường tròn cố định .
Giải:
Kẻ đường kính BB’ .
Ta có :
'
' / /
AB AB
AB CH
CH AB







Tương tự ta lại có:
' / /B C AH

'AHCB
là hình bình hành
'AH B C

mà
'BC
là vectơ cố định, nên theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

Lại có A chạy trên đường tròn (O,R) nên điểm H chạy trên (O’,R).( với
'
' ( )
BC
O T O
)
Vậy quỹ tích của điểm H là đường tròn tâm
'
' ( )
BC
O T O
(tức là
OO' 'BC
)và bán kính R.
H
: A
(O, R)
(O’,R)
.
A
B
B’
C
H
O
O’
B
A’
A
D

C






PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B . Gọi d là
đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt (O) , (O’) lần lượt tại M và N.
Lấy điểm P trên tia AM, điểm Q trên tia AN sao cho AP = AQ =
1
2
MN
.
a. Tìm tập hợp tất cả các điểm P
b. Tìm tập hợp tất cả các điểm Q.
Giải:
Gọi H, H’ lần lượt là hình
chiếu của O, O’lên đường thẳng d
Gọi I’ là hình chiếu của O lên O’H’
I là hình chiếu của O’ lên OH
K là trung điểm của OO’
Khi đó ta có:

0
' ' 90OI O 
I’ chạy trên đường tròn (K)

0
' 90OIO 
I chạy trên đường tròn (K)
Với (K) là đường tròn cố định (vì (K)có đường kính OO’ cố định)
a. Ta có: OI’H’H là hình chữ nhât (vì có 3 góc vuông)
1
''
2
OI HH MN  
mà theo giả thiết ta lại có
1
2
AQ MN

'AQ OI  
AOI’Q là hình bình hành
'I Q OA

Lại có hai điểm O và A cố định nên
OA
cố định ,
Do đó ta có phép tịnh tiến sau:


Lại có điểm I’ chạy trên đường trong (K)
nên điểm Q chạy trên đường tròn
 
( ') ( )
OA

K T K

Vậy quỹ tích của Q là đường tròn
 
( ') ( )
OA
K T K

.

A
B
N
M
Q
P
O’
O
H
H’
I
I’
K
.

Q
(K)
(K’)
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
(với tâm K’ được xác định bởi đẳng thức
'KK OA
và bán kính
'
2
OO
R 
)
b. Hoàn toàn tương tự câu a ta có
Quỹ tích của P là đường tròn tâm
 
'
( ") ( )
OA
K T K

(với K” được xác định bởi đẳng thức
"'KK O A
và có bán kính
'
2
OO
R 
)
Kinh nghiệm:
Thông qua 2 ví dụ trên ta thấy : với bài toán quỹ tích trong phép
tịnh tiến thì quan trọng nhất là ta phải dựng được một hình bình hành có
một cạnh cố định và hai điểm thay đổi (trong đó có một điểm cần tìm quỹ
tích và một điểm cho trước quỹ tích hoặc có tìm cũng rất đơn giản)

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A cố định, BD có độ dài không đổi bằng 2
và A,B,D nằm trong đường tròn cố định O, bán kính R. Tìm quỹ tích của đỉnh C.
Giải:
Gọi H là trực tâm của tam giác ABD
I là trung điểm BD
A’ đối xứng A qua tâm O
Khi đó ta có:

/ / '
'
BH AD
BH A D
A D AD








/ / '
'
DH AB
DH A B
A B AB








Do đó ta có: BHDA’ là hình bình hành


I là trung điểm HA’

OI là đường trung bình của
'AHA

2AH OI
(1)


2
2 2 1AH OI R  


quỹ tích của điểm H là đường tròn (C) tâm A bán kính
2
21R 

Vì ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của AC
.
.
A
B
A
’

C
D
H
I
O
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com


OI là đường trung bình của
'ACA

'2A C OI
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
'A C AH
AHCA’ là hình bình hành
'HC AA

Lại có
'AA
cố định (vì A cố định và O cố định)
Do đó theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có:



Lại có H chạy trên đường tròn



2
, 2 1AR
nến C sẽ chạy trên đường tròn


2
', 2 1AR

Vậy quỹ tích của điểm C là đường tròn tâm A’ (đối xứng A qua O) và bán kính
2
21R 

3. Dựng hình :
 (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và vectơ
v
không đổi cho trước sao cho khi thực hiện
phép tịnh tiến theo vectơ
v
ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng.
 Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ
v
để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng .
Ví dụ: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) {với
'RR
} và đường thẳng

.
Hãy dựng đường thẳng d song song với

và chắn đường tròn (O) , (O’)

những dây cung bằng nhau.
Giải:
Phân tích: Giả sử dụng được đường
thẳng d //

,
cắt (O) và (O’) tại A, B và A’, B’
Khi đó ta có:

' ' ' ' 'AB A B AA BB HH OI    

Do đó ta có:

O
.
.
O’
A
B
A’
B’
H
K
I
x
d

H’

A’

(O,R)
(I, R)
B’
B




A
A’


PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
Mà A, B thuộc (O,R) nên A’, B’ thuộc (I,R)
Cách dựng :
Dựng tia
'Ox O K
(với k là hình chiếu của O’ lên

)
Gọi
'I Ox O K

Dựng đường tròn tâm I bán kính bằng R
Gọi
   
', ' ', ' ( , )A B O R I R

Dựng đường thẳng d đi qua hai điểm A’ và B’
Chứng minh:
Vì
   
', ' ', ' ( , ) ' ' ' 'A B O R I R A B O I d O K d      
//


Xét phép tịnh tiến

Do đó ta có:
, ( , ) , ( , )
' ' ' '
,
''
A B O R A B O R
A B AB A B AB
A B d
A A B B IO





  







( vì IO // d)
Biện luận:
Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi 2 đường tròn (I, R) và (O’,R’)cắt nhau.
Khi đó bài toán chỉ có một nghiệm hình.






A
(O,R)
(I, R)
B
B’
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(-3; 4) qua phép tịnh tiến
v
T
trong các trường hợp sau
a.
 
2;1v 
b.
 
3; 2v 

c.
 
3; 2v 

Bài 2: Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ điểm B sao cho
 
v
A T B
trong các trường hợp sau:
a.
 
2;1v 
b.
 
3; 2v 
c.
 
3; 2v 

Bài 3: Tìm tọa độ của vectơ
v
sao cho
 
'
v
T M M
trong các trường hợp sau:
a. M(-10; 1) và M’(3; 8) b. M(-5; 2) và M’(4; -3) c. M(2; 3) và M’(4; -5)
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 0), B(-2; 4), C(-4; 5). G là trọng
tâm tam giác ABC và phép tịnh tiến theo vectơ

0u 
biến A thành G.
Tìm G’ là ảnh của G qua phép tịnh tiến đó.
HD: G là trọng tâm của
 
; 1;3
33
A B C A B C
x x x y y y
ABC G G
   

   




   
4; 3
u
G T A u AG    
.

 
' 1 4 ' 5
'( '; ') '( 5; 6)
' 3 3 ' 6
u
xx
T G G x y G

yy
    

    

  


Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường tròn
   
22
( ): 1 3 2C x y   
và
22
( '): 10 4 25 0C x y x y    
.Có hay không phép tịnh tiến vectơ
0u 
biến (C) thanh (C’)
HD: (C) có tâm I(1; -3), bán kính R = 2, (C’) có tâm I’(5; -2), bán kính R’ = 2
Do R = R’ = 2 nên tồn tại một phép tịnh tiến theo
 
' 4;1u II
biến (C) thành (C’)
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0. Tìm phương trình của
đường thẳng d’ là ảnh của d thông qua phép tịnh tiến theo
v
trong các trường hợp sau
a)
 
 1; 2v

b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v
= (3; –2)
Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):
   
22
1 2 4xy   
Tìm phương trình của
đường tròn (C’) là ảnh của (C) thông qua phép tịnh tiến theo
v
trong các trường hợp sau
a)
 
4; 3v 
b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v
= (3; –2)
PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com
Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip
 


22
:1
94
xy
E
Tìm phương trình của
Elip (E’) là ảnh của (E) thông qua phép tịnh tiến theo
v
trong các trường hợp sau
a)
 
4; 3v 
b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v
= (3; –2)
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol
 

22
:1
16 9
xy
H
Tìm phương trình của
Hypebol (H’) là ảnh của (H) thông qua phép tịnh tiến theo

v
trong các trường hợp sau
a)
 
4; 3v 
b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v
= (3; –2)
Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol
 

2
: 16P y x
Tìm phương trình của
parabol (P’) là ảnh của (P) thông qua phép tịnh tiến theo
v
trong các trường hợp sau
a)
 
4; 3v 
b)
v
= (2; 1) c)
v
= (–2; 1) d)
v

= (3; –2)
Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d cắt Ox tại A(1; 0), cắt Oy tại B(0; 3).
Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
v
= (–1; -2)
Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ
v
= (2; m).
Tìm m để phép tịnh tiến
v
T
biến d thành chình nó.
Bài 14: Cho đoạn AD cố định dựng một hình bình hành ABCD sao cho
AC BD
AD AB

.
Tìm quỹ tích của đỉnh C của hình bình hành ABCD.
HD: Đặt AD vào hệ trục như hình vẽ
(không mất tính tổng quát ta đặt AD = 1)
Khi đó ta có:
1,AD 

22
AB x y


22
( 1)AC x y  
và

22
( 1)BD x y  



AC BD
AC AB BD AD
AD AB
  


2 2 2 2 2 2
( 1) ( 1) .1x y x y x y      


  
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1x y x y x x x y        

A
I(-1; 0)
O
D(1; 0)




PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com

  
2 2 2 2
2 2 1x y x y x x      

  
2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 1x y x y x x y x x          


  
2 2 2 2
1 2 1 0x y x y x      


2 2 2 2
2 1 0 ( 1) 2x y x x y        
(
22
1 0, ,x y x y R    
)
Do đó quỹ tích của B là đường tròn (C) tâm I (với I đối xứng D qua B) và
2R AD
(bỏ hai
giao điểm P, Q của (C) và đường thẳng AD)
Vì ABCD là hình bình hành nên
BC AD
(với
AD
cố định)

ĐS:
       
' \ , ( ) \ ,
AD
C C M N T C P Q


(Dễ thấy (C’) có tâm A và bán kính
2R AD
)
Bài 15: Cho tam giác ABC. Gọi
1 2 3
,,A A A
lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Gọi
1 2 3
,,O O O
và
1 2 3
,,I I I
Tương ứng là tâm đường tròn ngoại
tiếp và nội tiếp của
1 1 1 1 1 1
,,ABC BC A CAB  

HD:
1 1 1 1
2
: , ,
AB

T A C C B B A


1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 2 1 2
;;
AB AB AB
T T T
AB C C BA O O I I  
1 2 1 2 1 2 1 2
OO I I OO I I   

Lý luận tương tự: Xét các phép tịnh tiến:
1
2
BC
T
,
1
2
CA
T

Bài 16: Cho hìnht hang ABCD (BC // AD), (tổng hai đáy lớn hơn tổng hai cạnh bên). Gọi M là giao điểm
của các đường thẳng phân giác trong của các góc A và B, gọi N là giao điểm của các
đường giác trong của các góc C và D. Chứng minh rằng 2MN = BC + AD – (AB + CD)
HD:
   
1 1 1 1

: ; ;
MN
T M N B B B AC A A A AD

Khi đó N là tâm đường tròn ngoại tiếp
11
A B CD


   
1 1 1 1 1 1
A B CD BC AD AB CD BC BB AD AA         




PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com
Bài 17: Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm
trong tam giác MBD và
MBC MDC
. Chứng minh rằng :
AMD BMC

HD:
: '; ; ; ' ; '
BA
T M M B A C D BMC AM D MBC M AD

AMM’D là tư giác nội tiếp :
'AMD AM D

Bài 18: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một điểm M thay đổi trên (O).
Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho :
'MM MA MB

HD:
' ' 'MM MA MB MM MB MA MM AB      
. Xét
AB
T

Bài 19: Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R).
Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .
HD: Xét phép tịnh tiến:
AB
T

Bài 20: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B .
Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho
'MM AB
.
HD: Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến
theo véc tơ
AB
. Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của
(O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn
ảnh với đường tròn (O’;R’).
Bài 21: Cho hai đường thẳng song song nhau d và d’ . Hãy chỉ ra phép tịnh tiến biến d thành d’.

Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến đó.
HD: Xét phép tịnh tiến:
AB
T
(Với
Ad
,
'Bd
). Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d’
Bài 22: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’).
Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến (O;R) và (O’;R’). có bao nhiêu phép tịnh tiến như vậy.
HD: Nếu R = R’ thì có duy nhất một phép tịnh tiến
'OO
T
biến (O;R) và (O’;R’).
Nếu
'RR
thì không có phép dời hình nào biến (O;R) và (O’;R’). kể cả phép tịnh tiến


PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com
Bài 23: Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn (C).
Tìm quỹ tích trung điểm M của BC.
HD: Xét phép tịnh tiến :
1
2
AB
T

Bài 24: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi .
Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q .
Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?
HD: Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’
cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra :

2MH OA BA
. Vậy phép tịnh tiến theo
BA
biến điểm M thành điểm H .
Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép
tịnh tiến
BA
.
Tương tự đối với tam giác NPQ .
Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm
ảnh của A,B .
Bài 25: Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng
song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu (MN) bắc qua sông và làm hai đoạn thẳng
AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM + BN là ngắn nhất .
HD: Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên
MN U
.
Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo
U
. Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM .
Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA + NB = A’N + NB

PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com
Bài 26: Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q .
Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN + QM nhỏ nhất .
HD: Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi .
cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau :
- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo
D'C U QQ
.Khi đó MN=QQ’ ,
suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng
- Các bước thực hiện :
+/ Tìm Q’ sao cho :
D'C U QQ

+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N
+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Bài 27: Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bởi
AB DM
và
CBM CDM

Chứng minh rằng
ACD BCM

HD: Xét phép tịnh tiến
AB
T

Bài 28: Cho tam giác ABC có đường cao AH . Dựng hình vuông BCDE ở phía ngoài tam giác.
Từ D, E lần lượt dựng đường d và d’ vuông góc với AB, AC.
Chứng minh hai đường d, d’ và AH đồng quy
HD: Xét phép tịnh tiến
  :'
BE
T ABC A ED