TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI TẬP &
HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC
1
CHỦ ĐIỂM 1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1
VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) =
x 1
x 2
+
+
2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:
a) y =
| x | 1
| x | 2
+
+
b) y =
| x 1|
x 2
+
+
c) y =
x 1
| |
x 2
+
+
d) y =
x 1
| x 2|
+
+
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
x 3x 3
| x 1|
+ +
+
= m
Bài 3: 1) Hãy vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số:
2 | x |
y
| x | 1
=
−
2) Dùng (C
1
) để biện luận theo m số nghiệm của
phương trình:
(m – 2).|x| - m = 0 trên đoạn [-1, 2]. (ĐH QG
TP HCM KD)
Bài 4: Cho hàm số: y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (C)
(ĐH KA – 2006)
Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
y = 2|x|
3
– 9x
2
+ 12|x| = m
2
VẤN ĐỀ 2:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 3m – 5
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực
trị đó
Bài 2: Cho hàm số: y = – x
3
+ 3mx
2
+3(1 - m
2
)x + m
3
- m
2
(C
m
)
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b)Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị
của (C
m
)
(ĐH KA
– 2002)
Bài 3: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
- 9x + m
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực
trị đó
Bài 4: Cho hàm số
2
x (m 1)x m 1
y
x m
+ + − +
=
−
a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT.
b) Tìm m để y
CĐ
.y
CT
> 0
c) Viết phương trình qua hai điểm CĐ và CT của đồ
thị.
3
VẤN ĐỀ 3:
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM
BẬC BA
A. Phương pháp:
Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C), ta có các
bài toán sau:
g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔
'
f (x)
max min
> 0
y .y 0
∆
<
g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ dương ⇔
'
f (x)
max min
max min
> 0
y .y 0
x 0,x 0
ad 0
∆
<
> >
<
g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ âm ⇔
'
f (x)
max min
max min
> 0
y .y 0
x 0,x 0
ad 0
∆
<
< <
>
g
(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm: (C)
tiếp xúc với Ox)
⇔
'
f (x)
max min
> 0
y .y 0
∆
=
hay hệ
f (x) 0
f (x) 0
'
=
=
có nghiệm
(Điều kiện tiếp xúc)
4
g
(C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔
'
'
f (x)
f (x)
max min
0
> 0
y .y 0
∆ ≤
∆
>
g
Ngoài ra dựa vào đồ thị ta còn có nhiều bài toán
khác…
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với hoành, biết:
a) (C
m
): y = x
3
- mx + m – 1
b) (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 3)x
2
+ 18mx – 8
c) (C
m
): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 2m + 1
Bài 2: Cho (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau
Bài 3: Cho (C
m
):
3 3
2 2
x m
y mx (m 1)x
3 3
= − + − −
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ
đều dương
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
4x
3
- 3x + m = 0
ĐS: -1< m <
1
VẤN ĐỀ 4
BÀI TOÁN TÌM THAM SỐ (m, a,…)
ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH F(x,m) CÓ N NGHIỆM
A. PHƯƠNG PHÁP:
Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng một trong hai
cách sau đây:
• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm (C):
f(x) với đường
thẳng (d): y = g(m) ( Chỉ cần lập BBT của f(x) )
Đặc biệt: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của
hàm số f(x).
5
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m
= m
1x
2
+
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
m)x6)(x3(x6x3
=−+−−++
2) x + 3 = m
2
1x +
3)
m1xx1xx
22
=+−−++
4)
6mx4xmx4x
4
44
=+++++
5) m(
22422
x1x1x12)2x1x1
−−++−=+−−+
(ĐH KB – 2004)
6) 3
4
2
1x21xm1x
−=++−
(ĐH KA – 2007)
7) x
3
+ 3x
2
- 2
3 2
x +3x
+ m -1 = 0
8)
2
2
4 4 log (16 8)x x x x m+ − = − + −
Bài 3: CMR với
∀
m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân
biệt:
x
2
+ 2x - 8 =
.( 2)m x
−
(ĐH K
B
– 2007)
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân
biệt:
1x22mxx
2
+=++
(ĐH K
B
– 2006)
VẤN ĐỀ 5
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
A. PHƯƠNG PHÁP
Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) thoả mãn một số điều kiện cho sẵn:
1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) thuộc (C) có phương
trình là:
y – y
0
= f’(x
0
).(x – x
0
) (k = f’(x
0
): là hệ số góc)
6
♦ Các dạng khác nhau của đề bài:
• Cho x
0
: Tính y
0
= f(x
0
) và f
’
(x
0
)
• Cho y
0
: Giải phương trình y
0
= f(x
0
) để có x
0
rồi tính f
’
(x
0
)
• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:
Giải phương trình f
’
(x
0
) = k để có x
0
rồi tính y
0
= f(x
0
)
2. Tiếp tuyến của (C) đi qua (kẻ từ) điểm M(x
1
,y
1
) bất kỳ
( M(x
1
,y
1
) có thể thuộc hay không thuộc (C) )
♦ Cách 1:
• Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x
1
,y
1
)
và có hệ số góc k
y – y
1
= k(x – x
1
)
⇔
y = k(x – x
1
) + y
1
(1)
• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x
0
⇔
x
0
và k là
nghiệm của hệ phương trình:
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +
=
(I) ⇒ k rồi thay vào (1).
♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x
0
)
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x
0
,y
0
) là:
y – f(x
0
) = f’(x
0
).(x – x
0
) (1)
• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x
1
,y
1
) nên x
1
và y
1
nghiệm
đúng (1):
y
1
– f(x
0
) = f’(x
0
).(x
1
– x
0
) (2)
• Giải (2) ta có x
0
rồi thế x
0
vào (1) ta được phương trình
tiếp tuyến cần tìm.
3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x
1
; y
1
) kẻ được n
tiếp tuyến
Phương pháp thông thường là bắt hệ (I)
f(x) k(x x ) y
1 1
'
f (x) k
= − +
=
có n nghiệm ⇔ f(x) = f
’
(x)(x – x
1
) +
y
1
có n nghiệm
4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y =
2
ax + bx + c
' '
a x + b
(H)
Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):
7
• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:
+ M là trung điểm của AB
+ Tam giác AIB có diện tích không đổi
• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng
số
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
(C)
Viết phương trình tiếp tuyến (T) của (C) trong các
trường hợp sau:
1) Tại điểm A(-2; 8), B(2; 8)
2) Biết hoành độ tiếp điểm bằng -2
3) Biết tung độ tiếp điểm bằng 27
4) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = -
1
3
x
+ 3
5) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 2
6) Biết (T) đi qua (kẻ từ) điểm P(0, 1).
Bài 2: Cho hàm số y = -2x
3
+ 6x
2
– 5 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ (đi qua) A(-
1; -13)
(ĐH DB KB
2007)
Bài 3: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
(H).
Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến
này vuông góc với
đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0
Bài 4: Cho hàm số
2
x 2x 2
y
x 1
+ +
=
+
(C), gọi I là giao điểm
của hai tiệm cận của
(C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C)
đi qua điểm I.
Bài 5: Cho (C
m
): y =
(m 1)x m
x m
− +
−
Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm trên (C
m
) có
hoành độ x
0
= 4 thì
8
song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục
tọa độ.
Bài 6: Cho hàm số y = 2x +
2
x 1−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận
của (H)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B
thì M là trung điểm của AB và tam giác AIB có
diện tích không đổi, khi M thay đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một
hằng số.
c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
Bài 7: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
− +
−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận
của (H). Nếu tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh
rằng:
1) M là trung điểm của PQ
2) Tam giác AIB có diện tích không đổi
3) IQ.IP không đổi.
CHỦ ĐIỂM 2
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 1
ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC
TÍNH CHẤT
A. PHƯƠNG PHÁP:
• Dùng công thức tách, công thức vi phân… để
cách biến
9
đổi các hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể sử
dụng trực tiếp
bảng các nguyên hàm cơ bản.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
10
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
x
e
x
e 1 dx
2
x
−
+
∫
÷
2)
x x 1
2 .3 dx
+
∫
3)
2
dx
x.ln x
∫
4)
x
2x
e dx
e 1
∫
−
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1)
2
x x
sin cos dx
2 2
−
∫
÷
2)
2
x
sin dx
2
∫
3)
2 2
cos2x
dx
cos x.sin x
∫
4)
cos2x
dx
sin x cos x
∫
+
5)
2
cotg x dx
∫
6)
3
t g x dx
∫
7)
2
sin x dx
∫
8)
3
cos x dx
∫
9)
4
sin x dx
∫
10)
5
tg x dx
∫
11)
4
3 5
dx
sin x cos x
∫
12)
ln(ex)
dx
1 x ln x
∫
+
13) I =
π
2
4
π
4
dx
sin x
∫
14)
π
4
4
0
dx
cos x
∫
15)
π
3
3
2
3
π
3
sin x sin x
cotgx dx
sin x
−
∫
16)
dx
π
cosx.cos(x )
4
+
∫
17)
π
3
π
6
dx
π
sin x.sin(x )
6
+
∫
18)
2009
ln x
dx
x
∫
ĐS (TPXĐ): 13. (
4
3
) 14. (
4
3
) 15. (
3
1
8 3
−
) 17.
3
(2.ln )
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1)
2
3
1
x dx
x
−
∫
÷
2)
4 2
2
x 2x x 2
dx
x x 1
+ + +
∫
+ +
3)
3 5
dx
x x
∫
+
4)
dx
3
x x
∫
−
5)
3
8
x
dx
x 2
∫
−
6)
3
(3x 1)
dx
(x 1)
+
∫
+
7)
dx
x 2 x 1
∫
− − +
8)
2
2x
dx
x x 1
∫
+ −
9)
2 5
(4x 4x 1) dx− +
∫
10)
(2x 3) 2x 1 dx+ +
∫
11)
dx
3 2x
∫
−
12)
3x 1
dx
2x 3
+
∫
−
13)
2
2x 7x 7
dx
x 2
− +
∫
−
14)
2
4x 7
dx
2x 7x 7
−
∫
− +
15)
2
x 2
dx
x 3x 2
−
∫
− +
11
VẤN ĐỀ 2
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
A. PHƯƠNG PHÁP
Tính I =
f (x)dx
∫
, ta có hai trường hợp sau:
• TH1: I =
'
f (x)dx g[φ(x)].φ (x).dx=
∫ ∫
Thì ta đặt: t =
φ(x)
⇒ dt =
'
φ (x).dx
⇒ I =
g(t)dt
∫
Tích phân này dễ dàng tính được.
(Tức nếu ta thấy trong biểu thức f(x) có thừa số này là đạo hàm của
thừa số kia thì ta đặt t = thừa số này)
• TH2: Theo các mẫu đã học ở SGK hay do đề bài hướng dẫn ta có thể đặt
x =
φ(t)
⇒ dx =
'
φ (t).dt
⇒ I =
'
f[φ(t)].φ (t).dt g(t)dt=
∫ ∫
Tích phân này dễ dàng tính được
Các mẫu cần nhớ: Nếu tích phân có chứa:
1)
2 2
α u+
hay
2 2
1
α u+
, ( a > 0, Δ < 0): Đặt u = α tgt với
π
2
−
< t <
π
2
2)
2 2
α u−
( a < 0, Δ < 0): Đặt u = α sint với
π
2
−
≤ t ≤
π
2
3)
2 2
uα−
( a > 0, Δ > 0): Đặt u =
α
cost
với t∈(0,π)\{
π
2
}
VD:
∗
I =
2 2
dx
x 1 x
∫
−
thì ta đặt x = sint với
π π
t
2 2
− < <
∗
I =
1
2
0
dx
1 x+
∫
thì ta đặt x = tgt với
π π
t
2 2
− < <
⇒ I =
π
4
…
Chú ý: Tính tích phân xác định thì ta chỉ đổi thêm cận và thay cận là xong
12
13
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
1) I =
3
2
(2x 3). x 3x 5 dx− − +
∫
2) J =
dx
xln x
∫
3) T
=
1
2
0
dx
1 x+
∫
4) K =
2
4
x 1
dx
x 1
−
+
∫
5) L =
3
6 4 2
x x
dx
x 4x 4x 1
−
+ + +
∫
6) T
=
2
dx
x x 1+ +
∫
7)
X
1
dx
1 8+
∫
8)
4
1
X
1
x
dx
1 2
−
+
∫
(câu 7; 8: Đặt t = -x ; câu
7, ĐS: 1/5)
HD: 3) Đặt x = tant ⇒ t = ln(
2
+ 1)
4) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x
2
Sau đó đặt u = x +
1
x
⇒ ĐS: K =
2
2
1 x 2x 1
ln | | C
2 2 x 2x 1
− +
+
+ +
5) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x
3
, Sau đó đặt u =
x +
1
x
⇒ ĐS: K =
4 2
4 2
1 x 2x 1
ln C
2
x 2x 1
+ +
+
+ +
VẤN ĐỀ 3
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP: Dùng phương pháp này để tính I =
f (x)dx
∫
khi:
• f(x) có chứa hàm lôgarit mà không có dấu hiệu để
đặt ẩn phụ
• f(x) là tích của hai loại hàm khác nhau
Khi đó ta chọn:
'
uφ(x) du φ (x)dx
dv v dv
= ⇒ =
⇒ =
∫
⇒ I =
udv uv vdu
b b
b
u.dv uv v.du
a
a a
= −
∫ ∫
= −
∫ ∫
(Trong đó: u.dv = f(x).dx)
Chọn u, dv thích hợp thì
vdu
∫
có dạng đơn giản.
Chú ý: Nếu
f (x)dx
∫
=
( ) ( )
P x .g x dx
∫
(Tích hai loại hàm
khác nhau)
∗
Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm thuận như:
sinu, cosu,e
u
thì ta đặt u = P(x) , dv = g(x).dx = (sinu /
cosu / e
u
)dx
∗
Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm ngược như:
u
a
log
, lnu
thì ta đặt u = g(x) =
u
a
log
/ lnu còn dv = P(x).dx
∗
h(x)
e .L(x).dx
∫
: Đặt u = e
h(x)
, dv = L(x).dx (L(x):
Hàm lượng giác)
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
Bài 1: 1)
1
2 x
0
(x 2x).e dx+
∫
2)
e
1
(1 x).ln x dx+
∫
3)
e
2
1
ln x dx
∫
HD-ĐS: 1) e 2)
2
e 5
4 4
+
3) Đặt u = ln
2
x, dv = dx:
ĐS: e-2
Bài 2:
1)
1
2 2x
0
(1 x) .e dx+
∫
(Đặt u =
2
(1 x)+
, dv = e
2x
dx) 2)
e
2
1
x.ln x dx
∫
3)
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)+
∫
(Đặt u = lnx , dv =
2
1
(1 x)+
.dx) 4)
2
2
1
ln x
dx
x
∫
5)
1
2
0
x 1 dx+
∫
(Đặt u =
2
x 1+
, dv = dx)
6
∗
)
π
4
3
0
dx
cos x
∫
6)
π
2
2
0
x.cos x dx
∫
7)
π
2
0
x.sin x.cos x dx
∫
(Đặt u = x, dv =
2
sin x.cos x dx
) 8)
π
2
x 2
1
e .cos x dx
∫
9)
π
e
1
cos(lnx) dx
∫
(Đặt u = cos(lnx), dv = dx) 10)
2
2
1
1
x ln(1+ ) dx
x
∫
HD & ĐS: 1)
2
5e 1
4
−
2)
2
e 1
4
−
3) 0 4)
1
(1 ln 2)
2
−
5)
1
( 2 ln( 2 1)
2
+ +
)
6)
2
π 1
16 4
−
7)
π
3
8)
π
2
1
(2e 3)
5
−
9) -
π
1
(e 1)
2
+
10) Đặt u =
1
ln(1+ )
x
, dv = x
2
dx, ĐS: 3ln3-
10
3
ln2+
1
6
∗
6
) Đặt u =
1
cosx
,
dv =
2
dx
cos x
, ĐS:
2 1
ln( 2 1)
2 2
+ +
VẤN ĐỀ 4
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
1) I =
4x 3
dx
2x 1
+
+
∫
2) I =
2
dx
x 4x 1− +
∫
3) I =
3 2
2x 3
dx
x x 2x
+
+ −
∫
4) I =
2
3
x 4x 2
dx
(x 1)
+ +
+
∫
5) I =
5
4 2
x
dx
x 3x 2+ +
∫
6) I =
2
3
3x 3x 3
dx
x 3x 2
+ +
− +
∫
7)
1
2
0
5x 13
I dx
x 5x 6
−
=
− +
∫
8)
e
3 2
1
2x 5
I dx
x 3x 4
−
=
− +
∫
9)
3
3
2
0
x
I dx
x 2x 1
=
+ +
∫
10)
4
1
6
0
x 1
I dx
x 1
+
=
+
∫
11)
3
2
2
0
3x
I dx
x 2x 1
=
+ +
∫
12)
2
2
2
1
x
I dx
x 7x 12
=
− +
∫
HD & ĐS: 1) I = 2x +
1
ln | 2x 1| C
2
+ +
2) I =
1 x 2 3
ln | | C
2 3 x 2 3
− −
+
− +
3)
3 2
2x 3 A B C
x x 1 x 2
x x 2x
+
= + +
− +
+ −
⇒ A = -
3
2
,
B =
5
3
, C = -
1
6
4)
2 3
A B C
I
x 1
(x 1) (x 1)
= + +
+
+ +
⇒ A = 1, B = 2, C
= - 1
5)
2 2
Ax B Cx D
I
x 2 x 1
+ +
= +
+ +
⇒ B = D = 0, C= -1, A =
4
ĐS:
2
2 2
x 1
-2ln(x +2)+ ln(x +1)+C
2 2
6)
2
A B C
I
x 1 x 1
(x 1)
= + +
− +
−
⇒ A = 3, B = 2, C =
1
7) -ln18 8)
1 7 x 2
ln | |
3(x 2) 9 x 1
−
+
− +
+ C
9) 3ln4 -
9
4
10)
π
3
11) – 8 +
9
2
ln9 12) 1 + 25ln2
– 16ln3
VẤN ĐỀ 5
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau đây:
Bài 1:
1)
2
3
(2x 3) dx+
∫
2)
3
dx
(2x 3)+
∫
3)
(x 2) 2x 3 dx+ +
∫
4)
1
0
dx
1 x+
∫
5)
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫
6)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
7)
3
5 2
0
x 1 x dx+
∫
8)
3
7
3
2
0
x
dx
1 x+
∫
9)
x
ln 2
x
0
1 e
dx
1 e
−
+
∫
10)
2
2
2
2
x 1
dx
x 1 x
−
−
+
+
∫
11)
e
0
ln x
dx
x 1 ln x+
∫
12)
2
3
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
13)
2
3 2
0
x x 1dx−
∫
14)
2
2
2
3
dx
dx
x x 1−
∫
15)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
HD & ĐS:
(Cbú ý: Ngoài căn, trong căn cùng bậc 2 thì nên dùng
hàm lượng giác)
4) 2(1 – ln2) 5)
46
15
6)
2
15
7)14,2 8)
141
20
9)
8
ln
9
10)
2.( 3 1)
3 5 ln
( 5 1)
−
− +
−
) 11)
2
(2 2)
3
−
12)
106
15
13)
8
15
14)
π
12
15)
1π
( 1)
4 2
−
Bài 2: 1)
2 2
dx
x 1 x−
∫
2)
2
x 2x 3
dx
x 1
+ +
+
∫
3)
2
2 2
0
x 4 x dx−
∫
(π)
Bài 3: 1)
3
dx
2x 1 2x 1+ − +
∫
2)
4
dx
2x 1 2x 1− − −
∫
Bài 4: 1)
3
4
dx
x( x x)−
∫
2)
3
dx
x x+
∫
HD – ĐS: Bài 2: 1) ĐS:
2
1 x
C
x
−
− +
Với x = sint
2) ĐS:
1 u 1 1
2[ ln | | ] + C
2 u 1 u
−
+
+
Với u =
cost, x + 1 =
2
tgt
Bài 3: 1) ĐS: 3
3 2
t t
[ t ln | t 1| ] C
3 2
+ + + − +
Với t
=
6
2x 1+
)
2) ĐS:
4 4
2x 1 2 2x 1 2ln | 2x 1 1| C− + − + − − +
Bài 4: 1) ĐS: -12
2
t
[ t ln | t 1| ] C
2
+ + − +
Với t =
12
x
2) ĐS: 6
3 2
t t
[ t ln | t 1| ] C
3 2
− + + + +
Với t
=
6
x
)
VẤN ĐỀ 6
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân
Bài 1:
π
2
5
1
0
I sin x dx=
∫
(
8
15
)
2
2
dx
I
sin x.cos x
=
∫
3
3
3
sin x dx
I
cosx. cosx
=
∫
2
4
6
sin x
I dx
cos x
=
∫
4
5
I cos x dx=
∫
2 4
6
I sin x.cos x dx=
∫
2 3
7
I sin x.cos x dx=
∫
8
3 2
dx
I
sin x.cos x
=
∫
9
3 5
dx
I
sin x.cos x
=
∫
10
4
dx
I
sin x.cosx
=
∫
3
11
2
sin x.cos xdx
I
1 cos x
=
+
∫
π
2
4
12
0
I cos 2x dx=
∫
(
3π
16
)
π
2
3
13
0
I sin x.cos x dx=
∫
(ĐS:
1
4
)
π
3
2
14
0
4sin x
I dx
1 .cos x
=
+
∫
(ĐS: 2)
Bài 2:
1
I sin 2x.cos5x dx=
∫
2
x x
I cosx.cos .cos dx
2 4
=
∫
3
I sin5x.cos3x dx=
∫
4
I sin x.cos3x dx=
∫
Bài 3:
1
dx
I
1 sin x cosx
=
+ +
∫
2
dx
I
1 sin x
=
+
∫
3
dx
I
sin x
=
∫
Bài 4:
π
2
1
π
6
1 sin 2x cos2x
I dx
sin x cosx
+ +
=
+
∫
(→1)
π
2
4 4
2
0
I cos2x(sin x cos x) dx= +
∫
(→0)
π
3
3
0
sin x
I dx
sin x cosx
∗
=
+
∫
π
2
2 2
4
0
I cos x.cos 2x dx
∗
=
∫
(→
π
8
)
VẤN ĐỀ 7
TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI:
∫
b
a
| f(x)| .g(x).dx
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
I
1
=
1
2
0
4x 4x 1 dx − +
∫
(ĐS:
1
2
) I
2
=
π
0
1 cos2x dx +
∫
(ĐS: 2
2
)
I
3
=
3π
4
π
4
| sin 2x | dx
∫
(ĐS: 1) I
4
=
π
0
1 sin 2x dx +
∫
(ĐS: 2
2
)
I
5
=
π
0
| cosx | sin x dx
∫
(ĐS:
4
3
) I
6
=
2π
0
1 sin x dx +
∫
(ĐS: 4
2
)
CHỦ ĐIỂM 3
CÁC DẠNG TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIUTƠN
I. DẠNG 1: Giải phương trình - Bất phương trình - Hệ
phương trình
- Tính giá trị biểu thức (Áp dụng công thức
k k
P , A , C
n n n
)
A. PHƯƠNG PHÁP
- Nếu gặp phương trình thì ta thực hiện các bước sau đây:
• Đặt điều kiện có nghĩa của
k k
P , A , C
n n n
:
P : n 1
n
k
A :1 k n
n
k
C : 0 k n
n
≥
≤ ≤
≤ ≤
• Dùng khai triển Niu tơn hoặc các công thức sau để rút
gọn
n! n!
k k
P = n!, A = , C
n n n
(n k)! k!(n k)!
=
− −
Chú ý: m! = (m – 1)! m = (m – 2)! (m – 1) m
• Giải phương trình và chọn nghiệm thoả mãn điều kiện
• Kết luận
- Tính biểu thức M thì dùng các công thức trên để rút gọn A
về dạng tối giản
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình, hệ phương trình và bất phương
trình sau đây:
1)
2 n 1
A .C 48
n n
−
=
(ĐS: n = 4) 2)
1 1 1
n n n
C C C
5
4 6
− =
(ĐS: n = 2)
3)
P
n 2
210
n 4
A .P
n 1 3
+
=
−
−
(ĐS: n = 5) 4)
3 1
C 5C
n n
=
(ĐS: n = 7)
5)
2 2 3 1 2
C A 4n (A )
n
n 1 2n
− − =
+
(VN) 6)
5 2 14
x x x
C C C
5 7
6
− =
(ĐS: n = 3)
7)
1 3 5 2n 1
C C C C 1024
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
+
+ + + + =
+ + + +
(ĐH
DB K
A
– 2005)
8) Tính giá trị của M =
4 3
A 3A
n
n 1
(n 1)!
+
+
+
, biết rằng:
2 2 2 2
C 2C 2C C 149
n 1 n 2 n 3 n 4
+ + + =
+ + + +
(ĐH K
D
– 2005)
9) C
0
n
+ 2C
1
n
+ 4C
2
n
+…+2
n
C
n
n
= 243 (ĐH K
D
– 2002)
10)
2 2
P A 72 6(A 2Px)
x x x
+ = +
11)
y y
2A 5C 90
x x
y y
5A 2C 80
x x
+ =
− =
12)
n 1 n
C C
5 5
+
<
, Với n ∈
¥
13)
1 6
2 2 3
A A C 10
x x
2x
2 x
− ≤ +
14)
2
C
3
n 1
n
2
10
C
n
+
≥
15)
3 n 1
A C 14(n 1)
n 1 n 1
−
− < +
+ +
II. DẠNG 2: Chứng minh đẳng, bất đẳng thức &
Tính tổng một biểu thức (Có chứa
k k
P , A , C
n n n
)
A. PHƯƠNG PHÁP
• Cách 1: Dùng các công thức:
n! n!
k k
P = n!, A = , C
n n n
(n k)! k!(n k)!
=
− −
Hoặc dùng các tính chất:
C
k
n
= C
n k
n
−
; C
k 1
n 1
+
+
=
k
n
n 1
C
k 1
+
+
; C
k 1
n 1
+
+
= C
k
n
+ C
k 1
n
+
• Cách 2: Dùng khai triển (a + x)
n
sau đó chọn x thích hợp,
với a cho trước.
Nhận dạng:
o
Mỗi số hạng có dạng:
k k n k
C .a b
n
−
thì chọn
khai triển (a + x)
n
sau đó chọn x = b phù
hợp.
o
Đặc biệt nếu mỗi số hạng có dạng
k k
C .a
n
thì
ta chọn khai triển (x + 1)
n
sau đó chọn x
= a.
• Cách 3: Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2, …
B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển
B2: Lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai của hai vế
B3: Chọn a, b, x, n thích hợp
Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:
o
Dùng đạo hàm cấp 1: Nếu một vế của khai triển mất
0
n
C
hay
n
n
C
(C đầu hay cuối) và đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi
cùng với nó tăng hoặc giảm đều một đơn vị,…
o
Dùng đạo hàm cấp 2: Nếu một vế của khai triển mất (
0
n
C
và
1
n
C
) hay (
n
n
C
và
n 1
n
C
−
) đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ
số đi cùng với nó là tích hai số nguyên liên tiếp,…
o
Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như
cách 4 sau khi
đã loại bỏ các đặc trưng của đạo hàm.
• Cách 4: Dùng tích phân
B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển
B2: Lấy tích phân (xác định) hai vế với cận thích hợp
B3: Tính tích phân hai vế ta được kết quả
Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:
o
Nếu một vế của khai triển có chứa
0
n
C
và
n
n
C
(C đầu và
cuối) đồng thời mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc
giảm đều một đơn vị, ….
o
Nếu hệ số của số hạng thứ k trong tổ hợp là: b
k+1
– a
k+1
o
Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như
cách 4 sau khi đã loại bỏ các đặc trưng của tích phân.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Chứng minh rằng:
1)
2 2
C C n
n
n 1
= +
+
2)
1
n n 1 n 1
C C C
2n 2n 2n 2
2
− +
+ =
+
3)
k k 1 k 2 k
C 2C C C
n n n
n 2
− −
+ + =
+
4)
k k 1 k 2 k 3 k
C 3C 3C C C
n n n n
n 3
− − −
+ + + =
+
Bài 2: Chứng minh rằng:
1)
0 1 2 n n
C C C C 2
n n n n
+ + + + =
2)
2008 0 2007 1 1 2008 2008 2008
2 C 2 5 C 5 C 7
2008 2008 2008
+ + + =
3)
0 2 2 2008 2008 2008 2009
C 3 C 3 C 2 (2 1)
2009 2009 2009
+ + + = −
4)
1 3 2n 1 0 2 2n 2n 1
C C C C C C 2
2n 2n 2n 2n 2n 2n
− −
+ + + = + + + =
Bài 3: Chứng minh rằng: