SKKN_Một số phương pháp để dạy học tốt khái niệm, định lí toán học

MỤC LỤC Trang
Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài 2
2. Lịch sử vấn đề: 3
3. Phạm vi nghiên cứu: 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 4
5. Đóng góp của đề tài: 4
6. Phương pháp thực hiện: 4
Phần II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN. 5
A. Dạy học khái niệm : 5
B. Dạy học định lí : 7
II. THỰC TRẠNG CỦA VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÍ: 8
III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HỌC TỐT KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÍ
A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ DẠY HỌC TỐT KHÁI NIỆM 10
1). Phân tích cấu trúc khái niệm: 10
2).Con đường hình thành khái niệm: 11
+ Con đường quy nạp: 11
+ Con đường diễn dịch: 12
3). Phát triển các hoạt động củng cố, khắc sâu khái niệm: 13
+ Hoạt động ngôn ngữ : . 13
+ Vạch rõ cấu trúc: 13
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện: 13
+ Khai thác ứng dụng của khái niệm: 15
4). Biết cách dùng định nghĩa thuận và xây dựng định nghĩa đảo. 15
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ HỌC TỐT ĐỊNH LÍ TOÁN HỌC
1). Phân tích định lí: 16
a) Phân tích tổng thể để tìm nghĩa hàm ý hoặc chi tiết : 16
b) Phân tích điều điện ( giả thiết ) và kết luận: 17
c) Phân tích điều kiện hạn chế: 18

2). Con đường hình thành định lí: 18
a) Con đường quy nạp: 18
b) Con đường diễn dịch: 19
3). Phát triển các hoạt động củng cố định lí: 20
a). Hoạt động ngôn ngữ : 20
b). Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí vào trong bài tập: 20
c). Khai thác triệt để các ứng dụng của định lí : 21
IV. HIỆU QUẢ THỰC HIỆN CỦA ĐỀ TÀI 22
Phần III: KẾT LUẬN 24
Phần IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO 25
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
1

Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Toán học có vai trò quan trọng đối với đời sống và các ngành khoa học. Từ
thế kỉ 13 nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn đã nói rằng “ Ai không hiểu biết toán học
thì không hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không phát hiện ra sự
dốt nát của bản thân mình”. Do vai trò quan trọng của toán học trong đời sống,
trong khoa học và công nghệ hiện đại, các kiến thức và phương pháp toán học là
công cụ thiết yếu giúp các em học tập tốt các môn khác và hoạt động tốt trong
mọi lĩnh vực của đời sống. Hơn nữa môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh
phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ và tư duy. Việc tìm kiếm , chứng
minh một định lí, định nghĩa, một lời giải cho bài toán có tác dụng to lớn trong
việc rèn luyện cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy luận , trong học
tập, trong giải quyết các vấn đề. . Và trong đó thì khái niệm, định lí có vai trò rất
quan trọng nó là cơ sở lí thuyết, là nền tảng ban đầu cho việc chứng minh, việc
hình thành các tính chất trong toán học, đồng thời hình thành các qui tắc suy
luận, cách lập luận có căn cứ để các em tiến hành luyện tập và thực hành các bài
toán từ đơn giản đến phức tạp. Nếu hiểu sai khái niệm dẫn đến sai lầm trong suy

luận toán học. Nhưng một điều đáng buồn lại đang xảy ra ở học sinh là nhiều em
rất lười học định nghĩa, khái niệm, định lí, có em chỉ học qua loa, đại khái, học
vẹt nên không hiểu và không nắm được bản chất của khái niệm, định lí vì vậy
mà dẫn tới việc làm các bài tập sai hoặc thiếu cơ sở khoa học.
Là một giáo viên dạy bộ môn Toán ở một trường vùng sâu, vùng xa của
tỉnh, số học sinh đồng bào dân tộc thiểu số lại chiếm tỉ lệ cao. Đa số các em yếu
và mất căn bản nhiều về môn toán. Thậm chí có nhiều em không biết thực hiện
các phép toán đơn giản như : cộng , trừ, nhân, chia, …áp dụng lí thuyết vào làm
bài tập, áp dụng công thức, định lí, tính chất. . .
Đứng trước thực trạng đáng buồn như vậy tôi thiết nghĩ, hơn lúc nào hết
giáo viên chúng ta phải phát huy cao độ vai trò, trách nhiệm và lương tâm nghề
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
2

nghiệp của mình, tất cả hướng về học sinh thân yêu. Đối với giáo viên dạy Toán
thì hãy cùng nhau tận tâm, tận lực để tạo điều kiện cho học sinh học bộ môn toán
tốt hơn trong đó có một bộ phận tạo nền tảng, cơ sở cho toán học đó là khái niệm,
định lí toán học.
Làm thế nào để giúp các em nắm được vững vàng định nghĩa, khái niệm,
định lí? Làm thế nào để nâng cao chất lượng của môn toán? Làm thế nào để
khơi dậy niềm đam mê toán học của các em học sinh. Đó là điều tôi luôn trăn
trở sau những tiết dạy. Vì vậy tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của mình là “Một số
phương pháp để dạy học tốt khái niệm, định lí toán học ” mong góp một
phần nhỏ bé để chất lượng môn toán ngày càng được nâng cao.
2. Lịch sử vấn đề :
Khái niệm, định lí là vấn đề không mới trong toán học, quan tâm đến vấn đề
này đã có một số bài nghiên cứu như:
Hoàng Chúng có bài “ Phương pháp dạy học toán ở trường THPT”. Trong
bài viết này tác giả đề cập đến vấn đề “ Yêu cầu, vai trò của việc học khái niệm
và định lí toán học”

Nhà nghiên cứu toán học Đào Văn Trung có bài “ làm thế nào để học tốt
khái niệm và định lí toán học”
Nhưng các bài viết trên chỉ viết một cách chung chung, chưa có sự áp dụng
cụ thể cho từng bài học và từng đối tượng học sinh. Song đó là những cơ sở quý
giá để người viết tiến hành cụ thể vào sáng kiến kinh nghiệm của mình.
3. Phạm vi nghiên cứu:
Đối với mỗi giáo viên khác nhau có các cách truyền đạt khác nhau, nhưng
với mỗi đối tượng học sinh khác nhau thì giáo viên nên lựa chọn các phương pháp
học tốt cho phù hợp. Nhưng đối với đề tài này tôi đề ra một số phương pháp cơ
bản này cho đối tượng học sinh trung bình – yếu ở trường chúng ta. Việc thực hiện
đề tài này ở mức độ hướng cho học sinh khắc sâu khái niệm, định lí và biết vận
dụng cho đúng mục đích. Trong đó khai thác chủ yếu các định nghĩa , khái niệm,
định lí ở chương trình sách giáo khoa lớp 10, lớp 11 chương trình chuẩn.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
3

4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đưa ra được một số giải pháp để giáo viên thực hiện dạy bộ môn toán nói
chung và các định nghĩa, khái niệm, định lí toán học nói riêng tốt hơn, để học sinh
dễ hiểu hơn và nhớ lâu hơn, và biết cách vận dụng các định nghĩa, khái niệm, định
lí vào việc giải bài tập toán.
5. Đóng góp của đề tài:
Qua nghiên cứu đề tài này người viết muốn đưa ra một số phương pháp cụ
thể để giáo viên truyền đạt kiến thức cho học sinh lĩnh hội được khái niệm và định
lí toán học một cách tốt nhất. Học sinh biết vận dụng định lí vào giải bài tập toán.
6. Phương pháp thực hiện :
+ Thăm dò ý kiến: Thông qua một số ý kiến của học sinh trong tiết sinh
hoạt, hoặc các buổi trò chuyện để biết được thực tế của học sinh về vấn đề học tập
khái niệm, định lí trong toán học để tìm ra hướng giải quyết tốt nhất sao cho học
sinh có hứng thú trong học lí thuyết và làm bài tập, trong đó có khái niệm, định lí.

+ Điều tra: thông qua việc áp dụng một số phương pháp dạy học trên vào
đối tượng học sinh của mình ta thấy được kết khả thi, tức là: học sinh có hứng thú
hơn trong học tập, biết cách vận dụng các định lí vào việc giải quyết các bài toán.
+ Thực hành: nêu được một số phương pháp để giáo viên thực hiện việc
dạy học toán cho học sinh tốt hơn, và một số ví dụ áp dụng các phương pháp trên.
+ Đánh giá: thông qua các bài kiểm tra của học sinh để đánh giá được mức
độ tiếp thu của học sinh về khái niệm và định lí, và nhận thấy được việc giải toán
của học sinh có lập luận chặt chẽ hơn, có căn cứ hơn.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
4

Phần II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
A. Dạy học khái niệm :
+ Khái niệm toán học là sản phẩm của tư duy, nhờ khái niện và sự kết nối các
khái niệm mà giúp con người tư duy để tìm kiếm các khái niệm mới và giải quyết
được các vấn đề trong toán học. Chính vì điều đó khái niệm đóng vai trò rất quan
trọng trong toán học. Khái niệm được hình thành nhờ sự khái quát hoá, trừu tượng
hoá toán học ở mức độ cao, nhờ khái niệm làm cơ sở, nền tản cho việc xây dựng các
định lí trong toán học. Nếu hiểu sai khái niệm dẫn đến sai lầm trong suy luận toán
học.
+ Vị trí, yêu cầu của dạy học khái niệm toán học ở bậc THPT.
- Vị trí: trong toán học việc dạy học khái niệm có vị trí hàng đầu. Việc hình
thành khái niệm là hình thành một nền tản của hệ thống kiến thức toán học, là tiền đề
khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức, đồng thời có khả năng phát triển năng lực
trí tuệ. Không có khái niệm toán học thì không thể xây dựng các định lí , tính chất
trong toán học.
- Yêu cầu của việc dạy học khái niệm trong môn toán ở bậc THPT hiện nay:
• Hiểu được các tính chất đặc trưng của khái niệm .
• Biết nhận dạng khái niệm , tức là biết kiểm tra xem đối tượng nào đó có thuộc

một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm đó thông qua mô
tả, trực quan, một tình huống trong toán học.
• Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa , khái niệm.
• Biết vận dụng khái niệm trong các tình huống cụ thể.
• Hiểu được các khái niệm trong một hệ thống khái niệm .
+ Đối với khái niệm toán học có các dặc thù riêng về cấu trúc, con đường hình
thành.
- Cấu trúc: gồm có các cấu trúc thường gặp như sau:
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
5

•Cấu trúc hội: (Giao)
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
A x P x P x P x P x⇔ ∩ ∩ ∩ ∩
tức là đối tượng x có tính
chất A thì sẽ bao gồm đồng thời các tính chất p1,p1. . .pn ( gọi là các tính chất đặc
trưng của khái niệm).
•Cấu trúc tuyển: (Hợp)
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
A x P x P x P x P x⇔ ∪ ∪ ∪ ∪
tức là đối tượng x có
tính chất A nếu có ít nhất một tính chất đặc trưng P1, P2,. . .,Pn
•Ngoài hai cấu trúc trên còn có một số khái niệm là cơ bản không được định nghĩa
cụ thể: đường thẳng, mặt phẳng,
0
0! 1, 1a= =

. . .
- Con đường hình thành: Gồm có hai con đường cơ bản:
• Con đường quy nạp: Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh làm việc trên
các đối tượng ( mô hình, hình vẽ, hoặc các ví dụ thực tế, các bài toán. . .). Thông qua
các hoạt động đó khái niệm đã được hình thành với mức độ “Tiền cơ sở”. Giáo viên
hướng dẫn cho học sinh khám phá các bản chất, thuộc tính có liên quan đến khái
niệm nhờ vào các thao tác tư duy , phân tích, so sánh, tổng hợp. Qua đó bằng các
thao tác khái quát hoá , trừu tượng hoá học sinh có thể trình bày phát thảo khái niệm
ban đầu. Sau đó giáo viên và học sinh điều chỉnh, bổ sung định nghĩa vừa phát thảo.
Từ đó hình thành định nghĩa, khái niệm chính thức, và củng cố khái niệm đề hoàn
thành.
• Con đường diễn dịch: Theo định hướng phát triển hiện nay là dạy học phải
phát huy vai trò tích cực, sáng tạo trong quá trình học tập của học sinh nên con
đường hình thành này ít được vận dụng, nhưng đối với một số khái niệm có tính chất
trừu tượng cao, học sinh khó khăn trong việc nhận thức do đó khó khăn cho giáo
viên giảng dạy. Chính vì điều này mà con đường diễn dịch được thể hiện theo trình
tự sau:
- Xuất phát từ khái niệm đã biết ta thêm vào các tính chất, dấu hiệu để xây dựng nên
khái niệm mới.
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới, định nghĩa nó nhờ một khái
niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế của một bộ phận trong khái
niện đó.
- Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa định nghĩa.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
6

B. Dạy học định lí :
+ Trong toán học bên cạnh các khái niệm đóng vai trò rất quan trọng còn có định
lí đóng vai trò không kém trong toán học, sự kết hợp hai yếu tố trên tạo nên một hệ
thống kiến thức trong toán học.

Việc dạy học định lí thực chất là dạy cái cơ sở, cái nền tản cho việc chứng minh,
việc hình thành các tính chất trong toán học, đồng thời hình thành các qui tắc suy
luận, cách lập luận có căn cứ.
Vì vậy dạy học định lí đóng vai trò rất quan trọng trong việc phát triển tư duy,các
thao tác, năng lực của toán học. Thông qua việc dạy học định lí cho học sinh là cơ hội
để vận dụng các khái niệm toán học,qua đó thông qua việc dạy học định lí là để củng
cố khái niệm.
+ Vị trí, yêu cầu của dạy học định lí toán học ở trường THPT.
+ Vị trí: Việc dạy học định lí cho học sinh nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống
kiên thức cơ bản của bộ môn, là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh năng lực
suy luận, chứng minh, góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh. Ngoài ra dạy học định
lí có vị trí rất quan trọng trong việc hình thành nền tản , cơ sở cho việc lập luận có
căn cứ, giúp học sinh giải quyết được các bài toán chứng minh trong toán học thuận
lợi hơn.
+ Yêu cầu của dạy học định lí ở trường THPT
• Nắm được nội dung của các định lí và các mối quan hệ của chúng, từ đó có khả
năng vận dụng định lí vào việc giải toán, hay làm cơ sở để chúng minh các định lí
khác.
• Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết của việc chứng minh toán học một cách
chặt chẽ và logic, có căn cứ. Tuy nhiên càn có sự phù hợp với mức độ nhận thức
của học sinh.
• Phát triển được năng lực chứng minh toán học.
- Con đường hình thành: Gồm có hai con đường cơ bản:
• Con đường quy nạp: Cũng như các khái niệm, định nghĩa được hình thành theo
con đường này sẽ phát huy được tính tích cực trong học tập, tạo cho học sinh
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
7

hứng thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, và giúp cho học sinh biết thể hiện định
lí chính xác hơn. Hình thành định lí theo con đường quy nạp thông thường là: Gợi

động cơ ban đầu => phát hiện định lí dưới dạng giả thiết => phát biểu định lí =>
chứng minh định lí => củng cố định lí.
• Con đường diễn dịch: Được thực hiện với nhiều định lí mang tính trừu tượng
cao, học sinh rất khó thể hiện. Với hướng hình thành này học sinh tiếp thu tri thức
sẽ bị động rất dễ bị hiểu sai định lí nên giáo viên hết sức thận trọng trong việc lựa
chọn ví dụ minh hoạ, áp dụng cho phù hợp. Thông thường con đường suy diễn
được thực hiện: Phát biểu định lí => chứng minh định lí => nêu ví dụ áp dụng.
II. THỰC TRẠNG CỦA VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÍ:
+ Về giáo viên: Bản thân giáo viên đã cố gắng hết mình trong công tác giảng
dạy như tìm kiếm tài liệu, đồ dùng dạy học, bồi dưỡng chuyên môn, hình thành
phương pháp giảng dạy phù hợp cho các đối tượng học sinh, chỉ mong các em có thể
có được kiến thức và không bi hụt hẫng khi học tiếp lên những lớp trên. Tuy nhiên,
khi thực hiện công việc giảng dạy môn toán giáo viên gặp rất nhiều khó khăn: mặt
bằng chất lượng học sinh không đồng đều và có những học sinh không thể tiếp thu
được tất cả những kiến thức toán học vì chương trình học quá sức của học sinh, đồ
dùng dạy học môn toán còn hạn chế, thời lượng không cho phép. Bên cạnh đó cũng
còn một số giáo viên còn chủ quan trong việc dạy học khái niệm, định lí cho học
sinh như dạy một cách qua loa, không khắc sâu khái niệm, định lí thông qua các
hoạt động nhận dạng và thể hiện mà chỉ khai thác các ứng dụng của khái niệm, định
lí đó. Cho nên khi vận dụng vào các tình huống cụ thể trong toán học học sinh gặp
rất nhiều khó khăn, hoặc chỉ biết vận dụng một cách rập khuôn, máy móc dẫn đến
học sinh còn hạn chế về phát triển được trí tuệ, năng lực tư duy.
+ Về học sinh: Với yêu cầu phát triển giáo dục, cải cách giáo dục, đổi mới
phương pháp dạy học hiện nay thì học sinh phải nỗ lực hết mình mới có thể tiếp cận
tốt với nền tri thức của nhân loại, chính vì điều đó học sinh phải cố gắng học tập cho
tốt, tức là biết cách học, biết cách vận dụng, biết cách làm bài tập . Thế nhưng điều
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
8

ngược lại là do điều kiện kinh tế xã hội phát triển kéo theo các dịch vụ kinh doanh,

giải trí được mở ra rộng rãi, một phần ý thức học tập của các em quá kém, sự quản lí
lỏng lẻo của gia đình nên dẫn đến chất lượng học tập của các em yếu đi ở hầu hết các
bộ môn, trong đó có môn toán. Môn toán vẫn được coi là môn học chính, khối lượng
kiến thức rất nhiều và khó nên đa số học sinh không tiếp thu được. Có thực trạng trên
một phần do các em đã hổng kiến thức ở bậc THCS nên khi tiếp cận với các khái
niệm, định lí toán học ở bậc THPT các em gặp khó khăn rất nhiều. Mà trong toán học
phần lớn các bài tập đều được vận dụng bởi các định lí để giải.
Có thể tuỳ vào các mức độ khác nhau mà định lí đóng vai trò to lớn trong việc
giải toán. Thế nhưng trong quá trình làm bài tập học sinh gặp rất nhiều khó khăn, tức
là không biết vận dụng định lí vào giải toán, hoặc vận dụng sai kiến thức trong quá
trình giải toán, hoặc hiểu sai định lí rồi dẫn đến nhiều sai lầm trong toán học. Vậy
thực trạng của việc tiếp thu định lí và vận dụng định lí hiện nay là: không biết lựa
chọn, vận dụng định lí phù hợp với nội dung của bài toán, vận dụng sai kiến thức có
bản, hiểu sai bản chất của định lí dẫn đến lập luận không có căn cứ, thiếu tính chặt chẽ
và logic. Thậm chí có rất nhiều học sinh không hiểu gì về bản chất của khái niệm,
định lí mà chỉ học vẹt, qua loa coi đó là những kí tự vô hình, vô nghĩa.
Ví dụ: Khi dạy học định lí về “phép biến đổi tương đương”, vì học sinh không nắm
chắc được định lí nên rất nhiều em sẽ áp dụng sai lầm khi biến đổi như sau:
* Giải phương trình:
2
1 1
1
1 1
x
x x
+ = +
− −
Đk:
1x ≠


2
1x
=

1
1
x
x
=


= −

đây thường là sai lầm cơ bản của học sinh
vì thực hiện phép biến đổi tương đương nhưng điều kiện của phương trình thay đổi.
* Giải phương trình:
2 2
( 1)( 2 5) 1x x x x− + − = −
Đk:
x R
∀ ∈

2
( 1)( 2 5) ( 1)( 1)x x x x x− + − = − +
Chia 2 vế cho x-1

2
( 2 5) 1x x x
+ − = +


2
6 0x x
+ − =
Sai lầm phép biến đổi này là học sinh không hiểu rõ được bản chất của phép biến đổi
là biểu thức được chia luôn luôn khác 0.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
9

* Bài toán: Cho phương trình
2
2 3 0mx mx+ + =
xác định m để phươngtrình vô
nghiệm.
Học sinh dễ bị sai lầm vì không nắm dược khái niệm phương trình bậc hai
0a
≠
nên
thực hiện : phương trình vô nghiệm khi
0∆ <
mà bỏ sót đi trường hợp a=0 hay m=0
phương trình vẫn vô nghiệm.
+ Về sách giáo khoa: Với bộ sách giáo khoa môn toán hiện nay bên cạnh
những ưu điểm về hình thức, nội dung, bố trí thời lượng, phát huy tính tích cực của
học sinh còn có một số nhược điểm mà không phù hợp với đối tượng học sinh ở
trường chúng ta vì phần lớn các em là học sinh yếu, kém. Cụ thể : số lượng khái niệm,
định lí quá nhiều trong mỗi bài học mà hoạt khắc sâu không có, các khái niệm, định lí
được trình bày quá dài dòng mà không thể hiện bằng các ngôn ngữ toán học. Nhiều
định lí có tính trừu tượng cao nhưng bài tập không được vận dụng. Phân phối chương
trình cho một số bài chưa hợp lí: không có tiết chữa bài tập, hoặc có thì quá ít. Chính
vì một số đặc điểm trên của bộ sách giáo khoa môn toán hiện nay, tức là còn nhiều đặc

điểm chưa phù hợp với đối tượng học sinh ở một trường như ta, nên việc tiếp thu khái
niệm, định lí, biết vận dụng khái niệm, định lí ở trường chúng ta còn rất nhiều hạn
chế.
III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HỌC TỐT KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÍ
A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ DẠY HỌC TỐT KHÁI NIỆM
1). Phân tích cấu trúc khái niệm:
+ Cấu trúc hội: Khi dạy học các khái niệm toán học có cấu trúc hội giáo viên phải
nhấn mạnh cho học sinh tính đồng thời của các yếu tố cấu thanh nên khái niệm. Thậm
chí giáo viên phải lấy một số ví dụ, tình huống trong toán học có tính chất tương tự
như khái niệm vừa học nhưng thiếu 1 yếu tố cấu thành để học sinh nhận dạng, hoặc
giáo viên lấy một số ví dụ phản chứng để kiểm tra khái niệm trên.
Ví dụ 1: Định nghĩa hai véctơ bằng nhau; “ Hai véctơ được gọi là bằng nhau nếu
chúng cùng hướng và cùng độ dài ”.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
10

Khi dạy học định nghĩa này giáo viên phải phân tích cấu trúc bao gồm đồng thời
hai yếu tố “Cùng hướng” và “Cùng độ dài”. Tức là nếu thiếu một yếu tố thì định nghĩa
này sẽ sai, do đó giáo viên nên đưa ra một số hoạt động nhận dạng như sau:
Cho hình chữ nhật ABCD, mệnh đề nào sau đây đúng?
*
AB CD=
uuur uuur
?
AB DC=
uuur uuur
?
AC BD=
uuur uuur
?

BC AD=
uuur uuur
Giáo viên gọi học sinh giải thích vì sao.
Để làm sáng tỏ cấu trúc này giáo viên phải đưa ra các tình huống khác nhau như:
hai vectơ cùng hướng nhưng không cùng độ dài, hai vectơ cùng độ dài nhưng không
cùng hướng, hoặc một số tình huống tương tự để học sinh thấy được tính đồng thời
của hai yếu tố trên.
+ Cấu trúc tuyển: Khi dạy học các khái niệm có cấu trúc tuyển giáo viên phải đưa ra
các tình huống tương tự khái niệm vừa học nhưng chỉ có một số yếu tố cấu thành nên
khái niệm đề học sinh nhận xét và kết luận.
Ví dụ: Định nghĩa hai véctơ cùng phương “ hai véctơ được gọi là cùng phương nếu
giá của chúng song song hoặc trùng nhau”
Khi dạy học định nghĩa này giáo viên phải đưa ra các ví dụ minh hoạ cho học
sinh thể hiện: Hai véctơ nằm trên hai đường thẳng song song, hai véctơ nằm trên
cùng một đường thẳng, hai véctơ cùng phương với véctơ thứ ba thì cùng phương. . .
2).Con đường hình thành khái niệm:
+ Con đường quy nạp: Con đường hình thành khái niệm theo quy nạp chứa
đựng nhiều khả năng phát triển những năng lực trí tuệ, tư duy so sánh, khái quát hoá,
trừu tượng hoá, thuận lợi cho việc hoạt động tích cực của học sinh. Vì thế cần chú
trọng khai thác khả năng này trong dạy học toán ở trường THPT. Tuy nhiên khi dạy
học theo con đường này giáo viên hết sức thận trọng trong việc định hướng cho học
sinh hoạt động để khỏi tốn nhiều thờii gian.
Ví dụ 1: Khi dạy học định nghĩa xác suất của một biến cố A liên quan đến một phép
thử nào đó giáo viên đưa ra một số hoạt động đơn giản để học sinh hiểu được xác suất
là gì.
• Hoạt động 1: Trong một hộp có 4 bi xanh, 6 bi đỏ lấy ngẫu nhiên 1 quả, hỏi khả
năng lấy được bi xanh bao nhiêu phần trăm? Bi đỏ bao nhiêu phần trăm.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
11

Học sinh xác định bi xanh là 40% hay
4
10
, bi đỏ 60% hay
6
10
• Hoạt động 2: tung một con súc sắc cân đối 1 lần, hỏi có bao nhiêu khả năng được
mặt có số chấm lớn hơn 4 chấm. Học sinh xác định có
2
6
.
Từ đó giáo viên nhấn mạnh: các giá trị
4
10
;
6
10
;
2
6
được gọi là xác suất của một biến
cố trong một phép thử.
Giáo viên gọi học sinh nêu định nghĩa xác suất với mức độ hiểu biết của học sinh
Giáo viên nhận xét và bổ sung và hoàn thiện định nghĩa , học sinh phát biểu.
Giáo viên lấy một số ví dụ để áp dụng định nghĩa trên.
Ví dụ 2 : Khi dạy học định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm giáo viên tiến hành như
sau:
• Hoạt động 1: Cho dãy số
( )
n

u
và
( )
n
v
với
1
1 ; 5 1
n n
u v n
n
= + = −
+ Tính
1 1
;
n n
u v
+ +
+ Chứng minh rằng:
1 1
;
n n n n
u n v v
+ +
< >
.
• Giáo viên nhấn mạnh rằng dãy
( )
n
u

là dãy số giảm, dãy số
( )
n
v
là dãy số tăng.
• Giáo viên gọi học sinh nêu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm với mức độ hiểu
biết của mình.
• Giáo viên nhận xét và nêu định nghĩa chính xác.
• Giáo viên cho một số ví dụ củng cố định nghĩa trên.
+ Con đường diễn dịch: Với con đường hình thành theo hướng này là giáo
viên nêu khái niệm trước sau đó cho ví dụ minh hoạ và vận dụng. Với con đường
hình thành này học sinh tiếp thu kiến thức sẽ bị động, do đó giáo viên phải hết sức
linh hoạt trong việc truyền đạt cho học sinh, tức là biết lựa chọn ví dụ nào đơn giản,
dễ vận dụng, dễ khắc sâu, bám sát khái niệm sau đó mới đến các ứng dụng phức tạp
hơn.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
12

Ví dụ: Khi dạy học định nghĩa góc giữa hai véctơ ở hình học lớp 10. Giáo viên thực
hiện như sau:
• Bước 1: giáo viên cho học sinh tìm hiểu định nghĩa trong sách giáo khoa.
• Bước 2: Giáo viên nêu định nghĩa chính xác và một số điểm nhấn mạnh đó là
( ; ) ( ; )a b b a=
r r urr
, nếu
;a b
r r
cùng hướng thì
0
( ; ) 0a b =

r r
, nếu
;a b
r r
ngược hướng thì
0
( ; ) 180a b =
r r
• Bước 3: nêu ví dụ áp dụng. “ Cho tam giác ABCvuông tại A,
µ
0
50B =
. Xác định
( ; );( ; );( ; );( ; )BA BC AB BC BA AC AC BA
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
3). Phát triển các hoạt động củng cố, khắc sâu khái niệm:
+ Hoạt động ngôn ngữ : Sau khi khái niệm được hình thành bằng con đường
quy nạp, hay diễn dịch ta phát biểu lại định nghĩa, khái niệm bằng lời, hoặc bằng
nhiều hình thức tương đương, hoặc dùng kí hiệu toán học để mô tả khái niệm .
- Hoạt động này nhằm phát triển tích cực phát triển ngôn ngữ cho học sinh bao gồm
vốn từ ngữ và kí hiệu toán học, tạo cơ sở cho việc nhận thức cũng như năng lực vận
dụng toán học vào việc học tập các bộ môn khác. Trong điều kiện cho phép giáo viên
cho học sinh phát biểu định nghĩa theo một ngôn ngữ khoa học khác của bản thân để
dễ sử dụng và nhớ lâu hơn, từ đó tạo tiền đề cho việc diễn đạt lời giải cho bài toán.
Ví dụ 1: khi dạy học định nghĩa cấp số cộng chương trình đại số 11 “ Cấp số cộng
là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn mà kể từ số hạn thứ hai, mỗi số hạn đều bằng số
hạn đứng ngay trước nó cộng với một số d không đổi.
Định nghĩa trên có thể mô tả bằng kí hiệu toán học như sau: “ Dãy
( )
n

u
là cấp số cộng
công sai d thì ta có:
1n n
u u d
+
= +
.
+ Vạch rõ cấu trúc: sau khi khái niệm được hình thành, giáo viên nhấn mạnh
các yếu tố cấu thành nên khái niệm đó, tầm quan trọng của các yếu tố đó. Lấy một số
ví dụ mà nêu khái niệm thiếu các yếu tố tạo thành để học sinh nhận dạng và thể hiện.
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện: Sau khi khái niệm được hình thành học
sinh chỉ hiểu được một cách sơ khởi, để học sinh khắc sâu hơn khái niệm thì hoạt
động nhận dạng và thể hiện đóng vai trò to lớn trong việc củng cố kiến thức cho học
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
13

sinh, giúp cho học sinh có khả năng nhận thức tính đúng – sai của các đối tượng đối
với khái niệm vừa học.
Ví dụ 1: Sau khi dạy định nghĩa cấp số cộng – cấp số nhân giáo viên đưa ra hoạt
động như sau:
a) Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15.
-7; -4; -1; 2; 5;8 ; 11;1 4
1; 4; 8; 12; 16.
b) Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
2; 4; 8; 10; 20
1; 4; 8; 12; 16.
16; 8; 4; 2; 1
Ví dụ 2: Sau khi dạy học định nghĩa tam thức bậc hai, giáo viên đưa ra hoạt động

nhận dạng tam thức bậc hai như sau: biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

2 2
2 2
1
) ( ) 3 1 b) ( ) 1
2
3
) ( ) 1 d) ( ) ( 3) 2
a f x x x f x x
c f x x f x x x
x
= + − = +
= + − = − +
Ví dụ 3: Sau khi dạy học định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong sách
giáo khoa hình học lớp 11 chuẩn trang 103. Giáo viên sẽ đưa ra hoạt động nhận dạng
như sau: “ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông
tại B, SA vuông góc (ABC), AH là đường cao tam giác
SAB.
Hoạt động 1: Xác định góc giữa đường thẳng SB, SC với
mặt phẳng (ABC).
Giáo viên: thể hiện cho học sinh hiểu được hình chiếu vuông góc SB, SC lên (ABC)
lần lượt là AB, AC nên góc giữa đường thẳng SB, SC với mặt phẳng (ABC) lần lượt
là
·
·
;SBA SCA
.
Hoạt động 2: Xác định góc giữa AH với mp(SBC).
Giáo viên: thể hiện cho học sinh thấy được hình chiếu của Ah lên mp(SBC) là gì?

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
S
A
B
C
H
14

Từ đó nhận dạng AH vuông góc mp(SBC), chứng minh, kết luận góc 90
0
.
+ Khai thác ứng dụng của khái niệm: Trong thực tế khái niệm là cái cơ sở
để xây dựng nên hệ thống tri thức toán học. Do đó việc khai thác các ứng dụng của
khái niệm nhằm mục đích khai thác được mối quan hệ của các khái niệm đó với các
khái niệm khác và mối quan hệ giữa các khái niệm với các định lí trong toán học.
Ví dụ 1: Sau khi học định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ thì Giáo viên sẽ khai thác
một số ứng dụng của khái niệm này nhau sau: xây dựng các định lí liên quan đến tích
vô hướng, độ dài của véc tơ, góc giữa hai véc tơ, tính khoảng cánh giữa hai điểm,
chứng minh định lí cosin trong tam giác, chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
4). Biết cách dùng định nghĩa thuận và xây dựng định nghĩa đảo .
+ Trong toán học phần lớn các khái niệm toán học đều là những mệnh đề do đó có
tính đúng sai của chúng. Nói cách khác khái niệm,định nghĩa đều có thể phát biểu
ngược lại mà vẫn đầy đủ các yếu tố.
Ví dụ 1: Khi dạy học khái niệm hai mặt phẳng song song “ Hai mặt phẳng được gọi
là song song nếu chúng không có điểm chung” phát biểu ngược lại “ hai mặt phẳng
không có điểm chung thì chúng song song?”.
Nêu các định nghĩa đảo có tác dụng quan trọng cho việc thể hiện khái niệm của
học sinh, thể hiện cụ thể ở hai mặt sau đây:
• Thứ nhất: Dùng định nghĩa đảo để phán đoán sự vật hiện tượng có thuộc nhóm đối
tượng đang xét hay không.

• Thứ hai: định nghĩa đảo có thể nêu rõ các tính chất của các từ ngũa được nhấn
mạnh trong định nghĩa. Trong qúa trình dạy học toán cần phát triển hoạt động này
để học sinh khắc sâu khái niệm hơn, và biết vận dụng vào các tình huống cụ thể
trong toán học.
Ví dụ 2: Khi dạy học khái niệm nghiệm của phương trình “
0
x
được gọi là nghiệm
của phương trình
( ) ( )f x g x=
nếu
0 0
( ) ( )f x g x=
” ngược lại “ nếu
1 1
( ) ( )f x g x=
thì
1
x
được gọi là nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
”. Vậy khi dạy học giải phương trình
là ta tìm giá trị của ẩn để khi thay vào phương trình ta được một mệnh đề đúng. Khi
đó dùng định nghĩa này ta giải quyết hai bài toán sau đay:
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
15

• Loại 1: Kiểm tra giá trị của ẩn có phải là nghiệm của phương trình hay không?
Như kiểm tra x1=4, x2=6 có phải là nghiệm của phương trình 2x-3=5.
• Loại 2: Tìm hệ số các đại lượng của phương trình. Như tìm hệ số a của phương

trình
2
1 0x ax+ − =
biết rằng x=-2 là nghiệm của phương trình. Ta dùng định nghĩa
đảo để giải quyết, tức là: x=-2 là nghiệm nên thoả mãn phương trình, khi đó ta
thay vào phương trình ta được 4-a-1=0
3
2
a =
.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ HỌC TỐT ĐỊNH LÍ TOÁN HỌC
1). Phân tích định lí: Bất kì định lí toán học nào cũng được thể hiện diễn tả mối quan
hệ giữa nhiều yếu tố , khái niệm theo một điều kiện nhất định. Do đó việc phân tích
định lí đóng vai trò quan trọng trong việc dạy học định lí cho học sinh. Thông qua
hoạt động phân tích học sinh sẽ nắm được cấu trúc hình thành nên định lí, và các khái
niệm có liên quan, và các mối quan hệ của các khái niệm đó với các bài toán liên
quan.
a) Phân tích tổng thể để tìm nghĩa hàm ý hoặc chi tiết : Khi gặp một định lí , quy
tắt toán học, công thức toán học ta phải hết sức tập trung để hiểu một cách tổng thể
chứ không nên bám khư khư vào một chi tiết nào đó. Do dó việc phân tích tổng thể
định lí giúp cho học sinh khái quát được nội dung định lí trước khi vào đặc điểm chi
tiết của từng bộ phận cấu thành nên định lí. Có những định lí diễn đạt khá dài , quan
hệ khá phức tạp, vì vậy ta cần phân tích ý nghĩa khái niệm của từng phần, sau đó mới
tìm hiểu được chi tiết.
Ví dụ 1: Khi dạy học định lí về các đường thẳng song song bị chia cắt bởi các đường
thẳng thành các đoạn thẳng bằng nhau nội dung định lí : “Hai đường thẳng bị một
nhóm đường thẳng song song chia cắt, nếu một trong những đường thẳng ấy ta nhận
được những đoạn thẳng bằng nhau thì trên đường kia cũng nhận được những đoạn
thẳng bằng nhau” ta phân tích theo ba ý như sau:
* Hai đường thẳng bị một nhóm đường thẳng song song chia cắt, tức là hai đường

thẳng ở đây là bất kí ( song song hoặc ghiao nhau), một nhóm đường thẳng là 2,3
đường trở lên. Khoảng cách giữa chúng có thể bằng nhau hoặc khác nhau.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
16

* Nếu trên một đường thẳng nhận được các đoạn thẳng bằng nhau, tức là nhóm đường
thẳng song song này sẽ có khoảng cách đều nhau.
* Trên đường kia cũng nhận được các đoạn thẳng bằng nhau, tức là những đoạn thẳng
bằng nhau ấy cùng năm trên đường thẳng bị cắt.
b). Phân tích điều điện ( giả thiết ) và kết luận: Các định lí , quy tắc toán học
thường là những mệnh đề kéo theo, tức là gồm hai thành phần điều kiện và kết luận.
Điều kiện là nguyên nhân, kết luận là là kết quả rút ra trực tiếp từ nguyên nhân. Phần
lớn các định lí trong toán học không thể thay đổi vị trí của điều kiện và kết quả, nếu
đảo ngược sẽ tạo thành một mệnh đề ngược. Cũng có một số trường hợp mệnh đề đảo
cũng đúng sẽ tạo thành định lí đảo trong toán học. Chính vì đặc điểm trên mà trong
dạy học định lí cần phải phân tích yếu tố nào là điều kiện, yếu tố nào là kết luận để
học sinh biết vận dụng các định lí vào việc giải bài tập toán.
Ví dụ 1: Khi dạy học định lí sin trong chương trình hình học 10-chương trình chuẩn.
Giả thiết là tam giác ABC có ba cạnh AB=c;BC=a;AC=b, R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp. Kết luận là đẳng thức liên hệ giữa các đại lượng là:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
.
Ví dụ 2: khi dạy học định lí về đường thẳng vuông góc mặt phẳng chương trình hình
học lớp 11 chuẩn trang 99.
Điều kiện d vuông góc với hai đường thẳng a,b cắt nhau chứa trong mặt phẳng nào đó.

Kết luận d vuông góc với mặt phẳng đó.
Ví dụ 3: Khi dạy học định lí ba đường vuông
góc trong chương trình hình học 11 chuẩn trang
102.
Điều kiện là: Có đường thẳng b không chứa
trong (P) và vuông góc (P), và hình chiếu vuông
gócb lên (P) là b’, và a vuông góc b’.
Kết luận: đường thẳng a vuông góc b.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
b
b'
a
A
A'
B
B'
17

c) Phân tích điều kiện hạn chế: Bên cạnh việc phân tích cấu trúc của định lí, phân
tích điều kiện và kết luận của định lí ta cần chú ý đến các điều kiện hạn chế sự hình
thành các kết luận. Việc phân tích các điều kiện hạn chế này để cho học sinh không
mắc phải sai làm trong việc áp dụng định lí vào giải bài tập.
Ví dụ 1 : Khi dạy học định lí về các phép toán giới hạn, điều kiện hạn chế ở định lí
này là các dãy số phải có giới hạn mới có thể áp dụng các quy tắc được. Tức là
( )
lim lim
n n n n
n n
n
a b a b

Lim
→∞ →∞
→∞
+ = +
. Nếu không chú ý đến điều kiện dãy số
( );( )
n n
a b
có giới
hạn mà áp dụng bừa bãi thì nhất định sẽ sai lầm.
Ví dụ 2: Khi dạy học định lí 1 về điều kiện ba vectơ đồng phẳng trong chương trình
hình học lớp 11 chuẩn. “ Ba vectơ
; ;a b c
r r r
được gọi là đổng phẳng khi và chỉ khi tồn tại
duy nhất cặp số m,n sao cho:
c ma nb= +
r r r
” Điều kiện hạn chế ở định lí này là hai
vectơ
;a b
r r
không cùng phương.
2). Con đường hình thành định lí:
a) Con đường quy nạp:
* Gợi động cơ ban đầu: bằng các mô hình trực quan, hình vẽ. . .hoặc các tình huống
trong nội bộ toán học để gợi cho học sinh động cơ ban đầu tìm ra kiến thức mới.
Trong quá trình gợi động cơ ban đầu học sinh dẽ bị hiểu sai vấn đề nên hay mất thời
gian do đó giáo viên nên lựa chọn các hoạt động cho phù hợp, đồng thời hướng cho
học sinh phát hiện định lí nhanh hơn, thậm chí giáo viên còn phải hướng cho học sinh

nhiệm vụ đạt được là gì.
+ Ví dụ 1: Khi dạy học định lí 1 trong bài đường thẳng vuông góc mặt phẳng ta gợi
động có như sau: Trong mặt bàn lấy hai đường a,b thẳng cắt nhau, ta đặt cây thước
sao cho vuông góc với a và b. Ta nhận xết đường thẳng c bất kì chứa trong mặt bàn sẽ
vuông góc cây thước. Từ đó học sinh phát hiện ra định lí và phát biểu sơ khởi định lí.
+ Ví dụ 2: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác ta thực hiện như sau:
* Bước 1: Trong tam giác vuông ABC có
2 2 2
2 .cosa b c bc A= + −
đúng?
Xét tam giác đều ABC có
2 2 2
2 .cosa b c bc A= + −
đúng ?
Với a=b=c và A=60
0
.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
18

* Bước 2: gọi học sinh nêu mối quan hệ giữa các yếu tố cạnh , góc từ đó phát hiện
định lí
2 2 2
2 .cosa b c bc A= + −
với mọi tam giác.
* Bước 3: phát biểu định lí chính xác.
* Bước 4: Chứng minh định lí.
* Bước 5: Củng cố định lí.
+ Ví dụ 3: Khi dạy học định lí về số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta thực hiện
như sau :

* Bước 1: Cho cấp số nhân có
1
2; q=3u =
.
Gọi học sinh thể hiện:
2 1
2
3 2 1
3
4 3 1
1 1
1 1 1
3.
3. 3 .
3. 3 .

3. 3 . . ( 2)
n n
n n n
u u
u u u
u u u
u u u u u q n
− −
−
=
= =
= =
= = ⇒ = ≥

* Bước 2: Giáo viên gọi học sinh nêu định lí .
* Bước 3: Giáo viên củng cố định lí bằng hoạt động ngôn ngữ.
* Bước 4: Củng cố định lí bằng ví dụ áp dụng. Tính
5 10 20
; ;u u u
cấp số nhân trên
b). Con đường diễn dịch:
Ví dụ 1: Khi dạy học định lí về dấu tam thức bậc hai của đại số lớp 10.
* Giáo viên nêu nội dung định lí.
* Khắc sâu định lí này bằng minh hoạ đồ thị hàm số bậc hai.
* Nêu một số ứng dụng của định lí trên:
Bài toán 1: Xét dấu các biểu thức sau:
a)
2
( ) 3 5f x x x= + +
Với
0
∆ <
nên f(x)>0 mọi
x R
∈
b)
2
( ) 6 9f x x x= − + −
với
0∆ =
nên f(x)<0 mọi
3x ≠
c)
2

( ) 6 5f x x x= + +
với
0
∆ >
nên f(x)=0 có 2 nghiệm -5 và -1
Vậy f(x)<0 khi
( 5; 1)x ∈ − −
f(x)>0 khi
( ; 5) ( 1; )x∈ −∞ − ∪ − +∞

Bài toán 2: Xét dấu biểu thức
2
2 8
( )
1
x x
f x
x
− −
=
− +
Bài toán 3: Giải các bất phương trình sau:
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
19

a)
2
6 5 0x x+ + >
b)
2

2 8
0
1
x x
x
− +
<
− +
3). Phát triển các hoạt động củng cố định lí: sau khi được hình thành định lí cho học
sinh giáo viên phải khắc sâu cho học sinh nhớ nội dung của các định lí. Trong đó việc
củng cố định lí cho học sinh đóng vai trò quan trọng nhằm giúp học sinh nắm bắt định
lí tốt hơn. Để củng cố định lí ta thường sử dụng các hoạt động sau.
a). Hoạt động ngôn ngữ : Sau khi định lí được hình thành theo các con đường khác
nhau, giáo viên có thể thể hiện định lí đó theo nhiều phương thức khác nhau, có thể
dùng kí hiệu, có thể ghi vắng tắt nội dung của định lí nhưng để khắc sâu cho học sinh
hiểu rõ định lí hơn giáo viên nên đưa ra hoạt động củng cố bằng ngôn ngữ, vì hoạt
động ngôn ngữ là hoạt động phổ biến hằng ngày nên học sinh dễ tiếp thu và dễ vận
dụng vào bài tập hơn. Nhưng nếu lạm dụng hoạt động ngôn ngữ quá nhiều sẽ làm cho
học sinh không biết cách thể hiện bài toán bằng các kí hiệu toán học, làm cho học sinh
lập luận không gọn gàng, logic. Khi củng cố bằng hoạt động ngôn ngữ giáo viên phải
sử dụng chính xác các từ ngữ khoa học của toán học
Ví dụ 1: Sau khi dạy học định lí đường thẳng vuông góc mặt phẳng giáo viên có thể
thể hiện bằng kí hiệu toán học như sau:
, ( )
( )
;
a b mp
a b M d mp
d a d b
α

α
⊂


∩ = ⇒ ⊥


⊥ ⊥

.
Sau đó giáo viên củng cố định lí trên bằng ngôn ngữ nói, tức là phát biểu định lí.
b). Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí vào trong bài tậ p: Đây là hoạt động rất
quan trọng vì phần lớn các định lí toán học đều được ứng dụng vào việc giải toán,
chúng minh toán học có căn cứ, cỏ sở lí luận. Từ thực trạng của học sinh hiện nay là
không biết làm bài tập là do không hiểu được định lí, hoặc do không biết cách sử dụng
định lí vào việc giải toán. Chình vì điều đó trong quá trình dạy học toán giáo viên phải
thể hiện định lí trên các bài tập từ đơn giản đến phức tạp, giúp học sinh làm toán tốt
hơn.
Ví dụ 1: Sau khi dạy học định lí 1 trong bài hai mặt phẳng vuông góc “ Điều kiện
cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
20
O
S
A
B
D
C
H

góc mặt phẳng kia”. Và định lí 2 “nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với
một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc mặt phẳng đó”. Và định nghĩa về
đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Định lí ba đường vuông góc.
Giáo viên đưa ra một ví dụ nhận dạng và thể hiện như sau: “ Cho hình chóp S.ABCD
có ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD).H là hình chiếu O lên SC”.
* Hoạt động 1: Áp dụng định lí 1 để thể hiện các khẳng định sau:
( ) ( ); ( ) ( )
( ) ( ); ( ) ( )
mp SAB mp ABCD mp SAC mp ABCD
mp SAD mp ABCD mp SAC mp SBD
⊥ ⊥
⊥ ⊥
Thông qua các câu hỏi này nhằm nhấn mạnh
định lí trên và cách nhận dạng và vận dụng định lí như
thế nào trong việc giải toán.
* Hoạt động 2: Thể hiện định lí 2
Ba mặt phẳng
( ); ( ); ( )mp SAB mp SAC mp SAD
cùng
vuông góc mp(ABCD) nên giao tuyến của các mặt phẳng trên là SA vuông góc
mp(ABCD).
* Hoạt động 3: Thể hiện OH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau SC và BD. Giáo viên cần thể hiện cho học sinh xác định được hai vấn đề là:
;OH BD OH SC⊥ ⊥
.
* Hoạt động 4: Chứng minh rằng
SC BD
⊥
.
+ Giáo viên có thể hướng cho học sinh chứng minh theo lối đơn giản là chúng minh

( )mp SAC BD⊥
.
+ Thể hiện theo định lí ba đường vuông góc: Vì
( )SA mp ABCD⊥
nên hình chiếu SC lên
mp(ABCD) là AC. Mà
AC BD
⊥
nên
SC BD
⊥

c). Khai thác triệt để các ứng dụng của định lí : Các định lí toán học đều có vai trò
quan trọng trong việc giải toán. Mỗi định lí có thể sử dụng vào nhiều bài toán khác
nhau. Mỗi lần áp dụng định lí là một lần khắc sâu định lí. Chính vì điều đó , để học
sinh tiếp thu định lí tốt hơn, biết áp dụng định lí tốt hơn, giáo viên phải khai thác triệt
để các ứng dụng của định lí đó. Thể hiện hai mặt sau đây:
* Biết cách vận dụng định lí vào các bài toán cho phù hợp, tạo điều kiện thuận lợi cho
học sinh có khả năng nhận dạng và thể hiện định lí vào các bài toán cụ thể.
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
21

* Khắc sâu định lí , củng cố định lí, biết thể hiện định lí nào cho các bài toán tương
tự.
Ví dụ 1: Sau khi dạy học định lí Viét, và hệ quả của định lí giáo viên nên khai thác
một số ứng dụng của định lí này như: không giải phương trình tìm giá trị của các biểu
thức đại số của hai nghiệm, lập phương trình bậc hai có hai nghiệm cho trước, tìm các
hệ số của phương trình, tìm hai số biết tổng và tích, các bài toán phương trình bậc hai
chứa tham số: phương trình vô nghiệm, phương trình có 2 nghiệm trái dấu, phương
trình có 2 nghiệm cùng âm, phương trình có 2 nghiệm cùng dương, phương trình có

nghiệm thoả mãn biểu thức cho trước. . .
Ví dụ: Sau khi dạy học định lí về dấu nhị thức bậc nhất đại số 10 giáo viên khai thác
một số ứng dụng sau đây: Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x)=ax+b, xét dấu các biểu thức
tích -thương của các nhị thức, giải bất phương trình bậc nhất một ẩn, bất phương trình
tích- thương của các nhị thức, bất phương trình có chứa dấu giái trị tuyệt đối.
Ví dụ 3: Sau khi dạy học định lí về dấu tam thức bậc hai đại số 10 giáo viên khai thác
một số ứng dụng sau đây: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)=ax
2
+bx+c, xét dấu các biểu
thức tích-thương của các nhị thức-tam thức, giải bất phương trình bậc nhất một ẩn,
bậc hai một ẩn, bất phương trình tích-thương của các nhị thức-tam thức, bất phương
trình có chứa dấu giái trị tuyệt đối. Một số bài toán liên quan đến phương trình, bất
phương trình bậc hai chứa tham số: Xác định tham số m để phương trình, bất phương
trình bậc hai vô nghiệm, có nghiệm, vố số nghiệm. . .
IV. HIỆU QUẢ THỰC HIỆN CỦA ĐỀ TÀI
+ Với kinh nghiệm vài năm trong nghề khi tôi thực hiện đề tài này đối với đối tượng
học sinh của trường Phan Chu trinh tôi đã thu được một số kết quả như sau:
- Mức độ hiểu biết của các em về học khái niệm, định lí được tốt hơn, có hứng thú
hơn trong việc học môn toán. ( Thông qua việc kiểm tra lí thuyết vào các tiết ôn
tập, chữa bài tập, hoặc thăm dò ý kiến học sinh ) .
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
22

- Khả năng vận dụng vào giải toán được tốt hơn, tức là các em biết thể hiện khái
niệm, định lí vào các bài toán chứng minh, tính toán. . .( Thông qua việc đánh giá
các bài kiểm tra viết của học sinh).
- Từ việc các biết cách học môn toán tốt hơn các em đã hình thành cho mình ý thức
học các môn học khác, đặc biệt các môn tự nhiên.
SỐ LIỆU THỐNG KÊ CỤ THỂ Ở KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Kết quả Trước khi thực hiện Sau khi thực hiện

Hiểu khái niệm, định lí. 30% 47%
Biết vận dụng vào làm bài tập. 25% 45%
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
23

Phần III: KẾT LUẬN
Ở sáng kiến kinh nghiệm này người viết đã trình bày một số phương pháp dạy
học khái niệm và định lí ở trường THPT. Dù đây là vấn đề không còn mới, song giáo
viên có thể vận dụng để dạy cho học sinh trong điều kiện thực tế hiện nay. Trong đề
người viết đã cố gắng lấy những ví dụ cụ thể để phân tích cho học sinh hiểu rõ
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi rút ra được từ quá trình
dạy học. Tuy chưa được nhiều như mong muốn nhưng sau khi áp dụng những
phương pháp trên, các em học sinh đã bắt đầu có sự tiến bộ và thấy hứng thú hơn
trong quá trình học định lí và khái niệm- phần lí thuyết tưởng như khô khan . Song để
học giỏi môn toán thì bên cạnh học khái niệm, định lí, các em cần có phương pháp
học tích cực, có hệ thống tài liệu tham khảo, xem thông tin đại chúng, phương tiện
phục vụ học tập. Các yếu tố trên góp phần không nhỏ trong việc hình thành tri thức
cho học sinh .
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang
24

Phần I V: TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. BỘ SÁCH GIÁO KHOA MÔN TOÁN LỚP 10, LỚP 11 BAN CƠ BẢN,
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC NĂM 2009
2. SÁCH “PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT” ,
TÁC GIẢ HOÀNG CHÚNG - XUẤT BẢN NĂM 1997 NHÀ XUẤT BẢN
GIÁO DỤC.
3. TÀI LIỆU “ LÀM THẾ NÀO ĐỂ HỌC TỐT MÔN TOÁN THPT” TÁC GIẢ
ĐÀO VĂN TRUNG-XUẤT BẢN NĂM 1996 NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2009 – 2010 Trang

25