Bài học giải tích hình học lớp 11 HK2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (368.23 KB, 87 trang )

TRƯỜNG THPT LONG KHÁNH
TỔ TOÁN
Biên Soạn: Thầy Hà Lê Anh
TẬP BÀI HỌC
GIẢI TÍCH - HÌNH HỌC
LỚP 11 - HỌC KÌ 2
Họ tên học sinh:
Lớp:
NIÊN KHÓA 2014 – 2015
Trang 1
Trang 2
PHẦN I. GIẢI TÍCH
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên
dương n, ta thực hiện như sau:
•
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
•
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k
≥
1), chứng minh
rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n
≥

0
n

thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n =
0

n
;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k
≥

0
n
và
phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Ví dụ :
CMR với mọi n là số nguyên dương :
1) 1+2+3+…….+n=
( 1)
2
n n +
2)
n
A =
3
n n−
chia hết cho 3
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Trang 3
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

dãy số.
2. Cách cho một dãy số:
• Cho bằng công thức của số hạng tổng quát
• Cho bằng công thức truy hồi
• Cho bằng cách mô tả
Ví dụ :
1) Cho dãy số (u
n
) với
3
( 1)
n
n
n
u
n
= −
a) Xác định 5 số hạng đầu tiên của dãy
b) Viết dãy số dưới dạng khai triển
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Trang 5
2) Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
1
7
n n
u
u u
+
=


= +

a) Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy
b) CMR:
7 6
n
u n= −
với mọi n
1≥

1
n
n
u
u
+
>
với ∀n ∈ N* ( u
n
> 0).
• (u
n
) là dãy số giảm ⇔ u
n+1
< u
n
với ∀n ∈ N*.
⇔ u
n+1
– u
n
< 0 với ∀ n ∈ N* ⇔
1
1
n
n
u
u
+
<

với ∀n ∈ N* (u
n
> 0)
Ví dụ : Xét tính tăng giảm của các dãy số sau :
a) Dãy số (
)
n
u
với
2
n
u n=
b) Dãy số (
)
n
u
với
1
1
n
u
n
=
+
Trang 6

4. Dãy số bị chặn:
• (u
n
) là dãy số bị chặn trên ⇔ ∃M ∈ R: u
n
≤ M, ∀n ∈ N*.
• (u
n
) là dãy số bị chặn dưới ⇔ ∃m ∈ R: u
n
≥ m, ∀n ∈ N*.
• (u
n
) là dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ u
n
≤ M, ∀n ∈ N*.
Ví dụ : CMR
a) Dãy số (u
n
) với
2
4 3
n

u n n= − +
bị chặn dưới
b) Dãy số (u
n
) với
2 1
1
n
n
u
n
−
=
+
bị chặn
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Trang 7
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Trang 8
BÀI 3. CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghĩa: (u

n
) là cấp số cộng
⇔
u
n+1
= u
n
+ d,
∀
n
∈
N* (d: công sai)
Ví dụ : Dãy nào sau đây là cấp số cộng
a) Dãy số 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13
b) Dãy số 1; -3 ; -7 ; -11 ; -15 ; -18
c) Dãy số
( )
n
u
với
2 1
n
u n= +
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

u
biết
1
1u = −
;
3
3u =
.Tìm
4
u
;
6
u
b)Một đội công nhân trồng các trụ điện từ cây số 3 đến cây số 5 . Cứ 200 mét
trồng một trụ . Hỏi có tất cả bao nhiêu trụ điện được trồng ?
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
( )

2
n
n n
n u u
S u u u
+
= + + + =
=
1
2 ( 1)
2
n u n d
 
+ −
 
Ví dụ: Cho cấp số cộng
( )
n
u

với
3 1
n
u n= −
a) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.
b) Biết
n
S
= 260 . Tìm n ?

Trang 11
BÀI 4. CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghĩa: (u
n

) là cấp số nhân
⇔
u
n+1
= u
n
.q với n
∈
N* (q: công bội)
Khi q = 0 , cấp số nhân có dạng
1
u
, 0, 0 , 0 , ……, 0 , …….
Khi q = 1 , cấp số nhân có dạng
1
u
,
1 1 1 1
, , , , u u u u
…….
Ví dụ : Trong các dãy số sau , dãy số nào là cấp số nhân
a)
1
3u =
và
1
4
n n
u u
+

=
với mọi n
1≥
b)
2
3 1
n
u n= +
2. Số hạng tổng quát:
1
1
.
n
n
u u q
−
=
với n
≥
2
Ví dụ :
Cho cấp số nhân (u
n
) có
1 2
3; 2u u= = −
. Tìm các số hạng thứ 3, 4, 5 , 6 của cấp số nhân .
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân
2
b ac⇔ =
Ví dụ : a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân . Chứng minh
a)
2 2 2 2 2
( )( ) ( )a b b c ab bc+ + = +
b) (bc+ca+ab)
3
= abc (a+b+c)
3
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

Ví dụ : Cho cấp số nhân có số hạng thứ 3 bằng 24 và số hạng thứ 4 bằng 48 . Tính tổng
10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………
…………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………

Trang 14
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa :
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô
cực, nếu
u
n
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
( )
lim 0 hay u 0 khi n + .
n
u
n
n
= → → ∞
→+∞
Ví dụ: Xét dãy
( )
n
u
với
( 1)
n

n
u
n
−
=

a) Biểu diễn trên trục số 10 số hạng đầu tiên của dãy
b) Tìm các số hạng của dãy sao cho khoảng cách từ các số hạng đó đến số 0 bé
hơn
1
10
? ; bé hơn
1
23
?; bé hơn 0.01?; bé hơn 0.001?
c) Chứng minh
( )
lim 0 u
n
n
=
→+∞
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Trang 15
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là a hay (u
n
) dần tới a khi n dần tới

dương vô cực (
n → +∞
), nếu
( )
lim 0.
n
n
u a
→+∞
− =
Kí hiệu:
( )
n
lim hay u khi n + .
n
n
u a a
→+∞
= → → ∞
 Chú ý:
( ) ( )
lim lim
n n
n
u u
→+∞
=
.
Ví dụ : Chứng minh
( )

n
u
với
2 1
2
n
n
u
+
=
có giới hạn bằng không khi n
→ +∞
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Trang 16
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………
Luyện tập : Chứng minh rằng
1
lim 1
1
n
n
−

=
+
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Một vài giới hạn đặc biệt.
a)
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
Z
n
+
= = ∈
b)
( )
lim 0
n
q =
với
1q <
.
c) u
n

=c (c là hằng số) => lim(u
n
)=limc=c.
2. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Nếu lim(u
n
)=a , lim(v
n
)=b thì:
( ) ( ) ( )
lim lim lim
n n n n
u v u v a b± = ± = ±
( )
lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b= =
( )
( )
( )
*
n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
n
n
n n
u
u

a
b
v v b
= = ≠ ∀ ∈ ≠¥
( ) ( )
lim lim , 0 ,a 0
n n n
u u a u= = ≥ ≥
Ví dụ: Tìm
2
2
3
lim
1
n n
n
−
+
……………………………………………………………………………………………
Trang 17
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Ví dụ : Tìm
2
1 4
lim
1 2
n
n
+
−
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với
1.q <
Cấp số nhân vô hạn ( u
n
) có công bội q, với
1q <

gọi là cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ : Cho cấp số nhân (u
n
) có
1
2
n
n
u =
có q =
1
2
là cấp số nhân lùi vô hạn
Trang 18
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (
n
u
) , gọi S =
1 2 3

n
u u u u+ + + + +
= =
−
1
lim
1
n
u
S S

q
Chứng minh :
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Ví dụ : Tính tổng S =
1 1 1 1

3 9 27 3
n
+ + + + +
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
4. Dãy số dần tới vô cực:
a) Định nghĩa

Trang 19
Ta nói dãy số (u
n
) dần tới vô cực
( )
n
u → +∞
khi n dần tới dương vô cực
( )
n → +∞

nếu u
n
lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(u
n
)=
+∞
hay u
n

→ +∞
khi
n → +∞
.
Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là
−∞
khi
n → +∞

nếu lim
( )
n
u− = +∞
.Ký hiệu:
lim(u
n
)=
−∞
hay u
n
→ −∞

khi
n → +∞
.
b) Các giới hạn đặc biệt
lim
k
n = +∞
với k nguyên dương
lim
k
q = +∞
nếu q>1
c) Định lý:
Định lý 2
• Nếu
=lim
n

u a
và lim
n
v = ±∞
thì
=lim 0
n
n
u
v
• Nếu
= > = > ∀ ⇒ = +∞lim 0 ;limv 0; 0 lim
n
n n n
n
u
u a v n
v

• Nếu lim
;lim 0 lim
n n n n
u v a u v= +∞ = > ⇒ = +∞
Ví dụ :
Tìm lim
3
2
3 2 1
2
n n

n n
+ −
−

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Tìm lim
3
2
3 2
n n
n
− +
−

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Trang 20
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

Tìm lim(
2
3 10 5)n n− −
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I.Giới hạn tại một điểm
Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K hoặc trên K\
{ }
0
x
.Ta nói rằng
hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới
0
x
nếu với mọi dãy số (x
n
), x
n

∈
K\
{ }
0
x
và x
n
0
x→

đều có lim[f(x
n
)]=L.Kí hiệu:
( )
→
 
=
 
0
lim
x x
f x L
hay f(x)
L→
khi x
0
x→
.
Ví dụ :
Chứng minh
2
lim
x→−
2
4
4
2
x
x
−

= −
+
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Tìm
2
2
2 8
lim
2
x
x
x
→
−
−
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Trang 21
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… …………
………………………………………………………………………………
Nhận xét :
0
lim
x x
c c
→
=
;
0
0
lim
x x
x x
→
=
1. Định lý về giới hạn của hàm số:
a) Định lý 1:Nếu các giới hạn:
( ) ( )
→ →
   
= =
   
0 0
lim , lim
x x x x
f x L g x M
thì:

( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
     
± = ± = ±
     
0 0 0
lim lim lim
x x x x x x
f x g x f x g x L M
( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
     
= =
     
0 0 0
lim . lim .lim .
x x x x x x
f x g x f x g x L M
( )
( )
( )
( )
→
→
→
 
 
= = ≠
 
 

0
0
0
lim
lim , M 0
lim
x x
x x
x x
f x
f x
L
M
g x
g x
( ) ( ) ( )
→ →
 
= = ≥ ≥
 
0 0
lim lim ; 0, 0
x x x x
f x f x L f x L
Ví dụ :
Tìm
2
3
1
lim

2
x
x
x
→
+

Trang 22
Tìm
2
1
2
lim
1
x
x x
x
→
+ −
−
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………
2. Giới hạn một bên
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (
0
; )x b
. Số L là giới hạn bên phải của hàm số
f(x) khi x
0
x→
, nếu mọi dãy(x
n
) ,
0
n
x b< <
và
0n
x x→
ta có f(
n
x
)
L→
.
Kí hiệu :
0
lim ( )

x x
f x L
+
→
=
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (
0
; )a x
. Số L là giới hạn bên trái của hàm số f(x)
khi x
0
x→
, nếu mọi dãy(x
n
) ,
0n
a x x< <
và
0n
x x→
ta có f(
n
x
)
L
→
.
Kí hiệu :
0
lim ( )

x x
f x L
−
→
=
Định lí 2 :
0
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x
x x x x
f x L f x f x L
− +
→
→ →
= ⇔ = =
Ví dụ :
Cho hàm số f(x) =
2
5 2; 1
3; 1
x x
x x
+ ≥


− <

a) Tìm
1

lim ( )
x
f x
−
→
;
1
lim ( )
x
f x
+
→
b) Chứng minh không tồn tại
lim ( )
x
f x
→
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Trang 23
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
3. Giới hạn tại vô cực
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (

; )a−∞
. Số L là giới hạn của hàm số f(x) khi x
→ +∞
, nếu mọi dãy(x
n
) ,
n
x a>
và
n
x → +∞
ta có f(
n
x
)
L→
.
Kí hiệu :
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (
; )a +∞
. Số L là giới hạn của hàm số f(x) khi x
→ −∞
, nếu mọi dãy(x
n
) ,

n
x a<
và
n
x → −∞
ta có f(
n
x
)
L→
.
Kí hiệu :
lim ( )
x
f x L
→−∞
=
Chú ý :
lim
x
c c
→±∞
=
;
lim 0
k
x
c
x
→±∞

=
với c là hằng số và k là số nguyên dương
Ví dụ:
Tìm
2
2
3 2 1
lim
2
x
x x
x
→+∞
− +
+
II. Giớihạn vô cực
Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x
n
), x
n
0
x→
, đều có
lim[f(x
n
)]=
∞
thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới
0
x

, kí hiệu:
( )
→
 
= ∞
 
0
lim
x x
f x
. Tương tự khi x
→ +∞
hoặc x
→ −∞
Các giới hạn đặc biệt
lim
k
x
x
→+∞
= +∞
với mọi k là số nguyên dương

lim
k
x
x
→−∞
= +∞
với mọi k là số nguyên dương chẳn

lim
k
x
x
→−∞
= −∞
với mọi k là số nguyên dương lẻ
Một số quy tắc về tìm giới hạn vô cực

0
lim 0
x x
L
→
= ≠
và
0
lim ( )
x x
g x
→
= ∞
. Thì
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→
= ∞

;
0
( )
lim 0
( )
x x
f x
g x
→
=

0
lim 0
x x
L
→
= ≠
và
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
. Thì
0
( )
lim
( )
x x

f x
g x
→
= ∞
Ví dụ :
Trang 24
Tìm
3
lim ( 3 )
x
x x
→−∞
−
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Tìm
1
2 3
lim
1
x
x
x

−
→
−
−
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Tìm
1
2 3
lim
1
x
x
x
+
→
−
−
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Trang 25

Bài học giải tích hình học lớp 11 HK2

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về