bồi dưỡng học sinh giỏi toán các bài toán về hình vuông và chữ nhật

BDHSG: Giải các bài toán về hình vuông, hình chữ nhật
A. Mục tiêu:
- Ôn kiến thức cơ bản về hình vuông, hình chữ nhật.
- Cung cấp cho HS một số kiến thức nâng cao về các dạng toán liên quan đến
hình vuông, hình chữ nhật
- Luyện kĩ năng giải các bài tập.
B. Lên lớp:
I. Ghi nhớ:
1. Hình chữ nhật:
* Đặc điểm: HCN là hình tứ giác đặc biệt có:
+ 4 cạnh gồm: 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau. (2 cạnh dài và hai cạnh
ngắn)
+ 4 góc vuông.
+ 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. (Mỗi đường
chéo chia HCN thành 2 hình tam giác vuông bằng nhau)
* Chu vi: Tổng độ dài của 4 cạnh
P : Chu vi
a : chiều dài (số đo mỗi cạnh dài)
b : chiều rộng (số đo mỗi cạnh ngắn)
a + b = P : 2 (tổng của chiều dài và chiều rộng chính là nửa chuvi)
a = P : 2 - b
b = P : 2 - a
* Diện tích:
S : Diện tích
a : chiều dài (số đo mỗi cạnh dài)
b : chiều rộng (số đo mỗi cạnh ngắn)
a = S : b (a, b cùng đơn vị đo)
b = S : a
2. Hình vuông:
* Đặc điểm: Hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt có:
+ 4 cạnh bằng nhau. (2 cặp cạnh đối diện song song với nhau)

+ 4 góc vuông.
+ 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc tại trung điểm của mỗi đường. (2 đường
chéo chia HCN thành 4 hình tam giác vuông bằng nhau)
* Chu vi: Tổng độ dài của 4 cạnh
P : Chu vi
a : độ dài mỗi cạnh

a = P : 4

P = (a + b) x 2
S = a x b
P = a x 4
* Diện tích:
S : Diện tích
a : độ dài mỗi cạnh
II. Một số dạng toán nâng cao:
Dạng 1: Cắt hình.
a) Cắt hình, cho biết một trong các yếu tố về chu vi, tìm diện tích.
Bài toán 1: Bạn Bình Phương cắt một tờ bìa hình chữ nhật có chu vi là 2006 mm thành
hai tờ bìa HCN có tổng chu vi là 2206 mm. Hãy tính diện tích của hình chữ nhật ban
đầu.
* Hướng dẫn HS tìm hiểu đề:
- Đọc kỹ đề, tìm hiểu nội dung bài toán.
- Vẽ hình, phân tích các mối liên hệ giữa
các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm.
+ Xét tổng chu vi 2 hình chữ nhật sau khi
cắt hơn chu vi hình chữ nhật ban đầu phần
nào?
+ Vậy nên ta sẽ tìm được một trong hai
chiều đó. Khi đã tìm được một trong hai

chiều ( dài hoặc rộng) chúng ta làm thế nào
để tìm chiều còn lại?
- Yêu cầu HS giải bài toán:
(Biết chu vi HCN ban đầu, tổng chu vi 2
HCN sau khi cắt, tìm diện tích HCN ban
đầu.
Vậy phải tìm được chiều dài và chiều rộng
của HCN ban đầu)
+ Có thể xẩy ra một trong 2 trường hợp
sau:
(đường cắt song song với chiều rộng)
(đường cắt song song với chiều dài)
- chính bằng hai lần đoạn cắt mà mỗi
đoạn cắt chính là chiều dài hoặc chiều rộng
của hình chữ nhật ban đầu.
+ sử dụng chu vi để tìm chiều còn lại.
Bài giải:
S = a x a
Ta có hình vẽ: (vẽ hai trường hợp trên)
Ta thấy: Tổng chu vi 2 hình chữ nhật sau khi cắt hơn chu vi hình chữ nhật ban đầu chính
bằng hai lần đoạn cắt mà mỗi đoạn cắt chính là chiều dài hoặc chiều rộng của hình chữ
nhật ban đầu.
Nên một trong hai chiều đó là:
(2206 - 2006) : 2 = 100 (mm)
Chiều còn lại là:
2006 : 2 - 100 = 903 (mm)
Diện tích của tờ bìa HCN ban đầu là:
903 x 100 = 90300 (mm
2
)

Đáp số: 90300 mm
2
Bài tập áp dụng:
1. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 240 m. nay người ta ngăn thành 2 thửa
ruộng nhỏ cũng hình chữ nhật có tổng chu vi hơn chu vi thửa ruộng ban đầu là 156m.
tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
2. Cho hình vuông có chu vi bằng 20m. Người ta chia hình vuông đó thành hai hình chữ
nhật. Tìm tổng chu vi hai hình chữ nhật đó.
3. Một hình vuông được chia thành hai hình chữ nhật có tổng chu vi là 108m và hiệu 2
chu vi là 8m. Tìm diện tích mỗi hình chữ nhật.
4. Có một miếng bìa hình vuông cạnh 24cm. Bạn Hùng cắt miếng bìa đó thành 2 hình
chữ nhật mà chu vi hình này bằng 4/5 hình kia. Tìm diện tích của mỗi hình chữ nhật cắt
được.
5. Đoạn thẳng MN chia hình vuông ABCD
thành hai hình chữ nhật ABMN và MNCD.
Biết tổng và hiệu chu vi 2 hình chữ nhật là
1986cm và 170cm. Hãy tính diện tích mỗi
hình chữ nhật đó.
6. Người ta kẻ đường thẳng song song với chiều rộng của HCN, chia HCN đó thành 1
HV và 1 HCN nhỏ có diện tích gấp đôi HV. Tìm diện tích HCN ban dầu biết chu vi
HCN nhỏ là 144cm.
7. Nột thửa ruộng hình vuông có chu vi 200m. nay được chia thành 2 thửa ruộng hình
chữ nhật mà chu vi thửa này bằng 2/3 chu vi thửa kia. Tính diện tích mỗi thửa ruộng
hình chữ nhật đó.
8. Có một miếng bìa hình vuông. Bạn Minh cắt dọc theo 1 cạnh dể được 2 hình chữ nhật
mà chu vi ình này bằng 3/5 hình kia. Tính diện tích mỗi miếng bìa hình chữ nhật đó.
9. Bạn Hải cắt một miếng bìa hình chữ nhật coa chu vi 164cm thành 2 hình chữ nhật.
Tìm kích thước tờ bìa lúc đầu biết tổng chu vi 2 hình chữ nhật vừa cắt là 254cm.
10 Bác Phong có một mảnh đất hình chữ nhật, chièu rộng mảnh đất dài 8m. Bác ngăn
mảnh đất đó thành 2 phần dều là hình chữ nhật, một phần để làm nhà, một phần để làm

A B
N
CD
M
vườn. Diện tích phần làm nhà bằng ½ diện tích mảnh đất, còn chu vi phần đất làm nhà
bằng 2/3 chu vi mảnh đất. Tính diện tích mảnh đất của bác.
10. Một thửa ruộng hình chữ nhật đợc chia thành hai mảnh, một mảnh nhỏ để trồng rau
và mảnh còn lại để trồng ngô (hình vẽ). Diện tích của mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích
mảnh trồng rau. Chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau. Tính diện tích
thửa ruộng ban đầu, biết chiều rộng của nó là 5m.
11. Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành 2 mảnh, 1 mảnh hình vuông, 1 mảnh
hình chữ nhật. Biết chu vi ban đầu hơn chu vi hình vuông 28m. Diện tích của thửa đất
ban đầu hơ thửa đất hình vuông là 224m
2
.
HSG: Giải các bài toán về hình vuông, hình chữ nhật
(Tiếp theo)
B. Mục tiêu:
- Ôn kiến thức cơ bản về hình vuông, hình chữ nhật.
- Cung cấp cho HS một số kiến thức nâng cao về các dạng toán liên quan đến
hình vuông, hình chữ nhật
- Luyện kĩ năng giải các bài tập.
B. Lên lớp:
c) Mở rộng, thu nhỏ hình.
Bài toán1: Một miếng đất hình vuông, khi mở rộng sang phía đông thêm 6m thì được
mảnh đất HCN có chu vi 112m. Tìm diện tích mảh đất sau khi mở rộng.
* Hướng dẫn HS tìm hiểu đề:
- Đọc kỹ đề, tìm hiểu nội dung bài toán.
- Cho HS thảo luận: phân tích các mối liên
hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm

để tìm các cách giải.
- Yêu cầu HS giải bài toán:
- Biết miếng đất hình vuông (có 4 cạnh
bằng nhau), mở rộng sang phía đông 6m
thì đượcHCN (chiều rộngkém chiều dài
6m). Tìm diện tích của hình đó sau khi mở
rộng.
+ Cách 1: Giải bài toán Tìm hai số khi biết
tổng và hiệu của hai số đó để tìm chiều
dài, chiều rộng,
+ Cách 2: Vẽ hình, tìm chu vi hình vuông
rồi tìm cạnh hình vuông,
(Chu vi HCN hơn chi vi HV 6m x 2)
Bài giải:
Cách 1: Vì mở rộng cạnh hình vuông sang phía đông 6m nên được một HCN có chiều
dài hơn chiều rộng 6m.
6m
Ta có: Nửa chu vi HCN mới là: 112 : 2 = 56 (m)
Chiều rộng HCN mới là: (56 - 6) : 2 = 25 (m)
Chiều dài HCN mới là: 25+ 6 = 31 (m)
Diện tích HCN mới là: 31 x 25 = 775 (m
2
)
Đáp số: 775m
2
Cách 2:
Ta có hình vẽ:
Ta thấy Chu vi HCN hơn chu vi HV:
6 x 2 = 12 (m)
Chu vi miếng đất hình vuông là:

112 - 12 = 100 (m)
Cạnh miếng đất hình vuông là:
100 : 4 = 25 (m)
Chiều dài HCN mới là:
25+ 6 = 31 (m)
Diện tích HCN mới là:
31 x 25 = 775 (m
2
)
Đáp số: 775m
2
Bài toán2: Một miếng đất hình vuông, khi mở rộng sang phía đông thêm 6m thì được
mảnh đất HCN có chu vi 112m. Tìm diện tích mảh đất sau khi mở rộng.
* Hướng dẫn HS tìm hiểu đề:
- Đọc kỹ đề, tìm hiểu nội dung bài toán.
- Cho HS thảo luận: phân tích các mối liên
hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm
để tìm các cách giải.
- Yêu cầu HS giải bài toán:
- Biết miếng đất hình vuông (có 4 cạnh
bằng nhau), mở rộng sang phía đông 6m
thì đượcHCN (chiều rộngkém chiều dài
6m). Tìm diện tích của hình đó sau khi mở
rộng.
+ Cách 1: Giải bài toán Tìm hai số khi biết
tổng và hiệu của hai số đó để tìm chiều
dài, chiều rộng,
+ Cách 2: Vẽ hình, tìm chu vi hình vuông
rồi tìm cạnh hình vuông,
6m

6m
(Chu vi HCN hơn chi vi HV 6m x 2)
Bài giải:
Cách 1: Vì mở rộng cạnh hình vuông sang phía đông 6m nên được một HCN có chiều
dài hơn chiều rộng 6m.
Ta có: Nửa chu vi HCN mới là: 112 : 2 = 56 (m)
Chiều rộng HCN mới là: (56 - 6) : 2 = 25 (m)
Chiều dài HCN mới là: 25+ 6 = 31 (m)
Diện tích HCN mới là: 31 x 25 = 775 (m
2
)
Đáp số: 775m
2
Cách 2:
Ta có hình vẽ:
Ta thấy Chu vi HCN hơn chu vi HV:
6 x 2 = 12 (m)
Chu vi miếng đất hình vuông là:
112 - 12 = 100 (m)
Cạnh miếng đất hình vuông là:
100 : 4 = 25 (m)
Chiều dài HCN mới là:
25+ 6 = 31 (m)
Diện tích HCN mới là:
31 x 25 = 775 (m
2
)
Đáp số: 775m
2
Bài tập áp dụng:

1. Một HCN có chiều dài gấp đôi chiều rộng và có diện tích là 98 cm
2
. Tìm chu vi của
HCN đó.
2. Cho HCN có tỉ số giữa 2 cạnh kề nhau là 2/5 và diện tích là 360m
2
. Tính chu vi HCN.
3. Tổng độ dài hai cạnh của HCN gấp 5 lần hiệu độ dài hai cạnh của HCN. Tính chu vi
HCN biết diện tích là 600m
2
.
4. Cho một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài, chia hình chữ nhật thành các
hình vuông nhỏ theo tỉ lệ dài 2 hình vuông, rộng 3 hình vuông. Biết tổng chu vi của các
hình vuông là 240cm. tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
5. Bác Hà có một tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm kính là ½ chiều dài
của nó và chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng chiều rộng của tấm kính to. Bác ghép
6m
hai tấm kính sát vào nhau và đặt lên mặt bàn có diện tích 90dm
2
thì vữa khít. Hãy tính
kích thước của mỗi tấm kính đó.
HSG: Giải các bài toán về hình vuông, hình chữ nhật
(Tiếp theo)
C. Mục tiêu:
- Ôn kiến thức cơ bản về hình vuông, hình chữ nhật.
- Cung cấp cho HS một số kiến thức nâng cao về các dạng toán liên quan đến
hình vuông, hình chữ nhật
- Luyện kĩ năng giải các bài tập.
B. Lên lớp:
b) Chia hình, Cho biết diện tích và tỉ lệ chiều dài, chiều rộng, tìm chu vi.

Bài toán: Cho hình chữ nhật có chiều rộng bằng ¾ chiều dài và có diện tích bằng 48cm
2
.
Tính chu vi của hình chữ nhật đó.
* Hướng dẫn HS tìm hiểu đề:
- Đọc kỹ đề, tìm hiểu nội dung bài toán.
- Vẽ hình, phân tích các mối liên hệ giữa
các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm.
+ Vì chiều rộng bằng ¾ chiều dài nên ta có
thể chia HCN thành mấy ô vuông nhỏ?
+ Ta có tính được diện tích mỗi ô vuông
nhỏ không?
+ Tìm cạnh của ô vuông nhỏ thế nào?
+ Tiếp theo làm gì?
- Yêu cầu HS giải bài toán:
- (Biết diện tích HCN, tỉ lệ của chiều rộng,
chiều dài HCN. Tìm chu vi của hình đó).
Vậy phải tìm được chiều dài và chiều rộng
của HCN ban đầu)
- Nếu ta chia chiều dài thành 4 phần thì
chiều rộng là 3 phần như thế. Ta có thể
chia HCN thành: 4 x 3 = 12 (ô vuông nhỏ)
- S
HCN
: số ô vuông nhỏ
- S = cạnh x cạnh => cạnh = ?
- Tìm chiều dài, chiều rộng HCN
- Tìm diện tích.
Bài giải:
Ta có hình vẽ:

Theo bài ra, nếu ta chia chiều dài thành 4 phần thì chiều rộng là 3 phần như thế.
Ta có thể chia HCN thành:
4 x 3 = 12 (ô vuông nhỏ)
Diện tích mỗi hình vuông nhỏ là:
48 : 12 = 4 (cm
2
)
Vì 4 = 2 x 2 nên cạnh ô vuông nhỏ là 2cm
Chiều dài HCN là: 2 x 4 = 8 (cm)
Chiều dài HCN là: 2 x 4 = 8 (cm)
Chiều rộng HCN là: 2 x 3 = 6 (cm)
Diện tích HCN là: (8 + 6) x 2 = 28 (cm)
Đáp số: 28cm
Bài tập áp dụng:
1. Một HCN có chiều dài gấp đôi chiều rộng và có diện tích là 98 cm
2
. Tìm chu vi của
HCN đó.
2. Cho HCN có tỉ số giữa 2 cạnh kề nhau là 2/5 và diện tích là 360m
2
. Tính chu vi HCN.
3. Tổng độ dài hai cạnh của HCN gấp 5 lần hiệu độ dài hai cạnh của HCN. Tính chu vi
HCN biết diện tích là 600m
2
.
4. Cho một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài, chia hình chữ nhật thành các
hình vuông nhỏ theo tỉ lệ dài 2 hình vuông, rộng 3 hình vuông. Biết tổng chu vi của các
hình vuông là 240cm. tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
5. Bác Hà có một tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm kính là ½ chiều dài
của nó và chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng chiều rộng của tấm kính to. Bác ghép

hai tấm kính sát vào nhau và đặt lên mặt bàn có diện tích 90dm
2
thì vữa khít. Hãy tính
kích thước của mỗi tấm kính đó.