LÝ THUYẾT KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH CHƯƠNG II

11/2/2012
1
ĐẠI SỐ
Chương 2. Không gian tuyến tính
và ánh xạ tuyến tính
§1. Không gian tuyến tính
Phạm Hồng Phong
Website: violet.vn/phphong84
11/2/2012
2
Nội dung

I – Định nghĩa và Ví dụ
V – Tọa độ của véctơ
II – Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
IV – Cơ sở và số chiều
III – Hạng của họ véctơ
11/2/2012
3
I.
Định
nghĩa
và
các
ví
dụ

Tập
V
 
cùng với hai phép toán

 
+) Phép cộng hai véctơ
:V V V
x; y x y
  


 
+) Phép nhân một số với một véctơ

.: R V V
;x .x
 
 

được gọi là một không gian véctơ (
không gian tuyến tính) nếu




1)
x y z x y z x,y,z V
      
2)
0 V :0 x x 0 x x V
       





3)
x V , x V : x x x x 0
         
4)
x y y x x,y V
    


5)
x x x , R, x V
     
      


6)
x y x y R, x,y V
   
      




7)
x x , R, x V
    
    
8)
1.x x x V
  

Định nghĩa
11/2/2012
4
I. Định nghĩa và các ví dụ

Tính chất của không gian véctơ
1) Véctơ không là duy nhất.
2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất.
3)
0x 0 x V.
  
4)
0 0 R.
 
  


5)
1 x x x V .
    
11/2/2012
5
I. Định nghĩa và các ví dụ



1 1 2 3 1 2 3
V ( x ,x ,x ) x ,x ,x R
 
)

,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
y
x
y
x
y
x
y

y
y
x
x
x
y
x







)
,
,
(
)
,
,
(
3
2
1
3
2
1
x
x

x
x
x
x
x

















33
22
11
yx
yx
yx
yx
Ví dụ 1

Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau:
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như sau:
Định nghĩa sự bằng nhau:
laø khoâng gian veùctô
1
V

11/2/2012
6
I. Định nghĩa và các ví dụ



Rcbacbxax
V
 ,,
2
2
Ví dụ 2
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai đa thức thơng
thường, đã biết ở phổ thơng.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức với
một số thực thơng thường, đã biết ở phổ thơng.
Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đa thức
bằng nhau, tức là các hệ số tương ứng bằng nhau).
là không gian véctơ
2
V

(không gian các đa thức có bậc khô

ng quá 2, ký hiệu
2
P [ x])
11/2/2012
7
I. Định nghĩa và các ví dụ

3
a b
V a,b,c,d
c d


 

 
 
 
 




Ví dụ 3
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai ma trận đã biết trong chương
ma trận.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân ma trận với một số đã biết.
Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc tơ bằng nhau hai ma trận bằng
nhau.
là không gian véctơ

3
V



(không gian các ma trận vuông cấp 2, ký hiệu
2
M )

11/2/2012
8
I. Định nghĩa và các ví dụ



4 1 2 3 1 2 3
2 3 0
( , , )
     
i
V x x x x x x x

Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong
ví dụ 1.
Ví dụ 4
CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phép toán
trên V
1
, ( hoặc V
2

, hoặc V
3
) sao cho V
1
( hoặc V
2
, hoặc V
3
) là
không gian véctơ.
laø khoâng gian veùctô
4
V

11/2/2012
9
I. Định nghĩa và các ví dụ



5 1 2 3 1 2 3
2 1
     
i
V (x ,x ,x ) x x x x

Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong
ví dụ 1.
Ví dụ 5
laø khoâng gia

kh
n veùct
o
ô
âng
5
V

Ta thaáy
5 5
x, y V x y V
 


11/2/2012
10
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

V- KGVT
1 2
{ , , , }
m
M x x x

Tp con
M PTTT
1 2
, , ,
m
R

khụng ng thi bng 0
1 1 2 2
0
m m
x x x



M c lp tuyn tớnh
1 1 2 2
0
m m
x x x



1 2
0
m



11/2/2012
11
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

V- KGVT

1 2
{ , , , }
m
M x x x

Tp con
1 2
, , ,
m
R



1 1 2 2
m m
x x x x



Vector x thuc V c gi l T hp tuyn tớnh ca M, nu
11/2/2012
12
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

{ (1,1,1); ( 2 ,1, 3 ), (1, 2 , 0 )}
M

Trong khụng gian R
3
cho h vộc t

Vớ d 5
1. Hi M c lp tuyn tớnh hay ph thuc tuyn tớnh?
2. Vộct x = (2,-1,3) cú l t hp tuyn tớnh ca h M?
Gii cõu 1. Gi s
111 2 1 3 1 2 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , )


2 2 3 0 0 0
( , , ) ( , , )


2 0
2 0
3 0











1 2 1
1 1 2
1 3 0
A

2
r( A )

H cú vụ s nghim, suy ra M ph thuc tuyn tớnh
11/2/2012
13
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

Gii cõu 2. Gi s
111 2 1 3 1 2 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) x


2 2 3 2 1 3
( , , ) ( , , )


2 2
2 1
3 3

1 2 1 2
1 1 2 1
1 3 0 3
(A | b)






r(A | b) r(A)

Vy vộct x khụng l t hp tuyn tớnh ca M.
H phng trỡnh vụ nghim, suy ra khụng tn ti b s
, ,

11/2/2012
14
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

1 2
{ , , , }
m

M x x x


1 1 2 2
0
m m
x x x



H thun nht
AX=0
Cú duy nht
nghim X = 0
M ph thuc tuyn tớnh
Cú nghim khỏc
khụng
M c lp tuyn tớnh
11/2/2012
15
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

1 2
{ , , , }
m
M x x x


1 1 2 2

m m
x x x x
H thun pt
AX= b
H cú nghim
x khụng l t hp
tuyn tớnh
H vụ nghim
x l t hp tuyn tớnh
ca M
11/2/2012
16
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

{ , , 2 3 , }

M x y x y z
Vớ d
Trong khụng gian vộct V cho h
a. Vộcto 2x + 3y cú l t hp tuyn tớnh ca x, y, z.
b. M c lp tuyn tớnh hay ph thuc tuyn tớnh
11/2/2012
17
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

Vớ d
Trong khụng gian vộct V cho h M = { x, y, z} c lp tuyn tớnh.
Chng t {x+y+2z, 2x+3y+z, 3x+4y+z} c lp tuyn tớnh.

Gi s
( 2 ) (2 3 ) (3 4 ) 0
x y z x y z x y z


( 2 3 ) ( 3 4 ) (2 ) 0
x y z


Vỡ M c lp tuyn tớnh nờn ta cú
2 3 0
3 4 0
2 0











0


Vy M c lp tuyn tớnh
11/2/2012
18

II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

{ , }

M x y
Vớ d
Trong khụng gian vộct V cho h LTT
a.
b.
1
2 3

M { x, y}
2

M {x+y,2x+3y}
c.
3

M {x+y,2x+3y,x-y}
Cỏc tp hp con sau õy c lp tuyn tớnh hay ph thuc tuyn tớnh
11/2/2012
19
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

{ , }
x y
Vớ d
Trong khụng gian vộct V cho c lp tuyn tớnh, z khụng l t hp
tuyn tớnh ca x v y.

Chng minh rng c lp tuyn tớnh
{ , , }
x y z
11/2/2012
20
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

1 2
{ , , , }
m
M x x x


- ph thuc tt
- l t hp tuyn tớnh ca cỏc vộct cũn li trong M
i
x


Nu M cha vộct 0, thỡ M ph thuc tuyn tớnh.

11/2/2012
21
II

ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

Thờm mt s vộct vo h ph thuc tuyn tớnh ta thu c mt h ph
thuc tuyn tớnh.

B i mt s vộct ca h c lp tuyn tớnh ta thu c h c lp tuyn
tớnh.


Cho h vộct M cha m vộct
1 2
{ , , , }
m
M x x x

Cho h vộct N cha n vộct
1 2
{ , , , }
n
N y y y

Nu mi vộct y
k
ca N l t hp tuyn tớnh ca M v n > m, thỡ N l tp
ph thuc tuyn tớnh.
11/2/2012
22
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

Vớ d
Trong khụng gian vộct V cho h M = { x, y} tựy ý.
Hi M
1
={2x+y, x+3y, 3x+y} c lp hay ph thuc tt?
Gi s

(2 ) ( 3 ) (3 ) 0
x y x y x y


(2 3 ) ( 3 ) 0
x y


Sai vỡ M cha chc c lp tuyn tớnh
2 3 0
3 0








Li gii ỳng. Kim tra thy mi vect ca M
1
l t hp tt ca M
Vỡ s lng vộct trong M
1
l 3 nhiu hn trong M l 2
Theo b c bn, M
1
ph thuc tuyn tớnh.
11/2/2012
23

II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

{ , , }

M x y z
Vớ d
Trong khụng gian vộct V cho hai h
a. Chng minh rng nu M LTT tớnh thỡ M
1
LTT
v
1
2 3 3 4
{ , - , }
M x y z x y z x y z

b. Chng minh rng nu M
1
LTT tớnh thỡ M LTT
11/2/2012
24
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

{ (1,1,1); ( 2 ,1, 3 ), (1, 2 , 0 )}
M

Vớ d 7
Hóy xỏc nh tp hp cỏc vộct sau õy c lp tuyn tớnh hay ph thuc tuyn
tớnh.
11/2/2012

25
II ẹoọc laọp tuyeỏn tớnh, phuù thuoọc tuyeỏn tớnh

Vớ d 8
Hóy xỏc nh tp hp cỏc vộct sau õy c lp tuyn tớnh hay ph thuc tuyn
tớnh.
2 2
{ 1,2 3 2,2 1}
M x x x x x