HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ DÃY SỐ

Hướng dẫn giải bài tập Giải tích 1
Giới hạn của dãy số
Ths. Phạm Hồng Phong
Website: violet.vn/phphong84
Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng
Ví dụ 1:
lim 1
1
n
n
n



0

 
1
1
n
n

 

1
1
n

 

1

1
n

  
Chọn số tự nhiên
0
1
1
n

 
Khi đó
0
:| 1|
n
n n u

   
lim 1
1
n
n
n

 

(theo định nghĩa)
Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn
Ví dụ 2:
 

1
1
1
n
n
n


 
 
 
 
a R
 
1 1
,
2 2
a a
 
 
 
 
Xét khoảng
Chứng tỏ:
1
| | 1
n n
u u

 

2
1
1 1
2
k
u
k
  
Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với
chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ.
2 1
1
1 0
2 1
k
u
k

   

1
| | 1
n n
u u

  
Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng
này. Vậy không tồn tại giới hạn.
Ví dụ 3: Tìm giới hạn của dãy
 

2
1
n
n
k
n
u
n k

 


 

 
2
2 2
1
1
1
1
n
n
n
k
n n
u
n n



  

 
2
1
1
1
n
n
n
k
n
n
n
u
n
n


  





lim 1
n
n
u


 
Tìm
Ví dụ 4.
5
lim
n
n
n
n

Ta có
5 5
0 , 6
6
n
n
n
n
n
 
   
 
 
0
5
lim 0
n
n
n
n


 
Chứng tỏ
Ví dụ 5.
lim 1, 0.
n
n
a a

  
0
n
a
n

  
0
lim 0
n
n


 
Đặt
1 0
n
n
a

  



1
n
n n
a n
 
   
TH1.
1
a

lim 1
n
n
a

 
TH2.
0 1
a
 
1 1
lim , 1
lim
n
n
n
n
a b

a
b


  
Sử dụng TH1,
lim 1
n
n
b


lim 1.
n
n
a

 
Chứng tỏ dãy truy hồi
Ví dụ 6.


1 1
, 2; 2
n n n
u u u u

  
1
2 2 2 2

k k
u u

    
là dãy tăng và bị chặn trên.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
Dùng qui nạp, chứng tỏ
2
n
u

Giả sử
: 2
n
n k u
  
Khi đó với
1
n k
 
Vậy dãy bị chặn trên.
2
1
2
n n n n n n
u u u u u u

     
Vậy dãy tăng.
lim

n
u a
  
2
a a
 
2
2 0
a a
   
2.
a
 
Chứng tỏ dãy
Ví dụ 7.
 
 
!
,
2 1 !!
n n
n
u u
n


là dãy giảm và bị chặn dưới.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
1
1 1

2 3 2
n
n
u
n
u n


 

Vậy dãy bị chặn dưới.
0
n
u

Vậy dãy giảm.
lim
n
u a
  
1
1 1
lim
2 3 2 3
n n
n
n n
u u a a
n n



 
    
 
1
0
2
a a a
   
1
2
n
n n
u
u u

  
 
!
lim 0
2 1 !!
n
n
n

 

Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn
Ví dụ 8:
 

1
2 1
1
3 2
n
n
n
n



 

 

 
2
4 1 4 1 4 2
( 1)
6 2 6 2 6 3
k
k
k
k k
u
k k

 
    
 

Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k
Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau
2 1
2 1
4 3 4 3 4 2
( 1)
6 5 6 5 6 3
k
k
k
k k
u
k k



 

 
    
 
Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1
Vậy dãy đã cho không có giới hạn.
Một số giới hạn cơ bản
1
1) lim 0, 0

n
n




 
1
2) lim 0, 0
ln
n
n



 

1
3) lim 0, 1

n
n
a
a

 
4) lim 1,
n
p
n
n p

 

5) lim 1, 0
n
n
a a

 

6) lim 0, 1

p
n
n
n
a
a

 
7) lim 0,| | 1
n
n
q q

 

1
8) lim 1
n
n
e
n


 
 
 
 

9) lim 1 ,

n
a
n
a
e a
n

 
  
 
 
ln
10) lim 0, , 0
p
n
n
p
n



  

Ví dụ 9.
5
ln
lim 0
n
n
n


100
lim 0
2
n
n
n


4
lim 0
!
n
n
n


5
4
log
lim 0
2

n
n
n


Ví dụ 10. Tìm giới hạn của dãy


2
lim 1
n
n n

 
HD. Nhân lượng liên hợp
Ví dụ 11. Tìm giới hạn của dãy
1 1 1
lim
1 2 2 3 ( 1)
n
n n

 
  
 
   
 
HD. Phân tích
1 1 1
( 1) 1

n n n n
 
 
Ví dụ 12. Tìm giới hạn của dãy
2 3
sin cos
lim
n
n n
n


HD. Sử dụng định lý kẹp
Ví dụ 13. Tìm giới hạn của dãy
8
4 2
lim 2 2 2 2
n
n

  
HD. Phân tích, biến đổi số mũ.
Ví dụ 14. Tìm giới hạn của dãy
3
2
sin( !)
lim
1
n
n n

n



HD. Dùng định lý kẹp.
Ví dụ 15. Tìm giới hạn của dãy
2
3 1
2
2
3
lim
5
n
n
n
n


 

 
 

 
HD. Sử dụng giới hạn của dãy số e.
Ví dụ 16. Tìm giới hạn của dãy
2
1 2 3
lim

3 5
n
n
n n

   
 
HD. Sử dụng đẳng thức
( 1)
1 2
2
n n
n

   
Ví dụ 17. Tìm giới hạn của dãy
3 ( 1)
lim
1
n
n
n
n

 

HD. Tìm hai dãy con