Proceedings VCM 2012 104 điều khiển con lắc ngược di động
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (395.36 KB, 8 trang )
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 763
Mã bài: 163
Điều khiển con lắc ngược di động
bằng phương pháp điều khiển phi tuyến
Controlling a mobile inverted pendulum
by nonlinear control method
Đỗ Bình Nguyên
Trường Đại học Lạc Hồng
Email:
Dương Hoài Nghĩa
Trường Đại học Bách Khoa TP. HCM
Email:
Tóm tắt
Bài báo trình bày các kết quả nghiên cứu việc điều khiển con lắc ngược di động. Trước hết, hệ phương
trình trạng thái của hệ được tuyến tính hóa bằng phương pháp tuyến tính hóa tại điểm làm việc và tuyến tính
hóa bằng hồi tiếp. Sau đó, bộ điều khiển gán cực, thiết kế bằng phương pháp đại số, được thiết kế để điều
khiển hệ thống đã được tuyến tính hóa. Kết quả mô phỏng của hai bộ điều khiển này trên Matlab – Simulink
cho thấy bộ điều khiển thiết kế theo phương pháp tuyến tính hóa bằng hồi tiếp cho đáp ứng tốt hơn so với bộ
điều khiển thiết kế bằng phương pháp tuyến tính hóa điểm làm việc.
Abtract
This paper focuses on controlling a mobile inverted pendulum. Firstly, two methods of linearization were
applied to the state equation: feedback linearization and lineariztion around the operating point. Then, two
poles-placement controllers, designed by polynomial method, were used to control the linearized system.
Finally, the results by simulating on Matlab – Simulink show that the feedback lineariztion controller is better
than the controller which use the method of linearization around operating point.
Ký hiệu
Ký hi
ệ
u
Ý ngh
ĩa
m
Moment động cơ
a
Moment tải
R
Đi
ệ
n tr
ở
danh đ
ị
nh
L
R
C
ả
m kháng rotor
k
f
H
ằ
ng s
ố
ma sát
k
m
H
ằ
ng s
ố
moment
k
e
H
ằ
ng s
ố
s
ứ
c đi
ệ
n đ
ộ
ng ph
ả
n kháng
Góc quay của trục động cơ
w
Góc quay của bánh xe
p
Góc quay của thân con lắc
Vận tốc góc của bánh xe
Vận tốc góc của trục
Gia tốc góc của trục
V
a
Đi
ệ
n áp đ
ặ
t vào hai đ
ầ
u đ
ộ
ng cơ
V
e
S
ứ
c đi
ệ
n đ
ộ
ng ph
ả
n kháng
i
Dòng
đi
ệ
n qua ph
ầ
n
ứ
ng
I
R
Moment quán tính c
ủ
a rotor
M
w
Tr
ọ
ng lư
ợ
ng bánh xe
M
p
Tr
ọ
ng lư
ợ
ng thân con l
ắ
c
I
w
Moment quán tính c
ủ
a bánh xe
I
p
Moment quán tính c
ủ
a con l
ắ
c
H
L
, H
R
,
P
L
, P
R
L
ự
c tương tác gi
ữ
a bánh xe và thân
con lắc
H
fL
, H
fR
L
ự
c ma sát gi
ữ
a m
ặ
t đ
ấ
t và bánh
xe
L
Kho
ả
ng cách gi
ữ
a tâm bánh xe và
trọng tâm của con lắc
C
L
, C
R
moment c
ủ
a đ
ộ
ng cơ tác
đ
ộ
ng vào
bánh xe
r
Bán kính bánh xe
1. GIỚI THIỆU
Con lắc ngược là một hệ phi tuyến thu hút sự quan
tâm của những người nghiên cứu điều khiển tự
động. Nhiều giải thuật đã được đề xuất để điều
khiển hệ này như giải thuật điều khiển gán cực [1],
[3], giải thuật PID Backstepping [2], giải thuật
điều khiển trượt [5].
Các bộ điều khiển gán cực trong các tài liệu [1],
[3] được tính toán dựa trên việc tuyến tính hóa hệ
thống bằng tại điểm làm việc, và bộ điều khiển
được thiết kế bằng phương pháp Ackerman. Để có
764 Đỗ Bình Nguyên, Dương Hoài Nghĩa
VCM2012
mộ sự so sánh giữa các phương pháp tuyến tính
hóa với nhau, bài báo này sẽ tuyến tính hóa hệ
thống con lắc ngược di động bằng hai phương
pháp tuyến tính hóa: tuyến tính hóa tại điểm làm
việc và tuyến tính hóa bằng hồi tiếp. Sau đó, bộ
điều khiển gán cực sẽ được thiết kế bằng phương
pháp đại số.
Các phần còn lại của bài báo được trình bày như
sau: Phần hai trình bày cách thức xây dựng hệ
phương trình phi tuyến mô tả hoạt động của hệ con
lắc ngược di động trên cơ sở phân tích các lực tác
dụng lên hệ. Phần ba sẽ nêu lên hai phương pháp
tuyến tính hóa đã được áp dụng: tuyến tính hóa tại
điểm làm việc và tuyến tính hóa bằng hồi tiếp, để
đưa hệ phi tuyến về dạng tuyến tính đối với góc
nghiêng của thân con lắc. Với mô hình tuyến tính
vừa thu được, thiết kế bộ điều khiển gán cực bằng
phương pháp đại số được trình bày, một số kết quả
mô phỏng trên Matlab – Simulink cũng được trình
bày trong phần này cho thấy bộ điều khiển hoạt
động được, có khả năng ứng dụng vào thực tế.
Phần cuối cùng nêu lên một số kết luận.
2. MÔ HÌNH TOÁN HỌC
2.1. Mô hình tuyến tính của động cơ DC [5]
Moment
m
tỷ lệ với dòng điện i chạy trong phần
ứng của động cơ:
m
= k
m
.i
(2.1)
H1. Mô hình động cơ DC
Điện áp V
emf
, sinh ra khi cuộn dây động cơ quay
trong từ trường, được xấp xỉ bằng hàm tuyến tính
của vận tốc trục:
V
emf
= k
e
(2.2)
Theo định luật Kirchoff, ta có phương trình sau:
a R emf
di
V R.i L V 0
dt
(2.3)
Theo định luật về chuyển động của Newton, ta có:
m f a R
M k I .
w
t t w
(2.4)
Từ các phương trình (2.1), (2.2), (2.3) và (2.4), bỏ
qua độ tự cảm và ma sát trên trục động cơ, ta có
hàm quan hệ giữa tốc độ quay, điện áp đặt vào
động cơ và moment tải
m e m a a
R R R
k k k V
d
dt I R I R I
w
w
t
(2.5)
2.2. Mô hình con lắc ngược di động [5]
2.2.1. Bánh xe
H2. Các lực tác dụng trên bánh xe của con lắc
ngược di động
Áp dụng định luật về chuyển động của Newton, ta
có các biểu thức sau:
Tổng hợp lực tác dụng trên bánh xe theo phương
x:
w fR R
M H H
x
(2.6)
Tổng hợp lực tại tâm bánh xe:
w w R fR
I C H r
q
(2.7)
Từ (2.4), (2.6) và (2.7), ta có biểu thức Newton
cho bánh phải:
m e wm
w w a R
k .k I
k
M V H
R.r R.r r
w
x w qq
(2.8)
Thực hiện tương tự cho bánh trái:
m e wm
w w a
k .k I
k
M V H
R.r R.r r
w
L
x w qq
(2.9)
Gia tốc dài và vận tốc dài của bánh xe:
r
r
w w
x
x q q
(2.10)
r
r
w w
x
x
q q
(2.11)
Từ (2.8), (2.9), (2.10) và (2.11) ta có biểu thức
(2.12)
w
w
2
m e m
a L R
2
I
2 M
r
k k
k
2 x 2 V H H
Rr
Rr
x
(2.12)
2.2.2. Thân con lắc
Áp dụng định luật về chuyển động của Newton
cho các lực tác dụng theo phương ngang, ta có:
2
L R P P P P P P
P
H H M . .L.cos M . .L.sin
M .x
q q q q
(2.13)
Các lực tác dụng vào con lắc theo phương vuông
góc:
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 765
Mã bài: 163
L R P L R P
P P P P P P
H H .cos P P .sin
M .g.sin M . .L M . .cos
x
q q
q q q
(2.14)
H3. Các lực tác dụng trên thân con lắc ngược di
động
Tổng moment tác động tại trọng:
L R P L R P
L R P P
H H .L.cos P P .L.sin
C C I .
q q
q
(2.15)
Đặt:
2
1 p p
w
2 w p
2
t I M .L
2.I
t 2.M M
r
p
p
p
p
p
+
sin sin
cos cos
p f
f
f
q
f
q
q
f
q
q
Từ (2.4), (2.6), (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) và
(2.15), với các biến trạng thái y
1
=
, y
2
=
f
, y
3
=
x, y
4
=
x
, ta có hệ (2.16)
1 2
2 1 1 2 1 2
3 1 4 1 1 a
3 4
4 4 1 5 1 2
6 1 4 2 1 a
y y
y f y f y , y
f y ,y g y .V
y y
y f y f y ,y
f y ,y g y .V
(2.16)
Từ (2.16), ta thành lập được mô hình Matlab –
Simulink của con lắc ngược di động như trong
hình 4
3. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN
Bảng 3.1 Thông số hệ thống
Thông
số
Ý nghĩa Giá trị Đơn vị
g Gia tốc trọng trường
9.81
m/s
2
r Bán kính bánh xe 0.051
m
M
w
Trọng lượng bánh xe
0.03
Kg
M
p
Trọng lượ
ng thân
con lắc
1.13
Kg
I
w
Moment quán tính
bánh xe
0.000039
Kg.m
2
I
p
Moment quán tính
của con lắc
0.0041
Kg.m
2
L
Khoảng cách giữ
a
tâm bánh xe và
trọng tâm con lắc
0.07
m
k
m
Hằng số moment 0.006123
Nm/A
k
e
Hằng số sức điệ
n
động phản kháng
0.006087
Vs/rad
R Điện trở danh định 3
Ohm
3.1. Tuyến tính hóa tại điểm làm việc
Khi góc 0, sin() =sin(y
1
)= , cos() =
cos(y
1
)= 1,
2
0
y
f
, hệ phương trình (2.16)
được tuyến tính hóa như sau:
1 2
2 1 1 3 4 1 1 a
3 4
4 4 1 6 4 2 1 a
y y
y f' y f' y g' y .V
y y
y f' y f' y g' y .V
(3.1)
Viết dưới dạng ma trận:
1 1
2 21 24 2 21
3 3
4 42 44 4 41
y 0 1 0 0 y 0
y a 0 0 a y b
y 0 0 0 1 y 0
y a 0 0 a y b
a
V
(3.2)
H4. Mô hình phi tuyến của con lắc ngược di động
trên Matlab - Simulink
Từ 3.2, ta tính được hàm truyền của hệ thống
tuyến tính hóa:
766 Đỗ Bình Nguyên, Dương Hoài Nghĩa
VCM2012
3 2
B s
G s
A s
0.2456s
s 0,097s 172,116s 1,3477
(3.3)
Bộ điều khiển gán cực có dạng sau:
2
1 2 3
3 2
1 2 3
D s
d s d s d
C s
C s
s c s c s c
(3.4)
Phương trình đặc trưng:
s A s .C s B s .D s
(3.5)
Sau khi thử nghiệm với các cực khác nhau, ta chọn
đặt các cực của hệ thống ở các vị trí (-1; -1; -1; -
10; -20; -80) do thời gian đáp ứng và khả năng
chịu sai số tốt. Phương trình đặc trưng mong muốn
có dạng như (3.6)
d
s s 1 s 1 s 1
s 10 s 20 s 80
(3.6)
Cho (s) =
d
(s), đồng nhất hai vế, ta thu được
d
1
, d
2
, d
3
và c
1
, c
2
, c
3
2
3 2
D s
K s
C s
224500s 2401300s 8096900
s 113s 3094s 11872
(3.7)
Tiến hành mô phỏng điều khiển hệ thống phi tuyến
bằng bộ điều khiển (3.7), như trong hình 5, với các
góc khởi động khác nhau:
0
= 0,005 (rad)
0
= 0,01 (rad)
0
= 0,02 (rad)
H5. Bộ điều khiển gán cực cho mô hình phi tuyến
Các kết quả mô phỏng trong hình 7, 8 và 9, cho
thấy bộ điều khiển chỉ có thể giữ ổn định cho hệ
thống ở những góc khởi động
0
< 0,05 (rad).
Kết quả mô phỏng thử nghiệm khả năng chịu tải
của con lắc ngược với bộ điều khiển (3.7), hình 10
và 11, cho thấy hệ thống chỉ ổn định khi khối
lượng thân con lắc nhỏ hơn 1,25 (kg).
3.2. Tuyến tính hóa bằng hồi tiếp
Với mô hình hệ thống phi tuyến (2.16), đặt
là tín
hiệu điều khiển mới, áp dụng luật điều khiển hồi
tiếp tuyến tính hóa (3.8).
1 1 2 1 4
a
1
v f(y ) f(y , y ) f(y , y )
V
g(y )
(3.8)
Mô hình Simulink của hệ thống mới, sau khi thực
hiện tuyến tính hóa bằng hồi tiếp được trình bày
trong hình 6.
Hàm truyền của hệ thống sau khi tuyến tính hóa
bằng hồi tiếp là:
2
B s
1
G s
A s
s
(3.9)
Bộ điều khiển gán cực có dạng sau:
1 2
2
1 2
D s
d s d
C s
C s
s c s c
(3.10)
H6. Mô hình hệ thốngđược tuyến tính hóa bằng
hồi tiếp
H7. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm
làm việc.
0
= 0,005 (rad)
H8. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm
làm việc.
0
= 0,01 (rad)
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 767
Mã bài: 163
H9. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm
làm việc.
0
= 0,05 (rad)
H10. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm
làm việc. M
p
= 1,2 (kg).
0
= 0,005 (rad)
H11. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa điểm
làm việc. M
p
= 1,25 (kg).
0
= 0,005 (rad)
Phương trình đặc trưng:
s A s .C s B s .D s
(3.11)
Ta sẽ đặt các cực tại các vị trí (-20 – j, -20 + j, -14
– j, -14 + j). Phương trình đặc trưng mong muốn:
d
s s 20 j s 20 j
s 14 j (s 14 j)
(3.12)
Cho (s) =
d
(s), đồng nhất hai vế, ta thu được
d
1
, d
2
, d
3
và c
1
, c
2
, c
3
. Từ đó, ta có hàm truyền của
bộ điều khiển như trong biểu thức (3.13)
2
D s
19108s 78997
K s
C s
s 68s 1718
(3.13)
Với bộ điều khiển vừa tính toán được, ta thực hiện
mô phỏng với mô hình cho trong hình 12. Kết quả
mô phỏng được trình bày trong các hình 13 - 17.
H12. Mô phỏng bộ điều khiển gán cực cho hệ
thống tuyến tính hóa bằng hồi tiếp
4. KẾT LUẬN
Bài báo đã trình bày chi tiết các bước thiết kế và
mô phỏng bộ điều khiển gán cực kết hợp với hai
phương pháp tuyến tính hóa: Tuyến tính hóa tại
điểm làm việc và Tuyến tính hóa bằng hồi tiếp.
Kết quả mô phỏng cho thấy các bộ điều khiển có
thể hoạt động được trên thực tế, tuy nhiên, một mô
hình thực cần được xây dựng để kiểm chứng kết
quả này.
Kết quả mô phỏng cũng cho thấy, bộ điều khiển
gán cực được thiết kế dựa trên hệ thống được
tuyến tính hóa bằng hồi tiếp có chất lượng điều
khiển tốt hơn.
Phương pháp tính toán được đề xuất trong bài báo
này còn đòi hỏi phải tính toán bằng thủ công, chưa
được lập trình để tính toán một cách tự động nên
còn vấp phải một số hạn chế.
H13. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng
hồi tiếp.
0
= 0,005 (rad)
H14. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng
hồi tiếp.
0
= 0,01 (rad)
768 Đỗ Bình Nguyên, Dương Hoài Nghĩa
VCM2012
H15. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng
hồi tiếp.
0
= 0,05 (rad)
H16. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng
hồi tiếp. M
p
= 1,2 (kg),
0
= 0,005 (rad)
H17. Mô phỏng bộ điều khiển tuyến tính hóa bằng
hồi tiếp. M
p
= 1,5 (kg),
0
= 0,005 (rad)
PHỤ LỤC A
p 1
1 1
2 2 2
p 1
1
2
2 2
p 1 1
2
2 1 2 2
2 2 2
1 2 p 1
p 1
m e 2
3 1 4 4
2 2 2
p 1
1
2
p 1
m 2
1 1
2 2 2
p 1
1
2
2 2
p
4 1
M .g.L.siny
f y
M .L .cos y
t
t
M .L .siny .cosy
f y ,y y
t .t M .L .cos y
M .L.cosy
1
2.k .k r.t
f y , y y
R.r
M .L .cos y
t
t
M .L.cosy
1
2.k r.t
g y
R
M .L .cos y
t
t
M .g.L .siny
f y
1 1
2 2 2
1 2 p 1
p 1
2
5 1 2 2
2 2 2
p 1
2
1
p 1
m e 1
6 1 4 4
2 2 2
p 1
2
1
.cosy
t .t M .L .cos y
M .L.siny
f y , y y
M .L .cos y
t
t
M .L.cosy
1
2.k .k
r t
f y ,y y
R.r
M .L .cos y
t
t
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 769
Mã bài: 163
p 1
m 1
2 1
2 2 2
p 1
2
1
p 1
1 1
2 2
p
1
2
p
m e
2
3 4 4
2 2
p
1
2
p
m 2
1 1
2 2
p
1
2
2 2
p 1
4 1
2 2
1 2 p
p
m e
1
6 4
p
2
M .L.cosy
1
2.k r t
g y
R
M .L .cos y
t
t
M .g.L.y
f' y
M .L
t
t
M .L
1
2.k .k r.t
f' y y
R.r
M .L
t
t
M .L
1
2.k r.t
g' y
R
M .L
t
t
M .g.L .y
f' y
t .t M .L
M .L
1
2.k .k
r t
f' y
R.r
M
t
4
2 2
1
p
m 1
2 1
2 2
p
2
1
p
21
2 2
p
1
2
p
m e
2
24
2 2
p
1
2
2 2
p
41
2 2
1 2 p
p
m e 1
44
2 2
p
2
1
p
m 2
21
2 2
p
1
2
p
m
41
y
.L
t
M .L
1
2.k r t
g' y
R
M .L
t
t
M .g.L
a
M .L
t
t
M .L
1
2.k .k r.t
a
R.r
M .L
t
t
M .g.L
a
t .t M .L
M .L
1
2.k .k
r t
a
R.r
M .L
t
t
M .L
1
2.k r.t
b
R
M .L
t
t
M .L
1
2.k r
b
R
1
2 2
p
2
1
t
M .L
t
t
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Phú Xuân, Thiết kế thi công con lắc
ngược trên mô hình robot hai bánh, Luận văn
thạc sỹ kỹ thuật, trường ĐH Giao thông Vận tải
TP. Hồ Chí Minh, 2010
2. Nguyen Gia Minh Thao, Duong Hoai Nghia
,Nguyen Huu Phuc, A PID Backstepping
Controller For Two-Wheeled Self-Balancing
Robot, IFOST, 2010
3. Felix Grasser, Aldo D’arrigo, Silvio Colombi,
Alfred Rufer, JOE: A Mobile, Inverted
Pendulum
4. Peter Miller, Building a Two Wheeled
Balancing Robot, 2008
5. Ming Tao Kang, Hoang Duy Vo, Hak Kyeong
Kim, Sang Bong Kim, Control System Design
for a Mobile Inverted Pendulum via Sliding
Mode Technique, Proceedings of International
Conference on Mechatronics, 2007
Dương Hoài Nghĩa
sinh ngày 31/5/1957 tại Bến
Tre, tốt nghiệp kỹ sư Điện tự
động năm 1981 tại trường
Đại học Bách Khoa TP.
HCM, tốt nghiệp thạc sỹ và
tiến sỹ ngành Điều khiển tự
động tại Institut National
Polytechnique de Grenoble,
Pháp năm 1989 và 1993.
Từ năm 1981 đến nay, ông là giảng viên của Khoa
Điện - Điện tử, Trường Đại học Bách khoa TP.
HCM. Từ năm 1997-2002, ông là chủ nhiệm Bộ
môn Cơ sở Kỹ thuật điện. Từ năm 2002 đến nay,
ông là phó trưởng khoa. Năm 2007, nhận học hàm
Phó giáo sư.
Ông là thành viên của IEEE. Các lãnh vực nghiên
cứu của ông bao gồm: nhận dạng hệ thống, điều
khiển đa biến, điều khiển phi tuyến và tính toán
mềm.
Địa chỉ nơi làm việc: 268 – Lý Thường Kiệt –
Quận 10 – TP. HCM.
Điện thoại: 084-8-38657296, Fax: 084-8-
38645796.
Email:
Đỗ Bình Nguyên sinh ngày
3/9/1984 tại TP. HCM. Tốt
nghiệp kỹ sư chuyên ngành
Kỹ thuật Điện – Điện tử năm
2007 tại trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật TP. HCM, tốt
nghiệp thạc sỹ chuyên ngành
Kỹ thuật Điện tử tại trường
Đại học Sư phạm Kỹ thuật
770 Đỗ Bình Nguyên, Dương Hoài Nghĩa
VCM2012
TP. HCM năm 2012.
Từ năm 2007 đến năm 2011 công tác tại công ty
TNHH Thương mại – Dịch vụ và Đầu tư Hưng
Gia trong vai trò kỹ sự thiết kế phần cứng. Từ
năm 2011, hoạt động giảng dạy tại khoa Điện –
Điện tử trường Đại học Lạc Hồng. Năm 2012,
nhận nhiệm vụ Tổ trưởng bộ môn Công nghệ kỹ
thuật Tự động hóa.
Địa chỉ nơi làm việc: 10 – Huỳnh Văn Nghệ -
Phường Bửu Long – TP. Biên Hòa – Tỉnh Đồng
Nai
Điện thoại: 084 – 61 – 395225
Email:
