Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn

Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên
báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP CHỌN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

Xét “ bài toán chọn sau” : Cho hai dãy số thực được xắp thứ tự
1 2 1 2
;
n n
a a a b b b
     
và các tổng
1 2 1 1

n n n
s ab a b a b

   
S=
1 1 2 2
;
n n
a b a b a b
   (*)
1 2
1 2

n
j j j n j

S a b a b a b
   
(**)
(Với (
1 2
; ; ; )
n
j j j
là một hoán vị bất kỳ của (1;2;…;n)
Chứng minh rằng
j
S S s
 

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh
j
S S


Thật vậy: xuất phát từ (**) ta thành lập
1
S
bằng cách giữ nguyên hầu hết các số hạng của
j
S
(
giả sử
j
S
=1 ta thay đổi

1
j
b
và
i
j
b
):
2 1
2 1
1 1 2
1 1 2


i n
n
j j i j n j
j i j n j
S ab a b a b a b
a b a b a b a b
     
     

Ta có:
1 1
1
1 1 1 1 1
1 1
( ) ( )
( )( ) 0

j i j j i
i j
S S a b ab a b a b
a a b b
    
   

Suy ra:
1
j
S S


Tiếp tục thành lập
2
S
bằng cách giữ nguyên hầu hết các số hạng của
1
S
( Gỉa sử
2
k
j


Ta thay đổi
1
j
b
và

k
j
b
):
2
2
2 1 1 2
1 1 2 2


k n
n
j k j n j
k j n j
S a b a b a b a b
a b a b a b a b
    
     

Ta có:
2 2
2
2 1 2 2 2 2
2 2
( ) ( )
( )( ) 0
k j j k
k j
S S a b a b a b a b
a a b b

    
   

Suy ra
2 1
S S

;
…
Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên
báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2

Sau nhiều nhất nb bước như trên ta được kết quả
2 1

j
S S S S
   
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2

n
a a a
  
hoặc
1 2

n
b b b
  

Tương tự ta chứng minh được
j
S s


Ta cũng có thể áp dụng nguyên lý quy nạp để chứng minh “ bài toán chọn”.
 Ap dụng bài toán chọn:
Bài toán 1: Cho a, b, c, là các số thực dương , chứng minh rằng:
8 8 8
3 3 3
1 1 1
a b c
a b c a b c
 
  
(1)
Lời giải:
Ta có: (1)
5 5 5
3 3 3 3 3 3
1 1 1
a b c
b c a c a b a b c
     
(2)
Do a, b, c có vai trò như nhau , không mất tính tổng quát , giả sử

0
a b c
  
Suy ra
5 5 5
a b c
 
và
3 3 3 3 3 3
1 1 1
b c a c a b
 
Áp dụng bài toán chọn ta có
5 5 5
5 5 5
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1
a b c
a b c
b c a c a b a c a b b c
    
5 5 5 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c a b c
b c a c a b c a b
     
(3)
Tiếp tục áp dụng bài toán chọn với hai dãy
2 2 2
a b c

 
và
3 3 3
1 1 1
c b c
 
ta có:
2 2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1
. . .
a b c
a b c
c a b a b c
    
2 2 2
3 3 3
1 1 1
a b c
c a b a b c
     
(4)
Từ (2);(3);(4) suy ra (1) đúng(đpcm)
Bài toán 2(ĐH Thủy Lợi năm 1997-1998). Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh
rằng:
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
a b c d

b c d a a b c d
      
Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên
báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 3

Lời giải:
Do a, b, c, có vai trò như nhau , không mất tính tổng quát,giả sử
a b c d
  
suy ra
2 2 2 2
a b c d
  
và
5 5 5 5
1 1 1 1
d c b a
  

Theo cách chứng minh bài toán chọn, đặt
3 3 3 3
2 2 2 2
5 5 5 5
2 2 2 2
1
5 5 5 5
2 2 2 2
2

5 5 5 5
1 1 1 1
;
1 1 1 1
1 1 1 1
|
1 1 1 1
j
s
a b c d
S a b c d
b c d a
S a b c d
a c d b
S a b c d
a b d c
   
   
   
   

Ta có:
2 2
1 1
5 5
2 2
1 2 1 2
5 5
2 2
2 2

5 5
1 1
( )( ) 0 ;
1 1
( )( ) 0 ;
1 1
( )( ) 0
j j
S S a d S S
b a
S S b d S S
c b
S s c d S s
d c
      
      
      

Suy ra
1 2j
S S S s
  
(đpcm)
Bài toán 3:(Vô địch toán quốc tế 1983). Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam
giác.Chứng minh rằng:
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0
a b a b b c b c c a c a
     

Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử
0 ,
a b c
  
suy ra
1 1 1
a b c
 
và
( ) ( ) ( )
a b c a b c a b c a b c
       
(*) ( Xét hiệu a(b+c-a)-b(c+a-b)=(a-b)(c-a-b)

0
Do a,b, c là các cạnh của một tam giác, tương tự ta chứng minh được (*)). Aps dụng bài toán
chọn ta có
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
a b c a b c a b c a b c
a b c
b c b c a c a b a
b c a b c a b c a b c a
a b c a b c
b c b c c a c a a b a b

       
  
            
      

Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên
báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 4


(đpcm)
Bài toán 4(Olympiad Chicago 1996). Xác định các số thực
1 0
a b c d e
     
thỏa mãn:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
19 96
a b b c c d d e e a abcde
a bcd b cde c dea d eab e abc abcde

 
         
  

 
    


 


Lời giải:
Do
1 0
a b c d e
     
suy ra

bcde a cdea b abcd e
     

Áp dụng bài toán chọn ta có
( ) ( ) ( )
a bcde a b cdea b e abcd e
     

( ) ( ) ( )
a abcd e b bcde a e eabc d
      

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
5 ( ) ( )
10 2( ) 2( ) 2( )
19(10 ( ) ( ) ) 38( )
192 192

abcde a b c d e a bcd b cde e abc ab bc ea
abcde a e ab bc ea a bcd b cde e abc
abcde a b e a a bcd b cde e abc
abcde abc
             
           
 
         
 
  de

Trong bất đẳng thức trên, đẳng thức đã xảy ra nên a=b=c=d=e=0

 Bài tập tự giải:
Bài 1( Bất đẳng thức Trê-bư-sép). Gỉa sử
1 2
0
n
a a a
   
và
1 2
0
n
b b b
   
. Chứng minh
rằng:
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )

n n n n
n a b a b a b a a a b b b
         
Bài 2:(Bất đẳng thức Cô-si).Cho
0
i
a

với mọi
(1;2; ; )
i n

chứng minh rằng
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
a a a
n
  

Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh rằng:

3 3 3
4 4 4
1

a b c
a b c
 

 

Bài 4: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng :

2 2 2
3 ( ) ( ) ( )
abc a b c a b c a b c a b c
        

Chuyên đề toán bồi dưỡng THCS trên
báo toán học tuổi trẻ

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 5

Bài 5: Cho
0
i
a

với mọi
(1;2; ; )
i n

chứng minh rằng

2 2 2 2

2 2
2 3 1
1 2
1 2
3 4 2
1

1
n
n
a a a a
a a
a a a
n a a a
 
 

      
 

 

Bài 6:(Vô địch toán quốc tế 1975)
Cho hai dãy số thực dương
1 2

n
x x x
  
và

1 2

n
y y y
  
giả sử
1 2
( ; ; ; )
n
z z z
là một hoán vị
của
1 2
( , , , )
n
y y y
chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
x y x y x y x z x z x z
            
Bài 7 Vô địch toán quốc tế 1978)
Cho a
1 2
, , ,
n
a a a

là các số nguyên dương đôi một khác nhau . chứng minh rằng:

1 2
2 2 2
1 1 1

1 2 1 2
n
a
a a
n n
      