TÀI LIỆU bồi DƯỠNG học SINH GIỎI môn TOÁN lớp 5 cực HAY

TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
BÀI 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP .
I. MỤC TIÊU TIẾT DẠY :
- HS nắm được dạng toán và các bước giải dạng toán này.
- Làm được một số bài tập nâng cao.
- Rèn kỹ năng tính toán cho học sinh .
II. CHUẨN BỊ
- Câu hỏi và bài tập thuộc dạng vừa học.
- Các kiến thức có liên quan.
III. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
1/ Ổn định tổ chức lớp.
2/ Kiểm tra bài cũ.
Gọi học sinh làm bài tập về nhà giờ trước, GV sửa chữa.
3/ Giảng bài mới.
Dạng 1 : Số chẵn, số lẻ, bài toán xét chữ số tận cùng của một
số
* Kiến thức cần nhớ :
- Chữ số tận cùng của 1 tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số
hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
- Chữ số tận cùng của 1 tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số
hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
- Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
- Tích 1 ì 3 ì 5 ì 7 ì 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
- Tích a ì a không thể có tận cùng bằng 2, 3, 7 hoặc 8.
* Bài tập vận dụng :
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 1 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Bài 1:

a) Nếu tổng của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tích của chúng có thể
là 1 số lẻ được không?
b) Nếu tích của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tổng của chúng có thể
là 1 số lẻ được không?
c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là
lẻ được không?
Giải :
a)Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm 1 số chẵn
và 1 số lẻ, do đó tích của chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ
được).
b) Tích hai số tự nhiên là 1 số lẻ, như vậy tích đó gồm 2 thừa số đều
là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là 1 số chẵn(Không thể là một số lẻ
được).
c) Lấy “Tổng” cộng với “hiệu” ta được 2 lần số lớn, tức là được 1 số
chẵn. Vậy “tổng” và “hiệu” phải là 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Không
thể 1 số là chẵn, số kia là lẻ được).
Bài toán 2 : Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính
sau đây đúng hay sai?
a, 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744
b, 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115.
c, 5674 ì 163 = 610783
Giải :
a, Kết quả trên là sai vì tổng của 5 số lẻ là 1 số lẻ.
b, Kết quả trên là sai vì tổng của các số chẵn là 1 số chẵn.
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 2 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
c, Kết quả trên là sai vì tích của 1số chẵn với bất kỳ 1 số nào cũng là một
số chẵn.

Bài 3 : Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 024
Giải :
Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có
chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0 (trái với bài
toán)
Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2,
3, 4 và 6, 7, 8, 9
Ta có :
24 024 > 10 000 = 10 ì 10 ì 10 ì 10
24 024 < 160 000 = 20 ì 20 ì 20 ì 20
Nên tích của 4 số đó là :
11 ì 12 ì 13 ì 14 hoặc
16 ì 17 ì 18 ì 19
Có : 11 ì 12 ì 13 ì 14 = 24 024
16 ì 17 ì 18 ì 19 = 93 024.
Vậy 4 số phải tìm là : 11, 12, 13, 14.
Bài 4 : Có thể tìm được 2 số tự nhiên sao cho hiệu của chúng
nhân với 18 được 1989 không?
Giải :
Ta thấy số nào nhân với số chẵn tích cũng là 1 số chẵn. 18 là số
chẵn mà 1989 là số lẻ.
Vì vậy không thể tìm được 2 số tự nhiên mà hiệu của chúng nhân
với 18 được 1989.
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 3 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Bài 5 : Có thể tìm được 1 số tự nhiên nào đó nhân với chính nó
rồi trừ đi 2 hay 3 hay 7, 8 lại được 1 số tròn chục hay không.
Giải :

Số trừ đi 2,3 hay 7,8 là số tròn chục thì phải có chữ số tận cùng là
2,3 hay 7 hoặc 8.
Mà các số tự nhiên nhân với chính nó có các chữ số tận cùng là 0 ,
1, 4, 5, 6, 9.
Vì : 1 ì 1 = 1 4 ì 4 = 16 7 ì 7 = 49
2 ì 2 = 4 5 ì 5 = 25 8 ì 8 = 64
3 ì3 = 9 6 ì 6 = 36 9 ì 9 = 81
10 ì 10 = 100
Do vậy không thể tìm được số tự nhiên như thế .
Bài 6: Có số tự nhiên nào nhân với chính nó được kết quả là một
số viết bởi 6 chữ số 1 không?
Giải :
Gọi số phải tìm là A (A > 0 )
Ta có : A x A = 111 111
Vì 1 + 1 +1 + 1+ 1+ 1+ = 6 chia hết cho 3 nên 111 111 chia hết cho 3.
Do vậy A chia hết cho 3, mà A chia hết cho 3 nên A ì A chia hết cho 9
nhưng 111 111 không chia hết cho 9.
Vậy không có số nào như thế .
Bài 7:
a, Số 1990 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp được không?
Giải :
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 4 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 vì trong 3 số đó
luôn có 1 số chia hết cho 3 nên 1990 không là tích của 3 số tự nhiên liên
tiếp vì :
1 + 9 + 9 + 0 = 19 không chia hết cho 3.
b, Số 1995 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp không?

3 số tự nhiên liên tiếp thì bao giờ cũng có 1 số chẵn vì vậy mà tích
của chúng là 1 số chẵn mà 1995 là 1 số lẻ do vậy không phải là tích của 3
số tự nhiên liên tiếp.
c, Số 1993 có phải là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp không?
Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ bằng 3 lần số ở giữa do đó
số này phải chia hết cho 3.
Mà 1993 = 1 + 9 + 9 + 3 = 22 Không chia hết cho 3
Nên số 1993 không là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp.
Bài 8 : Tính 1 ì 2 ì 3 ì 4 ì 5 ì ì 48 ì 49 tận cùng là bao
nhiêu chữ số 0?
Giải :
Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là :
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
Hay 5 = 1 ì 5 ; 10 = 2 ì 5 ; 15 = 3 ì5; ; 45 = 9 ì 5.
Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. mà tích
trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.
Bài 9 : Bạn Toàn tính tổng các chẵn trong phạm vi từ 20 đến 98
được 2025. Không thực hiện tính tổng em cho biết Toàn tính đúng
hay sai?
Giải :
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 5 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Tổng các số chẵn là 1 số chẵn, kết quả toàn tính được 2025 là số lẻ
do vậy toàn đã tính sai.
Bài 10 : Tùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 được 2025.
Không tính tổng đó em cho biết Tùng tính đúng hay sai?
Giải :
Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ

Mà từ 1 đến 19 có 10 số lẻ. Do vậy Tùng tính tổng của số lượng
các số lẻ là : 50 – 10 = 40 (số)
Ta đã biết tổng của số lượng chẵn các số lẻ là 1 số chẵn mà 2025 là số lẻ
nên Tùng đã tính sai.
Bài 11 : Tích sau tận cùng bằng mấy chữ số 0?
20 ì 21 ì 22 ì 23 ì . . . ì 28 ì 29
Giải :
Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0
Ta lại có 25 = 5 ì 5 nên 2 thữa số 5 này khi nhân với 2 só chẵn cho tích
tận cùng bằng 2 chữ số 0
Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0.
Bài 12 : Tiến làm phép chia 1935 : 9 được thương là 216 và
kghông còn dư. Không thực hiện cho biết Tiến làm đúng hay sai.
Giải :
Vì 1935 và 9 đều là số lẻ, thương giữa 2 số lẻ là 1 số lẻ. Thương
Tiến tìm được là 216 là 1 số chẵn nên sai
Bài 13 : Huệ tính tích :
2 ì 3 ì 5 ì 7 ì 11 ì 13 ì 17 ì 19 ì 23 ì 29 ì 31 ì 37 = 3
999
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 6 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Không tính tích em cho biết Huệ tính đúng hay sai?
Giải :
Trong tích trên có 1 thữa số là 5 và 1 thừa số chẵn nên tích phải tận
cùng bằng chữ số 0. Vì vậy Huệ đã tính sai.
Bài 14 : Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 :
13 ì 14 ì 15 ì . . . ì 22
Giải :

Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng
1 chữ số 0. Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 nữa ở tích.
Vậy tích trên có 2 chữ số 0.
* BÀI TẬP VỀ NHÀ :
Bài 1/ Không làm phép tính hãy cho biết kết quả của mỗi phép tính sau
có tận cùng bằng chữ số nào?
a, (1 999 + 2 378 + 4 545 + 7 956) – (315 + 598 + 736 + 89)
b, 1 ì 3 ì 5 ì 7 ì 9 ì . . . ì 99
c, 6 ì 16 ì 116 ì 1 216 ì 11 996
d, 31 ì 41 ì 51 ì 61 ì 71 ì 81 ì 91
e, 56 ì 66 ì 76 ì 86 - 51 ì 61 ì 71 ì 81
Bài 2/ Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0
a, 1 ì 2 ì 3 ì . . . ì 99 ì 100
b, 85 ì 86 ì 87 ì . . . ì 94
c, 11 ì 12 ì 13 ì . . . ì 62
Bài 3/ Không làm tính xét xem kết quả sau đúng hay sai? Giải thích tại
sao?
a, 136 ì 136 - 41 = 1960
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 7 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
b, ab ì ab - 8557 = 0
Bài 4/ Có số nào chia cho 15 dư 8 và chia cho 18 dư 9 hay không?
Bài 5/ Cho số a = 1234567891011121314. . . được viết bởi các số tự
nhiên liên tiếp. Số a có tận cùng là chữ số nào? biết số a có 100 chữ số.
Bài 6/ Có thể tìm được số tự nhiên A và B sao cho :
(A + B) ì (A – B) = 2002.
Dạng 2: Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các thành phần của phép
tính

* Các bài tập.
Bài 1: Khi cộng một số tự nhiên có 4 chữ số với một số tự nhiên
có 2 chữ số, do sơ suất một học sinh đã đặt phép tính như sau :
abcd
+ eg
Hãy cho biết kết quả của phép tính thay đổi như thế nào .
Giải :
Khi đặt phép tính như vậy thì số hạng thứ hai tăng gấp 100 lần .Ta có :
Tổng mới = SH1 + 100 x SH2
= SH1 + SH2 + 99 x SH2
=Tổng cũ + 99 x SH2
Vậy tổng mới tăng thêm 99 lần số hạng thứ hai.
Bài 2 : Khi nhân 1 số tự nhiên với 6789, bạn Mận đã đặt tất cả
các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng nên được
kết quả là 296 280. Hãy tìm tích đúng của phép nhân đó.
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 8 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Giải :
Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng tức
là bạn Mận đã lấy thừa số thứ nhất lần lượt nhân với 9, 8, 7 và 6 rồi cộng
kết quả lại. Do
9 + 8 + 7 + 6 = 30
nên tích sai lúc này bằng 30 lần thừa số thứ nhất. Vậy thừa số thứ nhất
là :
296 280 : 30 = 9 876
Tích đúng là :
9 876 ì 6789 = 67 048 164
Bài 3 : Khi chia 1 số tự nhiên cho 41, một học sinh đã chép nhầm

chữ số hàng trăm của số bị chia là 3 thành 8 và chữ số hàng đơn
vị là 8 thành 3 nên được thương là 155, dư 3. Tìm thương đúng
và số dư trong phép chia đó.
Giải :
Số bị chia trong phép chia sai là :
41ì 155 + 3 = 6358
Số bị chia của phép chia đúng là : 6853
Phép chia đúng là :
6853 : 41 = 167 dư 6
Bài 4 : Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ được
thương là 3 và số dư là 3. Tìm 2 số đó
Giải :
Theo bài ra ta có
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 9 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Số nhỏ : | |
3
Số lớn : | | | | |
33
Số nhỏ là :
(33 - 3) : 2 = 15
Số lớn là :
33 + 15 = 48
Đáp số 15 và 48.
Bài 5 : Hai số thập phân có tổng bằng 55,22; Nếu dời dấu phẩy
của số bé sang trái 1 hàng rồi lấy hiệu giữa số lớn và nó ta được
37, 07. Tìm 2 số đó.
Giải :

Khi dời dấu phẩy của số bé sang trái 1 hàng tức là ta đã giảm số bé
đi 10 lần
Theo bài ra ta có sơ đồ :
37,07
Số lớn : | | |

55,22
Số bé : | | | | | | | | | | |
Nhìn vào sơ đồ ta thấy :
11 lần số bé mới là :
55,22 - 37,07 = 18,15
Số bé là :
18,15 : 11 ì 10 = 16,5
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 10 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Số lớn là :
55,22 - 16,5 = 38,2
Đáp số : SL : 38,2; SB : 16,5.
Bài 6 : Hai số thập phân có hiệu là 5,37 nếu dời dấu phẩy của số
lớn sang trái 1 hàng rồi cộng với số bé ta được 11,955. Tìm 2 số
đó.
Giải:
Khi dời dấu phẩy của số lớn sang trái 1 hàng tức là ta đã giảm số
đó đi 10 lần
Ta có sơ đồ :
Số lớn : | | | | | | | | | | |
Số bé : | | |
1/10 số lớn + số bé = 11,955 mà số lớn - số bé = 5,37.

Do đó 11 lần của 1/10 số lớn là : 11,955 + 5,37 = 17,325
Số lớn là : 17,325 : 11 ì 10 = 15,75
Số bé là : 15,75 - 5,37 = 10, 38
Đáp số : SL : 15,75 ; SB : 10, 38.
Bài 7 : Cô giáo cho học sinh làm phép trừ một số có 3 chữ số với
một số có 2 chữ số, một học sinh đãng trí đã viết số trừ dưới cột
hàng trăm của số bị trừ nên tìm ra hiệu là 486. Tìm hai số đó, biết
hiệu đúng là 783.
Giải :
Khi đặt như vậy tức là bạn học sinh đó đã tăng số trừ đó lên 10 lần.
Do vậy hiệu đã giảm đi 9 lần số trừ.
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 11 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Số trừ là :
(783 - 486) : 9 = 33
Số bị trừ là :
783 + 33 = 816
Đáp số : Số trừ : 33
Số bị trừ : 816
Bài 8 : Hiệu 2 số tự nhiên là 134. Viết thêm 1 chữ số nào đó vào
bên phải số bị trừ và giữ nguyên số trừ, ta có hiệu mới là 2297.
Tìm 2 số đã cho.
Giải :
Số bị trừ tăng lên 10 lần cộng thêm chữ số viết thêm a, thì hiệu mới
so với hiệu cũ tăng thêm 9 lần cộng với số a.
9 lần số bị trừ + a = 2297 - 134 = 2163 (đơn vị)
Suy ra (2163 - a) chia hết cho 9
2163 chia cho 9 được 24 dư 3 nên a = 3 (0 ≤ a ≤ 9)

Vậy chữ số viết thêm là 3
Số bị trừ là :
(2163 - 3) : 9 = 240
Số trừ là :
240 - 134 = 106
Thử lại : 2403 - 106 = 2297
Đáp số : SBT : 240; ST : 106.
Bài 9 : Tổng của 1 số tự nhiên và 1 số thập phân là 62,42. Khi
cộng hai số này 1 bạn quên mất dấu phẩy ở số thập phân và đặt
tính cộng như số tự nhiên nên kết quả sai là 3569.
Tìm số thập phân và số tự nhiên đã cho.
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 12 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Giải :
Số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân nên quên dấu phẩy tức
là đã tăng số đó lên 100 lần. Như vậy tổng đã tăng 99 lần số đó. Suy ra
số thập phân là : (3569 – 62,42) : 99 = 35,42
Số tự nhiên là : 62,42 - 35,42 = 27
Đáp số : Số thập phân :35,42 ; Số tự nhiên : 27.
Bài 10 : Khi nhân 254 với 1 số có 2 chữ số giống nhau, bạn Hoa
đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên tìm ra kết
quả so với tích đúng giảm đi 16002 đơn vị.
Hãy tìm số có hai chữ số đó.
Giải :
Gọi thừa số thứ hai là aa
Khi nhân đúng ta có 254 ì aa hay 254 ì a ì 11
Khi đặt sai tích riêng tức là lấy 254 ì a + 254 ì a = 254 ì a ì 2
Vậy tích giảm đi 254 ì a ì 9

Suy ra : 254 ì 9 ì a = 16002
a = 16002 : (254 ì 9) = 7
Vậy thừa số thứ hai là 77.
Bài 11 : Khi nhân 1 số với 235 1 học sinh đã sơ ý đặt tích riêng
thứ 2 và 3 thẳng cột với nhau nên tìm ra kết quả là 10285.
Hãy tìm tích đúng.
Giải :
Khi nhân một số A với 235, học sinh đó đặt 2 tích riêng cuối thẳng
cột như trong phép cộng, tức là em đó đã lần lượt nhân A với 5, với 30,
với 20 rồi cộng ba kết quả lại .
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 13 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Vậy : A ì 5 ì A ì 30 ì A ì 20 = 10 285
A ì 55 = 10 285
A = 10 285 : 55 = 187
Vậy tích đúng là:
187 ì 235 = 43 945
Bài 12: Tìm ba số biết hiệu của số lớn nhất và số bé nhất là 1,875
và khi nhân mỗi số lần lượt với 8, 10,14 thì được ba tích bằng
nhau.
Giải:
Vì tích của số lớn nhất với 8 bằng tích của số bé nhất với 14
nên ta có sơ đồ :
Số lớn nhất : | | | | | | | | | | | | | | |
Số bé nhất : | | | | | | | | |
Số lớn nhất là :
1,875 : ( 14 - 8 ) ì 14 = 4,375
Số bé nhất là :

4,375 - 1,875 = 2,5
Số ở giữa là :
2,5 ì 14 : 10 = 3,5
Đáp số : 2,5 ; 3,5 ; 4,375.
*Bài tập về nhà:
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 14 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Bài 1 : Khi cộng 1 số tự nhiên với 107, 1 học sinh đã chép nhầm số
hạng thứ 2 thành 1007 nên được kết quả là 1996. Tìm tổng đúng của 2 số
đó.
Bài 2 : Khi nhân 1 số tự nhiên với 5 423, 1 học sinh đã đặt các tích
riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng nên được kết quả là 27
944. Tìm tích đúng của phép nhân đó.
Bài 3 : Khi chia 1 số tự nhiên cho 101, 1 học sinh đã đổi chỗ chữ số
hàng trăm và hàng đơn vị của số bị chia, nên nhận được thương là 65 và
dư 100. Tìm thương và số dư của phép chia đó.
Bài 4 : Cho 2 số, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 7 và số
dư lớn nhất có thể có được là 48. Tìm 2 số đó.
Bài 5 : Hai số thập phân có tổng là 15,88. Nếu dời dấu phẩy của số bé
sang phải 1 hàng, rồi trừ đi số lớn thì được 0,12. Tìm 2 số đó.
Bài 6 : Một phép chia có thương là 6 và số dư là 3. Tổng của số bị chia,
số chia và số dư bằng 195. Tìm số bị chia và số chia.
Bài 7 : Tổng của 2 số thập phân là 16,26. Nếu ta tăng số thứ nhất lên 5
lần và số thứ hai lên 2 lần thì được 2 số có tổng là 43,2. Tìm 2 số.
Bài 8 : So sánh tích : 1,993 ì 199,9 với tích 19,96 ì 19,96
Bài 9 : Một học sinh khi nhân 1 số với 207 đã quên mất chữ số 0 của số
207 nên kết quả so với tích đúng giảm 6 120 đơn vị. Tìm thừa số đó.
Bài 10 : Lấy 1 số đem chia cho 72 thì được số dư là 28. Cũng số đó

đem chia cho 75 thì được số dư là 7 thương của 2 phép chia là như nhau.
Hãy tìm số đó.
Dạng 3 : Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết.
* Bài tập vận dụng
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 15 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
a.Loại toán viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Bài 1 : Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0,
4, 5, 9 thoả mãn điều kiện
a, Chia hết cho 2
b, Chia hết cho 4
c, Chia hết cho 2 và 5
Giải :
a, Các số chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0 hoặc 4. Mặt khác mỗi số đều
có các chữ số khác nhau, nên các số thiết lập được là
540; 504
940; 904
450; 954
950; 594
490
590
b, Ta có các số có 3 chữ số chia hết cho 4 được viết từ 4 chữ số đã cho
là :
540; 504; 940; 904
c, Số chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng 0. Vậy các số cần tìm là
540; 450;490
940; 950; 590 .
Bài 2: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số có 4

chữ số chia hết cho 5?
Giải:
Một số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0 hoặc 5.
Với các số 1, 2, 3, 4, ta viết được 4 x 4 x 4 = 64số có 3 chữ số
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 16 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Vậy với các số 1, 2, 3, 4, 5 ta viết được 64 số có 5 chữ số (Có tận
cùng là 5)
b, Loại toán dùng dấu hiệu chia hết để điền vào chữ số chưa biết .
ở dạng này: -Nếu số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thì trước hết
dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng .
-Dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu
chia hết còn lại của số phải tìm để xác định các chữ số còn lại .
Bài 3:Thay x và y vào 1996 xy để được số chia hết cho 2, 5, 9.
Giải :
Số phải tìm chia hết cho 5 vậy y phải bằng 0 hoặc 5.
Số phải tìm chia hết cho 2 nên y phải là số chẵn
Từ đó suy ra y = 0 . Số phải tìm có dạng 1996 ì 0.
Số phải tìm chia hết cho 9 vậy (1 +9 + 9+ 6 + x )chia hết cho 9 hay (25 +
x) chia hết cho 9 .Suy ra x = 2.
Số phải tìm là : 199620.
Bài 4: Cho n = a 378 b là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm
tất cả các chữ số a và b để thay vào ta dược số n chia hết cho 3
và 4 .
Giải :
- n chia hết cho 4 thì 8b phải chia hết cho 4. Vậy b = 0, 4 hoặc 8
- n có 5 chữ số khác nhau nên b = 0 hoặc 4
- Thay b = 0 thì n = a3780

+ Số a3780 chia hết cho 3 thì a = 3, 6 hoặc 9
+ Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 6 hoặc 9
Ta được các số 63 780 và 930780 thoả mãn điều kiện của đề bài
- Thay b = 4 thì n = a3784
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 17 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
+ Số a3784 chia hết cho 3 thì a = 2, 5 hoặc 8
+ Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 2 hoặc 5. Ta được các
số 23784 và 53 784 thoả mãn điều kiện đề bài
Các số phải tìm 63 780; 93 780; 23 784; 53 784.
c.Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu .
- Các tính chất thường sử dụng trong loại này là :
. Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng
cũng
chia hết cho 2
. Nếu SBT và ST đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia
hết cho 2
. Một số hạng không chia hết cho 2, các số hạng còn lại chia hết cho
2 thì tổng không chia hết cho 2
. Hiệu của 1 số chia hết cho 2 và 1 số không chia hết cho 2 là 1 số
không chia hết cho 2.
(Tính chất này tương tự đối với các trường hợp chia hết khác)
Bài 5 : Không làm phép tính xét xem các tổng và hiệu dưới đây có
chia hết cho 3 hay không .
a, 459 + 690 1 236
b, 2 454 - 374
Giải :
a, 459, 690, 1 236 đều là số chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1 236 chia

hết cho 3
b, 2 454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3 nên 2 454 - 374
không chia hết cho 3.
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 18 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Bài 6 : Tổng kết năm học 2001- 2002 một trường tiểu học có 462
học sinh tiên tiến và 195 học sinh xuất sắc. Nhà trường dự định
thưởng cho học sinh xuất sắc nhiều hơn học sinh tiên tiến 2
quyển vở 1 em. Cô văn thư tính phải mua 1996 quyển thì vừa đủ
phát thưởng. Hỏi cô văn thư tính đúng hay sai ? vì sao?
Giải :
Ta thấy số HS tiên tiến và số HS xuất sắc đều là những số chia hết
cho 3 vì vậy số vở thưởng cho mỗi loại HS phải là 1 số chia hết cho 3.
Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là 1 số chia hết cho 3, mà 1996
không chia hết cho 3 > Vậy cô văn thư đã tính sai.
d. Các bài toán về phép chia có dư
ở loại này cần lưu ý :
- Nếu a : 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a là 1, 3, 5, 7, 9
- Nếu a : 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1 hoặc 6 ; a : 5 dư 2 thì
chứ số tận cùng phải là 2 hoặc 7 . . .
- Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia
hết cho 2
- Nếu a : b dư b - 1 thì a + 1 chia hết cho b
- Nếu a : b dư 1 thì a - 1 chia hết cho b
Bài 7 : Cho a = x459y. Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp
để khi chia a cho 2, 5, 9 đều dư 1
Giải :
Ta nhận thấy :

- a : 5 dư 1 nên y bằng 1 hoặc 6
- Mặt khác a : 2 dư 1 nên y phải bằng 1. Số phải tìm có dạng a= x4591
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 19 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
- x4591 chia cho 9 dư1 nên x + 4 + 5 + 9 + 1 chia cho 9 dư 1. vậy x chia
hết cho 9 suy ra x = 0 hoặc 9. Mà x là chữ số đầu tiên của 1 số nên không
thể bằng 0 vậy x = 9
Số phải tìm là : 94591
Bài 8 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư
1, cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5, cho 7 dư 6
Giải :
Gọi số phải tìm là a thì a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6 và 7 như vậy
a + 1 có tận cùng là chữ số 0
a + 1 không là số có 1 chữ số. Nếu a + 1 có 2 chữ số thì a + 1 tận
cùng là chữ số 0 lại chia hết cho 7 nên a + 1 = 70 (loại vì 70 không chia
hết cho 3)
Trường hợp a + 1 có 3 chữ số thì có dạng xy0
. Số xy0 chia hết cho 4 nên y phải bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8
. Số xy0 chia hết cho 7 nên xy bằng 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63;
70; 77; 84; 91 hoặc 98
. Số xy0 chia hết cho 3 thì x + y + 0 chia hết cho 3
Kết hợp các điều kiện trên thì a + 1 = 420 vậy a = 419
Đáp số : 419.
e. Vận dụng tính chất chia hết và chia còn dư để giải toán có lời văn
Bài 9 : Tổng số HS khối 1 của một trường tiểu học là 1 số có 3
chữ số và chữ số hàng trăm là 3. Nếu xếp hàng 10 và hàng 12
đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không còn dư. Tính số HS khối 1
cuỉa trường đó.

Giải :
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 20 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Theo đề bài thì số HS khối 1 đó có dạng 3ab. Các em xếp hàng 10
dư 8 vậy b = 8. Thay vào ta được số 3a8. Mặt khác, các em xếp hàng 12
dư 8 nên 3a8 - 8 = 3a0 phải chia hết cho 12 suy ra 3a0 chi hết cho 3. suy
ra a = 0, 3, 6 hoặc 9. Ta có các số 330; 390 không chia hết cho 12 vì vậy
số HS khối 1 là 308 hoặc 368 em. số 308 không chia hết cho 8 vậy số HS
khối 1 của trường đó là 368 em.
* Bài tập về nhà :
Bài 1 : Cho 4 chữ số 0, 1, 5 và 8. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau
thoả mãn điều kiện
a, Chia hết cho 6
b, Chia hết cho 15
Bài 2 : Hãy xác định các chữ số ab để khi thay vào số 6a49b ta được số
chia hết cho :
a, 2, 5 và 9
b, 2 và 9
Bài 3 : Không làm phép tính xét xem các tổng và hiệu đưới đây có chia
hết cho 3 hay không
a, 1 236 + 2 155 + 42 702
b, 92 616 - 48 372
Bài 4 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3, 4, 5 đều
dư 1 và chia cho 7 thì không dư.
Bài 5 : Một công ty có số công hưởng mức lương 360 000đ. Số khác
hưởng mức 495 000đ, số còn lại hưởng 672 000đ/ tháng. Sau khi phát
lương tháng 7 cho công nhân cô kế toán cộng hết 273 815 000đ. Hỏi cô
kế toán tính đúng hay sai? tại sao?

=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 21 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
Bài 6 : Lớp 5A xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4 được một số hàng không
thừa bạn nào. Nếu lấy tổng các hàng xếp được đó thì được 39 hàng. Hỏi
lớp 5A có bao nhiêu bạn.
Dạng 4 : Biểu thức và phép tính liên quan đến tính giá trị biểu thức
*Bài tập vận dụng
Bài 1 : Cho hai biểu thức :
A = (700 ì 4 + 800) : 1,6
B = (350 ì 8 + 800) : 3,2
Không tính toán cụ thể, hãy giải thích xem giá trị biểu thức
nào lớn hơn và lớn hơn mấy lần?
Giải :
Xét ở A có 700 ì 4 = 700 : 2 ì 2 ì 4 = 350 ì 8 nếnố bị chia của cả
hai biểu thức A và B giống nhau nhưng số chia gấp đôi nhau (3,2 : 1,6 =
2) nên A có giá trị gấp đôi B.
Bài 2 : Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách thích hợp
a, 17,58 ì 43 + 57 ì 17,58
b, 43,57 ì 2,6 ì (630 – 315 ì 2)
c,
281545
171645
+×
−×
d,
4145552 10741
6,053103245679,0123018,0
−++++++

××+××+×
e, 9,8 + 8,7 + 7,6 + . +2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - . . 8,9
Giải :
a, 17,58 ì 43 + 57 ì 17,58
= 17,58 ì 43 + 17,58 ì 57 (tính giao hoán)
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 22 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
= 17,58 ì (43 + 57) = 17,58 ì 100 = 1758 (nhân 1 số với 1 tổng)
b, 43,57 ì 2,6 ì (630 – 315 ì 2)
= 43,57 ì 2,6 ì (630 – 630)
= 43,57 ì 2,6 ì 0 = 0
c,
261545
171645
+×
−×
=
281545
17)115(45
+×
−+×
=
281545
17451545
+×
−+×
=
281545

281545
+×
+×
=
A
A
= 1
d,
4145552 10741
6,053103245679,0123018,0
−++++++
××+××+×

=
2
41419)551(
5310)6,03(4567)29,0(12318,0
−×+
××+××+×
=
4141928
53108,145678,11238,1
−×
×+×+×
=
18
)53104567123(8,1 ++x
=
18
100008,1 x

= 1000
ở số chia, từ 1 tới 55 là các số mà 2 số liên tiếp hơn kém nhau 3
đơn vị nên từ 1 đến 55 có (55 – 1) :3 + 1 = 19 số).
c, 9,8 + 8,7 + 7,6 + . . . + 2,1 – 1,2 – 2,3 – 3,4 - . . . – 8,9
= (19,8 – 8,9) + (8,7 – 7,8) + . . . +(2,1 – 1,2)
= 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 23 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
= 0,9 x 5 = 4,5.
Bài 3 :Tìm X :
a,(X + 1) + (X + 4) + (X +7) +(X + 10) + . . . + (X + 28) = 155
Giải :
(X + 1) + ( X + 4) + ( X + 7) + +(X + 28) = 155
Ta nhận thấy 2 số hạnh liên tiếp của tổng hơn kém nhau 3 đơn vị
nên tổng được viết đầy đủ sẽ có 10 số hạng
(28 – 1) : 3 + 1 = 10)
(X + 1 + X + 28) x 10 : 2 = 155
(X x 2 + 29) x 10 = 155 x 2 = 310 (Tìm số bị chia)
X x 2 + 29 = 310 : 10 = 31 (Tìm thừa số trong 1 tích)
X x 2 = 31 – 29 = 2 (Tìm số hạng trong 1 tổng)
X = 2 : 2 = 1 ( Tìm thừa số trong 1 tích).
Bài 4 : Viết các tổng sau thành tích của 2 thừa số :
a, 132 + 77 + 198
b, 5555 + 6767 + 7878
c, 1997, 1997 + 1998, 1998 + 1999, 1999ư
Giải :
a, 132 + 77 + 198
= 11 x 12 + 11 x 7 + 11 x 18

= 11 x (12 + 7 + 18) ( nhân 1 số với 1 tổng)
= 11 x 37
b, 5555 + 6767 + 7878
= 55 x 101 + 67 x 101 + 78 x 101
= 55 + 67 + 78) x 101
= 200 x 101
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 24 -
TÀI LIỆU Bồi dưỡng học sinh giỏi MÔN TOÁN 5
c, 1997, 1997 + 1998, 1998 + 1999, 1999
= 1997 x 1,0001 + 1998 x 1,0001 + 1999 x 1,0001
= (1997 + 1998 + 1999) x 1,0001
= 5994 x 1,0001 ( nhân 1 tổng với 1 số)
Bài 5 : Tìm giá trị số tự nhiên của a để biểu thức sau có giá trị lớn
nhất, giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?
B = 1990 + 720 : (a – 6)
Giải :
Xét B = 1990 + 720 : (a – 6)
B lớn nhất khi thương của 720 : (a – 6) lớn nhất.
Khi đó số chia phải nhỏ nhất, vì số chia khác 0 nên a – 6 = 1 (là
nhỏ nhất)
Suy ra : a = 7
Với a = 7 thì giá trị lớn nhất của B là :
1990 + 720 : 1 = 2710.
* Bài tập về nhà
Bài 1 : Thêm dấu phép tính và dấu ngoặc đơn vào 5 chữ số 3 để được
kết quả lần lượt là : 1, 2, 3, 4, 5.
Bài 2 : Tìm X :
a, X ì 1999 = 1999 ì 199,8

b, (X ì 0,25 + 1999) ì 2000 = ((53 + 1999) ì 2000
c, 71 + 65 x 4 =
X
X 140+
+ 260
=====================================================
======
Phamkhacl - Trường Tiểu học Cao Nhân - Thủy Nguyên HP - 25 -