KHÔNG GIAN METRIC TREN R

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
HỒ ĐÌNH TRƯỞNG
MỘT SỐ VẤN ĐỀ
VỀ MÊTRIC TRÊN R
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỒNG THÁP, NĂM 2009
i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
HỒ ĐÌNH TRƯỞNG
MỘT SỐ VẤN ĐỀ
VỀ MÊTRIC TRÊN R
Ngành đào tạo: Sư phạm toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Giảng viên hướng dẫn:
ThS. NGUYỄN VĂN DŨNG
ĐỒNG THÁP, NĂM 2009
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các
kết quả nghiên cứu nêu trong khóa luận là trung thực.
Tác giả khóa luận
Hồ Đình Trưởng
iii
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể cán bộ giảng viên
trường Đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện cho chúng em học tập.

Em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm và tất cả quý thầy cô khoa
Toán học đã tận tình giúp đỡ em trong năm học qua.
Em xin cảm ơn tập thể lớp ĐHSTOAN08 - L1, những người bạn ở
bên luôn động viên khích lệ em thực hiện đề tài này.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy Nguyễn Văn
Dũng, thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Em xin kính gởi đến quý thầy, cô lời chúc sức khỏe, thành đạt!
Mục lục
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
I Mở đầu 3
1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Thời gian nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Cấu trúc khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II Nội dung 6
1 Kiến thức cơ sở 7
1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Hợp, giao của một họ tập . . . . . . . . . . . . . 8
2 Quan hệ và ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1
2
2.1 Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Nguyên lí supremum và nguyên lí Cantor của một
tập M ⊂ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Tính trù mật của tập số hữu tỉ Q trong R . . . . 12
4 Mêtric và không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Mêtric thông thường và mêtric rời rạc trên R 16
1 Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Vị trí tương đối gữa điểm và tập con trong không gian
mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Không gian mêtric đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Không gian mêtric compắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Không gian mêtric khả li, không gian mêtric liên thông . 35
III Kết luận 40
Tài liệu tham khảo 42
Phần I
Mở đầu
3
4
1 Lí do chọn đề tài
Mêtric là sự mở rộng của khái niệm khoảng cách trong thực tế. Một
tập cùng với một mêtric trên nó được gọi là một không gian mêtric. Tuy
nhiên, do hạn chế về thời lượng chương trình nên các giáo trình của môn
học này không trình bày chi tiết và đầy đủ về mêtric của một tập cụ thể
nào đó mà chỉ cung cấp một số vấn đề về mêtric trên tập bất kì. Điều
này đã ảnh hưởng đến kết quả học tập, nghiên cứu và giảng dạy tiếp
theo của các cử nhân sau này. Do đó việc cụ thể một số vấn đề về mêtric
vào một tập cụ thể nào đó đóng vai trò rất quan trọng. Vì vậy chúng tôi
quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về mêtric trong R” làm đề
tài nghiên cứu khóa luận.
2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại một số kiến thức về không gian mêtric.
- Cụ thể hóa một số vấn đề về mêtric vào không gian mêtric R với
mêtric thông thường và mêtric rời rạc.
- Xây dựng ví dụ minh họa về một số vấn đề của mêtric với mêtric
thông thường và mêtric rời rạc.
3 Nội dung nghiên cứu
Không gian mêtric R với mêtric thông thường và mêtric rời rạc.
4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của khóa luận là phương pháp nghiên cứu
tài liệu. Cụ thể, đọc hiểu giáo trình trao đổi với giáo viên hướng dẫn và
các thành viên trong nhóm nghiên cứu.
5
5 Thời gian nghiên cứu
Từ tháng 06/2009 đến 10/2009.
6 Cấu trúc khóa luận
Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong 2 chương. Ngoài
ra có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận
và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày về Kiến thức cơ sở, bao gồm 4 mục. Mục 1 trình
bày về tập hợp, Mục 2 trình bày về quan hệ và ánh xạ, Mục 3 trình bày
về số thực và Mục 4 trình bày về mêtric và không gian mêtric.
Chương 2 trình bày về Mêtric thông thường và mêtric rời rạc trên R,
bao gồm 6 mục. Mục 1 trình bày về tập mở và tập đóng, Mục 2 trình
bày về vị trí tương đối giữa điểm và tập con, Mục 3 trình bày về ánh xạ
liên tục, Mục 4 trình bày về không gian mêtric đầy đủ, Mục 5 trình bày
về không gian mêtric compắc và Mục 6 trình bày về không gian mêtric
khả li và không gian mêtric liên thông.
Phần II
Nội dung
6

Chương 1
Kiến thức cơ sở
1 Tập hợp
Các khái niệm trong mục này được trình bày theo [4].
1.1 Các phép toán trên tập hợp
Cho A, B là hai tập hợp. Tập A được gọi là tập con của tập B, kí
hiệu A ⊂ B, nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Hai tập hợp
A, B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂ B và B ⊂ A.
Giả sử X là một tập hợp. Kí hiệu P (X) được dùng để chỉ tập hợp
tất cả những tập con của X.
Các phép toán hợp, giao, hiệu của hai tập hợp được định nghĩa lần
lượt như sau:
Hợp của A và B: A ∪ B = {x : x ∈ A hay x ∈ B},
Giao của A và B: A ∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B},
Hiệu của A và B: A\B = {x : x ∈ A và x /∈ B},
Phần bù của một tập: Giả sử X là một tập và A ⊂ X. Tập X\A
7
8
được gọi là phần bù của tập A trong X và được kí hiệu là A
c
.
Nếu A ∩B = ∅ thì A và B được gọi là rời nhau hay không giao nhau
hay có giao nhau bằng rỗng.
1.2 Hợp, giao của một họ tập
Cho (A
i
)
i∈I
là một họ các tập hợp. Hợp và giao của họ này được định
nghĩa như sau:


i∈I
A
i
= {x : ∃i ∈ I, x ∈ A
i
},

i∈I
A
i
= {x : x ∈ A
i
, với mọi i ∈ I}.
Họ (A
i
)
i∈I
được gọi là rời nhau từng đôi một nếu A
i
∩A
j
= ∅ khi i = j.
2 Quan hệ và ánh xạ
Các khái niệm trong mục này được trình bày theo [1] và [4].
2.1 Quan hệ
Cho các tập X và Y . Ta gọi tích Descartes của X và Y là tập
X ×Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y },
có phần tử là các cặp (x, y) với x ∈ X, y ∈ Y . Tích Decartes X × X
được kí hiệu là X

2
và được gọi là bình phương Decartes của tập X.
Ta gọi một tập con S của X × Y là một quan hệ trên X và Y ; một
tập con S của X
2
là một quan hệ trên X.
2.2 Quan hệ thứ tự
Quan hệ S trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu S có các tính chất
sau:
9
1. Tính phản xạ: xSx, với mọi x ∈ X,
2. Tính phản xứng: Nếu mọi x, y ∈ X, xSy và ySx thì x = y,
3. Tính bắc cầu: Nếu xSy và ySz thì xSz.
Nếu S là quan hệ thứ tự thì thay cho cách viết xSy ta sẽ viết x ≤ y
và viết x < y nếu x ≤ y và x = y.
Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X được gọi là một tập được sắp.
Nếu mọi x, y ∈ X đều có x ≤ y hoặc y ≤ x thì X được gọi là được sắp
tuyến tính hay được sắp toàn phần. Trong trường hợp khác thì X được
gọi là được sắp bộ phận.
Phần tử x ∈ X được gọi là phần tử tối đại nếu mọi y ∈ X, x ≤ y thì
x = y.
Phần tử x ∈ X được gọi là phần tử tối tiểu nếu mọi y ∈ X, y ≤ x thì
x = y.
Cho E là một tập con của X. Phần tử x ∈ X được gọi là biên trên
hay cận trên (tương ứng, biên dưới hay cận dưới) của E nếu y ≤ x
(x ≤ y) với mọi y ∈ E. Nếu x là biên trên (tương ứng, biên dưới) của
E và x ∈ E thì x được gọi là phần tử lớn nhất (tương ứng, phần tử nhỏ
nhất) của E.
Một tập được sắp được gọi là được sắp tốt nếu mọi tập con khác rỗng
của nó đều có phần tử nhỏ nhất.

2.3 Ánh xạ
Một quan hệ f trên X và Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y nếu
mọi x ∈ X tồn tại duy nhất y ∈ Y để (x, y) ∈ f. Nếu f là ánh xạ thì
thay cho cách viết (x, y) ∈ f ta viết là
y = f(x), x ∈ X.
Với mọi tập Y, ∅ là tập con duy nhất của ∅ × Y . Vậy ∅ là ánh xạ
duy nhất từ ∅ vào Y .
10
Ánh xạ f : X −→ C được gọi là hàm số.
Cho các ánh xạ f : X −→ Y và g : Y −→ Z. Ta gọi hợp thành hay
tích của các ánh xạ này là ánh xạ g
◦
f được xác định như sau:
g
◦
f : X −→ Z, g
◦
f(x) = g(f(x)).
Cho f : X −→ Y là ánh xạ và D ⊂ X và E ⊂ Y . Ta gọi ảnh của D
là tập
f(D) = {f(x) : x ∈ D},
và tạo ảnh của E là tập
f
−1
(E) = {x : f(x) ∈ E}.
Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là: đơn ánh nếu mọi x
1
, x
2
∈ X, x

1
= x
2
thì f(x
1
= f(x
2
), được gọi là toàn ánh nếuf(X) = Y , được gọi là song
ánh nếu f là đơn ánh và toán ánh.
Ánh xạ I
X
: X −→ X, I
X
(x) = x, x ∈ X được gọi là ánh xạ đồng
nhất trên tập X.
Nếu f : X −→ Y là song ánh thì tồn tại duy nhất ánh xạ f
−1
: Y −→
X thỏa mãn
f
−1
◦ f = I
X
, f
◦
f
−1
= I
Y
được gọi là ánh xạ ngược của f.

Cho ánh xạ f : X −→ Y và tập con D ⊂ X. Đặt
f|
D
: D −→ Y, f|
D
(x) = f(x).
Ánh xạ f|
D
được gọi là ánh xạ thu hẹp của f trên D.
Một ánh xạ f : N −→ X được gọi là một dãy trong X.
Đặt f(n) = x
n
, ta kí hiệu dãy f là {x
n
}.
Cho f : N −→ X là một dãy trong X và ánh xạ g : N −→ N thỏa
mãn g(n) < g(m) với mọi n < m. Khi đó dãy f
◦
g : N −→ X được gọi
là dãy con của dãy f. Đặt f
◦
g(k) = x
n
k
, dãy con của dãy {x
n
} được kí
hiệu là {x
n
k

}.
11
3 Số thực
Các khái niệm trong mục này được trình bày theo [4].
3.1 Nguyên lí supremum và nguyên lí Cantor của một tập
M ⊂ R
Ta có tập số thực R là tập được sắp với quan hệ ≤.
Tập M được gọi là bị chặn trên (tương ứng, chặn dưới) nếu M tồn
tại ít nhất một cận trên (tương ứng, cận dưới).
3.1 Định lí. (Nguyên lí supremum) Mọi tập con M khác rỗng của
R bị chặn trên (tương ứng, bị chặn dưới) thì tồn tại cận trên bé nhất
(tương ứng, cận dưới lớn nhất).
Cận trên bé nhất của một tập bị chặn trên được gọi là supremum của
M và kí hiệu là supM. Cận dưới lớn nhất của một tập bị chặn dưới được
gọi là infimum của M và kí hiệu là infM.
α = subM ⇔

∀x ∈ M : x ≤ α
(α
,
< α)(∃x ∈ M) : α
,
< x
α = infM ⇔

∀x ∈ M : α ≤ x
(α < α
,
)(∃x ∈ M) : x < α
,

Dãy các đoạn {[a
n
, b
n
]}
n
được gọi là thắt lại nếu [a
n+1
, b
n+1
] ⊂ [a
n
, b
n
], n =
1, 2, và lim
n−→∞
(b
n
− a
n
) = 0.
3.2 Định lí. (Nguyên lí Cantor) Mỗi dãy đoạn{[a
n
, b
n
]}
n
trong R
thắt lại thì có một phần tử chung duy nhất cho tất cả các đoạn đó.

12
3.2 Tính trù mật của tập số hữu tỉ Q trong R
Với mỗi cặp số thực (a, b), a < b bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ
r sao cho a < r < b.
4 Mêtric và không gian mêtric
4.1 Định nghĩa ([1], Tr.25). Cho M là một tập khác rỗng. Ta gọi hàm
số d : M ×M −→ R là một mêtric hay khoảng cách trên X nếu hàm số
đó thỏa mãn ba tiên đề sau:
1. Tính không âm: d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ M;
d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. Tính đối xứng: d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ M;
3. Bất đẳng thức tam giác: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈
M.
Khi đó (M, d) được gọi là một không gian mêtric.
4.2 Ví dụ ([1], Tr.25). Với mọi x = (x
1
, x
2
, , x
k
), y = (y
1
, y
2
, , y
k
) ∈
R
k
, đặt :

d(x, y) =




k

i=1
|x
i
− y
i
|
2
.
Khi đó d là một mêtric trên R
k
.
Giải. Với mọi x = (x
1
, x
2
, , x
k
), y = (y
1
, y
2
, , y
k

), z = (z
1
, z
2
, , z
k
) ∈
R
k
, ta có:
13
1. d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ R
k
vì

k

i=1
|x
i
− y
i
|
2
≥ 0;
d(x, y) = 0 ⇔ |x
i
− y
i
| = 0 ⇔ x = y;

2. d(x, y) =

k

i=1
|x
i
− y
i
|
2
=

k

i=1
|y
i
− x
i
|
2
= d(y, x);
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ;
d
2
(x, z) =
k

i=1

|x
i
− z
i
|
2
≤
k

i=1
(|x
i
− z
i
| + |y
i
− z
i
|
2
=
k

i=1
|x
i
− y
i
|
2

+ 2
k

i=1
|x
i
− z
i
| × |y
i
− z
i
| +
k

i=1
|y
i
− z
i
|
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có:
d
2
(x, z) ≤
k

i=1
|x

i
− y
i
|
2
+ 2(
k

i=1
|x
i
− y
i
|
2
)
1
2
(
k

i=1
|y
i
− z
i
|
2
)
1

2
+
k

i=1
|y
i
− z
i
|
2
= [(
k

i=1
|x
i
− y
i
|
2
)
1
2
+ (
k

i=1
|y
i

− z
i
|
2
)
1
2
]
2
= [d(x, y) + d(y, z)]
2
Suy ra d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Vậy d là một mêtric trên R
k
và mêtric này được gọi là mêtric Ơclit
hay mêtric thông thường trên R
k
.
Cụ thể khi k = 1 ta có: R
k
= R.
Với mọi x, y ∈ R, ta đặt:
d(x, y) = |x −y|.
Khi đó d là một mêtric trên R, mêtric này được gọi là mêtric Ơclitvà
không gian (R, d) là một không gian mêtric Ơclit.
14
Cụ thể khi k = 2 ta có: R
k
= R
2

.
Với mọi x, y ∈ R
2
, ta đặt:
d(x, y) =

|x
1
− y
1
|
2
+ |x
2
− y
2
|
2
.
Khi đó d là một mêtric trên R
2
, mêtric này được gọi là mêtric Ơclitvà
không gian (R
2
, d) là một không gian mêtric Ơclit.
Cụ thể khi k = 3 ta có: R
k
= R
3
.

Với mọi x, y ∈ R
3
, ta đặt:
d(x, y) =

|x
1
− y
1
|
2
+ |x
2
− y
2
|
2
+ |x
3
− y
3
|
2
.
Khi đó d là một mêtric trên R
3
, mêtric này được gọi là mêtric Ơclit và
không gian (R
3
, d) là một không gian mêtric Ơclit.

4.3 Ví dụ ([1], Tr.27). Giả sử M là một tập khác rỗng. Ta đặt:
δ(x, y) =



0 nếu x = y,
1 nếu x = y,
với mọi x, y ∈ M. Khi đó δ là một mêtric trên M, mêtric này được gọi
là mêtric rời rạc hay mêtric tầm thường trên M và không gian (M, δ)
được gọi là không gian mêtric rời rạc hay không gian mêtric tầm thường.
Giải. 1. δ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ M;
δ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. δ(x, y) = δ(y, x) với mọi x, y ∈ M;
3. δ(x, z) ≤ δ(x, y) + δ(y, z) với mọi x, y, z ∈ M .
Thật vậy, Nếu x = z thì y = z hoặc y = z do đó ta có δ(x, z) = 1
15
và δ(x, y) + δ(y, z) ≥ 1.
Nếu x = z thì δ(x, z) = 0 và δ(x, y) + δ(y, z) ≥ 0.
4.4 Ví dụ. Mêtric cảm sinh
Cho (R, d) là một không gian mêtric và A là một tập con của R. Với
mọi x, y ∈ A, đặt:
d
A
(x, y) = d(x, y)
Khi đó d
A
là một mêtric trên A và mêtric d
A
được gọi là mêtric cảm
sinh bởi mêtric d trên A. Tập A cùng với mêtric đó được gọi là không

gian mêtric con của (R, d).
Chương 2
Mêtric thông thường và mêtric rời
rạc trên R
Trong chương này ta sẽ hệ thống một số vấn đề liên quan đến mêtric
và cụ thể hóa trên R với mêtric thông thường và mêtric rời rạc.
Khi viết (R, d) trong chương này ta sẽ hiểu d là mêtric Ơclit.
Khi viết (R, δ) trong chương này ta sẽ hiểu δ là mêtric rời rạc.
1 Tập mở và tập đóng
1.1 Định nghĩa. ([1], Tr.30) Cho (M, d) là một không gian mêtric. Với
mỗi a ∈ M và ε > 0 , đặt:
B(a, ε) = {x ∈ M : d(x, a) < ε}.
B(a, ε) được gọi là hình cầu mở tâm a bán kính ε hay ε-lân cận của a.
Cụ thể trong (R, d) ta có:
B(a, ε) = {x ∈ R : |x − a| < ε} = (a − ε, a + ε).
Cụ thể trong (R, δ) ta có:
B(a, ε) = {x ∈ R : δ(x, a) < ε}
16
17
Trường hợp ε ≤ 1 thì δ(x, a) = 0 ⇔ x = a suy ra B(a, ε) = {x}.
Trường hợp ε > 1 thì δ(x, a) = 0 hoặc δ(x, a) = 1 ⇔ x ∈ R suy ra
B(a, ε) = R.
1.2 Mệnh đề. 1. Khoảng mở (a, b) ⊂ (R, d) là một hình cầu mở.
2. Khoảng mở (a, b) ⊂ (R, δ) không là một hình cầu mở.
Chứng minh. 1. Với mọi x ∈ (a, b) ta có:
a < x < b ⇔
a + b
2
< x −
a + b

2
<
b − a
2
⇔ |x −
a + b
2
| <
b − a
2
Vậy khoảng mở (a, b) ⊂ (R, d) là hình cầu mở với tâm là p =
a + b
2
và
bán kính là r =
b − a
2
.
2. Theo cụ thể hình cầu mở trong (R, δ) thì hình cầu mở là các tập
có một phần tử và R. Vậy khoảng mở (a, b) ⊂ (R, d) không là hình cầu
mở.
1.3 Định nghĩa. ([1], Tr.30) Tập con A của M được gọi là tập mở nếu
mọi a ∈ A tồn tại ε > 0 sao cho B(a, ε) ∈ A.
Cụ thể trong (R, d) ta có: Tập con A của (R, d) được gọi là tập mở
nếu mọi a ∈ A tồn tại ε > 0 sao cho (a − ε, a + ε) ⊂ A.
Cụ thể trong (R, δ) ta có: Mọi tập con A của (R, δ) là tập mở. Thật
vậy với mọi a ∈ A, B(a,
1
2
) = {a} ⊂ A.

1.4 Định lí. ([4], Tr.41) Mỗi tập mở trong (R, d) bằng hợp của một số
hữu hạn hay đếm được các khoảng mở không giao nhau.
Chứng minh. Giả sử G là một tập mở trong (R, d) .
Với mọi x ∈ G, tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) = (x − r, x + r) ⊂ G.
Kí hiệu 
x
là tập hợp tất cả các khoảng mở chứa trong G và có chứa x.
18
Ta chứng minh 
x
cũng là một khoảng mở. Thật vậy:
Đặt p = inf 
x
, q =sup
x
( p, q có thể bằng −∞, +∞).
Với mọi y ∈ 
x
thì p < y < q vì trước hết rõ ràng ta có p ≤ y ≤ q.
Nếu y = p thì có một khoảng mở chứa trong x và chứ p nên mâu thuẩn
với p = inf 
x
.
Tương tự y không thể bằng q.
Vậy 
x
⊂ (p, q).
Ngược lại nếu y ∈ (p, q), giả sử p < y < x theo định nghĩa của infimun,
tồn tại t ∈ 
x

sao cho p < t ≤ y < x. Do đó có một khoảng mở chứa x
và chứa t.
Suy ra y thuộc khoảng mở này tức là y ∈ 
x
.
Vậy 
x
= (p, q).
Bây giờ ta xét tất cả các khoảng 
x
ứng với các điểm x ∈ G. Hiển nhiên
G =

x∈G

x
Nếu z ∈ 
x
thì 
x
⊂ 
z
(vì 
z
là khoảng mở lớn nhất chứa x) vậy thì
x ∈ 
z
nên 
z
< 

x
. Tức là 
x
= 
z
. Cho nên với hai khoảng mở 
x
và 
y
thì hoặc 
x
∩ 
y
= ∅ hoặc 
x
= 
y
(vì nếu có z ∈ 
x
∩ 
y
thì

x
= 
z
= 
y
).
Vậy G bằng hợp bất kì các khoảng mở rời nhau. Vì tập các số hữu tỉ đếm

được nên số các khoảng mở lập thành G là hữu hạn hay đếm được.
1.5 Ví dụ. 1. Giả sử a, b là hai số thực và a < b. Các tập (a, b), (a, +∞),
(−∞, a) là các tập mở trong (R, d) và (R, δ).
2. Với mọi n ∈ N, G
n
= (0, 1 +
1
n
) là tập mở trong (R, d) và (R, δ).
1.6 Mệnh đề. Hợp của một số các khoảng mở trong (R, d) là tập mở.
19
Chứng minh. Giả sử (A
i
)
i∈I
là một họ các khoảng mở. Đặt A =

i∈I
A
i
.
Nếu x ∈ A thì tồn tại i
0
∈ I để x ∈ A
i
0
. Vì A
i
0
mở nên có số dương r sao

cho B(x, r) ∈ A
i
0
. Khi đó B(x, r) ⊂

i∈I
A
i
= A. Vậy A là tập mở.
1.7 Định nghĩa. ([1], Tr.30) Tập con A của M được gọi là tập đóng
nếu M\A là tập mở.
Cụ thể trong (R, d) và (R, δ) ta có:
Tập con A của (R, d) được gọi là tập đóng nếu R\A là tập mở.
Mọi tập con (R, δ) là tập đóng.
1.8 Ví dụ. Với mỗi n ∈ N
∗
đặt U
n
= [
1
n
, +∞)
Các U
n
là tập đóng trong (R, d).
Giải. Xét :
R\U
n
= R\[
1

n
, +∞) = (−∞,
1
n
)
mà (−∞,
1
n
) là tập mở trong R suy ra R\U
n
là tập mở trong R
Suy ra U
n
là tập đóng trong R.
1.9 Ví dụ. Giả sử a, b là hai số thực. Các tập [a, b], [a, +∞) là các tập
đóng trong (R, d).
Giải. Ta có R\[a, b] = (−∞, a) ∪ (b, +∞) mà các tập (−∞, a), (b, +∞)
là các tập mở. Vậy [a, b] là tập đóng.
Ta có R\[a, +∞] = (−∞, a) mà tập (−∞, a) là các tập mở. Vậy
[a, +∞] là tập đóng.
1.10 Nhận xét. 1. Trong (R, d) khoảng là tập mở và đoạn là tập đóng.
2. Trong (R, δ) mọi tập vừa là tập mở vừa là tập đóng.
20
1.11 Mệnh đề. 1. N, Z, Q không là tập mở trong (R, d).
2. N, Z là tập đóng trong (R, d).
3. Q không là tập đóng trong (R, d).
Chứng minh. 1. Chọn x = 0 ∈ N, với mọi r < 0, B(x, r) ∩ (R\N) = ∅.
Suy ra 0 không là điểm trong của N. Vậy N không là tập mở.
Chọn x = 0 ∈ Z, với mọi r < 0, B(x, r) ∩(R\Z) = ∅. Suy ra 0 không
là điểm trong của Z. Vậy Z không là tập mở.

Chọn x = 0 ∈ Q, với mọi r < 0, B(x, r) ∩(R\Q) = ∅. Suy ra 0 không
là điểm trong của Q. Vậy Q không là tập mở.
2. Ta có N = R\∪[(n, n+1)], n ∈ N. Theo định lí 1.4 ta có ∪[(n, n+1)]
là tập mở. Vậy N là tập đóng.
Ta có Z = R\∪[(n, n + 1)], n ∈ Z. Theo định lí 1.4 ta có ∪[(n, n + 1)]
là tập mở. Vậy Z là tập đóng.
3. Vì Q = R = Q nên Q không là tập đóng trong (R, d).
1.12 Định nghĩa. ([1], Tr.32) Cho A là một tập con của không gian
mêtric X. Khi đó ta gọi:
1. Hợp của tất cả các tập con mở của X được chứa trong A được gọi
là phần trong của A. Kí hiệu là A
0
.
2. Giao của tất cả các tập con đóng của X chứa trong A được gọi là
bao đóng của A. Kí hiệu là A.
1.13 Ví dụ. Cho a, b ∈ (R, d) và a ≤ b. Đặt A = (a, b]. Khi đó:
A
0
= (a, b), A = [a, b].
21
1.14 Ví dụ. 1. Bao đóng tập các số hữu tỉ Q trong (R, d) chính là tập
R.
2. Bao đóng tập các số hữu tỉ Q trong (R, δ) chính là tập Q.
1.15 Ví dụ. Trong (R, d) xét A = [0, 1] ta có:
A
0
= (0, 1), A = [0, 1]
2 Vị trí tương đối gữa điểm và tập con trong không
gian mêtric
2.1 Định nghĩa. ([4], Tr.34) Cho không gian mêtric M và A là tập

con của M.
1. Điểm x ∈ M được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại ε > 0 sao
cho B(x, ε) ⊂ A.
2. Điểm x ∈ M được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại ε > 0 sao
cho B(x, ε) ⊂ M\A.
3. Điểm x ∈ M được gọi là điểm biên của A nếu mọi ε > 0 đều có :
A ∩ B(x, ε) = ∅
và
(X\A) ∩ B(x, ε) = ∅.
Tập tất cả các điểm biên của A kí hiệu là bA và gọi là biên A.
2.2 Nhận xét. 1.Nếu x là điểm trong của A thì x ∈ A.
2. Nếu x là điểm ngoài của A thì x /∈ A.