ROBOT tự hành sử dụng cảm biến LASER 2d

xi

MC LC

LÝ LCH KHOA HC i
LIăCAMăĐOAN iii
LI CM T iv
NHN XÉT CAăGIÁOăVIểNăHNG DN v
NHN XÉT CA CH NHIM NGÀNH vi
NHN XÉT CA GIÁO VIÊN PHN BIN vii
NHN XÉT CA HIăĐNG BO V LUNăVĔN viii
TÓM TT ix
DANH SÁCH CÁC HÌNH xiii
DANH SÁCH CÁC BNG xv
Chngă1ăGii Thiu 1
1.1 Tổng quan 1
1.2 Mc tiêu và gii hnăđ tài 4
1.3 Niădungăđ tài 4
Chngă2ăCăSở Lý Thuyết 6
2.1 Cm binălaserăđoăkhong cách 6
2.2 Mô t mô hình toán hc ca mt s robotădiăđng 9
2.3 Vấnăđ đnh v cho robot tự hành 12
2.3.1ăBƠiătoánăđnh v 12
2.3.2 Phân b Gauss và B lc Bayes 14
2.3.3 Các mô hình ca b lc Bayes 18
2.3.4ăCácăphngăphápăđinhăv xác suất 23
Chngă3ăLặp kế hochăđngăđiăvƠăng dng ca MCL trong robot tự hành33
xii

3.1 Lp kế hochăđngăđi 33
3.1.1 Gii thut A

*
33
3.1.2 Gii thut D
*
36
3.1.3ăPhngăPhápăTránhăvt cn bằngăTrng Th Nĕngă(PotentialăField) 40
3.2 ng dng ca MCL trong robot tự hành 43
3.2.1 Thut toán MCL 43
3.2.2 Mô hình vnăđng ca robot 45
3.2.3 Mô hình cm bin ca robot 48
3.2.4 ng dngăphngăphápăMCLătrongăđiu khin robot tự hành 50
Chngă4ăXơyădựng mô hình và phân tích mô phng thiết kế 53
4.1 Phần mm mô phng robot Player/Stage 53
4.1.1. Gii thiu 53
4.1.2. Đặcăđim ca Player 54
4.1.3. Đặcăđim ca Stage 55
4.2 Kết qu mô phng trên phần mm Player/Stage 56
4.2.1. Mô phỏngăđngăđiăcaărobotădùngăphngăphápăPFă(Potentialăfield) 57
4.2.2. Mô phỏngăđngăđiăca robot dùng phngăphápăPFăkt hợp vi D* 59
4.2.3. Mô phỏngăđngăđiăcaărobotădùngăphngăphápăMCLăkt hợp PF & D*60
Chngă5 64
5.1 Kt qu đƣănghiênăcu 64
5.2 Kt lunăvƠăhng phát trin caăđ tài 64
5.2.1 Kt lun 64
5.2.2 Hng phát trin caăđ tài 65
Tài Liu Tham Kho 66
xiii

DANH SÁCH CÁC HÌNH
Hình 1.1 Một số loại robot tự hành 3

Hình 2. 1 Tạo mặt phẳng cắt ngang tại laser bằng gương quay trong cảm biến đo
laser 2D. 7
Hình 2. 2 Mặt phẳng tia laser với góc quét β 7
Hình 2. 3 Dữ liệu được thu thập của laser 9
Hình 2. 4 Cu trúc robot 2 bánh 10
Hình 2. 5 Cu trúc robot với điều kiện ràng buộc nonholonomic trong hệ tọa độ
toàn cục 11
Hình 2. 6 Định vị dùng các cột mốc và một bộ quét laser onboard. 14
Hình 2. 7. Phân bố Gauss. 15
Hình 2. 8. Các phân bố mật độ trong mô hình cảm biến. 21
Hình 2. 9. Mô hình mật độ đặc trưng của phân bố
 
|,
k
tt
p z x m
. 23
Hình 2. 10. Sơ đồ phương pháp định vị lọc Kalman. 26
Hình 2. 11. Minh họa kết quả thuật toán định vị lọc Particle. 30
Hình 3. 1. Mô tả bản đồ và đường đi của thuật toánt A* 33
Hình 3. 2. Khoảng cách giữa các ô lưới 34
Hình 3. 3. Mô tả bản đồ và đường đi của thuật toán D* 36
Hình 3. 4 Phương pháp tránh vật cản trường thế năng 43
Hình 3. 5 Mô hình một bước di chuyển của robot. 45
Hình 3. 6. Ly mẫu từ mô hình vận động. 49
Hình 3. 7. ầưu đồ thuật toán điều khiển robot với vị trí ban đu không biết trước. 52
Hình 4. 1. Mô hình Client/Sever của Player. 54
Hình 4. 2. Kết nối giữa Player/Stage và Robot. 56
Hình 4. 3. Mô hình robot và vật cản trên phn mềm Player/Stage 57
Hình 4. 4 Đường đi của robot sử dụng phương pháp PF đến được mục tiêu 58

Hình 4. 5 Robot tiếp cận mục tiêu với môi trường phức tạp hơn 58
Hình 4. 6 Robot không thể đến đích vì vật cản phức tạp 59
xiv

Hình 4. 7 Robot đã đến đích với vật cản phức tạp 60
Hình 4. 8 Robot di chuyển ngẫu nhiên trong môi trường. 62
Hình 4. 9 Robot di chuyển bằng phương pháp D* & trường thế năng. 62
Hình 4. 10 Robot đã đến đúng điểm mục tiêu đặt ra ban đu. 63

xv

DANH SÁCH CÁC BNG
Bng 3. 1 Thut toán MCL. 44
Bng 3. 2 Thut toán mô hình vnăđng ca robot tự hành. 47
Bng 3. 3 Thut toán cho hàm
s ( )ample b
48
Bng 3. 4 Thut toán cho mô hình cm bin. 50


1

Chngă1
Gii Thiu

1.1 Tổng quan
Trong nhữngănĕmăsp tiăđơy miăngi sẽ có nhu cu sử dng mt robot cá nhân
nhăcn mt máy tính PC hin nay và robot sẽ lƠătơmăđim ca mt cuc cách mng
công ngh ln sau Internet.
Cùng vi sự phát trin caăngƠnhăcăđin tử robot tự hành ngày càng đợc hoàn

thinăhn,ă đợc ng dng nhiu trong các ngành công nghip,ăthngă mi, y t,
khoa hc,ăầvà mang li nhiu lợiăíchăchoăđi sng xã hi, thay th dn sc lao
đng caăconăngi trong nhữngăđiu kinămôiătrngăđc hi nguy him,ătĕngă
nhanhă nĕngă suấtă laoă đngầđặc bit nó góp phn tích cực vào quá trình công
nghip hóa hinăđi hóa nc ta nói riêng và th gii nói chung.
Khi nghiên cu robot tự hành có ba vấnăđ căbn cn phiăđợc quan tâm xem
xét.ăTrc ht, robot phi tr liăđợc câu hỏiăắTôiăđangă đơu?”,ătc là phi xác
đnhăđợc v trí ca robot trong h taăđ tham chiu;ăthngăđợc giălƠăđnh v.
Th hai, mt câu hỏiăkhácăđợcăđặtăraăchoărobotălƠăắTôiăphiăđiăđn mcătiêuănhă
th nƠo?”,ăăvấnăđ nƠyăliênăquanăđn vic lp mt k hochătìmăđngăđiăvƠătránhă
vt cnăchoărobot,ăđợc gi chung là lp k hochăđngăđi.ăCui cùng, trong quá
trình thực hin hai nhim v trên thì robot phi nhn bităđợcămôiătrng xung
quanh nó thông qua các cm bin, gi là quá trình nhn thc [1].ăTrongăđó,ăđnh v
đợc xem là vấnăđ phc tp nhất khi nghiên cu v robot tự hành và hinăđangă
nhnăđợc nhiu sự quan tâm nhất ca các nhà nghiên cu.ăĐơyăđợc xem là vấnăđ
trng tâm trong nghiên cu robot tự hành, là nn tngăđ đtăđợc kh nĕngăvn
đng ca robot.
Đnh v lƠăxácăđnh v trí caărobotătrongămôiătrng làm vic thông qua sự cm
2

nhn từ các cm bin và mt gii thut tính toán hợp lý. Trong quá trình di chuyn,
robot tự hành có th không đnă đợcă đimă đíchă hoặc không thực hină đợc các
nhim v nhăđƣăđợc lpătrình.ăĐiu này là do thông tin nhnăđợc từ h thng
cm binăkhôngăđyăđ hoặc b nhiu,ăcǜngăcóăth là do sai s caăcăcấu chấp hành
trongăquáătrìnhăđiu khin.ăĐ khc phc vấn đ này, robot phi thực hin công vic
đnh v liên tcăđ bităđợc v trí hin ti caănóătrongămôiătrngăvƠăđaăraăsự điu
chnh hợpălỦăđ đtăđợc kt qu mong mun. Trong mt h thngăđiu khin robot
thành công không th thiu sự thành công ca vấn đ đnh v.
Trên th gii, vấnăđ đnh v đƣăđợc tin hành nghiên cu từ lơuăvƠăđóngăvaiătròă
quan trng trong sự thành công ca các h thng robot tự hành. Vi sự tham gia ca

rất nhiu nhà nghiên cu vi nhiuăphngăphápăđnh v khác nhau [2 3].ăTheoăđó,
có th chia vấnăđ đnh v ra thành ba cấpăđ khó khác nhau. Cấpăđ đu tiên và
cǜngăđnăgin nhất là dò tìm v trí (Position tracking).  đơy,ăv tríăbană đu ca
robotăđƣăđợc bit và nhim v caăbƠiătoánălƠăđiu chnh các sai s tíchălǜyătrongă
encorder. Thut toán dò tìm v tríăthng dựa trên sự gi đnh gii hnăđ ln ca
sai s và sự không chc chn v v trí ca robot. Cấpăđ phc tpăhnălƠăbƠiătoánă
đnh v toàn cc (Global Localization) [4]. Trong bài toán này robot không bit v
tríăbanăđu ca nó nên sai s trong vicăđánhăgiáăv trí ca robot không th cho là
nhỏ.ăDoăđó,ărobotăphi có kh nĕngăxử lý dữ liu phc tp. Cấpăđ cui cùng và
phc tp nhất trong nghiên cuăbƠiătoánăđnh v là vấnăđ bt cóc robot (Kidnapped
robotăproblem).ăKhiăđó,ărobot phiăđợcăđnh v tht ttăđ có th di chuyn tc thi
đn mt s v tríăchaăbitătrongămôiătrng. Bài toán btăcócăthngăđợc sử dng
đ kim tra kh nĕngăca robot trong vic sửa li các sự c đnh v nghiêm trng.
Đ gii quytăcácăbƠiă toánăđnh v nêu trên thì nhiuăphngăphápăkhácănhauă đƣă
đợcăđaăraănhăđnh v dùng ct mc, b lc Kalman và ci tin caănóălƠăđnh v
Markov. Hin nay, mtăphngăphápă đnh v hiu qu và d thực hină hnăđangă
nhnăđợc nhiu sự chúăỦălƠăphngăphápăđnh v Monte Carlo (MCLậMonte Carlo
Localization).ăPhngăphápăMCLăđợc phát trin dựa trên thutătoánăđnh v khá
nổi ting là lc Particle [3 4 5].
3

Tuy nhiên, robot tự hành vn là mtăđ tài nghiên cu còn khá mi  Vit Nam hin
nay và hin vnăchaăcóănhiu công trình nghiên cuătrongălĩnhăvựcănƠyăđợc ng
dng trong thực t. Gnăđơy,ătuyăđƣăcóămt s công trình v robot tự hƠnhăđợc thực
hinănhngăch yuălƠătrongălĩnhăvực nghiên cu phc v công tác giáo dc và ch
đợc thực hin hn ch ti mt s trngăđi hc ln.

a. Robot-nurse dùng trong lĩnh vực y tế. b. Robot phục vụ Twendy-One.
(Nguồn:
www.thedailybeast.com) (Nguồn: www.vitinfo.vn)

c. Robot lau nhà irobot-dirtdog. d. Robot thám hiểm sao hỏa.
(Nguồn:
www.vacbots.com) (Nguồn: rover.nssdc.gsfc.nasa.gov)
Hình 1.1 Một số loại robot tự hành.
Từăthựcătrngătrênăchoăthấy,ălĩnhăvựcănghiênăcuărobotătựăhƠnhăăVităNamăhinănayă
cònănhiuăhnăch.ăNhng,ăđơyăliălƠăxuăthuăphátătrinăchungăcaăcácăncăcóănnă
khoaăhcăkỹăthutătiênătinătrênăthăgiiăviăngunălợiăkinhătăthuăđợcărấtăcaoăvƠădựă
báo cònărấtănhiuătimănĕngăphátătrin.ăChcăchnătrongăthiăgianătiăVităNamăcǜngă
khôngănằmăngoƠiăxuăhngănƠy.ăNgoƠiăra,ăđăkhôngăbăcácăncăkhácăbỏăquáăxaăvă
trìnhăđăthìăcôngătácănghiênăcuărobotătựăhƠnhăphiăđợcătinăhƠnhăngayătừăbơyăgi.ă
4

Doăđó,ăđătƠi nƠyăchnăvấnăđăcăbnăvƠăquanătrngăbcănhấtătrongălĩnhăvựcărobotătựă
hƠnhălƠăgiiăquytăbƠiătoánăđnhăvăchoărobotăđălƠmămcătiêuănghiênăcu.
1.2 Mc tiêu và gii hnăđ tài
Mc tiêu caăđ tài là tp trung gii quyt mô phỏng robot tự hành sử dng cm
bin laser 2D viă môiă trng trong nhà bằng phn mm Player/Stage. Lĩnhă vựcă
nghiênăcu robotătựăhƠnhătngăđiărngărƣi,ăchoănênăphmăviăđătƠiăgiiăhnătrongă
cácăvấnăđăsau:
- Phngăphápătrng th nĕngăđ tránh vt cn trong quá trình di chuynăđn
đích.
- KtăhợpăphngăphápăPFăvƠăthutătoánăD*ăđărobotătìmăđngăđnăđích.
- Robotăphiătựăxácăđnhăvătríăcaămìnhătrongăkhi di chuyn bằng thut toán
MCL dựa trên h thng cm bin và mt bnă đ tĩnhă choă trc ca môi
trng.
- Kt qu nghiên cuăđợc mô phỏng trên phn mm Player/Stage chy trên
h điu hành Linux.
ĐătƠiăgiiăhnănghiênăcuămôăphỏngărobotătựăhƠnhătrongămôiătrngă2D.
1.3 Niădungăđ tài

Chương 2: Cơ sở lý thuyết
ChngănƠyăchăyuănghiênăcuăvăcácăbƠiătoánăđnhăvăchoărobotătựăhƠnh.ăPhơnă
tíchăcácăthutătoánăđnhăvăphổăbinănh:ăđnhăvăMarkov,ăLcăKalman,ălcăParticle,ă
MCL,ă.v.v ăăĐuătiên,ăchngănƠyătrìnhăbƠyăvấnăđăkhóăkhĕnătrongăđnhăvălƠădoă
nhiuătừăhăthngăcmăbin,ăsaiăsălấyămuăcmăbinăcǜngănhănhiuătừăcăcấuăchấpă
hƠnh.ăMôăhìnhăsaiăsăkhi robotădiăchuynădựaătrênăcmăbinăhƠnhătrìnhă(Odometry)
cǜngăđợcătrìnhăbƠyătrongăchngănƠy.ă
Chương 3: Lập kế hoạch đường đi và ứng dụng MCL trong robot tự hành
ChngănƠyătrìnhăbƠyănhữngăđặcătrngăcaăthutătoánăMCLăvƠăphngăphápăthựcă
hinăthutătoán. CácămôăhìnhăvnăđngăvƠăcmăbinăđợcăxơyădựngăđămôăphỏngă
5

nhữngănhăhngăcaănhiuălênăhăthngăcmăbinăvƠăvnăđngăcaărobotătrongăquáă
trìnhădiăchuyn.ăPhngăphápăMCLăktăhợpăcácămôăhìnhănƠyăviămtăthutătoánătáiă
lấyămuănhằmătínhătoánăvƠătìmăraăvătríăphùăhợpănhấtăcaărobotătrongămôiătrng.ă
BằngăcáchăktăhợpăphngăphápăđnhăvăMCLăviăthutătoánătìmăđngăđiătiăuăD
*

vƠăphngăphápătránhăvtăcnătrngăthănĕngăthìărobotăcóăkhănĕngătựălpăkăhochă
đngăđiăvƠădiăchuynăđnămcătiêuăchoătrcămƠ khôngăcnăphiăkhaiăbáoătrcăvă
tríăbanăđuăchoănó.ăTcălƠărobotăcóăkhănĕngăgiiăquytăbƠiătoánăđnhăvăvƠălpăkă
hochă đngă điă toƠnă cc.ă Phngă phápă giiă quytăbƠiă toánă đợcă trìnhă bƠyă trongă
phnăcuiăcaăchng.
Chương 4: Xây dựng mô hình và phân tích mô phỏng thiết kế
Chngă4ăgiiăthiuăphnămmămôăphỏngărobotăPlayer/StageăvƠătrìnhăbƠyăktăquă
nghiênă cuă đợcă môă phỏngă trênă phnă mmă nƠy.ă Trongă nghiênă cu,ă robotă sẽă diă
chuynă trongă mtă môiă trngă đợcă bită trcă mtă phn.ă Vică đnhă vă choă robotă
đợcăthựcăhinăthngăxuyênătrongăsutăquáătrìnhădiăchuyn.ăHiuăquăcaăvicăđnhă
vădựaătrênăthutătoánăMCLăđợcăthăhinărõăquaătừngăbcălặp.ăVicăphơnătíchăktă
quă môă phỏngă vƠă soă sánhă viă cácă phngă phápă khácă cǜngă đợcă thựcă hină trongă

chngănƠy.
Chương 5: Kết luận và hướng phát triển
ChngăηătómăttăcácăniădungănghiênăcuăvƠăktăquăđtăđợcăvălỦăthuytăcǜngă
nhăktăquămôăphỏngătrênăbăphnămmăPlayer/Stage. CácăđimăhnăchăvƠăhngă
phátătrinăcaăđătƠiăđợcătrìnhăbƠyăăcuiăchng.

6

Chngă2
CăSở Lý Thuyết

2.1 Cm biếnălaserăđoăkhong cách
Đ călợng v trí chính xác nhălƠătráiătimăca h thngăđiuăhngănhăđnh v,
lp k hochăđngăđi,ătránhăvt cn. Vấnăđ đợcăđaăraăđ gii quyt sự thayăđổi
trong vic sử dng các cm bin khác nhau (siêu âm, hng ngoi, laser, th lựcầ).ă
Mt trong những sự lựa chn có th là sử dng cm bin laser 2D bi vì nó tr nên
phổ bin trong robot tự hành. Cm bin laser có rất nhiu thun lợi so sánh vi cm
bin khác: nó cung cấp phmăviăđoălng chính xác và dày đặc, t l lấy mu cao,
đ phân gii góc ln, tmăđoăvƠăđ phân gii tt [7].
Cm bin laserăđoăkhong cách gi tt là LRF (laser range finder) là thit b sử dng
chùm laserăđ xácăđnh khongăcáchăđnăđiătợng, hotăđng trong di sóng hng
ngoi vi công suất thấp không nhăhngăđn mtăngi. Hình thcăthôngăthng
nhất ca cm bin laser đo trênăănguyênăălỦăăđoăăthiăăgianăătừăăthiăăđimăămtăxung
sáng laser hngăăngoiăăđợcăăphátăăraăăđnăăthiăđimăthuăđợcăxungănƠyăkhiănóă
đợcăphnăxătừăvt cnătrongămôiătrng.ăMtăhăthngăđoăthiăgianăcựcăkỳăchínhă
xácătrongăthităbăchoăcácăsăđoăđợcădùngăđătínhăkhongăcáchăđnăvtăkhiăbităvnă
tcăcaăánhăsángătrongămôiătrngăquanhărobot.ăăBằngăvicăgnămtăgngăphnăxă
quayătrênăđngăđiăcaătiaăsáng nhăhìnhă2.1 [17],ăcácăxungălaserănƠyăđợcălƠmă
chchăhngăkhiăgngăquay.ăăGngăphnăxăquayăviătcăđă7ηăvòng/giơyătoănênă
mtădiăquétătiaălaserăhìnhărẻăqutăăphíaătrcăcmăbinăviămtătrngănhìnă2D.ă

Trongămiălnăquétănhăvy,ăcácăxungălaserăđợcăphátăđiăchchăhngăviătrcăxă
mtăgócăβăviăđăphơnăgiiă0,2η
0
; 0,5
0
hoặcă1
0
nhămôătătrênăhình 2.2 [18,20].
7


Hình 2. 1 Tạo mặt phẳng cắt ngang tại laser bằng gương quay trong cảm biến đo
laser 2D.
Kt qu này cho phép nhnăđợc mt s trng dữ liu 2 chiu từ phíaătrc cm
bin và vì vy thit b này có tên là máy quét laser 2D.

Hình 2. 2 Mặt phẳng tia laser với góc quét β
Phngătrìnhătínhătoán,ăvíăd khong cách giữaă2ăđimăAăvƠăBăđợc cho:
D=

2

Vi c là tcăđ ánh sáng, t là thiăgianăđiăvòngătừ A->B.
t=



φălƠătr pha bi di chuynăánhăsáng,ăωălƠătn s góc.
Thay th các giá tr trongăphngătrìnhătaăđợc
(

):
8

D=
1
2
 =

2
=

4

 + 

=

4
( + ) (2.1)
λălƠăbcăsóngăc/f,ă∆φălƠăphn tr phaăkhôngăhoƠnătoƠnălƠăπă(=φămodăπ),ăNălƠăs nữa
chu kỳ sóng ca mtăvòng,ă∆NălƠăphnăphơnăđon còn li.
Dữ liuăđoălngăđc từ cm bin:

Cm bin laser đợcămôiătrng ca nó bằng cách sử dngăđoălng khong cách
ri rc. Nó chia khong cách góc tiăđaăthƠnhăcácăbc s c đnh và tin hành trên
miăbcăđoălng khong cách bi chùm laser. Phm vi ln nhất caănóăđợc ch
đnh chính xác là 180
o
.ăTrongătrng hợp chúng ta thì b chia ca laser là 0.5
0

vì
th laser ca chúng ta btăđu chính xác ti góc 90
0
qua bên phi caăđng thẳng
và cung cấpăđoălng ln là 0.5
0
qua bên trái. Vì th nó cung cấp 361 giá tr khong
cách liên tc. Nuăchúngătaăđnhănghĩaăh thng taăđ viăđim gc chính xác trên
laser vƠăhng thẳng caănóănhătrc x dngăchúngătaăsẽ có gócăđnăđng thẳng
laser [18].
=ă-90
0
+ (n.0.5
0
)= 

2
+ (.

360
) viăn=ă{0,1,2,ầ.,3θ0} (2.2)
Vì th mt quá trình quét sẽ có 361 ch s taăđ cựcăđợc thu thpăliênăquanăđn v
trí laser. Hình 2.3 mô t 3θ1ăđim quét thu thp bi laser vƠăđi din trong h thng
taăđ đ các 2 chiu vi cm bin laser nhăgc taăđ (x=y=0).
9


Hình 2. 3 Dữ liệu được thu thập của laser.
2.2 Mô t mô hình toán hc ca mt s robot tự hành
Robotădiăđng chuynăđng bằng bánh xe bao gm mtăđ đợc h trợ bi những

bánhăxeălĕn.ăNhững bánh xe này cho phép chuynăđngătngăđi giữaăđ và mặt
đất. Những robot chuynăđng bánh xe có kt cấuăđnăgin, d xây dựng và có tỷ l
ti trng thun lợi.ăHnănữa chuynăđng bằng bánh thì d điu khin, sử dng ít
nĕngălợng và có th di chuyn vi tcăđ cao [1].
Kh nĕngădiăchuynăvƠăđiu khin caărobotădiăđng chuynăđng bằng bánh xe ph
thuc phn ln vào những bánh xe gn lin. Sự lựa chn thông dng nhất cho
nhữngăphngătin bằng bánh xe là bánh xe dngăđĩa,ăkt cấu hình hc ca nó cho
phép: d lp vƠoăđ, d điu khin, cấu trúc vt lý mnh mẽ và d hotăđng trong
sự có mặt ca chấnăđng, những ch nt hay sự khôngăđu ca mặtăđất.
Vi mtăđ gm nhiu bánh xe cho phép phân phi ti trng và lực kéo giữa những
bánh xe rất tt,ănhăvy robot loi này có mt lợi th đ thực hin nhim v mà những
robotădiăđng loi khác khó có th thực hinăđợc. Tuy nhiên, mặcădùăcóătínhăđaănĕngă
do sự hotăđng tự nhiên caăbánhăxe,ănhngăphi chấp nhn những ràng bucăđ đaă
ra yêu cu cho mi bánh xe là: không trợt ngangăvƠăquayămƠăkhôngătrợt.
10

Dựa vào hình 2.3 taăxácăđnhăngõăđiu khin và hình dngărobotănhăsau:

v
U





(2.3)

y
x
P








(2.4)
Trongăđó:ăă
( , )xy
là v trí ca robot

lƠăgócăđnhăhng cho robot
v
là vn tc thẳng,

là vn tc góc
Quan h giữaăngõăvƠoăđiu khin và vn tcăhaiăbánhăxeătaăđợc:  ti mi thi
đim, bánh xe trái và phi ca robot luôn quay theo quỹ đo vi cùng vn tc gc.

Hình 2. 4 Cu trúc robot 2 bánh
Khiăđó,
L
(R+ )
2
R
V


(2.5)

L
(R- )
2
L
V


(2.6)
Trongăđó:ă
R
V
là vn tc thẳng ca bánh xe phi,
L
V
là vn tc thẳng ca bánh xe
trái,ărălƠăbánăkínhădanhăđnh ca miăbánhăxe,ăbánăkínhăđng cong tc thi ca quỹ
đo robot .
11

Lấy (2.5)

(2.6)ăxácăđnhăđực:

2
RL
VV
v



(2.7)

RL
VV
L



(2.8)
Mô hình toán caăKinematicăvƠăđiu kin ràng buc nonholonomic trong h taăđ
toàn ccănhăsau:

Hình 2. 5 Cu trúc robot với điều kiện ràng buộc nonholonomic trong hệ tọa độ
toàn cục
Biu thc Kinematic:

cos 0
sin 0 .
01
x
v
y
























(2.9)
Điu kin rang buc nonholonomic:

 
os sin os =0
x
sin c x y c
y
   


  


฀

฀฀
฀
(2.10)


12

2.3 Vấnăđ đnh v cho robot tự hành
2.3.1 Bài toán đnh v
Khiărobotădiăchuynătrongămôiătrngăsẽăcóărấtănhiuăyuătănhiuăkhácănhauătácă
đngălênăhăthngăcmăbinăcaărobot.ăVíădănhănhăhngăcaăcácătpăơmăhoặcăbă
mặtămôiătrngăđnăcmăbinălaser;ătácăđngăcaănhữngăngunăsángămnhălênăcmă
binălaserăhoặcăencoderătrongăcmăbinăhƠnhătrình.ăNgoƠiăra,ăđaăhìnhăkhôngăbằngă
phẳngăcǜngănhăhngăđnăđăchínhăxácăcaăbăphnăđiuăkhinăchuynăđngăcaă
robot.ăNhữngăsaiălchătrongăcácăsăliuăcmăbinănhn đợcălƠmăchoărobotădnădnă
khôngăcònănhnăbităđợcăvătríăchínhăxácăcaănóăvƠăhuăquălƠărobotăkhôngăthăđnă
đợcămcătiêuăđƣăđnh;ăhoặcăvìămtănguyênănhơnănƠoăđóămƠărobotăkhôngăthăbită
đợcăvătríăbanăđuăthìănóăcǜngăkhôngăthăđnăđúngămcătiêu.ăDoăđó, vấnăđăđặtăraălƠă
lƠmăthănƠoăđărobotăcóăthăluônătựăxácăđnhăđúngăvătríăcaănóătrongămôiătrngă
ngayăcăkhiăbănhăhngăcaănhiuăhoặcăkhôngăbitătrcăvătríăbanăđu.ăĐơyăchínhă
là bài toán định vị cho robot tự hành.
Nhăvy,ăđnhăvăđợcăhiuălƠărobot phiătựăxácăđnhăđợcăvătríă(baoăgmătaăđăvƠă
hngădiăchuyn)ăcaămìnhătrongăhătaăđăthamăchiuătngăngă(môiătrng),ădoă
đóăcònăgiălƠăbƠiătoánătự định vị.ăTrongăkhongăhaiăthpăniênătrăliăđơyăthìăđnhăvă
choărobotătựăhƠnhălƠăvấnăđăthuăhútărấtănhiuăsựăquanătơmăcaăcácănhƠănghiênăcuăvă
robot.ăVicătựăđnhăvăđợcăthựcăhinădựaătrênădữăliuăthuăđợcătừăcmăbinăkhiă
robotădiăchuynătrongămôiătrngăthực.ăTựăđnhăvăđƣăđợcăxemănhălƠămtătrongă
nhữngăbƠiătoánăcăsătrongălĩnhăvựcărobotătựăhƠnh,ălƠănnătngăchoăkhănĕngăhotă
đngăđcălpăcaămtărobotătựăhƠnh.
Hinănay,ăcóănhiuăphngăphápăđăgiiăquytăbƠiătoánăđnhăvăchoărobotătựăhƠnhă

nhngăcóăthăchiaăraălƠmăhaiăloiăchínhălƠăđnhăvădựaătrênăcácămcăđnhăhngă
(landmark-based)ă hoặcă đnhăvătheo xácă suấtă dựaătrênăbnă đă(probabilistic map-
based)ă(giăngnăgnălƠăđnhăvătheoăxácăsuất).ă
Định vị dựa trên mốc định hướng. PhngăphápănƠy sửădngăcácămcăđnhăhngă
trongămôiătrngăgiúpăchoăvicăđnhăvăđợcăliênătcăvƠănhăđóăgimăđợcăcácăsaiă
13

săđo hƠnhătrình.ăCáchălƠmăphổăbinălƠăchnămtătpăhợpăcácămcăđnhăhngătiă
nhữngăvătríăchoătrcăđăhngădnărobotăđiăđnămcătiêu [9].ăĐơyălƠăphngăphápă
tngăđiădăthựcăhinăvƠăhiuăqu.ăTuyănhiên,ăcácămcădnăhngăphiăđợcăbătríă
sẵnătrongămôiătrngătiănhữngăvătríăcăđnhăchoătrc.ăDoăđóăđălinhăhotăvƠămcă
đă tổngă quátă choă nhiuă môiă trngă khácă nhauă caă phngă phápă nƠyă huă nhă lƠă
khôngăcó.ăHnănữa,ăhuăhtăcácăphngăphápăđnhăvănƠyămiăchăgiiăquytăđợcă
vấnăđădò tìm vị trí.
Hình 2.6 trình bƠyămtăhăthngăđnhăvădùngăcácăctămcăvƠămtăbăquétălaser.ăBă
quétălaserăđợcăđặtăăđnhărobotăvƠăcóăthăquétătoƠnăbăkhuăvựcă360
0
xung quanh
robot.ăCácăctămcăđợcăđánhăsătừăB1ăđnăBθăvƠăbătríătiănhữngăvătríăcăđnhăđƣă
bitătrcătrongămôiătrng.ăBăquétălaserăsẽăthuăthpăcácăsăliuăvăkhongăcáchăvƠă
gócălchă soă viătừngăctămc.ă Dựaă trênănhữngăsăliuă nƠyărobotăcóăthăxácă đnh
đợcăvătríăcaănóătrongăbnăđ [10].
Định vị theo xác sut. Cácăphngăphápăđnhăvătheoăxácăsuấtăhuăhtăđuădựaătrênă
căsăbălcăBayesă(Bayses Filters).ăPhngăphápănƠyădựaătrênăsựătrùngăkhpăgiữaă
dữăliuăcmăbinăthuăthpăđợcătiămtăvătríătcăthiăviămtămôăhìnhăđƣăchoătrcă
caămôiătrng.ăTheoăcáchănƠy,ăcácăphngăphápăđnhăvăcóăthăgiiăquytăđợcăbƠiă
toán định vị toàn cục vƠăthmăchíălƠăcăbƠiătoánăbắt cóc robot.ăCácăkỹăthutăđnhăvă
phổăbinădựaătrênăphngăphápăxácăsuấtănhălcăKalman [11],ăđnhăvăMarkov và
MCL [7,16].
14

Hình 2. 6 Định vị dùng các cột mốc và một bộ quét laser onboard.
2.3.2ăPhơnăbăGaussăvƠăBălcăBayes
2.3.2.1 Phân b Gauss
Phơnăbă Gaussă (cònăgiălƠăphơnă băchun)ălƠămtătrongă nhữngă phơnă băxácă suấtă
đợcăsửădngănhiuănhấtătrongălĩnhăvựcăkhoaăhc.ăHƠmăphơnăbăxácăsuấtăcóădngă
nhăsau:

2
2
()
2
1
()
2
x
P x e





(2.11)
Trongăđó:

lƠătrătrungăbìnhăcaăphơnăb.


lƠăđălchăchun.

Hình 2.7 choăthấyăhìnhădngăvƠătălăphơnăbăxácăsuấtăcaăphơnăbăGaussătheoăktă
quăthựcănghim.ăTheoăđóăcóăkhongăθ8%ăsăgiáătrănằmătrongăkhongă1ăđălchă
chună

soăviătrătrungăbình

,ăkhongă9η%ăsăgiáătr trongăkhongăhaiălnăđălchă
chun.

15


Hình 2. 7. Phân bố Gauss.
2.3.2.2 B lc Bayes
BălcăBayesăđợcădùngăđăcălợngătrngătháiăcaă
x
trongămtăhăthngăđngă
dựaătrênăcácăgiáătrăđoăđợcătừăcmăbin.ăCăth,ătrongăđnhăvăchoărobotădiăđngăthìă
hăthngăđngălƠărobotăvƠămôiătrngămƠănóădiăchuynătrongăđóă có trngă tháiă
x

chínhălƠăvătríăcaărobotă(thngălƠă
x y
trongăhătaăđăĐ-cácăvƠăgócăđnhăhngă

).ăCácădữăliuătừăcmăbinăcóăthălƠăsăđoăkhongăcách,ăhìnhănhătừăcameraăhoặcă
dữăliuăđoăhƠnhătrình.ăBălcăBayesăchấpănhnărằngămiămtăvătríă
x
lƠăđcălpăvƠă
miăvătríătrcăđóăđuăchaăđyăđăthôngătinăcnăthităđădựăđoánămtăvătríămi.

ụătngăcaăphngăphápănƠyălƠăcălợngămtăđăxácăsuấtăcaăkhôngăgianăvătríă
dựaătrênătpădữăliuăđiuăkin.ăMtăphơnăbăcóăđiuăkinăhayămtămuăthuăđợcăsau
đóăđợcăgiălƠăđộ tin cậy (
belief
)ăvƠăđợcăthăhinănhăsau:

)|()(
) 0()()( ttt
dxpxBel 
(2.12)
trongăđóă
x
lƠăvătrí,ă
 
t
x
lƠăvătríătiăthiăđimă
t
,
(0 )t
d
lƠădữăliuăbtăđuătiăthiă
đimă
0
đnăthiăđimă
t
và
( ) (0 )
( | )
tt

p x d
lƠăxácăsuấtăđtăđợcă
 
t
x
dựaătrênăcácădữă
liuă
(0 )t
d
.ăĐiăviărobotătựăhƠnhădữăliuăđợcăphơnăraăhaiăkiuălƠădữăliuănhnăthcă
(nhăcácăgiáătrăđoăkhongăcáchătừălaserăhayăsonar)ăvƠădữăliuăđiuăkhină(nhădữă
liuăđoăhƠnhătrình,ăvnătc)ămangăcácăthôngătinăvăsựăvnăđngăcaărobot.ăGiă
z
là
dữăliuănhnăthcăquanăsátăđợcăvƠă
u
lƠădữăliuăđiuăkhinăthì:
()Px



x
16


( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) (0)
( ) ( | , , , , , )
t t t t t t
Bel x p x z u z u z
  


(2.13)
CácădữăliuăquanăsátăvƠăđiuăkhinăđợcăchấpănhnănhălƠămtăchuiăliênătipănhau.
BălcăBayesăcălợngăđộ tin cậy mt cáchăđăquy.ăMuătinăcyăbanăđuăđặcătrngă
choăhiuăbităbanăđuăvăvătríăhăthng.ăTrongătrngăhợpăkhôngăcóănóăđợcăkhiă
toăbiăphơnăbăđngădngădựaătrênăkhôngăgianăvătrí.ăTrongălĩnhăvựcărobotătựăhƠnhă
thìăsựăcălợngăvătríămƠăkhôngăcóăsựăhiuăbit banăđuăgiălƠăbƠiătoánăđnhăvătoƠnă
cc.
Đăcóăđợcămtăphngătrìnhăđăquyăthìăphngătrìnhă(2.13)ăcóăthăđợcăbinăđổiă
biălutăBayesăthƠnh:

( ) ( ) ( 1) (0) ( ) ( 1) (0)
()
( ) ( 1) (0)
( | , , , ) ( | , , )
()
( | , , )
t t t t t
t
tt
p z x u z p x u z
Bel x
p z u z



(2.14)
LuăỦărằngămuăsăvnălƠămtăhằngăsăkhiăkimătraăđătinăcy
)(
)(t

xBel
choăcácăgiáătră
vătríă
()
,ăvìăvyăphngătrìnhă(2.14)ăcóăthăvităliănhăsau:

( ) ( ) ( ) ( 1) (0) ( ) ( 1) (0)
( ) ( | , , , ) ( | , , )
t t t t t t
Bel x p z x u z p x u z



(2.15)
trongăđóăălƠăhăsăchunăhóa
10
( | , , )
tt
p z u z



(2.16)
NuăchấpănhnăgiăthuytăMarkovă[13] thì
10
( | , , , )
t t t
p z x u z

cóăthăđợcărútăgnăliă

là
( | )
tt
p z x
.ăKhiăđóăvătríătipătheoăsauăđợcăxemănhăkhôngăphăthucăvƠoăvătríă
trcăđóănuăvătríăhinătiăđợcăbitărõ.ăTừăphngătrìnhă(2.1η)ătaăđợc:

 
10
( ) | ( | , , )
t t t t t
Bel x p z x p x u z



(2.17)
trongăđó
10
( | ) ( | , , , )
t t t t t
p z x p z x u z

(2.18)
ĐnhălỦăxácăsuấtătổngănhăsau:

   
1 1 0 1 1 0 1
( ) ( | ) | , , , | , , x
t t t t t t t t t
Bel x p z x p x x u z p x u z d


    


(2.19)
17

Nhăvy,ătấtăcăcácăvătríătiăthiăđimă
1t 
đƣăđợcăhợpănhấtăviănhau. Nuămtălnă
nữaăgiăthuytăMarkovăđợcăchấpănhnăthìăsăhngăđuătiênăcaăphngătrìnhă(2.19)
đợcăđnăginănhăsau:

1 1 1 2 0 1 1
( | , , , , , ) ( | , )
t t t t t t t t
p x x u z u z p x x u
     

(2.20)
Theoăđătinăcyăđợcăđnhănghĩaăăphngătrìnhă(2.12)ăthìăsăhngăthăhaiătrongătíchă
phơnăăphngătrình (2.19)ăđợcătínhănhătrongăphngătrìnhă(2.21):
   
1 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 0 0
( ) | , , , , , | , , , , , ,
t t t t t t t t t t
Bel x p x z u z u z p x u z u z u z
         

(2.21)

LcăBayesăchoărằngăsựăquanăsátă
t
z
vƠăhƠnhăđngă
1t
u

đợcăthựcăhinătiăthiăđimă
1t 
lƠănhữngăđiuăkinăđcălp,ăkhôngănhăhngăđnăvătríăhinătiă
1
x
t
nhngă
cungăcấpăthôngătinăvăvătríătipătheoă
x
t
.ăViăgiăthuytănƠyăthìăvătríăkătipăcóăthă
đợcăxácăđnhămtăcáchăhiuăquătheoăhaiălut: bấtăcăkhiănƠoănhnăđợcămtăgiáătră
điuăkhină
1t
u

miăthìătrngătháiăcaăhăthngăđợcădựăđoánătheoăphngătrình:

 
1 1 1 1
( ) | , ( ) x
t t t t t t
Bel x p x x u Bel x d


   


(2.22)
vƠăbấtăcăkhiănƠoăsựăquanăsátă
t
z
đợcăthựcăhinăthìătrngătháiăcălợngăđợcăđánhă
giáătheoăphngătrìnhăđăquy:

( ) ( | ) ( )
t t t t
Bel x p z x Bel x



(2.23)
 
1 1 1 1
( ) ( | ) | , ( )
t t t t t t t t
Bel x p z x p x x u Bel x dx

   


(2.24)
Nhăvy,ăphngătrìnhă(2.24)ăchăcóăthăthựcăhinăkhiăđƣăbităđợcăbaăphơnăb:ăđă
tinăcyăbanăđuă

0
()Bel x
,ăcácăxácăsuấtăcaăvătríătipătheoă
 
11
|,
t t t
p x x u

vƠăsựănhnă
thcăhợpălỦă
( | )
tt
p z x
.ăTrongăđnhăvăchoărobotătựăhƠnh,ăxácăsuấtă
 
11
|,
t t t
p x x u

đợcă
xemănhălƠămật độ trạng thái tiếp theo hayăgiăđnăginălƠămôăhìnhăvnăđng,ăcònă
( | )
tt
p z x
đợcăgiălƠămôăhìnhănhnăthcăhayămôăhìnhăcmăbin.ăNuăchấpănhnăgiă
thuytăMarkovăthìăcăhaiămôăhìnhătrênăđợcăxemălƠătĩnh,ătcălƠăkhôngăphăthucăvƠoă
mtăthiăđimă
t

riêngăbit.ăĐiuănƠyăchoăphépăcácămôăhìnhătrênăđợcăgiiăthíchădă
18

dƠngăhnătheoăthătựă
 
11
|,
t t t
p x x u

,
( | )
tt
p z x
.
2.3.3ăCácămôăhìnhăcaăbălcăBayes
Bnăchấtăcaăcácămôăhìnhă
11
( | , )
t t t
p x x u

và
( | )
tt
p z x
phăthucăvƠoătừngăbƠiătoánă
călợngăriêngăbit.ăTrongăđnhăvăchoărobotătựăhƠnhăthìăcăhaiămôăhìnhăđuătngă
điăđnăginăvƠăcóăthăthựcăhinămtăcáchădădƠng.
2.3.3.1 Mô hình vnăđng

Môăhìnhăvnăđngă
11
( | , )
t t t
p x x u

lƠăxácăsuấtătổngăquátăvăđngăhcăcaărobot.ăNóiă
mtăcáchăcăthăhnăthìă
x
t
và
1
x
t
lƠăcácăvătríăcaărobot.ăĐărobotăhotăđngătrongă
mặtăphẳng,ămtăvătríăcaănóălƠămtăbinăbaăchiuăgmătaăđăĐ-cácă2ăchiu trong
hătaăđăthamăchiuăvƠăhngădiăchuynăcaărobot.ăGiáătră
u
cóăthălƠădữăliuăđcă
từăcmăbinăđoăhƠnhătrìnhăhoặcălnhăđiuăkhinărobotăhotăđngăvƠăđơyăđuălƠănhữngă
giáă tră đặcă trngă choă sựă thayă đổiă vă tríă caă robot.ă Trongă lĩnhă vựcă robot,ă nhữngă
phngătrìnhămôătăsựăthayăđổiăvătríăcaărobotădoăcácăbinăđiuăkhin hoặcăkhôngă
điuăkhinăđợcăgiălƠăphngătrìnhăđngăhc.ăCácăphngătrìnhăđngăhcălỦătngă
môătăvătríă
x
sẽăđtăđợcăsauăkhiărobotăxuấtăphátătiă
1
x
t
vƠădiăchuynăbiălnhă

u

trongăđiuăkinăkhôngănhiu.ăTuyănhiên,ăsựăvnăđngăvtălỦăcaărobotăcóătínhăxácă
suấtăvìăcóărấtănhiuălỦădoălƠmăchoă
x
trănênăkhôngăđángătinăcyănhăsựătrợtăcaă
bánhăxeăvƠămotor,ăđăchínhăxácăcaăcácăgiáătrăđo, ăKhiăxétăđnăđăbấtăđnh từăbênă
trongă môă hìnhă vnă đngă
11
( | , )
t t t
p x x u

môă tă xácă suấtă cóă thă đtă đợcă
x
t
nhă lƠă
nghim.ăNhiuăđợcămôăhìnhă hóaăbiăhƠmăphơnăbă chunăcóătrătrungăbìnhălƠă 0,ă
nhiuăGaussăđợcăthêmăvƠoăthƠnhăphnădiăchuynăvƠăgócăquayătrongăgiáătrăđoăhƠnhă
trình.ăVìăvy,ă
11
( | , )
t t t
p x x u

sẽătổngăquátăhóaămtăcáchăchínhăxácăcácăphngătrình
đngăhcăcaărobot.

19

2.3.3.2 Mô hình cm biến
+ăMôăhìnhăcmăbiếnătổngăquátă
( | )
i
p z x

RobotătựăhƠnhăthngăđợcătrangăbăcácăcmăbinănhăcmăbinăđoăkhongăcáchă
(nhăsonarăhoặcă laser),ăcamera,ăcmăbinăhƠnhătrình, ăĐiăviă cmăbină khongă
cáchăthìănhimăvătínhătoánăcóăthăđợcăphơnăraănhăsau:
+ăTínhătoánăgiáătrăcmăbinătrongăđiuăkinăkhôngăcóănhăhngăcaănhiu.
+ăTínhătoánămôăhìnhănhiuănhăhngălênăgiáătrăcmăbin.
+ăTổngăhợpănhăhngăcaămiăcmăbinăđcălpăthƠnhăgiáătr mtăđăduyănhất.
GiăvătríăcaărobotălƠă
x
và
i
z
lƠămiătiaăcmăbinăđcălpăcaărobotăcóăgócăđnhăvă
tngăngăviărobotălƠă
i

.ăĐặtă
( , )
i
gx

lƠăgiáătrăđoălỦătng (khôngăbănhăhngă
caănhiu)ătngăngăviăcmăbinăcóăgócăđnhăvă
i


.ăNuărobotăđƣăđợcăchoătrcă
mtăbnăđăcaămôiătrngăthìă
( , )
i
gx

cóăthăđợcătínhădựaătrênăcácătiaăcmăbin.ă
Nhữngăktăquăthựcănghimăđƣăchăraărằngăkhongăcáchăkỳăvngă
( , )
i
gx

lƠăsựăthngă
kêăđyăđăchoăxácăsuấtă
( | )
i
p z x
:

( | ) ( | ( , ))
i i i
p z x p z g x


(2.25)
Mtă đă chínhă xácă
( | )
i
p z x
đợcă tổngă hợpă từă baă mtă đ:ă phơnă bă Gausiană caă

( , )
i
gx

viămtălợngănhỏănhiuăGaussianăđợcăthêmăvƠoăgiáătrăđoăkhongăcáchă
banăđu,ămtămtăđăhƠmămǜăđămôăhìnhăhóaăcácăgiáătrăđcănguănhiênănhălƠăcácă
nguyênănhơnădoăconăngiăgơyăraăvƠămtăxácăsuấtăriărcăđămôăhìnhăhóaăcácăgiáătră
đoătiăđaăthngăxyăraăkhiăcmăbinăkhôngăphátăhinăđợcăđiătợng.
Cuiăcùng,ăcácăgiáătrămtăđăđcălpă
( | )
i
p z x
đợcătổngăhợpătheoăcấpăsănhơn,ăgiă
thuytărằngăgiữaăcácăgiáătrăđoăđcălpălƠăkhôngăcóăsựărƠngăbucălnănhau:

( | ) ( | )
ii
p z x p z x
(2.26)


20

+ Môăhìnhăcmăbiếnăđoăkhongăcách
CmăbinăđoăkhongăcáchălƠămtătrongănhữngănhữngăthităbăđợcădùngăphổăbină
nhấtătrongălĩnhăvựcărobot.ăDoăđó,ătrongăphnănƠyăsẽătrìnhăbƠyămôăhìnhăcălợngă
caăcácăcmăbinăđoăkhongăcách.ăTrongăđó,ăcácăthităbăđoăkhongăcáchăcóăthălƠă
laser,ăcmăbinăsiêuăơm,
Trongăcmăbinăđoăkhongăcáchăcóăbnăloiănhiuăcăbnănhăhngăđnăchấtălợngă
đoăcnăphiăđợcăxemăxétălƠ:ănhiuălƠmăthayăđổiăgiáătrăđoăvƠăsaiăsădoăcácăđiătợngă

xuấtăhinăbấtăng,ădoăkhôngăxácăđnhăđợcăđiătợngăvƠăsaiăsănguănhiên.ăDoăđó,ă
môăhìnhăcmăbină
( | )
tt
p z x
lƠăsựăktăhợpăcaăbnămtăđăxácăsuấtăđiădinăchoăbnă
kiuăsaiăsăđặcătrngăđƣănói.
ThănhấtălƠăsaiăsătácăđngălênăgiáătrăđoălƠmăchoăphépăđoăkhôngăchínhăxác.ăGiă
*k
t
z

lƠăkhongăcáchăđnăvtăcnăgnănhấtăđợcăđoăbiăcmăbină
k
t
z
trongăđiuăkinălỦă
tng.ăTrongăthựcăt,ăgiáătrăkhongăcáchămƠăcmăbinănhnăvăthngăkhôngăchínhă
xácătuytăđi.ăĐóălƠădoătácăđngăcaănhiuăđƣăgơyăraăsaiăsătrongăktăquăđo.ăSaiăsă
nƠyăxyăraădoăsựăhnăchăvăđăphơnăgiiăcaăcácăcmăbin,ădoănhăhngăcaămôiă
trngălênătínăhiuăđo, ăNhiuănƠyăthngăđợcămôăhìnhăhóaăbằngămtăphơnăbă
Gaus
hit
p
cóătrătrungăbìnhălƠă
*k
t
z
vƠă đălchăchunălƠă
hit


.ăTrongăthựcăt,ăgiáătră
đợcăđoăbiăcmăbinăbăgiiăhnătrongămtăkhongă
 
ax
0,
m
z
(
ax
z
m
lƠăkhongăcáchăđoă
tiăđaăcaăcmăbin).ăKhiăđó,ăxácăsuấtăđoăđúngăđợcăchoăbi:

 
*2
ax
; , 0
( | , )
0 ác
k k k
t t hit t m
k
hit t t
N z z z z
p z x m
kh









(2.27)
Trongăđóă
*
z
k
t
đợcătínhădựaătrênă
t
x
vƠăbnăđă
m
;
*2
( ; , )
kk
t t hit
N z z

lƠăphơnăbăchună
caămtăđiălợngănguănhiênăcóătrătrungăbìnhălƠă
k
t
z
vƠăđălchăchunălƠă

hit

.