CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC

CC CHUYấN ễN THI I HC
Bài 1: Hệ phơng trình đại số
Một số loại hệ ph ơng trình th ờng gặp:

I)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng: Hệ phơng trình



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ
đối xứng loại I nếu



=
=
);();(
);();(
xygyxg
xyfyxf
2)Cách giải : - Đặt
x y S
xy P
+ =

=

. ĐK:
2
4S P
.
- Biểu thị hệ qua S và P .
- Tìm S ; P thoả mãn điều kiện
PS 4
2

.
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình :
0
2
=+ PStt
. Từ đó có nghiệm của hệ đã
cho.
Chú ý 1 :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất
đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b;
a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có
duy nhất x = y.
+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có
nghiệm S, P thỏa mãn
PS 4
2

.

+) Khi
PS 4
2
=
thì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi
có duy nhất S, P thỏa mãn
PS 4
2
=
.
Chú ý 2 :
Nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng ĐK cần
để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào
hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không -
(Đ/K đủ).
II) Hệ đối xứng loại II
1)Hệ :



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối xứng loại II nếu
:
);();( yxgxyf =

2)Cách giải :
+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2
vế ta đều thu đợc phơng tình :
(x-y).h(x;y) = 0
Khi đó hệ đã cho
0 ( ; ) 0
( ; ) 0 ( ; ) 0
x y h x y
f x y f x y
= =



= =

( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau
khi trừ 2 vế cha xuất hiện ngay x - y = 0 mà
phải suy luận tiếp mới có điều này).
+) Phơng pháp điều kiện cần và đủ:
Phơng pháp này đ ợc áp dụng tốt cho hệ đối
xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ
có nghiệm duy nhất.
Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên
nếu hệ có nghiệm (x
0
;y
0
) thì (y
0

;x
0
) cũng là
nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy
nhất khi x
0
= y
0
(1)
Thay (1) vào một phơng trình của hệ, tìm
đ/k của tham số để pt` có nghiệm x
0
duy
nhất ,ta đợc giá trị của tham số. Đó là đ/k
cần.

Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ
kiểm tra, rồi kết luận.
III) Hệ nửa đối xứng của x và y
1)Dạng hệ:



=
=
)2(;0);(
)1();;();(
yxg
xyfyxf
(Tức là có 1

phơng trình là đối xứng )
2)Cách giải:
Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng
phơng trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó
có: hệ đã cho tơng đơng với:




=
=
)2(;0);(
0);().(
yxg
yxhyx











=
=

=
=

0);(
0);(
0);(
0
yxg
yxh
yxg
yx
Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối
xứng
Ví dụ :





=+
=+
=






=

=+
5
5
5
5
2
2
2
2
ty
yt
tx
xy
yx
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y
1) Hệ phơng trình



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
đợc gọi là hệ
đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử
(trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2.
2) Cách giải :
* Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này th-

ờng dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc
tham số ở số hạng tự do cho đơn giản)
* Cách 2) Khử x
2
( với y 0 ) hoặc y
2
(với
x 0): (Cách này thờng dùng khi hệ có
chứa tham số).
VI. Một số hệ ph ơng trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phơng trình không
mẫu mực ta thờng áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.

1
CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC
Mét sè vÝ dơ:
1. HƯ ®èi xøng I:
Giải các hệ pt sau đây :
2 2
11
1)
30
xy x y
x y xy
+ + =



+ =

11
5; 6 5. 6
. 30
p s
hpt s p p s
p s
+ =

⇔ ⇔ = = ∪ = =

=

ĐS : x = 2; 3; 1; 5
2 -
2 2
3 3
30
35
5; 6 (2;3) ; (3;2)
x y xy
x y
hpt s p

+ =


+ =



⇔ = = =>
4 4
2 2
1
3)
1
11
1
0; 2 (0;1);(1;0)
( 2 ) 2 1
x y
x y
p s
s
hpt
p p
s p p
+ =


+ =

+ =
=


⇔ ⇔
 
= = =>

− − =


3
3
30
4) : ; 0; ; .
35
. 30
125, 5 6
3 35
x y y x
HD x y s x y p x y
x x y y
p s
hpt s s p
s sp

+ =

> = + =

+ =


=

⇔ ⇔ = <=> = => =

− =


Vậy Hpt có ngh ( 4;9) ; ( 9;4).
5- cho:
5( ) 4 4
1
x y xy
x y xy m
+ − =


+ − = −

a) Tìm m để hpt có nghiệm.
HD: Giải hệ S ;P ta được S= 4m ;p =
5m-1
ĐK : S
2
-4p
≥
0 ⇔
1
; 1
4
m m≤ ≥
.
b) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
§S: m = 1/4, m = 1.
6) a-Cmr: Hpt có ngh với mọi m :
2 2 2
2 1x y xy m

x y xy m m
+ + = +


+ = +

b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất .
HDĐS :
a-
2
1 1 2 2
2 1
.
; 1 1.
p s m
hpt
p s m m
s m p m s m p m
+ = +

⇔

= +

⇔ = = + ∪ = + =
ĐS:hệS
1
,P
1
Vn ;

2 2
2 2
4 ( 1) 0S P m− = − ≥
.
Vậy: HPt có nghiệm với mọi m.
b-HPT cã ngh duy nhÊt ⇔
2
2 2
4 0S P− =
⇔
2
( 1) 0m − =
1m
⇔ =
.
=> x = y = 1 Vậy : (1;1).
2. HƯ ®èi xøng lo¹i II:
Giải hệ pt :

3
3
3 8
1 :
3 8
x x y
hpt
y y x

= +


−

= +


3 4
2 :
3 4
y
x y
x
hpt
x
y x
y

− =


−


− =


2 2
2 2
2 3 2
3
2 3 2

x x y
y y x

− = −

−

− = −


HDĐS :
1-Hpt
2 2
3
3
( )( 5) 0
3 8
3 8
(0;0) ( 11; 11) ( 11; 11)
x y
x y x y xy
x x y
x x y
=

− + + + =


⇔
 

= +
= +



−
2- ĐK : x ≠ 0 ; y ≠ 0. Hpt :
2 2
( )( 4) 0
6 4( ) 0
x y x y
x y xy x y
− + + =


+ − − + =

 (-2; -2)
3-
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y x x

− = −


− = −



Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0  y=x hoặc y = 1-x.
Kết hợp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
Khi y = 1 -x VN .
4-
1 3
2
1 1
2
x
y x
y
x y

+ =




+ =


Lấy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0  y = x ; y = -2/x
+ y = x : (1;1) ; (-1;-1) .
+ y = -2/x :
( 2; 2);( 2, 2)− −
3) . HƯ nưa ®èi xøng
VD. Gi¶i hƯ :






+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x
x
Gi¶i:





+=
=+−
≠
⇔





+=

=−+−
≠
⇔





+=
−=−
12
0)1)((
0.
12
0
0.
12
11
33
22
3
xy
xyyx
yx
xy
yxxyyx
yx
xy
y
y

x
x

2
CC CHUYấN ễN THI I HC
3
4
. 0
. 0
1
( ) ( )
2 1 0
2 0
x y
x y
x y I y II
x
x x
x x







= =


+ =

+ + =

+ Ta có I):










==
+
==
==






=+
=

2
51

2
51
1
)(
012
(
0.
3
yx
yx
yx
I
xx
yx
yx
+ Ta có II) :
2 2 2
. 0
1
( )
1 1 3
( ) ( ) 0;( )
2 2 2
x y
II y
x
x x VN

=



+ + + =


4. Hệ đẳng cấp :
VD. Cho hệ phơng trình :
2 2
2
4 (1)
3 4 (2)
x xy y m
y xy

+ =


=



a) Giải hệ pt` với m = 1
b) Tìm a để hệ có nghiệm
Giải:
Cách 1:

Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của
hpt.
Đặt x = ty, ta có :
Hệ
2 2 2 2
2 2
4
3 4
t y ty y m
y ty

+ =


=



2 2
2
( 4 1)
(1 3 ) 4
y t t m
y t

+ =


=

2
2
4 1
1 3 4
(1 3 ) 4
t t m
t
y t

+
=




=

(I)
Do y 0 nên từ y
2
(1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0
t <
1
3
a) Với m = 1 ta có hệ :
2
2
4 1 1

1 3 4
(1 3 ) 4
t t
t
y t

+
=




=


Giải hệ ta đợc kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :
(I)
2
2
4( 4 1) (1 3 )
(1 3 ) 4
t t m t
y t

+ =


=

2
2
4 (16 3 ) 4 0 (*)
(1 3 ) 4
t m t m
y t

+ =


=


Đặt f(t) = 4t
2
- (16 - 3m)t + 4 - m = thì
Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t
<
1
3
.
Ta lại có
1 8
( ) 0
3 9
af = <
m nên hệ luôn có
nghiệm thoả mãn t

1
<
1
3
< t
2
. Vậy hệ luôn
có nghiệm với m.
Cách 2 : Khử một ẩn.
Hệ
2
2
4
3 4
x xy m
y xy

=


=



2
4 2 2
4
2 (8 ) (4 ) 0 (*)
x m
y

x
x m x m

+
=



+ =

(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4).
Với m 4 đặt : f(t) = 2t
2
+ (8 - m)t - (4 -
m)
2
ta có f(0) = -(4 - m)
2
< 0 nên phơng
trình f(t) = 0 luôn có nghiệm t > 0 hay ph-
ơng trình (*) luôn có nghiệm với m.
Các bài tập luyện tập :
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phơng trình



=+++
=++
8

)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a

+ =



+ = +


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2
nghiệm phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y

x xy y m

+ =


+ =



Tìm m để hệ có nghiệm
4)





=+
=+
22
22
xy
yx


3
CC CHUYấN ễN THI I HC
5)

=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3

y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô
nghiệm
Bài 3:





=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:

=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số :

( )
tttf 3
3
=
trên [-1,1] áp dụng vào ph-
ơng trình (1)
Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm
duy nhất







+=

+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf =
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:

=+
=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:





=+
=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:

+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD : Rút ra
y
yy
y
x +=
+
=
55
2
Cô si
52
5
+= y
y
x
.

20
2
x

theo (1)
20
2
x
suy ra x,y
Bài 9:





++=+
=
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử
chung (1;1) (3/2;1/2)
Bài 10:





=+
=++
ayx

ayx
3
21
Tìm a để hệ có
nghiệm
HD: từ (1) đặt
2,1 +=+= yvxu
đ-
ợc hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình
bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng
1)





=
=
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)

+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)





=++
=++
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4)

++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
5)





+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có
nghiệm
6)

=
=
19
2.)(
33
2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
7)



=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
đặt X=x(x+2) và
Y=2x+y

4
CC CHUYấN ễN THI I HC
8)

=++
=+
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx
đổi biến
theo v,u từ phơng trình số (1)
9)





=+
=+
22
333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào đ-
ợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)

+=
=
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4
=++ xx
vô nghiệm bằng
cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
11)





+=+
+=+
axy

ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK
cần và đủ
12)





=+
=+
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2 vế .

5
CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC
Bµi 2: Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng
tr×nh §¹i sè

Mét sè d¹ng ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng
tr×nh th êng gỈp
1) BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai ;
§Þnh lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai;
Ph¬ng ph¸p hµm sè.
2) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ
tut ®èi

2 2
2 2
0B
A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A B
≥

= ⇔

=

< ⇔ <
>

> ⇔

< −


< ⇔ − < <
3) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n
thøc
*PT chøa c¨n thøc:
2
0
0( 0)
0
0
2
B
A B
A B
A hayB
A B
A B
A
A B C B
A B AB C
≥

= <=>

=

≥ ≥

= <=>


=


≥

+ = <=> ≥


+ + =

* BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc:
2 2
2 2
0 0
* 0 * 0
0 0
0 0
* *
0 0
A A
A B B A B B
A B A B
A A
B B
A B A B
B B
A B A B
 
≥ ≥
 

< ⇔ > ≤ ⇔ ≥
 
 
< ≤
 
 ≥  ≥
 
 
 
< ≤
 
 
> ⇔ ≥ ⇔
 
≥ >
 
 
 
> ≥
 
 
 
Mét sè vÝ dơ
BÀI TẬP :
Bài 1: Bình phương hai vế :
a) x
2
+
1 1x + =
Hd:

4 2
0
1 1
1
2 0
1 5
2
x
x
x
x x x
x


=

− ≤ ≤

⇔ =−


− − =


±

=


b)pt:

5 1 3 2 1 0x x x− − − − − =
§K x ≥ 1.
Chuyển vế, bình phương hai vế : x = 2 ;
x = 2/11( loại ). Vậy x=2 .
c)
: 9 5 2 4pt x x+ = − +
§K
2x
≥
.
Bình phương hai lầ ta có : ĐS x = 0 .
d)
: 16 9 7pt x x− + + =
. §S: x = 0, x = -7.
e)
2 2
: (4 1) 9 2 2 1
: 1/ 4
pt x x x x
dk x
− + = + +
≥
B×nh ph¬ng hai lÇn ta cã :ĐS x = 4/3.
Bài 2 : §Ỉt Èn phơ:
a)
2 2
3 3 3 6 3x x x x
− + + − + =
. §S: x = 1, x = 2.
b)

2
2
1 1 0 : 0 1
3
x x x x dk x
+ − = + − = ≤ ≤
- Đặt :
2
2
1
1 ; 0
2
t
t x x t x x
−
= + − ≥ => − =
pt ⇔ t
2
-3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn.
t =1  x = 0 ; x =1.
c)
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x
+ + + = + + + −
HDĐS:

2 2
: 1
2 3 1 0
3 4 2 2 5 3

5 3.
DK x
t x x
t x x x
pt t x
≥ −
= + + + ≥
=> = + + + +
<=> = <=> =

2 2 2
2
) 7 2 3 3 19
. 2 7 / 4
5 3 13 4
1; 2
d x x x x x x
t x x
pt t t t t
x x
+ + + + + = + +
= + + ≥
<=> + + = + <=> =
=> = =−
Bµi 3:
1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m
+ + − − + − =
a) Giải pt khi m=2
b) Tìm m pt có nghiệm.
HDĐS:

ĐK:
. 1 3 ; 2 2 2
: 2( )
t x x t
vi a b a b a b
= + + − => ≤ ≤
+ ≤ + ≤ +
2
0( )
1) 2 : 2 0 1, 3
2
t l
m t t x x
t
=

= − = <=> => = − =

=

2) f(t) = -t
2
/2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên :
Tacó :
2 2 2 2.m− ≤ ≤
Bµi 4. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã
nghiƯm:
2
9 9x x x x m
+ − = − + +

Bình phương : Đặt t=
(9 ) 0 9/ 2x x t− => ≤ ≤

6
CC CHUYấN ễN THI I HC
KSHS
2
( ) 2 9 ; 9/ 2 9/ 4 10f t t t o t Ds m
= + +
d)
Bài 5. Tìm m để phơng trình có nghiệm:
4 44
4 4 6x x m x x m
+ + + + + =
HDẹS: ẹaởt
4 2
4
4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + + =

44
4
3 ( )
2
4 2
4 16
loạit
PT
t
x x m
m x x

=



=

=> + + =
<=> = +
Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.
Baứi 6. Giải các phơng trình sau:
1)
2 2
3 3
3
(2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x
+ + =
-ẹaởt :
2 2
3
3 3
3
2 3
.
9
7
u x u v uv
pt
u v
v x

= + =

<=>

+ =

= +



3
1; 2 1; 6
2
u v
u v x
uv
+ =

<=> <=> = = => =

=

2)
3
2 1 1x x
=
.ẹK : x
1
3

3 2
2
1; 0
1
0;1; 2; 1;0;3
1
1;2;10
u x
v x v
u v
u v
u v
x

=


=


=

=> <=> = =

+ =

=
Một số bài tập luyện tập:
Bài 1 : Tìm m để
mxxxx ++++ )64)(3)(1(

2
Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm
đúng với mọi x.
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức :
m-2
Bài 2: Giải các phơng trình, bất phơng
trình sau:
1)
014168
2
++ xxx
2)
xxx 2114 =+
: x = 0
3)
2 2
2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5x x x x DS x
+ = =
4)
211
22
=++ xxxx
. Tích 2 nhân
tử bằng 1 suy ra cách giải.
5)
023)3(
22
xxxx
(KD 2002)
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm

+
++
012
0910
2
2
mxx
xx
ĐS m 4.
Bài 4: Giải bất phơng trình:
2212 >+ xxx
HD :
nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích chú y ĐK
Bài 5: Giải bất phơng trình:
7
2
1
2
2
3
3 +<+
x
x
x

x
HD Đặt
2,
2
1
+= t
x
xt
AD BĐT cô si
suy ra ĐK.
Bài 6: Giải bất phơng trình
4
)11(
2
2
>
++
x
x
x
HD
Xét 2 trờng hợp chú ý DK x

-1.
Trong trờng hợp x

4 tiến hành nhân
và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở
VT.
Bài 7: Cho phơng trình:

mxxxx ++=+ 99
2
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
HD
Bình phơng 2 vế chú y ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004)
3
7
3
3
)16(2
2


>+


x
x
x
x
x
Bài tập áp dụng
1) Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm
mxx + 41624

2)

16212244
2
+=++ xxxx
3)
12312 +++ xxx
4)
1212)1(2
22
=+ xxxxx

HD: đặt
12
2
+= xxt
coi là phơng trình
bậc hai ẩn t.
5)
2
2)2()1( xxxxx =++
6)
2
3
1)2(12
+
=++
x
xxxx

7
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC

7)
1
1
251
2
<
−
−−
x
xx
8)
023243
2
=++−−+ xxx
.
9)
2
2 4 3 18 29x x x x− + − = − +

8
CC CHUYấN ễN THI I HC
B i 3: Phơng trình và
hệ phơng trình lợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
1. Các công thức biến đổi lợng giác
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

( )
1
tga tgb
tg a b
tgatgb

=
m
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a - 1 = 1-
2sin
2
a;
sin2a = 2sinacosa;
2
2
2 ,
2 4 2
1
tga
tg a a k a k
tg a

= + +
ữ


3 3
sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ;a a a a a a= =
c) Công thức hạ bậc
2 2
1 cos 2 1 cos2
cos ; sin ;
2 2
a a
a a
+
= =
d) Công thức chia đôi
Đặt
( )
2
2
x
t tg x k

= +
. Ta có:
2
2
2 2 2
2 1 2

sin ; cos ;
1 1 1
t t t
x x tgx
t t t

= = =
+ +
;
e) Công thức biến đổi
* Đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + +
= +
= + +
* Đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos ;
2 2
cos cos 2sin sin ;
2 2
sin sin 2sin cos ;
2 2
sin sin 2cos sin ;
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
f) Một số công thức hay dùng:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x

x x x x



+ = + =
ữ ữ


= = +
ữ ữ

1 1
; ;
4 1 4 1
tgx tgx
tg x tg x
tgx tgx

+

+ = =
ữ ữ
+

2. Một số phơng trình lợng giác thờng
gặp
a) phơng trình lợng giác cơ bản:
+ sinx = a
1
2

1 (sin )
2
PTVN
PT có ngh
a
x k
a a
x k



>
= +

=

= +

+ cosx = a
1
1 2 (cos )
PTVN
PT có ngh
a
a x k a

>
= + =
+ tgx = a ĐK:
2

x k


+
, x =
k

+
(tg =
a).
+ cotgx = a, ĐK:
x k


, x =
k

+
(cotg
= a).
b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với
một hàm số lợng giác.
* Phơng trình bậc nhất:
[ ]
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ;
( ) ( ) 2
cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;

sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ;
cos ( ) cos ( ) cos (
tg tg
cotg cotg
f x g x k
f x g x
f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x
f x g x f x





= +

+ =

= +

+ = = +
+ = = +
+ = = +
+ = =
+ =
[ ]
) cos ( ) ;

sin ( ) cos ( ) sin ( ) ;
2
g x
f x g x g x


=

+ =


* Phơng trình bậc 2:
2
sin sin 0a x b x c+ + =
đặt t = sinx (
1t
).
2
cos cos 0a x b x c+ + =
đặt t = cosx (
1t
).
2
2
0;
0;
atg x btgx c
acotg x bcotgx c
+ + =
+ + =

c) Phơng bậc nhất đối với sinx và cosx.
asinx + bcosx = c.
Cách giải:
+ Cách 1: chia cả hai vế cho
2 2
a b+
; đặt:
2 2 2 2
cos , sin
a b
a b a b

= =
+ +
ta đợc PT:
2 2
sin( )
c
x
a b

+ =
+
;
*) Chú ý: Phơng trình có nghiệm
2 2 2
c a b +
.

9

CC CHUYấN ễN THI I HC
+ Cách 2: Đặt
b
tg
a

=
ta đợc phơng trình:
sin( ) cos
c
x
a

+ =
.
d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và
cosx
2 2
sin sin cos cosa x b x x c x d+ + =
Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos
2
x = 0 sinx = 1
nếu nghiệm đúng phơng trình thì đặt cosx
làm thừa số chung.
Với cos
2
x 0 chia cả hai vế cho cos
2
x ta đ-

ợc:
atg
2
x + btgx + c = d(1 + tg
2
x).
* Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất
đối với sin2x và cos2x.
e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và
cosx
*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
2t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c


+ = + =
ữ

* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx
= c
Đặt sinx - cosx = t, điều kiện
2t
2

2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c


+ = + =
ữ

.
3. Một số phơng pháp thờng dùng khi
giải các phơng trình lợng giác:
+ áp dụng các hằng đẳng thức;
+ áp dụng các công thức biến đổi;
+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;
+ Biến đổi về tích bằng 0;
+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm
số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0.
4. Các ví dụ:
Giải các phơng trình sau:
Bài 1:
x
x
tgxgx
2sin
4cos.2
cot +=

.
ĐS:
3
x k


= +
.
Bài 2:
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=






++

+ xxx

ĐS:
5
; 2 ; 2
6 6
x k x k x x k


= = + = = +
.
Bài 3:
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
=+
x
x
x
x
.
ĐS:

2
2 ; 2
3 3
x k x x k


= + = = +
.
Bài 4:
8
1
3
.
6
3cos.cos3sin.sin
33
=






+

+

xtgxtg
xxxx
HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS:
6
x k


= +
.
Bài 5:
0cos.6)sin.2(3 =++ xxtgxtgx
HD: Biến đổi theo sin và cos.
ĐS:
3
x k


= +
.
Bài 6:
3. 6sin 2sin( ) (1)
2
2sin 6sin( ) (2)
2
y

tg x y x
y
tg x y x

+ =




= +


HD: nhân (1) với (2) rút gọn
y
y
tg
22
sin4
2
=
.
đặt
2
y
t tg

=
ữ

t

= 0, t =
3
.
Bài 7:
xxxxxx cos13sin.
2
1
sin.4cos2sin.3cos ++=
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn.
Bài 8:
2
1
5cos4cos3cos2coscos =++++ xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét tr-
ờng hợp bằng 0.
Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng
nxxxT
nxxxT
sin 2sinsin
cos 2coscos
+++=
+++=

thực hiện rút gọn bằng cách trên.
Bài 9:
)cos.sin2(cos3sin.2sin.
22
xxxxxtgx +=

HD: BĐ về dạng:
2 2
(sin cos )(sin 3cos ) 0x x x x+ =
Bài 10

2
9
sin
cos
2
log 4.log 2 4
x
x



ữ

=
HD:

( )
sin sin
2
sin
1
2. log 2.log 2 4
2
log 2 4
x x

x
=
=
5. Một số phơng trình có tham số:
Bài 1. Tìm m để phơng trình:

10
CC CHUYấN ễN THI I HC
sin2x + m = sinx + 2mcosx
có đúng 1 nghiệm
3
[0; ]
4
x


.
HD: PT (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bài 2. Tìm m để phơng trình:
(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3-
4cos
2
x
có đúng 2 nghiệm x [0; ].
HD: PT (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
Bài 3. Tìm m để phơng trình:
mcos
2
2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0
có nghiệm x [0 ; /3].

HD: Đặt t = sin2x.
Bài 4: Cho phơng trình
02sin24cos)cos.(sin2
44
=++++ mxxxx
Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện
thuộc đoạn
0;
2




.
HD: [-10/3;-2]
Bài 5: Cho phơng trình
3cos2sin
1cossin2
+
++
=
xx
xx
a
1) Giải phơng trình khi a=1/3.
2) Tìm a để phơng trình có nghiệm.
HD: Đa về dạng
(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]
Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, )

+=
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22

xx
x

6. Các bài tập luyện tập:
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos = xxxxxx
.
2)
2cos.3sincos.3sin =+++ xxxx
.
3)
x
x
x

x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2 +=
.
4)
x
x
xg
2sin
2cos1
2cot1
2

=+
.
5)
2)1.2(cos2cos
2
=+ xtgxx
.
6)
03cos2cos84cos3
26
=++ xx
.
7)

1
1cos2
3sin
42
sin2cos)32(
2
=

+







x
x
x
x

.
8)
02cos2sincossin1 =++++ xxxx
.
Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của
phơng trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=






+
+
+ x
x
xx
x
. KA
2002
2) Giải phơng trình
x
xx
xtg
4
2
4
cos
3sin)2sin2(
1

=+
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của
phơng trình
x
xtgxxg
2sin
2
2sin42cot =+

KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
[ ]
0;14

của phơng trình
cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x + =
KB 2003
5) Giải phơng trình
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
g x

x x
+
=

DB 2002
6) Giải phơng trình
2
cos cos sin 1 .
2
x
tgx x x x tgx tg

+ = +
ữ

(DB
2002)
7) Cho phơng trình
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
+
a) Giải phơng trình (2) khi
1
3

a =
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
8) Giải phơng trình
2
1
sin
8cos
x
x
=
(DB
2002)
9) Giải phơng trình
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 2
x
gx x x
tgx
= +
+
(KA
2003)
10) Giải phơng trình
( )
3 2sin 6cos 0tgx tgx x x + + =
(DBKA
2003)
11)Giải phơng trình

( )
2
cos 2 cos 2 1 2x x tg x= =
(DBKA 2003)
12) Giải phơng trình
6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x + + =
(DBKB
2003)
13) Giải phơng trình
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x



ữ

=

(DBKB
2003)

11

CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
14) Gi¶i ph¬ng tr×nh
2 2 2
sin . cos 0
2 4 2
x x
tg x
π
   
− − =
 ÷  ÷
   
(KD 2003)
15) Gi¶i ph¬ng tr×nh
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin
x x
x
x x
−
= +
+
(DBKD
2003)
16) Gi¶i ph¬ng tr×nh
2sin 4

cot
sin 2
x
gx tgx
x
= +

(DBKD 2003)
17) Gi¶i ph¬ng tr×nh
( )
2
5sin 2 3 1 sin tx x g x− = −
(KB 2004)
18) Gi¶i ph¬ng tr×nh :
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −

KB 2004.

12
CC CHUYấN ễN THI I HC
Bài 4: Hệ thức lợng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi.
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:
+
. 4 .
2 2 2

A B C
SinA SinB SinC Cos Cos Cos+ + =
+
. 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
CosA CosB CosC+ + = +
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B

g
A
g
=++
+
1
222
.
22
.
2
=++
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC +
cotgC.cotgA = 1
+
sCCosACosBCoCSinBSinASin 22.
222
+=++

+
CBACCosBCosACos sinsinsin21.
222
=++
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C =
4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR
. . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg+ + =
Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b)
33++ tgCtgBtgA
dấu = xảy ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi
3
3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA ++
lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình
đầu ta đợc đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có :
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A)
cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos
2
A + Cos(C-A).cosB +Cos

2
B +
Cos(A-B).cosC + cos
2
C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,
cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos
2
A,
cos
2
B, cos
2
C suy ra đpcm.
Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có
( )
2 2 2
1 . 2. 1Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC =
Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù
khi và chỉ khi
2.
222
<++ CSinBSinASin
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát:


+

=+
tgCtgB
tgCtgB
CBtg
.1
)(
đpcm
Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B - C) =2.cos[
)( CB

] khai triển suy ra
đẳng thức (*).
Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:






+++
=++
2
cot
2
cot
2
cot
2222
1

sin
1
sin
1
sin
1
A
g
A
g
A
g
C
tg
B
tg
A
tg
CBA
HD: thay
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot.
2
cot.

2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
++=
áp dụng công thức nhân đôi.
Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có
CBABACCCosAB
CSinBSinASin
cossinsin2cossinsinsinsin2
.
222
++
=++
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR:
cba
111
+=
và

4
5
.
222
=++
CCosBCosACos
Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều
có:
CBA
R
r
coscoscos1 ++=+
Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
bc
aA
Sin
2
2
=
, CMR tam giác ABC cân
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk

13
CC CHUYấN ễN THI I HC
22
.
B
tg
A
tgtgBtgA

=
CMR tam giác ABC cân
Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có

a
cb
CB
+
=+ coscos
thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b,
AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A
khi và chỉ khi
2
CB
tg
cb
cb
=
+

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc
thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2
1
2

sin.
2
sin.
2
sin
2
cos.
2
cos.
2
cos =
CBACBA
CMR tam giác ABC vuông.
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
( )
( )






+
=
+
+=+
2
4
2
sin

cos1
1)(
22
3332
ba
ba
C
C
acbacba
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA
cotcot3
sin
1
sin
1
2 +






+
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2
sin

2
sin
2
sin.
CA
CosCCosBCosA ++=++
B
CMR
tam giác ABC là tam giác đều
Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn
hệ thức:
9
22
.
2
222
=++
C
Cotg
B
Cotg
A
Cotg
Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin

CBA
CBA
++=++
thì tam giác đều
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gCgBgA
CBA
C
g
B
g
A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos
1
2
cos
1
2
cot.
2
cot.

2
cot
++=










++
Bài 23:
CtgBtgtgACtgBtgAtg
22888
9++
Bài 24:
81
666
=++ CtgBtgAtg
Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
CBA
M
2cos2
1
2cos2
1
2cos2

1

+
+
+
+
=
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN
của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác
xuất hiện bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của
biểu thức
)cos(cos3cos3 CABP ++=
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ
thức:
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2 =+++ CBACBB
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?

14
CC CHUYấN ễN THI I HC
Bài 5. Phơng trình và hệ phơng trình
mũ - Lôgarit
1. Một số kiến thức cần nhớ:
* Một số phép toán về luỹ thừa:
( )
( ) ; ; . ;

; ;
m
n m
n
a a
ab a b a a a
b
b
a
a a a a a
a








+


= = =
ữ

= = =
* Một số công thức biến đổi về logarit:
1 2 1 2
1
1 2

2
log log
log ;
log ( . ) log log ;
log log log ;
1
log log ; log log ;
log
ln lg
log ;
log ln lg
1
log ; ;
log
log .log .log log
b b
x
a
a a a
a a a
a a a
a
b
a
b
c a
a
b
a b c a
a b x b

x x x x
x
x x
x
x x x x
x
x x
x
a a a
b a c
a
b c x x




= =
= +
=
= =
= = =
= =
=
2. Phơng trình mũ:
a) Dạng cơ bản:
( )
( ) ( )
0
( ) log
( ) ( )

f x
a
f x g x
b
a b
f x b
a a f x g x
>

=

=

= =
b) có số có chứa ẩn:
[ ] [ ]
( ) ( )
( ) 1
( ), ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
có nghĩa
f x g x
h x
f x g x
h x h x
h x
f x g x
=

=

>



=



3. Một số phơng pháp thờng dùng khi
giải phơng trình mũ:
+ Đa về phơng trình dạng cơ bản.
+ Lấy lôgarit hai vế;
+ Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện của ẩn phụ);
+ Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán
nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất,
4. Phơng trình logarit:
a) Dạng cơ bản:
0 1
log ( )
( )
( ) 0( ( ) 0)
log ( ) log ( )
( ) ( )

hoặc
a
b
a a
a
f x b
f x a
f x g x
f x g x
f x g x
<

=

=

> >

=

=

b) Cơ số có chứa ẩn:
[ ] [ ]
( ) ( )
0 ( ) 1
log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
f x f x
f x

g x h x
g x h x
<

=

= >

5. Một số phơng pháp thờng dùng khi
giải phơng trình logarit:
+ Đa về cùng cơ số;
+ Đặt ẩn phụ để giải phơng trình bậc hai;
+ Đặt ẩn phụ để giải phơng trình mũ;
+ Đa về dạng tích bằng 0;
+ Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đoán
nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất,
Một số ví dụ:
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
a)
3 2 1
2 .3 .5 4000;
x x x+ +
=
b)
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+

=

;
c)
2
2
3 ( 3) ;
x x
x x

=
d)
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x
+ =
;
e)
6.9 13.6 6.4 0;
x x x
+ =
ĐS: x = 1;
f)
(5 24) (5 24) 10;
x x
+ + =
ĐS: x = 1;
g)
( ) ( )
3

5 21 7 5 21 2
x x
x+
+ + =
;
g)
( 15) 1 4
x x
+ =
; ĐS: x = 2.
h)
3 2
2 3 7 14 2
x x x x
+ + =
;
Bài 2. Giải các phơng trình sau:
a)
2
log 2.log ( 6) 1
x
x + =
;
b)
2
log (9 2 ) 3
x
x + =
;
c)

2 2
3 7 2 3
log (4 12 9) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
d)
2
2 2
log ( 1)log 6 2 ;x x x x+ =
e)
2 2
log log 3
27 30
x
x+ =
;
f)
5 7
log log ( 2);x x= +
g)
8
4
6 4
2log ( ) logx x x+ =
;
h)
2
3 2

log ( 3 13) logx x x =
;
i)
2 2
3 3
log ( 1) log 2x x x x x+ + =
;
j)
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
;
Bài 3. Giải các hệ phơng trình sau:
a)
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x
y
x y
y x

+ =



+ =


;
b)
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y

+ = +




+ = +

c)
2 3
2 2
log ( ) log ( ) 1
3
x y x y
x y
+ + =


=

;

15
CC CHUYấN ễN THI I HC
d)
2 2
2 2
(log log )( 1)
1
x y
e e y x xy
x y

= +


+ =

;
Một số bài luyện tập:
Bài 1: Cho phơng trình
0121loglog
2
3
2
3
=++ mxx
1) Giải phơng trình khi m=2.
2) Tìm m để phơng trình có ít nhất một
nghiệm thuộc
[ ]
3
3;1
.
HD: m thuộc [0;2]
Bài 2:



=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx

yx
đs (4,4)
Bài 3:
)4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx =++
HD: ĐK x>0 Và x 1
ĐS x=2 ,
332 =x
.
Bài 4:
xxxx
3535
log.loglog.log +=
HD: dổi cơ số x=1 va x=15
Bài 5:
2 2
log ( ) log 3
2 2
9 3( ) (1)
3 3 6 (2)
xy

xy
x y y x

=


+ = + +


DH: lôgarit hai vế phơng trình (1) theo cơ
số 3.
Bài 6:
x
x
=
+
)1(log
3
2
HD: ĐK x>-1
TH1: -1<x<=0 phơng trình vn.
TH2: x>0 dặt y=log
3
(x+1)
Suy ra
1
3
1
3
2

=






+






yy
PP hàm số.
Bài 7:
32
2
2
23
1
log xx
x
x
=

+
HD: VP <= 1 với x >0 BBT.
VT >=1 Côsi trong loggrit
ĐS x =1.
Bài 8:





=
+
+
=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
ĐS (0,1) (2,4)

Bài 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
thuộc [32, +)
( )
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
=+ xmxx
HD: Đặt t =
2
log x
(t 5.)
2
0
1 3
1
3
m
m
t
m
t
>


<

+

=



Bài 10





=+
=
322
loglog
yx
xy
yxy
HD ĐK x,y>= và khác 1
BĐ (1) đợc
TH1: y=x thay vào (2) có nghiệm.
TH2:
2
1
y
x =
thay vào (2) CM vô
nghiệm chia thành 2 miền y >1 và 0<y<1.
Các bài tập tự luyện:

1)
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3
log +=

2)
( )
)112(log.loglog2
33
2
9
+= xxx
3)





=
=+
0loglog
034
24
xx
yx
ĐK x, y1 (1,1)
(9,3)
4)





=+
=+

3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x
5)





=+
=
25
1)
1
(log)(log
22
4
4
1
xy
y
xy
KA 2004 (3,4)
6)
6)22(log).12(log

1
22
=++
+xx
. ĐS x=log
2
3.
7)
[ ]
1)69(loglog
3
=
x
x
8) Giải phơng trình
)2(log)12(log
2
2
2
3
xxxx +=++
9)





=
+=+
+

yx
xyyx
xyx 1
22
22
10)





=+
=+


06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
11) Tìm m để phơng trình
( )
0loglog4
2
1

2
2
=+ mxx

có nghiệm thuộc khoảng (0;1).
12) Giải hệ phơng trình:
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
y x
+
+

+ + + + =


+ + + =



16
CC CHUYấN ễN THI I HC
Bài 6: Bất phơng trình và hệ bất phơng
trình mũ - lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ:

* Bất phơng trình mũ:
( ) ( )
1: ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x
a f x g x
a a
a f x g x
> >

>

< < <

[ ] [ ]
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x
h x
h x h x
h x f x g x
>

>

>

[ ] [ ]

( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x
h x
h x h x
h x f x g x
>

<

<

* Bất phơng trình logarit:
1: ( )
log ( )
0 1:0 ( )
1: 0 ( )
log ( )
0 1: ( )
b
a
b
b
a
b
a f x a
f x b
a f x a

a f x a
f x b
a f x a

> >
>

< < < <


> < <
<

< < >

1: ( ) ( ) 0
log ( ) log ( )
0 1:0 ( ) ( )
a a
a f x g x
f x g x
a f x g x
> > >

>

< < < <

( ) ( )
log ( ) log ( )

( ) 0
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x f x
g x h x
f x
f x g x h x
>
>



>

Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Giải các bất phơng trình sau:
a)
2
2
5 6
1 1
;
3
3
x
x x
+
+
>

b)

2
2
(4 2 1) 1
x x
x x

+ + >
;
c)
9 3 2 3 9
x x x
+ >
;
d)
2 2 2
2.49 9.14 7.4 0;
x x x
+

e)
1
2 2 1
0
2 1
x
x
x

+

;
Ví dụ 2. Giải các bất phơng trình sau:
a)
2
1 5
5
log ( 6 8) 2log ( 4) 0x x x + + <
;
b)
9
log log (3 9) 1
x
x

<

;
c)
1
2 1
2
log (4 4) log (2 3)
x x
x
+
+
;
d)
2 2

4 2
log (2 3 2) 1 log (2 3 2)x x x x+ + + > + +
;
e)
2
6 6
log log
6 12
x x
x+
;
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Tìm k để hệ phơng trình sau có
nghiệm
3
2 3
2 2
1 3 0 (1)
1 1
log log ( 1) 1 (2)
2 3
x x k
x x

<


+

HD: ĐK x > 1.
Giải (2) 1< x 2.
BBT: f(x) = (x -1)
3
-3x. ĐS k > -5
Bài 2:
06log)1(log2log
2
4
1
2
1
++ xx
Bài 3:
1))279.((loglog
3

x
x
Bài 4:
[ ]
0)2(loglog
2
2
4
<+
xxx

Bài 5:
06log)52(log)1(

2
1
2
2
1
++++
xxxx
HD
đặt t bằng log của x coi là phơng
trình bậc 2 ẩn t.
Chú ý so sánh 2 trờng hợp t
1
,

t
2

ĐS (0;2] v (x

4)
Bài 6: Giải bất phơng trình
xx
x
22
log
2
3
log
2
1

22
Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2.
Bài 7. Tìm m để phơng trình:

9 (2 1)6 .4 0 (1)
x x x
m m m + +
nghiệm đúng với mọi x [0; 1].
Bài 8: Giải bất phơng trình

0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
>
+
++
x
xx
Bài 9: Giải bất phơng trình

2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)x x x

<
+
Bài 10. Giải bất phơng trình

3
3
1
29
2
2
2
2










xx
xx
Bài 11. Giải bất phơng trình:

2 1
2
1 1
9. 12

3 3
x x
+

+ >
ữ ữ

(1)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là
nghiệm của bất phơng trình:
2x
2
+ (m + 2)x + 2 - 3m < 0 (2)
Bài 12. Giải bất phơng trình:

2
lg( 6) 4 lg( 2)x x x x+ = + +

17
CC CHUYấN ễN THI I HC
Bài 7. Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:
Các quy tắc tính đạo hàm.
Bảng đạo hàm của các hàm số thờng
gặp.
Đạo hàm cấp cao.
1. Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3.
+ Dự đoán công thức tổng quát;

+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận.
* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:
( )
1
1 1
( )
( )
( )
1 ( 1) . !
( )
( 1) ( 1)!
ln( )
( )
sin sin
2
cos cos
2
n n
n
n
n n
n
n
n
n
a n
y y
ax b ax b
a n

y ax b y
ax b
n
y x y x
n
y x y x


+


= =
+ +

= + =
+

= = +
ữ


= = +
ữ

Ví dụ 1. Cho hàm số y =
1
1 x
.
a) Tính y, y, y
b) Chứng minh rằng:

( )
1
!
(1 )
n
n
n
y
x
+
=

.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số:
a) y =
2
2
1
x
x
;b) y =
2
2008
5 6
x
x x +
.
2. ứng dụng của đạo hàm để chứng minh
bất đẳng thức:
PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x (a; b)

ta đặt
(x) = f(x) - g(x).
+ Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên
(a; b).
+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x)
> 0, x (a; b).
* Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số (x)
để có điều cần chứng minh.
Ví dụ. Chứng minh rằng:
a) ln(1 + x) > x -
2
2
x
, x > 0.
b)
2
sin , (0; )
2
x
x x


>
.
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +
2
2
x
với x > 0.

Có
2
1
'( ) 1 0, 0
1 1
x
f x x x
x x
= + = > >
+ +
f(x) > f(0) = 0 với x > 0 đpcm.
b) Đặt f(x) =
sin 2x
x


với
(0; )
2
x


.
Có
2
cos sin
'( )
x x x
f x
x

=
.
Đặt g(x) = xcosx - sinx.
g(x) = -xsinx < 0 với
(0; )
2
x


g(x) là
hàm NB trên
(0; )
2

g(x) < g(0) với
(0; )
2
x


.
f(x) là hàm số NB trên
(0; )
2

f(x) > f(
2

) =

2

,
(0; )
2
x


.
Bài tập luyện tập:
Chứng minh các BĐT:
a) e
x
> x + 1 với x > 0; b) x > ln(1 + x) với
x > 0.
c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) với x > 1;
d) cosx 1 -
2
2
x
với x > 0; e) sinx x -
3
6
x
với x>0;
3. ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính
giới hạn.
0
0
0

0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định
nghĩa đạo hàm tại một điểm ta làm theo các
bớc:
+ Bớc 1: Đa giới hạn cần tính về đúng công
thức:
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x



+ Bớc 2: Xét hàm số y = f(x). Tính f(x
0

),
f(x) và f(x
0
).
+ Bớc 3: Kết luận
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
Chú ý: Một số trờng hợp ta phải biến đổi về
dạng:
0
0
0 0
0
0
0
( ) ( )
'( )

lim
( ) ( )
'( )
x x
f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x



=


.

18
CC CHUYấN ễN THI I HC
Ví dụ. Tính các giới hạn:
a)
3
0
1 1
lim
x
x x
x

+

;
HD: Đặt f(x) =
3
1 1x x+
thì giới hạn có
dạng:
0
( ) (0)
lim
0
x
f x f
x



. Do đó:
3
0
1 1
lim '(0)
x
x x
f
x

+
=
.
Có

2
3
1 1
'( )
2 1
3 ( 1)
f x
x
x
= +

+
; f(0) =
1 1 5
3 2 6
+ =
Vậy
3
0
1 1 5
lim
6
x
x x
x

+
=
.
b)

3
4
7
9 1
lim
7
x
x x
x

+ +

; ĐS:
5
96

c)
3
1
(2 1) 3 9
lim
1
x
x x x
x

+ +

; ĐS:
4

3
d)
3
3
0
1 1
lim
1 cos
x
x x
x x

+ +
+
; ĐS:
5
2
.
HD:
3
3
3 3
0 0
1 1
1 1
lim lim
1 cos 1 cos
x x
x x
x x

x
x x x x
x

+ +
+ +
=
+ +
.
e)
3
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x

+ +
; f)
3
2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x

+

;
4. ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN,
GTNN
* Bài toán 1: GTLN, GTNN của hàm số trên
một khoảng.
PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần
tìm.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất
một điểm cực tiểu thì đó là GTNN.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất
một điểm cực đại thì đó là GTLN.
* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm
số trên một đoạn.
PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
,
x
3
, của f(x) trên đoạn [a; b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong

các số trên rồi kết luận.
M =
[ ; ]
max ( )
a b
f x
, m =
[ ; ]
min ( )
a b
f x
* Bài toán 3: Xác định tham số để các ph-
ơng trình hoặc bất phơng trình có nghiệm.
+ F(x) = m m [MaxF(X); minF(x)]
+ F(x) > m với mọi x . .<=> m < minF(x)
+ F(x) > m có nghiệm . .<=> m<MaxF(x) . .
.
Chú ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của
biến mới có thể sử dụng phơng pháp miền
giá trị.
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1
1
2
+
+
=
x
x

y
trên đoạn [-1;2].
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
x
x
y
2
ln
=
trên đoạn [1;e
3
].
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
326
)1(4 xxy +=
trên đoạn [-1;1] .
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]
)352()3).(21(
2
++>+ xxmxx
HD Đặt t=
)3).(21( xx +
Từ miền xác đinh
của x suy ra

4
27
;0t
.
Biến đổi thành f(t) = t
2
+ t > m + 2.
Tìm miền giá trị của VT m < -6.
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình
sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]
222
)1()1.( +++ xxxxa
HD Đặt t = x
2
+ x dùng miền giá trị
suy ra a = -1.
Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm
2 2
1 1x x x x m+ + + + =
HD: m 2.
Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm với mọi x
4 2 2
3cos 5.cos3 36.sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m
+ +
HD Đặt t = cosx BBT 0 m 2.
Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

trên [-/2; /2]
2
)cos1(2sin22 xmx +=+
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xxy 2cossin2
48
+=
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 2 (4 4 )
x x x x
y

= + +
với
0 x 1
.
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4 xxy +=
* PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng
miền giá trị của hàm số.
Ví dụ:

19
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
T×m GTLN, GTNN cña c¸c hµm sè:
a)
2
2

3
12
x
y
x x
+
=
+ +
; b)
2
8 3
1
x
y
x x
−
=
− +
;
c)
2sin 1
cos 2
x
y
x
+
=
+
; d)
sin cos

sin 2cos 3
x x
y
x x
−
=
+ +
.

20
CC CHUYấN ễN THI I HC
Bài 8: Tiếp tuyến, tiếp xúc và
tơng giao
1. Phơng trình tiếp tuyến của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).
* Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; y
0
)

(C):
y - y
0
= f(x
0
)(x - x
0
).
* Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trớc:

+ Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm. Ta có f(x
0
)
= k.
+Giải phơng trình ta tìm đợc x
0
, rồi tìm y
0
=
f(x
0
)
Từ đó ta viết đợc phơng trình.
Chú ý: Nếu là tiếp tuyến và:
+ // d: y = ax + b k

= a.
+ d: y = ax + b k

= -1/a.
+ hợp với trục Ox một góc k

=
tg().
+ hợp với tia Ox một góc k

= tg().
* Tiếp tuyến đi qua một điểm A(x

1
; y
1
).
Cách 1: Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm.
PTTT tại x
0
là: y = f(x
0
)(x - x
0
) + f(x
0
).
A TT y
1
= f(x
0
)(x
1
- x
0
) + f(x
0
).
Giải phơng trình ẩn x
0
rồi tìm f(x

0
), f(x
0
).
Cách 2: Đờng thẳng đi qua A có hệ số
góc k có phơng trình: y = k(x - x
1
) + y
1
.
là tiếp tuyến của (C) hệ PT sau có
nghiệm:
1 1
( ) ( )
'( )
f x k x x y
f x k
= +


=

giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế để
tìm k.
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
Đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp
xúc nhau hệ phơng trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x

f x g x
=


=

nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
Đặc biệt đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với
trục Ox hệ phơng trình sau có nghiệm.
3. Điểm cố định của họ đờng cong.
Điểm cố định là điểm có toạ độ (x
0
; y
0
)
nghiệm đúng phơng trình: y
0
= f(x
0
, m). Vì
vậy: muốn tìm điểm cố định mà họ đờng
cong (C
m
) đi qua ta làm theo hai bớc tuỳ
theo dạng hàm số nh sau:
+ Đa phơng trình về dạng:
*
2
0
0 0

0
A
Am Bm C m B
C
=


+ + = =


=

*
0
0
0
A
Am B m
B
=

+ =

=

+ Giải hệ điều kiện trên ta tìm đợc điểm cố
định.
4. Tiếp tuyến cố định
* PP:
Dạng 1: Họ đờng cong đi qua điểm

cố định: Ta tìm điểm cố định M(x
0
; y
0
), rồi
chứng minh f(x
0
) = hằng số với m.
Dạng 2: Họ đờng cong không đi qua
điểm cố định: áp dụng điều kiện tiếp xúc
của đồ thị hai hàm số, ta có hệ phơng trình
sau có nghiệm với mọi m:
( )
'( )
f x ax b
f x a
= +


=

.
5. Tơng giao
Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y
= f(x) và y = g(x) là nghiệm của phơng
trình: f(x) = g(x).
Chú ý bài toán tìm số giao điểm của đồ thị
hàm số với trục hoành.
* Đồ thị hàm số y = ax
3

+ bx
2

+ cx + d cắt
trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng
hàm số có 2 cực trị và điểm uốn nằm
trên trục hoành
' 0
0
uốn
có hai nghiệm phân biệty
y
=


=

.
* Đồ thị hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt trục
hoành tại 4 điểm lập thành cấp số cộng
phơng trình:
at
2
+ bt

+ c = 0 có 2 nghiệm dơng t

1
< t
2
thoả mãn t
2
= 9t
1
.
Các bài tập luyện tập:
a) Các bài tập về phơng trình tiếp tuyến:
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
- 2x
2
+ 2x có đồ
thị là (C).
1) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông
góc với đờng thẳng y = -x +1.
2) Chứng minh rằng trên (C) không có 2
điểm mà tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này
vuông góc với nhau.
HD: 1) ĐS: y = x, y = x + 2/27.
2) CM: y > 0 với x.
Bài 2. Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị
hàm số y = x
3
- 3x
2
. CMR đây là tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất trong các hệ số góc

của tiếp tuyến của đồ thị.
HD: ĐS: y = -3x + 1.
CMR y - 3 với x.
Bài 3. Cho hàm số y = x
3
- 3x + 1. Viết
PTTT với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(1; 6).

21
CC CHUYấN ễN THI I HC
ĐS: y = 9x - 15.
Bài 4. Cho hàm số y =
1
2
x
x
+

. CMR tiếp
tuyến tại một điểm bất kì của đồ thị luôn cắt
hai đờng tiệm cận và tam giác tạo thành có
diện tích không đổi.
HD: + Giao với TCĐ tại
0
0
4
(2; )
2
x

A
x
+

, giao
với TCN tại
0
(2 2;1)B x
.
Bài 5. Cho hàm số y = f(x) =
( )
( )
u x
v x
.
1) CMR hệ số góc của tiếp tuyến tại giao
điểm x = x
0
của đồ thị với trục hoành là k =
0
0
'( )
( )
u x
v x
.
2) Tìm m để đồ thị hàm số y =
2
2
2

x x m
x
+ +
+
cắt trục hoành tại 2 điểm mà các tiếp tuyến
của đồ thị tại 2 điểm này vuông góc với
nhau.
ĐS: m = 2/5.
b) Các bài toán về tiếp tuyến cố định:
Bài 6. CMR đồ thị hàm số
2
2 (1 ) 1x m x m
y
x m
+ + +
=

luôn tiếp xúc với một
đờng thẳng cố định tại một điểm cố định.
HD: Điểm cố định (-1; -2). y(-1) = 1.
Bài 7. CMR với m0 thì đồ thị hàm số
( 1)m x m
y
x m
+ +
=
+
luôn tiếp xúc với một đờng
thẳng cố định.
HD: điểm cố định (0; 1), y(0) = 1.

Bài 8. Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2
( 2) ( 2 4)m x m m
y
x m
+
=

luôn tiếp xúc với
hai đờng thẳng cố định.
HD: G/s tiếp tuyến cố định là y = kx + b.
Ycbt hệ:
2
4
1
4
( )
m kx b
x m
k
x m

= +





=

có nghiệm
với
m
.
ĐS: y = x + 3, y = x - 5.
c) Các bài toán về tiếp xúc:
Bài 9. Tìm m để hàm số y = x
3
- 3mx + m +
1 tiếp xúc với trục hoành.
ĐS: m = 1.
Bài 10. Cho (C): y= (x
2
- 1)
2
và (P): y = ax
2
-
3. Tìm a để (C) và (P) tiếp xúc nhau. Viết
PT các tiếp tuyến chung của (C) và (P).
HD: a = 2, tiếp điểm là x =
2
.
Bài 11. Tìm m để (P): y = x
2
+ m tiếp xúc
với đồ thị hàm số:
2

1
1
x x
y
x
+
=

.
ĐS: k = -1.
d) Các bài toán về tơng giao:
Bài 12. Tìm m đề đồ thị hàm số y = x
3
-
3mx
2
+ 4m
3
cắt trục hoành tại 3 điểm lập
thành một CSC.
HD: m = 0, m =
1
2

.
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
- 2(m
+ 1)x
2

+ 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm
lập thành một CSC.
ĐS: m = 4, m = -4/9.
Bài 14: Cho hàm số
)1(
1
)2(
2
+
++
=
x
mxmx
y
Tìm m để đờng thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm
số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đờng
thẳng y=x.
HD: Ycbt trung điểm đoạn thẳng thuộc
đờng thẳng y = x.
Bài 15: Cho hàm số
)1(
1
1

+
=
x
x
y
1) Tìm m để đờng thẳng D: y= 2x + m cắt

(C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho
tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với
nhau.
2) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao
cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2
đờng tiệm cận là ngắn nhất.
Bài 16: Cho hàm số
)1(
1
12


=
x
x
y
Gọi I là giao điểm 2 đờng tiệm cận của (C )
Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến
tại M vuông góc với dờng thẳng IM.
Bài 17: Cho hàm số
)1(
1
2

++
=
x
mxmx
y
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành

tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng.
Bài 18: Cho hàm số
)1(1
24
+= mmxxy
Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành
tại 4 điểm phân biệt
Bài 19: Cho hàm số
)1(
1
22
2

+
=
x
xx
y
Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối
xứng nhau qua đờng thẳng x - y - 4 = 0.
Bài 20: Cho hàm số
)1(4
24
mxxy +=

22
CC CHUYấN ễN THI I HC
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt. Hãy xác định m sao cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có

diện tích phần phía trên và phần phía dới
đối với trục hoành bằng nhau.
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
, là nghiệm
S
trên
= S
duói
<=>
3
4
3
0
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx=

Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét
m=20/9
Bài 21: Cho hàm số
)1(

2
92
2

+
=
x
xx
y
Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ
thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận I(5;10) là
trung điểm.
Bài 22. Cho hàm số
2
2 1
(1)
1
x x
y
x
+ +
=
+
CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C )
dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ thuộc
vào vị trí của M.

Các bài tập tự luyện:
Bài 1 (39.I): Cho y = x
3

+ 3x
2
+ 3x + 5.
1. CMR: Trên đồ thị không tồn tại hai điểm
mà hai tiếp tuyến tại đó vuông góc với
nhau.
2. Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm
mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng
thẳng y = kx.
Bài 2: Tìm các điểm M đồ thị hàm số y =
2
2
2
x x
x
+

sao cho tiếp tuyến tại M cắt các
trục toạ độ tại A và B tạo thành tam giác
vuông cân OAB.
Bài 3 : Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất của y = x
3
+ 3x
2
- 9x + 5.
Bài 4 : Viết tiếp tuyến với y = -x
3
+ 3x
2

biết
tiếp tuyến vuông góc với y =
1
9
x.
Bài 5: Viết pttt qua M(
2
3
; 1) với y = -x
3
+3x
-1.
Bài 6:Viết pttt đi qua M(1 ; 0) với y =
2
1
1
x x
x
+ +
+
.
Bài 7: CMR trên đồ thị của y =
3 2
1
x
x
+

không có tiếp tuyến nào đi qua giao hai
tiệm cận.

Bài 8: Qua A(-2; 5) có mấy tiếp tuyến với y
= x
3
- 9x
2
+ 17x + 2.
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x
2
+ mx + m) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 10. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
+
=

. Xác định
a để hàm số tiếp xúc với Parabol y = x
2
+ a.
Bài 11. Cho hàm số
2
2 1
1
x x
y
x

+
=

có đồ thị
là (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) sao cho các tiếp tuyến ấy vuông góc
với tiệm cận xiên. Chứng minh rằng tiếp
điểm là trung điểm của đoạn thẳng tiếp
tuyến bị chắn bởi hai đờng tiệm cận.
Bài 12. Cho hàm số
2
2x mx m
y
x m
+
=
+
có đồ
thị là C
m
. Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục Ox
tại hai điểm và tiếp tuyến tại hai điểm đó
vuông góc với nhau.
Bài 13. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2 có đồ

thị (C). Qua A(1; 0) kẻ đợc mấy tiếp tuyến
tới (C). Viết các phơng trình tiếp tuyến ấy.
Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào
của đồ thị song song với tiếp tuyến qua A(1;
0).
Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
+
mx
2
+ 1 tiếp xúc với đờng thẳng d có phơng
trình y = 5.
Bài 15. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ
thị hàm số y = x
4
- 2x
2
tại 4 điểm phân biệt.
Bài 16. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y =
1
1
x
x
+

cắt đờng thẳng d: y = mx + 1 tại 2
điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị.
Bài 17. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ
thị (C) của hàm số y =
2

3 3
2( 1)
x x
x
+

tại hai
điểm A, B sao cho AB = 1.
Bài 18. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ
thị (C) của hàm số y =
2
1
x mx m
x


tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho OA OB.
Bài 19. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
+
mx
2
- m cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành
cấp số cộng.
Bài 20. Tìm m đề đồ thị hàm số y =
4
2
1
2 2

x
mx m+
cắt trục hoành tại 4 điểm
lập thành một cấp số cộng.

23
CC CHUYấN ễN THI I HC
Bài 9. Tính đơn điệu và cực trị
Một số kiến thức cần nắm vững:
1. Tính đơn điệu của hàm số:
Hàm số y = f(x) ĐB/(a; b) f(x) 0 x
(a; b).
Hàm số y = f(x) NB/(a; b) f(x) 0 x
(a; b).
Chú ý:
Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax
2
+ bx + c (a
0).
+ f(x) 0 x
0
0
a <




; f(x) 0 x
0
0

a >




f(x) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
+ x
1
< x
2

0
( ) 0
2
af
S




>

>

+ x
1
< x
2

0
( ) 0
2
af
S




>





<

2. Cực trị của hàm số.
Cần nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị.
* Cho hàm số y = f(x).
+ Hàm số đạt cực đại tại x = x
0

0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


<

.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0

0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


>

.
* Đối với hàm số y = ax
3
+ bx

2
+ cx + d.
+ Hàm số có cực trị y = 0 có 2 nghiệm
phân biệt. Khi đó hàm số có một CT và một
CĐ.
+ Khi chia y cho y ta đợc: y = y.g(x) +
r(x).
Nếu x
0
là điểm cực trị thì y
CT
= r(x
0
) y =
r(x) chính là đờng thẳng đi qua 2 điểm cực
trị.
* Đối với hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c:
+ Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm
trên trục tung.
+ Vì y = 2x(2ax
2
+ b) nên hàm số có 3 cực
trị phơng trình 2ax
2
+ b = 0 có 2 nghiệm
phân biệt khác 0.

+ Do tính chất đối xứng nên nếu hàm số có
3 cực trị thì luôn có 2 cực trị đối xứng nhau
qua trục Oy.
* Đối với hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
:
+ Hàm số có cực trị y = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
'
'
b
a

. Khi đó hàm số có một CT
và một CĐ.
+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu
' 0
0
có 2 nghiệm phân biệt
vô nghiệm
y
y
=

=

+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu
' 0
0
có 2 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt
y
y
=


=

+ Nếu hàm số đạt cực trị tại x
0
thì y(x
0
) =
0
2
'
ax b
a
+
.
+ Đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
2

' '
a b
y x
a a
= +
.
Một số ví dụ :
* Các ví dụ về tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ mx + 1.
1) Tìm m để hàm số ĐB trên R.
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1.
HD:
1) ĐK y 0 với x g(x) = 3x
2
- 6x +
m 0 với x 0 9 - 3m 0 m
3.
2) ĐK y 0 với x > 1. Xét 2 trờng
hợp:
+ TH1: 0 m 3 y 0 x y
0 với x > 1.
+ TH2: >0 thì y 0 với x > 1 g(x)
có 2 nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn: x
1
< x
2
1.
ĐS: m 3.
Cách 2: Dùng PP hàm số.
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y =
2 2
5 6
3
x x m
x
+ + +
+
ĐB trên khoảng (1; +).
HD: Hàm số xác định với x(1; +).

24
CC CHUYấN ễN THI I HC
2 2
2
6 9
'
( 3)
x x m
y
x
+ +
=

+
.
ĐK y 0 với x > 1 g(x) = x
2
+ 6x
+ 9 - m
2
0 với x > 1 m
2
x
2
+ 6x + 9
x > 1 m
2
mint(x) = x
2
+ 6x + 9 x >
1.


ĐS: -4 m 4.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
+
=

đồng biến trên khoảng (1;
+).
HD: Hàm số xác định với x > 1 2m 1
m 1/2.
2 2
2
4
'
( 2 )
x mx m
y
x m
+
=

.
ĐK y 0 với x > 1 g(x) = x
2
- 4mx
+ m
2
0 với x > 1. Xét 2 trờng hợp:
+ TH1: 0 m = 0.
+ TH2: >0 m < 2 -
3
.
* Các ví dụ về cực trị của hàm số:
Dạng 1. Tìm m để hàm số có cực trị:
Bài 1. Cho hàm số y = x

3
- 3x
2
+ 3(2m - 1)x
+ 1.
Tìm m để hàm số có CĐ và CT.
HD: y = 3x
2
- 6x + 3(2m - 1).
ĐK y = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y
> 0 m > -1.
Bài 2. Cho hàm số:
y =
3 2 2
1
( 2) (5 4) 1
3
x m x m x m+ + + +
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và x
1
< -1 <x
2
.
HD: ĐK 1.f(-1) < 0 m < -3.
Bài 3. Cho hàm số:
3 2 2 2
1
( 2) (3 1) 5
3

y x m m x m x= + + + + +
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
HD: ĐK
'( 2) 0
''( 2) 0
y
y
=


>

. ĐS: m = 3.
Bài 4. Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= + +
.
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng
cách giữa chúng là nhỏ nhất.
HD: y = x
2
-2mx - 1, y = 0 x
2
-2mx - 1
= 0 (1). Có = m
2
+ 1 > 0 m hàm số

luôn có CĐ và CT.
Chia y cho y ta đợc:
2
1 2 2
'. ( ) ( 1) ( 1)
3 3 3
y y x m m x m= + + +
.
Gọi 2 điểm cực trị là: A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) với
x
1
, x
2
là nghiệm của (1) thì:
y
1
=
2
1
2 2
( 1) ( 1)
3 3

m x m + + +
;
y
2
=
2
2
2 2
( 1) ( 1)
3 3
m x m + + +
;
AB
2
= (x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
= (4m
2
+ 4)[1+
2 2

4
( 1)
9
m +
]
4 52
4(1 )
9 9
+ =
.
AB
2 13
3
; AB min m = 0.
Dạng 2. Biểu thức đối xứng của cực trị:
Bài 5. Tìm m để hàm số y =
2
3
4
x x m
x
+ +

có
CĐ, CT và
4
CD CT
y y =
.
HD: y =

2
2
8 12
( 4)
x x m
x
+

HS có CĐ và CT y = 0 có 2 nghiệm
phân biệt khác 4
4 0
4.
16 32 12 0
m
m
m
= >

<

+

Gọi (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2

) là các điểm cực trị thì:
y
1
= -2x
1
+3, y
2
= -2x
2
+ 3.
2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 4 ( ) 4 4y y x x x x x x
= = + =
m = 3.
Bài 6. Tìm m để hàm số y =
2
2 3 2
2
x x m
x
+ +
+

có CĐ, CT và
12
CD CT
y y <
.
ĐS: m

9
0;
2

ữ

.
Bài 7. Tìm m để hàm số :
y =
2 2
( 1) 4 2
1
x m m m
x
+ +

có CĐ, CT và y
CĐ
.y
CT
là nhỏ nhất.
ĐS: y
CĐ
.y
CT
nhỏ nhất = -4/5 khi m = 7/5.
Bài 8. CMR hàm số y =
2
1
x mx m

x
+

luôn có
CĐ, CT và khoảng cách giữa chúng không
đổi.
Dạng 3. Vị trí của CĐ và CT trong mặt
phẳng Oxy.
Bài 9. Cho hàm số
2 2
3 4 1
1
mx mx m m
y
x
+ + +
=

. Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai
phía của trục Ox.

25