Luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành lý thuyết hàm

lời nói đầu
Cho K là một tập compact trong C
n
, ta gọi bao lồi đa thức

K của K là tập có
dạng:

K = {z; z C
n
, |p(z)| sup
K
|p| cho mọi đa thức chỉnh hình p}.
Cũng vậy ta định nghĩa bao lồi hữu tỷ r(K) của K là tập có dạng: r(K) =
{z C
n
sao cho với mỗi đa thức p mà p(z) = 0 thì {p = 0} K = }.
Vấn đề đặt ra là chúng ta cần mô tả cấu trúc của

K\K và r(K)\K.
Hai tác giả Julien Duval và Nessim Sibony đã mô tả

K\K và r(K)\K bởi
những dòng dơng đóng song chiều (1,1) T trên C
n
\K với giá bị chặn và
dd
c
T 0 trên C
n
\K. Trong luận văn này dòng dơng đóng vai trò trung tâm

trong việc nghiên cứu tính lồi đa thức và lồi hữu tỷ .
Đầu tiên chúng ta xây dựng những siêu mặt phức không giao với một tập
compact cho trớc trong phần bù của giá của một dòng dơng đóng dd
c
(
là hàm đa điều hoà dới). Sau đó chúng ta cũng nhận đợc một kết quả tơng
tự trong không gian Hausdorff metric của giá của một dòng dơng đóng song
bậc (1,1) bởi những siêu mặt giải tích. Cụ thể cho T = dd
c
là một dòng
dơng song chiều (n-1,n-1) trong C
n
với là một hàm đa điều hoà dới.
Chúng tôi chứng minh đợc rằng C
n
\suppT có thể đợc vét cạn bởi những
tập compact lồi hữu tỷ. Hơn nữa hàm nói trên là giới hạn của một dãy hàm
1
N
k
log|f
k
| trong L
1
loc
(B) ở đây B là hình cầu đơn vị trong C
n
, f
k
là những

hàm chỉnh hình và N
k
là những số nguyên dơng.
Phần tiếp theo chúng tôi xét tính lồi đa thức. Với K là một tập compact cho
ở trên, T là một dòng dơng song bậc (1,1) trên C
n
\K, với giá bị chặn. Nếu
dd
c
T 0 thì suppT

K. Ngợc lại cho x

K\K bất kỳ thì có một dòng
T 0 song bậc (1,1) giá compact sao cho dd
c
T = à
x
ở đây à là độ đo
xác suất trên K còn
x
là độ lớn Dirac tại x. Nh thông thờng chúng ta
đồng nhất những dòng song bậc (n,n) trên C
n
với những phân bố. Từ đó suy
1
ra rằng nếu

K = K thì

K\K là giá của một dòng dơng song bậc (1,1) T
với dd
c
T 0.
Cũng trong luận văn chúng tôi đề cập đến khái niệm cặp Runge yếu trong C
n
và một vài kết quả về cặp Runge yếu đợc đa ra trong [10]. Nh chúng ta
đã biết: Nếu hai tập D, D

là những tập mở giả lồi của C
n
sao cho D

D và
mỗi hàm chỉnh hình trên D

có thể xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi những
hàm chỉnh hình trên D thì (D

, D) đợc gọi là một cặp Runge. Vấn đề đặt ra
là liệu còn có khái niệm nào yếu hơn khái niệm trên nữa không với suy nghĩ
đó tác giả đã đa ra khái niệm cặp Runge yếu. Mỗi hàm chỉnh hình trên D

có thể đợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi những thơng p/q, ở đó p, q là
những hàm chỉnh hình trên D và q = 0 trên D, cặp (D

, D) thoả mãn tính chất
đó gọi là một cặp Runge yếu. Tác giả đã đa ra điều kiện để nhận biết một
cặp Runge yếu đó là Định lý 2.2.4 chơng 2 mà kết quả này đợc lập luận
tơng tự nh Định lý 4.3.3 trong [7]. Trong trờng hợp D

là tập compact
tơng đối trong D thì sử dụng Định lý 2.1.3 chơng 2 trong luận văn và cách
chứng minh tơng tự nh một kết quả của Julien Duval và Nessim Sibony:
Cho K là một tập compact trong C
n
. Với mỗi x r(K) có một dạng dơng
đóng (1,1) trơn, dơng chặt tại x và triệt tiêu trong một lân cận của r(K).
Ngợc lại giả sử x suppS, ở đây S là một dòng dơng đóng song bậc (1, 1)
sao cho suppS K = thì x r(K), ta có thể đặc trng hoá cặp Runge yếu
trong hệ những dòng dơng đóng trên D mà triệt tiêu trên một tập compact
bất kỳ của D

và dơng chặt gần D

. Kết quả này đợc chúng tôi trình bày
trong Định lý 2.2.5 chơng 2 của luận văn.
Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn
Quang Diệu. Nhân dịp này, Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến
ngời thầy của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy phản biện
2
đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi. Tôi cũng
xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô của Bộ môn Lý thuyết
hàm trờng Đại học S phạm Hà Nội đã dạy bảo trong suốt những năm tháng
tôi học tập tại trờng.
Hà nội ngày 30 tháng10 năm 2006.
Tác giả luận văn
Đỗ Viết Tuân
3
Mục lục

Chơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Khái niệm hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Một số tính chất của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Định nghĩa hàm đa điều hòa dới . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Một số tính chất của hàm đa điều hòa dới . . . . . . . . . . . 11
1.6. Một số khái niệm về miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7. Một số tính chất của miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8. Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9. Phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10. Dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chơng 2. Xấp xỉ dòng dơng đóng bởi siêu mặt phức 24
2.1. Xây dựng siêu mặt và xấp xỉ dòng . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Cặp Runge yếu trong C
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Chơng 3. Bao lồi đa thức và dòng dơng đóng 37
3.1. Bao lồi đa thức và dòng dơng đóng . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4
Chơng 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Khái niệm hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f xác định trên miền D C. Xét giới hạn
lim
z0
f(z + z) f(z)
z
; z, z + z D

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó đợc gọi là đạo hàm phức của f tại
z, kí hiệu là f

(z) hay
df
dz
(z).
Nh vậy
f

(z) = lim
z0
f(z + z) f(z)
z
Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định
trong miền D C. Hàm f đợc gọi là R
2
-khả vi tại z = x + iy nếu các hàm
u(x, y), v(x, y) khả vi thực tại (x, y).
Sau đây chúng tôi xin đa ra điều kiện cần và đủ để một hàm là C khả
vi đó là định lý Cauchy-Riemann
Định lý 1.1.3. (Điều kiện Cauchy-Riemann)
Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy D điều kiện cần và đủ là f R
2
- khả
vi tại z và điều kiện Cauchy-Riemann thoả mãn tại z
5

u
x
(x, y) =
v
y
(x, y)
u
y
(x, y) =
v
x
(x, y)
(1.1)
Nhận xét:
Giả sử f là hàm R
2
- khả vi tại z D C, xét vi phân
df =
f
x
dx +
f
y
dy
Vì dz = dx+idy và dz = dxidy suy ra dx =
1

2
(dz+dz), dy =
1
2i
(dzdz).
Vậy ta có
df =
f
x
1
2
(dz + dz) +
f
y
1
2i
(dz dz) =
1
2
(
f
x
i
f
y
)dz +
1
2
(
f

x
+ i
f
y
)dz
Nếu đặt
f
z
=
1
2
(
f
x
i
f
y
);
f
z
=
1
2
(
f
x
+ i
f
y
)dz thì df =

f
z
dz +
f
z
dz
Bởi vì
f
z
=
1
2
(
f
x
+ i
f
y
)dz =
1
2
[(
u
x

v
y
) + i(
v
x

+
u
y
)]
nên f thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann nếu và chỉ nếu
f
z
(z) = 0.
Nói cách khác hàm R
2
- khả vi f tại z là C- khả vi tại đó nếu và chỉ nếu
f
z
(z) = 0.
Định nghĩa 1.1.4. Hàm f xác định trong miền D C với giá trị trong C gọi
là chỉnh hình tại z
0
nếu tồn tại r > 0 để f C- khả vi tại mọi z D(z
0
, r) D.
Nếu f chỉnh hình tại mọi z
0
D thì ta nói f chỉnh hình trên D.
6
1.2 Một số tính chất của hàm chỉnh hình
Định lý 1.2.1. Giả sử D C là một miền và A(D) là tập các hàm chỉnh hình
trên D. Khi đó
i, A(D) là một không gian véc tơ trên C
ii, A(D) là một vành
iii, Nếu f A(D) và f(z) = 0, z D thì 1/f A(D)

iv, Nếu f A(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Định lý 1.2.2. (Định lý Taylor)
Nếu hàm f(z) chỉnh hình trên hình tròn |z z
0
| < R thì trong hình tròn này
f(z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z
0
. Cụ thể là
f(z) =


n=0
C
n
(z z
0
)
n
, |z z
0
| < R
ở đây các hệ số C
n
đợc xác định một cách duy nhất theo công thức
C
n
=
f
n
(z

0
)
n!
=
1
2i

|z
0
|=r
f()
| z
0
|
n+1
d với 0 < r < R
Hệ quả 1.2.3. Hàm f(z) xác định trên miền D là chỉnh hình khi và chỉ khi với
mọi z
0
D hàm f có thể khai triển đợc thành chuỗi luỹ thừa theo z z
0
mà
nó hội tụ tới f(z) với bán kính hội tụ R d(z
0
, D)
Định lý 1.2.4. (Định lý duy nhất )
Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình trên miền D. Nếu f(z
n
) = g(z
n

) trên một
dãy các điểm khác nhau {z
n
} D mà nó hội tụ tới một điểm a D, thì f g
7
1.3 Hàm chỉnh hình nhiều biến
Định nghĩa 1.3.1. Hàm l : C
n
C gọi là R - tuyến tính (tơng ứng C- tuyến
tính) nếu
i, l(z

+ z) = l(z

) + l(z) z

, z C
n
ii, l(z) = l(z) z C
n
, R (tơng ứng C).
Hiển nhiên hàm l : C
n
C R- tuyến tính là C-tuyến tính nếu l(iz) =
il(z) z C
n
.
Trong trờng hợp l(z) = l(z) ta nói l là C- phản tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.2. Hàm f : C, là mở trong C
n

gọi là R- khả vi (tơng
ứng C- khả vi) tại z nếu
f(z + h) = f(z) + l(h) + 0(h)
ở đây l là R- tuyến tính (tơng ứng C- tuyến tính) và
0(h)
h
0 khi h 0
Nhận xét:
Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R- tuyến tính (tơng ứng C- tuyến tính)
tại z, ký hiệu là f

(z) hay df(z). Bằng cách viết
z
j
= x
j
+ iy
j
, z
j
= x
j
iy
j
j = 1, . . . , n
ta có
dz
j
= dx
j

+ idy
j
, dz
j
= dx
j
idy
j
suy ra
dx
j
=
dz
j
+ dz
j
2
, dy
j
=
dz
j
dz
j
2i
8
Do
df =
n

j=1
(
f
x
j
dx
j
+
f
y
j
dy
j
)
=
n

j=1
(
f
x
j
dz
j
+ dz
j
2
+
f
y

j
dz
j
dz
j
2i
)
=
n

j=1
(
1
2
(
f
x
j
i
f
y
j
)dz
j
+
1
2
(
f
x

j
+ i
f
y
j
)dz
j
)
Nếu đặt
f
z
j
=
1
2
(
f
x
j
i
f
y
j
),
f
z
j
=
1
2

(
f
x
j
+ i
f
y
j
) j = 1, . . . , n
Ta có
df =
n

j=1
(
f
z
j
dz
j
+
f
z
j
dz
j
)
Ta kí hiệu
f
z

=
n

j=1
f
z
j
dz
j
,
f
z
=
n

j=1
f
z
j
dz
j
thì
df =
f
z
+
f
z
Định lý 1.3.3. Hàm R - khả vi tại z C
n

là C - khả vi khi và chỉ khi
f
z
j
= 0
f
z
j
= 0 j = 1, . . . , n
Định nghĩa 1.3.4.
i, Hàm gọi là chỉnh hình tại z C
n
nếu nó C- khả vi trong một lân cận của
z.
ii, f : C
m
với mở trong C
n
gọi là chỉnh hình tại z nếu f
j
chỉnh hình
tại z với mọi j = 1, . . . , n ở đây f = (f
1
, . . . , f
m
)
Định lý 1.3.5. Giả sử P = P (a, r) = {z C
n
: |z a
j

| < r
j
j =
9
1, . . . , n} là đa đĩa tâm a bán kính r = (r
1
, . . . , r
n
) và = {z C
n
:
|z a
j
| = r
j
j = 1 . . . , n}.
Giả sử f là hàm liên tục trên P và chỉnh hình trên P, khi đó
f(z) =


||=0
C

(z a)

với
C

= (
1

2i
)
n


f()
( a)
+1
d
ở đây d = d
1
. . . d
n
.
Định lý 1.3.6. Giả sử là mở trong C
n
(n > 1) và K là tập compact trong
với \K liên thông. Khi đó mọi hàm chỉnh hình f trên \K có thể mở
rộng duy nhất tới một hàm chỉnh hình

f trên .
1.4 Định nghĩa hàm đa điều hoà dới
Định nghĩa 1.4.1. Hàm u : [, ) đợc gọi là nửa liên tục trên nếu
lim
zz
0
supu(z) u(z
0
) với mọi z
0

D
Một cách tơng đơng tập u
1
([, a)) là mở với mọi < a < +.
Định nghĩa 1.4.2. Cho tập con mở của C và một ánh xạ u :
[, ), ánh xạ u đợc gọi là điều hòa dới nếu :
i, u là nửa liên tục trên
ii, Với mọi x , mọi r > 0 sao cho D(x, r) với 0 < r < d(x,) thì
u thỏa mãn bất đẳng thức sau :
10
u(x)
1
2
2

0
u(x + re
i
)d
Kí hiệu tập các hàm điều hòa dới trên là SH().
Định nghĩa 1.4.3. Cho là một tập con mở trong C
n
. Một hàm u :
[, ) đợc gọi là đa điều hoà dới nếu:
i, u là nửa liên tục trên và u trên bất cứ thành phần liên thông nào của
.
ii, Với mọi z và mọi w C
n
thì hàm u(z + w) là điều hoà dới
trong một lân cận của 0 trên mặt phẳng phức.

Kí hiệu tập các hàm đa điều hòa dới trên là PSH().
Định nghĩa 1.4.4. Cho là một tập mở trong C
n
. Đặt d
c
= i( ) và
d = + . Một hàm : [, ) là đa điều hòa dới nếu và chỉ nếu
L
1
loc
() và dd
c
0.
Định nghĩa 1.4.5. Một hàm đợc gọi là đa điều hòa trong nếu đa điều
hòa dới trong và điều hòa trên mỗi mặt phẳng phức cắt .
Kí hiệu tập các hàm đa điều hòa trong là PH( ).
1.5 Một số tính chất của hàm đa điều hoà dới
Mệnh đề 1.5.1. Cho là một tập mở trong C
n
và f là một hàm chỉnh hình
trên thì R ef, Imf, |f| và log|f| là đa điều hoà dới trên .
Định lý 1.5.2. Cho là một tập con mở trong C
n
và u : [, ).
hàm u đợc gọi là đa điều hòa dới nếu u là nửa liên tục trên, u trên
bất cứ thành phần liên thông nào của và với mọi x và b C
n
thì
11
u(x)

1
2
2

0
u(x + re
i
)d
với mọi r > 0 mà {x + tb : t C : |t| < 1} .
Định lý 1.5.3. Cho là một tập mở trong C
n
.
i, Nếu , là những hàm đa điều hòa dới trên thì max(, ) cũng đa điều
hòa dới trên
ii, Nếu dãy hàm {
n
} có
n
đa điều hòa dới trên và hội tụ tới thì
cũng đa điều hòa dới trên
iii, Nếu dãy hàm {
n
} đa điều hòa dới và bị chặn trên đều địa phơng trên
thì (sup
n

n
)

cũng đa điều hòa dới

iv, Nếu hàm đa điều hòa dới và bị chặn trên trên thì là hằng số.
Cho hàm C

(C
n
) sao cho chỉ phụ thuộc z và
supp = {(z) = 0} = B(0, 1) với B(0, 1) là hình cầu tâm tại 0 và bán kính
1 và

C
n
d(z) = 1 trong đó là độ đo Lơ be của C
n
.
Với > 0 đặt

=
n
(
z

) khi đó ta có định lý sau:
Định lý 1.5.4. (Tính trơn của hàm đa điều hòa dới)
Giả sử PSH() và

(z) = (

)(z) =

C

n
(z z

)

(z

)d(z

)
khi đó :
i,

C

(

) P SH(

) với

= {z , d(z, ) > }
ii,

là hàm tăng theo và

(z) hội tụ tới (z) khi 0.
Định lý 1.5.5. Cho u là hàm đa điều hoà dới trên là một tập con mở của
C
n

và v là hàm đa điều hoà dới trên V mở của sao cho lim sup
zx
v(z) u(x)
với x V thì hàm:
12
w =





max(u, v) trên V
u trên \V
(1.2)
cũng đa điều hoà dới trên
Định lý 1.5.6. Giả sử C
2
(). Dạng
L

(z, ) =
n

j,k=1

2

z
j
z

k
(z)
j

k
đợc gọi là dạng Levi của tại z.
Hàm C
2
() là đa điều hòa dới khi và chỉ khi
L

(z, ) 0 với z , C
n
Định nghĩa 1.5.7. Cho là một tập con mở trong C
n
một hàm đợc gọi là
đa điều hòa dới chặt trên nếu dạng Lêvi của :
L

(z, ) =
n

j,k=1

2

z
j
z
k

(z)
j

k
là dơng chặt với mọi z và với mọi C
n
.
Định nghĩa 1.5.8. Cho là một tập con mở trong C
n
và hàm đa điều hòa
dới chặt trên thì tồn tại một hàm dơng chặt f C

(; R) sao cho :
n

j,k=1

2

z
j
z
k
(z
0
)
j

k
f(z

0
)
n

j=1
|w
j
|
2
với mỗi z
0
và C
n
.
Định lý 1.5.9. Cho một hàm thực trơn thì những khẳng định sau tơng đơng:
i, là hàm đa điều hòa .
13
ii,

2

z
j
z
k
= 0 với mọi j, k = 1, . . . n.
iii, Có một hàm chỉnh hình f sao cho = Ref.
1.6 một số khái niệm về miền
Trong phần này chúng tôi xin trình bày một số khái niệm về các bao lồi
chỉnh hình, bao đa điều hoà duới, bao lồi đa thức, miền chỉnh hình, miền

Runge, miền giả lồi và một số kết quả về miền giả lồi, về giải bài toán
đã đợc trình bày rất chi tiết trong cuốn sách "An introduction to complex
analysis in several variables" của L.Hormander.
Định nghĩa 1.6.1. ( Bao lồi chỉnh hình)
Nếu K là tập con compact của thì bao lồi chỉnh hình

K
A

của K xác định
bởi

K
A

= {z; z , |f(z)| sup
K
|f| nếu f A()}
Định nghĩa 1.6.2. (Bao đa điều hoà dới)
Nếu K là tập con compact của mở C
n
ta định nghĩa bao đa điều hoà dới

K
P SH

của K bởi:

K
P SH

= {z; z , u(z) sup
K
u cho mọi u P SH()}
Định nghĩa 1.6.3. ( Bao lồi đa thức)
Cho K là tập con compact trong C
n
bao lồi đa thức

K
C
n
của K đợc xác định
bởi

K =

K
C
n
= {z; z C
n
, |p(z)| sup
K
|p| cho mọi đa thức chỉnh hình p}
Định nghĩa 1.6.4. (Miền chỉnh hình )
14
Một tập mở C
n
đợc gọi là miền chỉnh hình nếu không có những tập mở

1
và
2
trong C
n
có những tính chất sau:
i, =
1

2
.
ii,
2
là liên thông và không chứa trong .
iii, Với mỗi A() tồn tại hàm
2
A(
2
) sao cho =
2
trong
1
.
Định nghĩa 1.6.5. (Miền Runge)
Một miền chỉnh hình C
n
đợc gọi là miền Runge nếu mọi hàm f A()
có thể đợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bất kỳ trong bởi những đa thức
chỉnh hình .

Định nghĩa 1.6.6. (Miền giả lồi)
Cho mở trong C
n
, là một hàm liên tục trong C
n
sao cho > 0 trừ tại điểm
0 và
(tz) = |t|(z), t C, z C
n
Đặt
(z, ) = inf
w
(z w)
thì là miền giả lồi nếu hàm log(z, ) là đa điều hoà dới trong .
1.7 Một số tính chất của miền giả lồi
Trong phần này chúng tôi đa ra một số kết quả đợc trình bày trong [7]
không chứng minh, đợc sử dụng trong luận văn này.
Định lý 1.7.1. Nếu là một tập mở trong C
n
thì những điều kiện sau là tơng
đơng:
i, log(z, ) là đa điều hoà dới trong .
ii, Tồn tại một hàm u đa điều hoà dới trong sao cho
15

c
= {z; z , u(z) < c} với c R.
iii,

K

P SH

nếu K .
Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 2.6.7 trang 46 trong [7].
Định lý 1.7.2. Cho K là một tập con compact của tập mở giả lồi C
n
thì

K
A

=

K
P SH

.
Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 4.3.4 trang 91 trong [7].
Định lý 1.7.3. Cho là một tập mở giả lồi trong C
n
, cho K một tập con
cmpact của và V là một lân cận của

K
P SH

, thì tồn tại một hàm u C

()
sao cho :

i, u là đa điều hoà dới chặt .
ii, u < 0 trong K và u > 0 trong V .
iii, {z : u(z) < c} với c R.
Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 2.6.11 trang 48 trong [7].
Định lý 1.7.4. Cho p là hàm đa điều hoà dới chặt lớp C

trong sao cho
K
c
= {z; z , p(z) c} với mọi c R.
thì với mỗi hàm chỉnh hình trong lân cận của K
0
có thể đợc xấp xỉ đều trong
chuẩn L
2
trên K
0
bởi những hàm trong A().
Chứng minh: Xem chứng minh Bổ đề 4.3.1 trang 89 trong [7].
Định lý 1.7.5. Cho là một miền mở giả lồi trong C
n
và PSH(). Cho
g L
2
p,q+1
(, ) với g = 0 thì có một nghiệm u L
2
p,q
(, loc) của phơng
trình u = g sao cho

16


|u|
2
e

(1 + |z|
2
)
2
d


|g|
2
e

d
Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 4.4.2 trang 94 trong [7] .
Bổ đề 1.7.6. Cho K là một tập compact lồi đa thức và U là một lân cận của
K , thì có thể tìm thấy những đa thức P
1
,. . . , P
m
sao cho
K {z, |P
j
(z)| 1, j = 1, . . . , m} = L U
L đợc gọi là đa diện lồi đa thức .

Chứng minh: Xem chứng minh Bổ đề 2.7.4 trang 53 trong [7].
Định lý 1.7.7. Cho là một miền mở trong C
n
và phơng trình u = f có
một nghiệm u C

(p,q)
() cho mọi f C

(p,q+1)
() với f = 0 (p, q 0) thì
H
r
(, C) {Những dạng f chỉnh hình của bậc r với f = 0 }/ {g với g
chỉnh hình bậc r 1} .
Vì vậy H
r
(, C) = 0 khi r > n.
Đặc biệt nếu là một miền Runge trong C
n
thì Vì vậy H
r
(, C) = 0 khi
r n.
( ở đây H
r
(, C) là nhóm đối đồng điều thứ r của với hệ số phức).
Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 2.7.10 và 2.7.11 trang 58 trong [7]
Bổ đề 1.7.8. Nếu là một hàm điều hoà dới liên tục trong X R
n

và
j
là
một dãy những hàm điều hoà dới ,
j
sao cho
j
(x) (x) khi j
với mọi x trong một tập E trù mật của X thì
j
trong L
1
loc
(X).
Chứng minh:
Bởi Bổ đề 4.1.9 trong [8] thì dãy
j
là tiền compact trong L
1
loc
và gọi giới hạn
của nó là hàm điều hoà dới , dễ thấy và cũng theo 4.1.8 trong [8]
17
ta có (x) (x) khi x E vì vậy
(x)

|yx|<r
(y)dy /

|y|<r

dy (r > 0) nếu x E
Vì cả 2 vế là hàm liên tục theo x nên nó cũng đúng với những x còn lại . Khi
r 0 ta kết luận rằng . Vì vậy suy ra = .
Bổ đề 1.7.9. Nếu u L
2
(B
r
) B
r
= {z C
n
, |z| < r} và u L

(B
r
) thì u
là liên tục trong B
r
và
|u(0)| c(sup
B
r
r|u| + r
n
||u||
L
2
(B
r
)

)
Chứng minh: Xem chứng minh Bổ đề 15.1.8 trang 277 trong [8].
Định lý 1.7.10. (Định lý Hahn-Banach về tách các tập lồi)
Giả sử E là không gian véc tơ tôpô, A và B là hai tập lồi rời nhau với A là
mở. Khi đó tồn tại dạng tuyến tính liên tục f trên E sao cho f(A) và f(B) rời
nhau. Dạng tuyến tính liên tục f nh vậy gọi là tách A và B.
Chứng minh: Xem chứng minh Định lý 3.1.4 trang 65 trong [1]
1.8 Độ đo
Cho là một tập mở trong C
n
. Kí hiệu C
0
(, C) là tập tất cả những hàm
liên tục trên và có giá compact trong .
Định nghĩa 1.8.1. Độ đo Borel là một độ đo dơng trên - đại số Borel của
một không gian vectơ tôpô.
Định nghĩa 1.8.2. Độ đo xác suất à trên là một độ đo Borel chính quy dơng
và à(K) = 1 với mỗi K compact trong
18
Định nghĩa 1.8.3. Một độ đo Radon trên là một hàm C- tuyến tính liên tục
trên C
0
(, C)
Nhận xét 1.8.4. Mỗi độ đo Radon à có tơng ứng duy nhất độ đo Borel à
trên sao cho
à() =


dà ( C
0

(, C))
Định nghĩa 1.8.5. là một đại số con đóng của C
0
(, C), một độ đo Baire
dơng à trên đợc nói là một độ đo Jensen cho x nếu

dà = 1 và nếu
log|f(x)|

log|f(y)|dà(y) với mọi f
Về độ đo Jensen chúng ta có thể xem trong [3].
1.9 Phân bố
Cho mở trong C
n
. Trên một không gian vectơ tôpô C
k
0
() k =
1, 2, . . . , . Ta giới thiệu một tôpô nh sau:
Một dãy
j
nếu:
i, Tồn tại K sao cho supp
j
K với mọij.
ii, Cho bộ đa chỉ số N
n
với || < k ta có D

j
D

đều .
Định nghĩa 1.9.1. Nếu D()= C

0
() với tôpô giới thiệu ở trên thì một dạng
tuyến tính liên tục trên D() gọi là phân bố trên .
(+) Kí hiệu tập các phân bố trên là D

().
(+) u D

() đợc gọi là phân bố bậc k nếu nó có thể mở rộng một cách
liên tục tới C
k
0
().
Định lý 1.9.2. u là một dạng tuyến tính trên D() thì u là phân bố nếu với
19
mỗi K , có số k và một hằng số c > 0 sao cho:
u() c

||k
||D

||
K
với D(K)

u là phân bố bậc k nếu bất đẳng thức này đúng với k cho mọi tập K.
Định lý 1.9.3. (Định lý biểu diễn Riesz)
Giả sử X là một không gian Metric có một vét cạn compact. Nếu một phiếm
hàm tuyến tính dơng trên C
0
(X) thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon à trên
X sao cho
() =

X
dà ( C
0
(X))
chú ý: X có một vét cạn compact nghĩa là tồn tại một dãy compact (K
n
)
n1
sao cho K
n
int(K
n+1
) với mọi n và
n
K
n
= X.
Nhận xét 1.9.4. Nếu u là một phân bố bậc 0 khi đó với mọi K , c > 0
ta có
|u()| csup|| với mọi D(), supp K.
Từ đó suy ra u là một dạng tuyến tính liên tục trên D( ).

Theo định lý biểu diễn Riesz, mọi phân bố bậc không có thể đợc đồng nhất
với những độ đo phức chính quy cho bởi công thức sau:
u() =


dà, với C
0
()
Mệnh đề 1.9.5. Nếu u là một phân bố trên thoả mãn u() 0, D(),
0. Khi đó u có thể đồng nhất với một độ đo dơng.
20
1.10 Dòng
(+) Cho mở trong C
n
. Họ những dạng phức mà phần tử của nó có dạng :
=


|J|=p,|K|=q

JK
(
i
2
)
p
dz
J
dz
K

với
JK
C
ở đây

lấy theo cặp đa chỉ số tăng với dz
J
= dz
j
1
. . . dz
j
p
và dz
K
=
dz
k
1
. . . dz
k
q
kí hiệu là:
(p,q)
(C
n
, C).
(+) Họ tất cả những dạng vi phân song bậc (p,q) mà hệ số của chúng thuộc
C

0
() đợc kí hiệu là D
p,q
().
D
p,q
() = C

0
(,
(p,q)
(C
n
, C)).
(+) Họ tất cả những dạng vi phân song bậc (p,q) mà hệ số của chúng thuộc
C
0
(, C) đợc kí hiệu là D
p,q
0
().
D
p,q
0
() = C
0
(,
(p,q)
(C
n

, C).
(+) Với tôpô đợc trang bị trong phần phân bố thì khi p = q = 0 ta có
D
p,q
0
() = C
0
(, C) và D
p,q
() = C

0
() = D().
(+) D
p,q
() đợc gọi là không gian các hàm thử, trên đó ta trang bị một tôpô
nh sau:
lấy dãy {
j
}
j0
D
p,q
() và

j
=

I,J

j
JK
dz
I
dz
J
thì
j
khi và chỉ khi nó thoả mãn 2 điều kiện sau:
i, Có một tập compact K sao cho supp
j
IJ
K cho mọi j, I, J.
ii, D

(
j
IJ
) D

(
IJ
) đều khi j cho I, J và (Z
+
)
2n
. Với tôpô
đó ta định nghĩa dòng nh sau:
21
Định nghĩa 1.10.1.

i, Những phần tử của không gian đối ngẫu (D
np,nq
())' đợc gọi là những
dòng song bậc (p,q).
ii, Những phần tử của không gian đối ngẫu (D
np,nq
0
())' đợc gọi là những
dòng của bậc 0 song bậc (p,q).
Nhận xét:
i, Những dòng song bậc (n,n) là những phân bố trên .
ii, Những dòng song bậc (0,0) của bậc 0 là những độ đo Radon trên .
iii, Mỗi phần tử T (D
np,nq
())

có thể đợc viết dới dạng:
T =


|I|=p,|J|=q
T
I,J
dz
I
dz
J
với T
I,J
là những phân bố trên , ở đây T

I,J
() =
I,J
T (dz
K
dz
L
) với
C

0
(, C), |K| = n p, |L| = n q và
I,J
đợc chọn sao cho:

I,J
dz
J
dz
J
dz
K
dz
L
= d (d là dạng thể tích đợc cho bởi d =
i
2
dz
1
dz

1
. . .
i
2
dz
n
dz
n
).
Định nghĩa 1.10.2. Cho T (D
np,nq
())

, khi đó giá của T đợc kí hiệu
là suppT là tập đóng bé nhất M sao cho T() 0 trên \ M với mọi
D
np,nq
().
Định nghĩa 1.10.3. Dòng song bậc (p,p) là một dòng dơng nếu với tất cả

1
, . . . ,
np
D
1,0
() thì dòng T i
1

1
, . . . , i

np

np
là một
phân bố dơng.
Định nghĩa 1.10.4. Dòng T (D
np,nq
())

đợc gọi là đóng nếu dT = 0.
Mệnh đề 1.10.5. Mọi dòng dơng song bậc (p,p) trên C
n
đều có hệ số
độ đo.
22
Mệnh đề 1.10.6. Nếu u P SH() thì dd
c
u là một dòng dơng song bậc
(1,1) với hệ số độ đo.
Chứng minh:
Chỉ cần chỉ ra rằng dd
c
u 0 là đủ.
Nếu u C
2
() thì do u PSH() nên dạng Lêvi của u là L
u
0 suy ra
dd
c

u 0
Trờng hợp tổng quát ta sẽ chỉ ra rằng dd
c
(u

) dd
c
u khi 0, thật
vậy với C

0
() thì :


2
(u

)
z
j
z
k
d =

(u

)

2

z
j
z
k
d

(u)

2

z
j
z
k
d =

2
u
z
j
z
k
()
khi 0.
23
Chơng 2
xấp xỉ dòng dơng đóng bởi siêu mặt phức
2.1 Xây dựng siêu mặt và xấp xỉ dòng
Bổ đề 2.1.1. Cho hàm là một hàm liên tục, đa điều hoà dới trên một miền
giả lồi C

n
, cho h là một hàm chỉnh hình trong một tập mở V giả sử
K = {z V : |h(z)| e
(z)
} là tập compact thì mỗi x \K, có một hàm
chỉnh hình f trong sao cho f(x) = 0 và {f = 0} K = .
Chứng minh:
Xét hai trờng hợp
1, là miền bị chặn
Lấy hàm C

0
(), supp V sao cho x supp và = 1 trong lân cận
của K.
Đặt u = h
N
, ở đây N là một số nguyên sẽ đợc chọn sau. Ta có
u = h
N
+ h
N
= h
N
trong một lân cận của K (h
N
= 0 là do h
N
chỉnh hình trong lân cận của K).
Đặt = 2 N+2kl og|z x|+|z|
2

thì là hàm đa điều hoà dới. Xét phơng
trình:
24
u = v (2.1)
Do (u) =
2
u = 0 nên áp dụng Định lý 1.7.5 chơng 1 thì phơng trình
(2.1) có một nghiệm v thoả mãn:


|v|
2
e

(1 + |z|
2
)
2
d


|u|
2
e

d
Do bị chặn nên tồn tại C độc lập với N sao cho


|v|

2
e
2N|z|
2
|z x|
2k
d C


||
2
|h
2N
|z x|
2k
e
2N|z|
2
d



|v|
2
e
2N|z|
2
|z x|
2k
d C

supp
||
2
|h
2N
|z x|
2k
e
2N|z|
2
d (2.2)
Vì x supp nên x không phải là điểm kỳ dị của tích phân ở vế phải của
(2.2) vậy tích phân đó hội tụ và vì thế tích phân ở vế trái của (2.2) cũng hội
tụ, từ đó suy ra v(x) = 0. Đặt f = u v thì f chỉnh hình và f(x) = 0.
Ta còn chỉ ra rằng có thể chọn đợc N sao cho nghiệm v của (2.1) thoả mãn
|v(x)|
1
2
e
N(y)
với y K. Lúc đó
|f(y)| = |u(y) v(y)| = |h
N
(y) v(y)| = |h
N
(y) v(y)|
|h
N
(y)| |v(y)| e

N(y)

1
2
e
N(y)
=
1
2
e
N(y)
{f = 0} K = .
Cố định a < 1 sao cho |h| e

a trên supp, chọn > 0 sao cho e

a < 1.
25