CHUYÊN ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ



THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
Mặt phẳng tọa độ
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Các định nghĩa
* Hệ trục toạ độ
Oxy
gồm hai trục tọa độ
Ox
,
Oy
vuông góc với
nhau. Véc-tơ đơn vị trên
Ox
là
i

, véc-tơ đơn vị trên
Oy
là
j

.
* Tọa độ của véc-tơ:


a x;y




a x
i yj


  
.
* Tọa độ của điểm:


M x;y





OM x;y

.
O
y
x
j
i

2. Tính chất
* Tính chất của tọa độ véc-tơ: Cho



a x;y

và


b x';y'

, ta có
+)
a b

 



x x'
y y'





; +)


a b x x';y y'
   
 
;

+)


ka kx;ky


; +) a b
. xx' yy'
 
 
;
+)
2 2
a x y
 

; +)
 
2 2 2 2
a b xx' yy'
cos a,b
a b
x y x' y'
 
 

  
 
 
 

(
a

,
b 0

 
);
+)
a b

 



xx' yy' 0
 
; +)
a b
 




x kx'
k
y ky'










xy' x'y

.
Đặc biệt: khi cả
y
và
y'
đều khác
0
, ta có
a b
 




y
x
x y
 

.
* Tính chất của tọa độ điểm: Giả sử



A A A
A x ;y ;z
,


B B B
B x ;y ;z
,


C C C
C x ;y ;z
, ta có
+)


B A B A
AB x x ;y y
  

,
   
2 2
B A B A
AB x x y y    ;
+)


M M

M x ;y là trung điểm của
AB



x x
A B
M
2
y y
A B
M
2
x
y









;
+)


G G
G x ;y

là trọng tâm tam giác
ABC



x x x
A B C
G
3
y y y
A B C
G
3
x
y
 
 







.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ



THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG

DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai véc-tơ


a 1;2

,


b 2; 4


.
1) Tìm tọa độ của các véc-tơ
a b

 
,
a b

 
,
4a 3b

 
.
2) Tính độ dài của hai véc-tơ
a


,
b

, tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ
a

,
b

. Góc
giữa hai véc-tơ
a

,
b

là góc nhọn hay góc tù.
Giải
1) Áp dụng công thức tính tọa độ của véc-tơ ta có


a b 3; 2
  
 
,


a b 1;6
  
 

.
Áp dụng công thức tính tọa độ của tích một số với một véc-tơ ta có


4a 4;8


,


3b 6; 12
 

,
suy ra


4a 3b 2;20
  
 
.
2) Áp dụng công thức tính tính độ dài của véc-tơ ta có
a 5


,
b 2 5


.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng và cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta có
a b 6
  
 
,
 
a b 6 3
cos a,b
5
5 2 5
a b
 
   


 
 
 
.


cos a,b 0

 
nên


a,b
 
là góc tù.

Ví dụ 2. Cho tam giác
ABC
có


A 1;2
,


B 3;7
,


C 2; 6

. Xác định tọa độ trung điểm các
cạnh và trọng tâm của tam giác nói trên.
Giải
Gọi
M
,
N
,
P
lần lượt là trung điểm các cạnh
AB
,
BC
,
CA

. Sử dụng công thức xác định
trung điểm của đoạn thẳng ta có


9
2
M 2;
,


5
1
2 2
N ;
và


3
2
P ; 2

. Gọi
G
là trọng tâm của tam
giác, theo công thức xác định tọa độ trọng tâm của tam giác thì


G 2;1
.
Ví dụ 3. Cho các điểm



A 1;4
,


B 2; 3

,


C 1;18
 ,


D 4;5
 . Chứng minh ba điểm
A
,
B
,
C
thẳng hàng và ba điểm
A
,
B
,
D
không thẳng hàng.
Giải

Ta có


AB 1; 7


,


AC 2;14


. Ta thấy
AC 2AB
 
 
, suy ra hai véc-tơ
AC

và
AB

cùng
phương, tức là
A
,
B
,
C
thẳng hàng.

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ



THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
Ta có


AD 5;1


. Vì
1 7
5 1



nên
AB

và
AD

không cùng phương, suy ra
A
,
B
,
D

không
thẳng hàng.
Ví dụ 4. Cho hai véc-tơ


a m;3


,


b 2;2m 1
 

(
m
là tham số). Tìm
m
để hai véc-tơ đã
cho cùng phương.
Giải
Hai véc-tơ đã cho cùng phương khi và chỉ khi
3
m
2 2m 1

 

, hay
2

2m m 6 0
  
. Giải phương
trình này ta được
m 2
 
hoặc
3
2
m

.
Ví dụ 5. Cho hai điểm


A 1;2
 và


B 3;7
. Tìm giao điểm của đường thẳng
AB
với các trục
tọa độ.
Giải
Ta có


AB 4;5


.
C
thuộc trục hoành thì tọa độ
C
có dạng


C c;0
, suy ra


AC c 1; 2
 

. Từ
điều kiện
A
,
B
,
C
thẳng hàng ta có
c 1
2
4 5



hay
13

5
c
 
. Vậy


13
5
C ;0
 .
Tương tự,
D
thuộc trục tung nên tọa độ
D
có dạng


D 0;d
, suy ra


AD 1;d 2


. Từ điều kiện
A
,
B
,
C

thẳng hàng ta có
d 2
1
4 5


hay
13
4
d

. Vậy


13
4
D 0;
.
Ví dụ 6. Cho


A 1;2
,


B 5;6
,


C 3; 1


.
1) Chứng minh
A
,
B
,
C
không thẳng hàng.
2) Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
ABCD
là hình bình hành.
Giải
1) Ta có


AB 4;4

,


AC 2; 3


. Vì
4 4
2 3



nên
A
,
B
,
C
không thẳng hàng.
2) Vì
A
,
B
,
C
không thẳng hàng nên tồn tại điểm
D
sao cho
ABCD
là hình bình hành.
Giả sử


D a;b
, suy ra


DC 3 a; 1 b
  

.

ABCD
là hình bình hành khi và chỉ khi
AB DC

 
.
C
A
B
D

Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, ta
có
4 3 a
4 1 b
 


  

. Giải hệ ta được
a 1
 
và
b 5
 
. Vậy


D 1;5

 .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ



THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4
Ví dụ 7. Cho tam giác
ABC
. Biết


M 1;2
 ,


N 3; 2
 
,


P 5;0
lần lượt là toạ độ trung điểm
các cạnh
AB
,
BC
,
CA
của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác.

Giải
Ta thấy
AM PN

 
. Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai
véc-tơ, ta có
A
A
1 x 8
2 y 2
   


  

. Suy ra


A 7;4
.
Vì
B
đối xứng với
A
qua
M
nên
B M A
B M A

x 2x x 9
y 2y y 0
   


  

,
suy ra


B 9;0
 .
M
P
N
A
B
C

Vì
C
đối xứng với
B
qua
N
nên
C N B
C N B
x 2x x 3

y 2y y 4
  


   

, suy ra


C 3; 4

. Vậy


A 7;4
,


B 9;0
 ,


C 3; 4

.
Ví dụ 8. Cho tam giác
ABC
. Biết



A 1;2
 ,


B 3;4
và
C
thuộc trục hoành. Tìm tọa độ điểm
C
sao cho trọng tâm
G
của tam giác thuộc đường thẳng đi qua
B
và gốc tọa độ
O
.
Giải
Điểm
C
thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng


C c;0
. Theo công thức xác định tọa độ trọng
tâm thì
x x x
A B C c 2
G
3 3
y y y

A B C
G
3
x
y 3
 

 

 



 

, hay


c 2
3
G ;3

. Ta có


c 2
3
OG ;3



,


OB 3;4

.
G
thuộc
đường thẳng qua
B
và gốc tọa độ khi và chỉ khi
OG

và
OB

cùng phương, có nghĩa là
c 2
3 3
3 4


. Giải phương trình này ta được
35
4
c

. Vậy



35
4
C ;0
.
Ví dụ 9. Cho


A 1;2
và


B 3;7
 . Tìm tọa độ điểm
C
thuộc trục tung sao cho tam giác
ABC

cân tại
C
.
Giải
Tam giác
ABC
cân tại
C
khi và chỉ khi
AC BC

và
A

,
B
,
C
không thẳng hàng. Điểm
C

thuộc trục tung nên tọa độ
C
có dạng


C 0;c
. Ta có
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ



THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5


AC 1;c 2
 




2 2
AC c 4c 5

  
,


BC 3;c 7





2 2
BC c 14c 58
  
.
Phương trình
AC BC

tương đương với
2 2
c 4c 5 c 14c 58
    
. Phương trình này có
nghiệm duy nhất
53
10
c

. Khi đó



AB 4;5


,
33
AC 1;
10
 

 
 

. Vì
4 5
33
1
10



nên
A
,
B
,
C
không
thẳng hàng. Vậy
53
C 0;

10
 
 
 
.
Ví dụ 10. Cho


A 3;2
 ,


B 1;3
 . Tìm điểm
C
thuộc trục hoành sao cho

ACB 45


.
Giải
Điểm
C
thuộc trục hoành nên tọa độ
C
có dạng


C c;0

.
Ta có


CA 3 c;2
 

,


CB 1 c;3
 

. Sử dụng công thức tính cô-sin của góc giữa hai véc-tơ ta
có

 




   
2
2 2 2 2
2 2
3 c 1 c 2.3
c 4c 9
cosACB cos CA,CB
c 6c 13. c 2c 10
3 c 2 . 1 c 3

    
 
  
   
     

.
Do đó điều kiện

ACB 45


tương đương đương với

1
cosACB
2
 , hay

2
2 2
c 4c 9 1
2
c 6c 13. c 2c 10
 

   
.
Ta thấy
2

c 4c 9 0
  
với mọi
c
nên bình phương hai vế phương trình trên ta được phương
trình tương đương



  
2
2
2 2
c 4c 9
1
2
c 6c 13 c 2c 10
 

   
.
Phương trình nói trên tương đương với

  


2
c 1 c 2 c 5c 16 0
    



c 1
c 2
 


 

(
2
c 5c 16 0
  

c

).
Vậy


C 1;0
 hoặc


C 2;0
 .

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6
Ví dụ 11. Cho


A 1;2
,


B 4;5
,


C 2; 7
 
.
1) Chứng minh
A
,
B
,
C
là ba đỉnh một tam giác.
2) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp
I
của tam giác
ABC
.
Giải

1) Ta có


AB 3;3

,


BC 6; 12
 

. Vì
3 3
6 12

 
nên
A
,
B
,
C
không thẳng hàng. Do đó
A
,
B
,
C
là ba đỉnh một tam giác
2) Giả sử



I a;b
. Ta có


IA 1 a;2 b
 




   
2 2
2 2 2
IA 1 a 2 b a b 2a 4b 5
        
,


IB 4 a;5 b
 




   
2 2
2 2 2
IB 4 a 5 b a b 8a 10b 41

        
,


IC 2 a; 7 b
   




   
2 2
2 2 2
IC 2 a 7 b a b 4a 14b 53
          
.
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
khi và chỉ khi
IA IB
IB IC





. Điều này tương đương
với hệ
2 2 2 2

2 2 2 2
a b 8a 10b 41
a b 8a 10b 41 a
a b
b 4a 14
2a 5
b 53
4b    
    

  
  
 





.
Giản ước hai vế từng phương trình của hệ ta được hệ tương đương
a b 6
a 2b 1
 


  



a 13

b 7



 


Vậy


I 13; 7

.
Ví dụ 12. Cho tam giác
ABC
với


A 2;3
,


B 2;0
 ,


C 6;3
. Tìm tọa độ
D
là chân đường

phân giác trong góc
A
.
Giải
Ta có


AB 4; 3
 




AB 16 9 5
  
,


AB 4;0




AC 16 0 4
  
.
D
là chân đường phân giác trong góc
A
nên

DB DC

 
và
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ



THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7

DB DC
AB AC
 , hay
4DB 5DC

.
Suy ra
4DB 5DC 0
 
  
. Sử dụng điều kiện bằng nhau của hai véc-tơ, điều kiện này tương đương
với






4 2 a; b 5 6 a;3 b 0;0

       , hay
9a 22 0
9b 15 0
  


  

. Giải hệ ta được
22
9
a

,
5
3
b

.
Vậy


5
22
9 3
D ;
.
Ví dụ 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
 
2 2

f x x 2x 5 x 2x 10
     
.
Giải
Ta có
     
2 2
2 2
f x 1 x 2 1 x 3
      . Đặt


u 1 x;2
 

,


u 1 x;3
 

. Áp dụng bất
đẳng thức
u v u u
  
   
(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
u v

 

), ta có
 
2 2
f x 2 5 29
   .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
u v

 
, hay
1 x 2
0
1 x 3

 

. Phương trình có nghiệm duy nhất
1
5
x

.Vậy giá trị nhỏ nhất của


f x
là
29
(đạt đươc khi
1
5

x

).




BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ



THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8
C. Bài tập
Bài 1. Cho


a 1;2

,


b 2;3


,


c 3;7



. Hãy biểu diễn
c

qua
a

,
b

.
Bài 2. Cho


A 1;1
 ,


B 1;2
,


C 4;0
. Tìm toạ độ điểm
M
sao cho:
1)
AM 2BC 3AC
 
  

.
2)
AM 2BM 3CM 0
  
  

.
3)
ABCM
là hình bình hành. Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo.
Bài 3. Cho


A 3;4
 ,


B 4;0
 . Tìm tọa độ điểm
C
sao cho gốc toạ độ


O 0;0
là trọng tâm
ABC

.
Bài 4. [ĐHD04] Cho tam giác
ABC

có các đỉnh


A 1;0
 ,


B 4;0
,


C 0;m
với
m 0

. tìm
toạ độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
theo
m
. Xác định
m
để tam giác
GAB
vuông tại
G
.
Đáp số:



m
3
G 1;
,
m 3 6
  .
Bài 5. Cho


A 1; 1

,


B 2;4
. Tìm giao điểm của đường thẳng
AB
với các trục toạ độ.
Bài 6. Cho


A 2;5
 ,


B 2;4
. Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực
d

của
AB
với
các trục toạ độ.
Đáp số: Giao điểm là


9
2
I 0;

.
Bài 7. Cho


A 1; 2

,


B 3;4
. Tìm tọa độ điểm
C Ox

sao cho
1) Tam giác
ABC
vuông tại
A
.

2) Tam giác
ABC
cân tại
A
.
Đáp số: 1)


C 5;0
 . 2)


C 7;0
hoặc


C 5;0
 .
Bài 8. Cho


A 3;6
 ,


B 1; 2

,



C 6;3
. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC

.
Đáp số: Tâm đường tròn ngoại tiếp là


5
1
4 2
I ;
.
Bài 9. Cho
ABC

với


A 2;4
,


B 2;1
,


C 6;1
.
1) Tính độ dài đường phân giác trong góc

A
.
2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp
ABC

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ



THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9
Bài 10. Cho


A 3;4
 ,


B 4;0
 . Tìm toạ độ điểm
C
sao cho trọng tâm
ABC

nằm trên trục
tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng
1
.
Bài 11. Cho

ABC

. Biết


A 1;2
,


M 0;1
là trung điểm của
AB
,


N 3; 1

là trung điểm
của
AC
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 12. Cho
ABC

. Biết


A 1;2
,



M 0;1
là trung điểm của
AB
,


P 3;1
là trung điểm của
BC
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 13. Cho
ABC

. Biết


A 3; 4
 
và các trung tuyến đi qua
B
,
C
lần lượt là
Ox
,
Oy
. Hãy
xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Đáp số:



B 3;0
,


C 0;4
.
Bài 14. Cho
ABC

. Biết


A 1;3
và các trung trực ứng với các cạnh
AB
,
AC
lần lượt là
Ox
,
Oy
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 15. Cho
ABC

. Biết



A 2;5
và các trung trực ứng với các cạnh
AB
,
BC
lần lượt là
Ox
,
Oy
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 16. Cho


A 1;2
,


B 3;4
. Tìm trên trục hoành điểm
M
sao cho
1)
MA MB

nhỏ nhất.
2)
MA MB
 lớn nhất.
Bài 17. Cho



A 2;4
. Tìm
B Ox

,
C Oy

sao cho chu vi
ABC

đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị
nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu?
Bài 18. Chứng minh với mọi
x
,
y
,
z
,
t
ta có:
   
2 2
2 2 2 2
x y z t x z y t
       .
Hãy chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào.