Bài giảng Dao động kỹ thuật Bài 6: Dao động tự do không cản nhiều bậc tự do

Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus
MỞ ĐẦU
Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu dao động tự do không cản của hệ
dao động nhiều bậc tự do. Dao động tự do không cản là mô hình dao động đơn
giản. Việc nghiên cứu trong bài này là cơ sở để nghiên cứu các mô hình phức tạp
hơn, cụ thể là khi có cản ma sát và khi có kích động.
Bài này sẽ trình bài một số định nghĩa, khái nhiêm cơ bản của dao động
tuyến tính nhiều bậc tự do: như phương trình tần số, vector riêng, ma trận dạng
riêng. Bài học cũng nghiên cứu và chứng minh tính trực giao của các véc tơ riêng,
đưa ra các tọa độ chính để tìm nghiệm hệ phương trình vi phân dao động.
I. CÁC TẦN SỐ RIÊNG VÀ CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG
PTVP dao động của hệ tự do không cản n bậc tự do có dạng:
0Mq Cq+ =
&&
(6.1)
M, C là các ma trận vuông cấp n có các phần tử là các hằng số. Trong nhiều bài
toán M và C có dạng đối xứng
1. Nghiệm của hệ PTVP
Nghiệm của dao động tự do không cản có dạng dao động điều hòa. Vậy hệ
phương trình (6.1) có nghiệm dưới dạng

sin( )q a t
ω α
= +
(6.2)
Thế biểu thức (6.2) vào (6.1) rồi đơn giản biểu thức
sin( )t
ω α
+
ta được:

2
( ) 0C M a
ω
− =
(6.3)
Để thu được biểu thức (6.3) ta phải hiểu nghiệm của phương trình có dạng:
1
; 1,
T
j
n
q
q q j n
q
 
 
 
= = =
 
 
 
 
M
;
T
j
q
 
 
- Dạng ma trận chuyển vị.

Ở đó:
1 1 1 1
sin( )q a t
ω α
= +
;
sin( )
j j j j
q a t
ω α
= +
Suy ra
2
; 1,
T
j j
q q j n
ω
 
= − =
 
&&
; , 1,
ij
M m i j n
 
= =
 
; , 1,
ij

C c i j n
 
= =
 
Lúc này phương trình (6.1) có dạng:
2
0
T
T
ij j j ij j
m q c q
ω
 
    
− + =
    
 
2
0
T
ij j ij j
c m q
ω
 
 
⇔ − =
 
 
(6.3a)
Để phương trình có nghiệm không tầm thường, thì điều kiện cần là định thức

Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do
1
Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus

2
0C M
ω
− =
(6.4)
- PT (6.4) là một phương trình đại số bậc n đối với
2
ω
và được gọi là phương
trình tần số hoặc phương trình đặc trưng.
- Các nghiệm
k
ω
(k=1,…n) của phương trình tần số được gọi là các tần
số riêng.
Thay lần lượt các giá trị của
k
ω
(k=1,…n) vào phương trình (6.3) ta nhận được các
hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất với các biến a
k
. Giải hệ phương trình
này ta xác định được a
k
:

2
( ) 0
k k
C M a
ω
− =
(6.5)
Các véc tơ a
k
này được gọi là các véc tơ riêng.
2. Các dạng dao động riêng
Phương trình (6.5) là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất có định thức hệ
số bằng 0 nên các thành phần của véc tơ a
k
được xác định sai khác 1 hằng số nhân.
Tức là một vector a
k
có dạng
[ ]
T
k ik
a a=
thì mọi tọa độ của vector này có thể có
nhiều giá trị khác nhau, nhưng phải đảm bảo tỷ lệ giữa các tọa độ là một hằng số.
Chọn a
1k
một cách tùy ý và đưa vào kí hiệu:
1
ik
ik

k
a
v
a
=
hoặc
( )
( )
( )
1
k
k
i
i
k
a
v
a
=
; i,k=1,2,…n. (6.6)
Thay lần lượt các
n
ωωω
, ,,
21
vào phương trình (6.5) ta xác định được ma trận:
11 12 1
21 22 2
1 2

n
n
nn
n n
v v v
v v v
V
v v v
 
 
 
 
 
 
 
=
(6.7)
Mỗi cột của ma trận (6.7):
( ) ( ) ( )
1 2
1 2

T
T
k k k
n
k k k nk

v v v v v v v
 
 
 
 
= =
Cho ta biết một dạng dao động riêng của hệ dao động (6.1)
Ma trận V được gọi là ma trận dạng riêng. Vì vậy ma trận dạng riêng cho ta biết tất
cả các dạng dao động riêng có thể có của hệ dao động.
II. TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC VECTO RIÊNG
Xét phương trình dao động tự do không cản của hệ n bậc tự do:

0Mq Cq+ =
&&
(6.8)
Nếu các ma trận khối lượng M và ma trận độ cứng C là các ma trận thực đối xứng
thì các véc tơ riêng v
k
tương ứng với các tần số riêng
k
ω
sẽ trực giao với ma trận
khối lượng M và ma trận độ cứng C. Ta có:
0; 0
T T
j i j i
v Mv v Cv= =
khi
i j
ω ω

≠
(6.9)
Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do
2
Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus
Chứng minh:
Từ (6.5)
2
i i i
Mv Cv
ω
⇒ =
(6.10)

2
j j j
Mv Cv
ω
=
(6.11)
2 T T
i j i j i
v Mv v Cv
ω
⇒ =
(6.12)

2 T T
j i j i j
v Mv v Cv

ω
=
(6.13)
Do tính chất đối xứng của các ma trận M và C ta có:
T T
j i i j
v Mv v Mv=
;
T T
j i i j
v Cv v Cv=
(6.14)
2 2 2
( ) 0
i j j i
v Mv
ω ω
⇒ − =
(6.15)
Vậy:
2
0
j i
v Mv =
khi
i j
ω ω
≠
Khi đó
0

T
j i
v Cv =
khi
i j
ω ω
≠
.
Chú ý: Nếu
2 2
i j
ω ω
=
, từ (6.15)
⇒
không thể suy ra tính chất trực giao của các véc
tơ riêng tương ứng.
III. CÁC TỌA ĐỘ CHÍNH. CÁC TỌA ĐỘ CHUẨN
Như trên đã trình bày, PTVP dao động tự do không cản của hệ n bậc tự do có
dạng:
0Mq Cq+ =
&&
(6.16)
Nếu ta có thể chọn được các tọa độ suy rộng đặc biệt sao cho với các tọa độ đó, các
ma trận khối lượng và các ma trận độ cứng đều có dạng đường chéo thì các tọa độ
suy rộng đó được gọi là các tọa độ chính. Kí hiệu:
1 2
, , ,
n
p p p

.
Thực hiện phép đổi biến: q=Vp (6.17)
Trong đó V là ma trận dạng riêng. Thế (6.17) vào (6.16) ta có:
0
0
T T
MVp CVp
V MVp V CVp
+ =
⇒ + =
&&
&&
(2.18)
Do tính chất (6.9)
⇒
các ma trận
MVV
T
và
CVV
T
là các ma trận đường chéo.
1
2
0 0
0 0

0
T
n

V MV
µ
µ
µ
 
 
 
=
 
 
 
;
1
2
0 0
0 0

0
T
n
V CV
γ
γ
γ
 
 
 
=
 
 

 
(6.19)
Vậy phương trình (6.18) có dạng:
0; 1,2, ,
i i i i
p p i n
µ γ
+ = =
&&
(6.20)
Trong đó:
;
T T
i i i i i i
v Mv v Cv
µ γ
= =
(6.21)
Kí hiệu:
2
i
i
i
γ
ω
µ
= ⇒
các phương trình (6.20) xác định các dạng dao động chính có
dạng:
2

0; 1,2, ,
i i i
p p i n
ω
+ = =
&&
(6.22)
Các phần tử của vecto v
i
của ma trận riêng V được xác định sai khác 1 hằng số
nhân. Nên ta có thể chọn các vecto v
i
một cách thích hợp sao cho.
Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do
3
Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T
V MV E
 
 
 
= =
 
 
 
K
K

M M O M
K
(6.23)
Ma trận dạng riêng được chọn như thế được gọi là ma trận dạng riêng chuẩn. Ta ký
hiệu ma trận dạng riêng chuẩn bằng V
n
Ta có:
2
1
2
2
2
0 0
0 0
;
0 0
T T
n n n n
n
V MV E V CV D
ω
ω
ω
ω
 
 
 
= = =
 
 

 
K
K
M M O M
K
(6.24)
Phép thế q = V
n
p đưa phương trình
0Mq Cq+ =
&&
về dạng
0Eq D q
ω
+ =
&&
(6.25)
Các tọa độ chính
[ ]
1 2
, , ,
T
n
p p p p=
trong phép thế q = V
n
p được gọi là các tọa độ
chuẩn. Như vậy các tọa độ chuẩn là các tọa độ chính đặc biệt.
Quan hệ ma trận dạng riêng V và V
n

[ ]
1 2
, , ,
n
V v v v=

1 2
1 2
1 1 1
, , ,
n n
n
V v v v
α α α
 
=
 
 
(6.26)
T
i i i i
v Mv
α µ
= ± = ±
(6.27)
IV. BÀI TẬP
Tính toán các tần số riêng và dao động riêng của mô hình dao động 3 bậc tự do như
hình 6.1. Bỏ qua các loại cản
Giải
Biểu thức động năng và thế năng

2 2 2
1 2 3
1 1 1
2 2 4
T mx mx mx= + +
& & &

Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do
4
x
1
x
2
x
3
c 2c c 2c
m/2mm
Hình 6.1
Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus
2 2 2 2
1 2 1 3 2 3
1 1
( ) ( )
2 2
cx c x x c x x cx∏ = + − + − +

Thế T và
∏
vào phương trình Lagrange II ta nhận được hệ phương trình vi phân
dao động:

1 1
2 2
3 3
0 0 3 2 0 0
0 0 2 3 0
0 0 / 2 0 3 0
m x c c x
m x c c c x
m x c c x
−
        
        
+ − − =
        
        
−
     
   
&&
&&
&&

Phương trình đặc trưng có dạng
2
2
2
3 2 0
2 3 0
1
0 3

2
c m c
c c m c
c c m
ω
ω
ω
− −
− − − =
− −
hay
3 2 0
2 3 1 0
0 1 3
2
λ
λ
λ
− −
− − − =
− −
Với
2
m
c
λ ω
=
phương trình đặc trưng có dạng
3 2
12 39 24 0

λ λ λ
− + − + =

Giải phương trình trên ta được
1 1
2 2
1 3
0,7985 0,8936 /
4,4549 2,1107 /
6,7466 2,5974 /
c m
c m
c m
λ ω
λ ω
λ ω
= → =
= → =
= → =

Phương trình xác định các vecto riêng có dạng
1
2
3
3 2 0 0
2 3 1 0
0 1 3 / 2 0
a
a
a

λ
λ
λ
− −
    
    
− − − =
    
    
− −
    
Từ phương trình thứ nhất
1 2 1 2
2
(3 ) 2 0
3
i i i i i
i
a a a a
λ
λ
− − = → =
−

Từ phương trình thứ ba
1 2 1 2
2
(6 ) 2 0
6
i i i i i

i
a a a a
λ
λ
− − = → =
−
Cho a
2i
= 1 ( i = 1,2,3) thế các giá trị
i
λ
vào biểu thức trên ta nhận được ma trận
riêng dạng:
Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do
5
Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus
0,9085 1,3747 0,5338
1 1 1
0,3845 1,2944 2,6789
V
− −
 
 
=
 
 
−
 

KẾT LUẬN

Kết hợp với kết quả thiết lập ptvp trong bài học trước, ở bài học này học viên
nghiên cứu trường hợp hệ dao động nhiều bậc tự do không cản. Cụ thể là đi xác
định nghiệm của hệ ptvp chuyển động. Qua bài học học viên cần năm chắc các khái
niệm như các vector riêng, mà ứng với nó là các dạng dao động riêng. Từ đó tìm ra
các tọa độ chính, và tọa độ chuẩn thể hiện qui luật dao động của các dạng dao động
riêng của cơ hệ.
HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU
Để thuận tiện cho việc tự học tập và nghiên cứu tại đơn vị, củng cố và nắm
chắc kiến thức bài học, học viên cần thực hiện các nội dung sau:
- Nắm chắc kiến thức trọng tâm của bài mục I.2 và III
- Nghiên cứu và tự giải lại bài toán mẫu ở mục IV.
- Nghiên cứu thí dụ 3.6[129], 3.7 [132] SGT, thí dụ 2.6,2.10 [60] SBT
- Làm các bài tập 2.2.2, 2.2.3, 2.2.6 SBT
Ngày tháng năm 2015
NGƯỜI BIÊN SOẠN

Kalyrus
Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do
6