Một số kiểu dữ liệu trừu tượng ứng dụng trong hình học tính toán

Một số kiểu dữ liệu trừu tượng ứng dụng trong
hình học tính toán

Nguyễn Thị Hoa

Trường Đại học Công nghệ
Luận văn Thạc sĩ ngành: Hệ thống thông tin; Mã số: 60 48 05
Người hướng dẫn: TS. Lê Minh Hoàng
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Trình bày các vấn đề cơ bản của hình học tính toán, các đối tượng của hình
học và một số kỹ thuật thuật toán giải quyết các bài toán như tìm cặp đoạn thẳng bất
kỳ cắt nhau, tìm bao lồi, tìm cặp điểm gần nhất. Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về những
cấu trúc dữ liệu để giải quyết các bài toán trong hình học tính toán. Tìm kiếm phạm vi
trực giao với phạm vi truy vấn là hình chữ nhật song song với trục tọa độ sử dụng cấu
trúc dữ liệu như Range trees và Kd-trees. Cấu trúc dữ liệu hình học như Interval trees,
Segment trees và Priority search trees trong đó Interval trees, Segment trees dựa trên
tiếp cận stabbing và Priority search trees giải quyết các truy vấn không bị giới hạn bên
trái, nghĩa là phạm vi truy vấn có dạng. Biến thể của các cấu trúc dữ liệu hình học như
Partition trees, Multi-level partition trees, Cutting trees với phạm vi truy vấn là nửa
mặt phẳng hay hình tam giác. Tiến hành cài đặt thực nghiệm các kiểu dữ liệu trừu
tượng như Kd-trees, Range trees, Interval trees và Segment trees.

Keywords: Cấu trúc dữ liệu; Hình học tính toán; Công nghệ thông tin; Hệ thống
thông tin

Content
Hình học tính toán xuất hiện từ lĩnh vực phân tích và thiết kế thuật toán trong cuối
những năm 1970 và lớn mạnh trở thành một môn học với tạp chí riêng, hội nghị riêng và có
một cộng đồng lớn các nhà nghiên cứu hoạt động. Hình học tính toán là một chuyên ngành
khoa học máy tính nghiên cứu các thuật toán giải quyết các bài toán hình học. Hình học tính

toán có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như đồ họa máy tính, hệ thống thông tin địa
lí, người máy, thống kê và những lĩnh vực khác mà trong đó các thuật toán hình học đóng vai
trò cơ bản. Vấn đề hình học tính toán với đầu vào là mô tả kiểu của tập hợp các đối tượng
hình học, ví dụ như tập hợp các điểm, tập hợp các đoạn thẳng, hoặc tập hợp các đỉnh của một
đa giác theo thứ tự ngược chiều kim đồng. Đầu ra là đáp ứng với truy vấn về các đối tượng
như các đường thẳng cắt nhau, hoặc có thể là một đối tượng hình học mới, ví dụ như bao lồi
của tập hợp các điểm.
Các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng và đa giác là cơ sở của một loạt các
ứng dụng quan trọng và làm tăng tính thú vị của tập hợp các vấn đề về thuật toán. Ngày nay,
máy tính được sử dụng ngày càng nhiều hơn để giải quyết các bài toán hình học với quy mô

2
lớn hơn. Lời giải tốt cho các bài toán thuật toán có tính chất hình học chủ yếu dựa trên hai
thành phần. Một là sự hiểu biết thấu đáo các tính chất hình học của bài toán, hai là ứng dụng
các kỹ thuật thuật toán và cấu trúc dữ liệu thích hợp.
Trong luận văn sẽ trình bày một số kiểu dữ liệu trừu tượng và cấu trúc dữ liệu trong
hình học tính toán. Những ứng dụng của các cấu trúc dữ liệu này không chỉ giới hạn trong các
đối tượng hình học mà còn cho phép thiết kế những thuật toán hiệu quả, có thể xử lí các loại
dữ liệu khác nhau của nhiều bài toán khác nhau.
Luận văn được tổ chức thành 3 chương như sau:
Chương 1 – Trình bày tổng quan về hình học tính toán như các đối tượng của hình
học, một số bài toán hình học và thuật toán.
Chương 2 – Mô tả kiểu dữ liệu trừu tượng trong hình học tính toán như mô hình quản
lí đối tượng một chiều, hai chiều và nhiều chiều.
Chương 3 – Cài đặt các cấu trúc dữ liệu, kết quả cài đặt thử nghiệm, đánh giá hiệu
suất của thuật toán và chương trình.

References
1. I. Ahmed and M. A. Islam, “Algorithms in Computational Geometry”, Department of
Computer Science and Engineering (BUET), Dhaka.

2. J. L. Bentley (1975), “Multidimensional binary search trees used for associative
searching”, Commun. ACM, 18, pp. 509-517.
3. J. L. Bentley (1977), “Solutions to Klee’s rectangle problems”, Technical report,
Carnegie-Mellon Univ., Pittsburgh, PA.
4. J. L. Bentley (1979), “Decomposable searching problems”, Inform. Process. Lett., 8, pp.
244-251.
5. M. de Berg, O. Cheong, M. van Kreveld, M. Overmars (2000), Computational
Geometry: algorithms and applications, Springer.
6. B. Chazelle (1986), “Filtering search: A new approach to query-answering”, SIAM
J.Comput., 15, pp. 703-724.
7. B. Chazelle (1989), “Lower bounds on the complexity of polytope range searching”, J.
Amer. Math. Soc., 2, pp. 637-666.
8. B. Chazelle (1993), “Cutting hyperplanes for divide-and-conquer”, Discrete Comput.
Geom., 9, pp. 145-158.
9. B. Chazelle, H. Edelsbrunner, L. Guibas, and M. Sharir (1994), “Algorithms for
bichromatic line segment problems and polyhedral terrains”, Algorithmica, 11, pp. 116-
132.
10. B. Chazelle, M. Sharir, and E. Welzl (1992), “Quasi-optimal upper bounds for simplex

3
range searching and new zone theorems”, Algorithmica, 8, pp. 407-429.
11. B. Chazelle and E. Welzl (1989), “Quasi-optimal range searching in spaces of finite VC-
dimension”, Discrete Comput. Geom., 4, pp. 467-489.
12. J. Chen (1996), Computational Geometry: Methods and applications, Computer
Science Department, Texas A&M University.
13. T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest and C. Stein (2001), Introduction to
Algorithms, Second Edition, MIT Press, Cambridge.
14. H. Edelsbrunner (1980), “Dynamic data structures for orthogonal intersection queries”,
Report F59, Inst. Informationsverarb., Tech. Univ. Graz, Graz, Austria.
15. H. Edelsbrunner and H. A. Maurer (1981), “On the intersection of orthogonal objects”,

Inform. Process. Lett., 13, pp. 177-181.
16. H. Edelsbrunner and E. Welzl (1986), “Halfplanar range search in linear space and
query time”, Inform. Process. Lett., 23, pp. 289-293.
17. R. L. Graham (1972), “An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite
planar set”, Inform. Process. Lett., 1, pp.132-133.
18. D. Haussler and E. Welzl (1987), “Epsilon-nets and simplex range queries”, Discrete
Comput. Geom., 2, pp. 127-151.
19. R. A. Jarvis (1973), “On the identification of the convex hull of a finite set of points in
the plane”, Inform. Process. Lett., 2, pp. 18-21.
20. D. T. Lee and C. K. Wong (1980), “Quintary trees: A file structure for multidimensional
database systems”, ACM Trans. Database Syst., 5, pp. 339-353.
21. G. S. Lueker (1978), “A data structure for orthogonal range queries”, In Proc. 19th
Annu. IEEE Sympos. Found. Comput. Sci., pp. 28-34.
22. J. Matousek (1992), “Efficient partition trees”, Discrete Comput. Geom., 8, pp. 315-334.
23. J. Matousek (1992), “Reporting points in halfspaces”, Comput. Geom. Theory Appl., 2,
pp. 169-186.
24. E. M. McCreight (1980), “Efficient algorithms for enumerating intersecting intervals
and rectangles”, Report CSL-80-9, Xerox Palo Alto Res. Center, Palo Alto, CA.
25. E. M. McCreight (1985), “Priority search trees”, SIAM J. Comput., 14, pp. 257-276.
26. D. M. Mount (2002), Computational Geometry, Department of Computer Science,
University of Maryland.
27. F. P. Preparata and M. I. Shamos (1985), Computational Geometry: An Introduction,
Springer-Verlag.
28. M. I. Shamos and D. Hoey (1976), “Geometric intersection problems”, In Proceedings
of the 17th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, pp. 208-215.
29. V. K. Vaishnavi and D. Wood (1982), “Rectilinear line segment intersection, layered

4
segment trees and dynamization”, J. Algorithms, 3, pp. 160-176.
30. E. Welzl (1988), “Partition trees for triangle counting and other range searching

problems”, In Proc. 4th Annu. ACM Sympos. Comput. Geom., pp. 23-33.
31. D. E. Willard (1978), Predicate-Oriented Database Search Algorithms, Ph.D. thesis,
Aiken Comput. Lab., Harvard Univ., Cambridge, MA.
32. D. E. Willard (1982), “Polygon retrieval”, SIAM J. Comput., 11, pp. 149-165.
33. A. C. Yao and F. F. Yao (1985), “A general approach to D-dimensional geometric
queries”, In Proc. 17th Annu. ACM Sympos, Theory Comput., pp. 163-168.
34.