Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến

TrườngĐạiHọcSưPhạmThànhPhốHồChíMinh
KhoaToán






Chuyênđề:










Môn:Lýthuyếttốiưuphituyến
GVGD:Ts.TrịnhCôngDiệu
SVTH:
1. ThiềuThịThủyNgân
2. NgôThụyHồngDiễm
3. TrươngHoàngNhu



Tháng01/2015 
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

2

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

PHÂN CÔNG NHÓM


Phần 1: Các khái niệm cơ bản
Sinh viên thực hiện: Thiều Thị Thủy Ngân và Ngô Thủy Hồng Diễm
Phân 2: Phụ lục C
Sinh viên thực hiện: Trương Hoàng Nhu
Tổng hợp: Thiều Thị Thủy Ngân

STT HỌ VÀ TÊN TRANG
1 THIỀU THỊ THỦY NGÂN 20 – 27
2 NGÔ THỤY HỒNG DIỄM 28 – 34
3 TRƯƠNG HOÀNG NHU 210 - 218


Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

3

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

Tóm tắt nội dung chuyên đề

Chương 1:Giớithiệubàitoán(Vấnđềtốiưuphituyến,Sơbộcáckháiniệm
vàkíhiệu)
Các khái niệm cơ bản
1. Vấnđềtốiưuphituyến
1.1. Điềukiệnràngbuộcbấtđẳngthức
1.2. Điềukiệnràngbuộcđẳngthức
1.3.
 
1
, ,
n
x x


1.4.
   
1 1
maximum , , minimum , ,
n n
x x x x
 
  
 
 

1.5. Bàitoán
2. Tậphợpvàkíhiệu
3. Vectors
3.1. n–vector

3.2.
n
R

3.3. Vectorcộngvànhânbởimộtsốthực
3.4. Độclậptuyếntínhvàphụthuộctuyếntính
3.5. Tổhợptuyếntính
3.6. Tíchvôhướng
3.7. Tiêuchuẩncủavector
3.8. BấtđẳngthứcCauchy–Schwarz
3.9. Khoảngcáchgiữa2điểm
3.10. Bàitoán
3.11. Gócgiữahaivector
4. Matrận
4.1. Dạng1
4.2. Dạng2
4.3. Dạng3
4.4. Dạng4
4.5. Dạng5
4.6. Dạng6
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

4

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

4.7. Dạng7
4.8. Dạng8

4.9. Dạng9
4.10. Dạng10
4.11. Dạng11
4.12. Dạng12
4.13. Dạng13
4.14. Dạng14
4.15. Dạng15
4.16. Dạng16
4.17. Dạng17
4.18. Dạng18
4.19. Dạng19
4.20. Dạng20
4.21. Dạng21
4.22. Dạng22
4.23. Mạtrậnkhácrỗng
5. Ánhxạhàmvàhàm
5.1. Ánhxạ
5.2. Hàm
5.3. Hàmtrịsố
5.4. Hàmvector
5.5. HàmvectortuyếntínhtrênR
n

6. Kíhiệu
6.1. Vectorvàsốthực
6.2. Chỉsốdưới
6.3. Chỉsốtrên
6.4. Zero
6.5. Matrận
6.6. Tậphợp

6.7. Quanhệsắpthứtự
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

5

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

6.8. Cácbàitoántốiưuphituyến
6.9. Tínhkhảthi
6.10. 
Phụ lục C(210)
Hàm liên tục và nửa liên tục
Cực trị của tập và của hàm (Phụ lục C)
1. Hàmliêntụcvànửaliêntục
1.1. Hàmliêntụcvànữaliêntục
1.2. Hàmnửaliêntụcchặndưới
1.3. Hàmnửaliêntụcchặntrên
1.4. Chúthích
1.5. Vídụ
1.6. Địnhlý
1.7. Hệluận
2. Cậndướiđúng(Cậntrênđúng)vàcựctiểu(cựcđại)củatậpcácsốthực
3. Cậndướiđúng(Cậntrênđúng)vàcựctiểu(cựcđại)củahàmsốthực
3.1. Hàmgiớinội
3.2. Cậndướiđúngcủahàmsốthực
3.3. Cậntrênđúngcủahàmsốthực
3.4. Vídụ
3.5. Cựctiểucủahàmsốthực

3.6. Cựcđạicủahàmsốthực
3.7. Tồntạisốcựcđại,cựctiểucủahàmsốthực
Địnhlý


Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

6

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

CHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ TỐI ƯU PHI TUYẾN

Chương 1:
Giới thiệu bài toán
(Vấnđềtốiưuphituyến,Sơbộcáckháiniệmvàkíhiệu)

Các khái niệm cơ bản
7. Vấn đề tối ưu lập trình phi tuyến
1

Bàitoántốiưulậptrìnhphituyếnmàchúngtaquantâmsẽcó3thànhphầncơbản:
Mộtsốhữuhạncủabiếnthực,mộtsốhữuhạncủabiếnràngbuộcmàbiếnphải
thỏa,vàhàmcủabiếnphảiđạtcựctiểu(cựcđại).Vềmặttoánhọcchúngtacóthể
phátbiểuvấnđềnhưsau:Tìmgiátrịđặctrưng
 
1
, ,

n
x x
nếunótồntạicủabiếnsố
 
1
, ,
n
x x
mànóthỏamãnràngbuộcnhữngbấtđẳngthứcsau:
7.1. Điều kiện ràng buộc bất đẳng thức
1)
 
1
, , 0, 1, ,
i n
g x x i m
 

7.2. Điều kiện ràng buộc đẳng thức
2)
 
1
, , 0, j 1, ,k
j n
h x x  

7.3. Cực tiểu hóa (cực đại hóa) của hàm mục tiêu:
3)
 
1

, ,
n
x x


Trêntấtcảcácgiátrịcủa
1
, ,
n
x x
thỏa1)và2).Ởđây
, ,
i j
g h

làhàmsố
2
củabiến
1
, ,
n
x x
màđượcđịnhnghĩachotấtcảcácgiátrịhữuhạncủabiến.Sựkhácbiệtcơ
bảngiữavấnđềnàyvàcácvấnđềhạnchếtốithiểuhóacổđiểncủacácphéptính
thôngthường[Courant47,Fleming65]
3
làsựhiệndiệncủabấtđẳngthức1).Như
vậybấtđẳngthứcsẽđóngvaitròquantrọngtronglậptrìnhphituyếnvàsẽđược
nghiêncứumộtcáchchitiết.

1
Nhằm giới thiệu các vấn đề trong các phần đầu tiên của cuốn sách, một số không xác định (hàm, biến
thực, ràng buộc, ) phải giải thích qua trực giác trong thời gian tới. Vấn đề sẽ được nêu một cách chặt
chẽ ở phần cuối của chương (xem 1.6.9 đến 1.6.12)
2
Các khái niệm của một hàm số sẽ được xác định chính xác trong sec. 1.5. Đối với các mặt của hàm
số của
1
, ,
n
x x
. Chúng có nghĩa là sự tương ứng mà ta gán một số thực mỗi n – phức của giá trị
thực mà biến
1
, ,
n
x x
được gán.
3
Điều này đề cập đến các tác phẩm của Courant, viết năm 1947 và Fleming, viết năm 1965. Như được
liệt kê trong tài liệu tham khảo ở mặt sau của tài liệu. Hệ thống này của tài liệu tham khảo sẽ được sử
dụng trong suốt cuốn sách với một ngoại lệ [Gordan 73] đề cập đến sách viết Gordan năm 1873.
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

7

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

Nhưmột vídụvề cácvấnđềnêu trêntaxemxét cáctrường hợp đượcthểhiện
tronghình1.1.1.Ởđâychúngtacón=2(2biến
1 2
,x x
),m=3(3ràngbuộccủabất
đẳngthức),vàk=1(mộtràngbuộcđẳngthức).Mỗimộtđườngcongtronghình
1.1.1.thuđượcbằngcáchthiếtlậpmộtsốhàmsốtươngđươngvớihàmsốthực
như
 
1 2
, 5
x x


hoặc
 
2 1 2
, 0
g x x

.Mũitênngắntrênđườngcong
 
1 2
, 0
i
g x x


chỉracạnhtheohướngmàtrongđó
i

g
tăngvàdođótấtcả
 
1 2
,x x
phảinằmởphía
đốidiệncủanhữngđườngcongnếunóthỏa1).

























Như vậy tất cả
 
1 2
,x x
nằm trong khu vực vùng tối của hình 1.1.1 để thỏa 2)
 
1 2
,x x
 phải nằm trên đường cong
 
1 1 2
, 0
h x x

. Cácgiải pháp cho bài toán là
 
1 2
,x x
đâylàđiểmtrênđườngcong
 
1 1 2
, 0
h x x

màtạiđó

giảđịnhlàgiátrị
thấpnhấttrongtậphợptấtcả
 

1 2
,x x
thỏa
 
1 2
, , 0, 1,2,3
i
g x x i 
.Trongnhững
tìnhhuốngphứctạphơnởđón,m vàkcóthểlớn,nósẽkhôngdễđểgiảiquyết
Hình1.1.1:Mộtkiểuđiểnhìnhtrongbàitoánlập
trìnhphituyếntronghaibiến
 
1 2
,x x

Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

8

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

đượccácvấnđềtrên.Sauđóchúngtasẽquantâmtớiviệcthuthậpcácđiềucần
thiếtvàhoặcđủđiềukiệnmàmộtđiểm
 
1
, ,
n

x x
phảiđápứngđểnócóthểgiải
quyếtcácbàitoánlậptrìnhphituyến1đến3.Cácđiềukiệntốiưuhìnhthànhcác
điểmthenchốtcủalậptrìnhphituyến.
Đểgiảiquyếtcácbàitoáncủacácloạitrênchúngtasẽgiảmchúngxuốngbàitoán
cựctiểuhóa.Bàitoáncựcđạihóacóthểdễdàngchuyểnđổisangbàitoáncựctiểu
hóabằngcáchsửdụnglạitínhchấtđồngnhấtthức
7.4.
   
1 1
maximum , , minimum , ,
n n
x x x x
 
  
 
 

7.5. Bài toán
Giảiquyếtvềmặtđồthịnhưtađãchỉratronghình1.1.1theobàitoánlậptrìnhphi
tuyến:
- Cựctiểuhóa
 
1 2
,
x x
 

Minhhọa:
 

   
2
1 2
2 2
1 2
2 0
1
x x
x x
 
 

8. Tập hợp và kí hiệu
Chúngtasẽsửdụngmộtsốbiểutượngvàkháiniệmcơbảntừlýthuyếttậphợp
[Anderson–Hall63,Hamilton–Landin61,Berge63].Trongtrườnghợpđặcbiệt
tập

làmộttậphợpbấtkỳdạngmàđượcđịnhbởiphầntửhoặcđiểmcủa

.Cho
vídụminhhọanếuchúngtacóthểchoR(tậpsốthựchoặcdòngthực)biểuthịtập
hợpcủatấtcảsốthực,thì7làphầntửhoặcđiểmcủaR.Chúngtasửdụngbiểu
tượng

đểbiểuthịmộtthựctếlàmộtphầntựthuộcvềmộttập.Vídụchúngta
viết
7
R
,đểđơngiảnhơn,thỉnhthoảngchúngtacũngviết
5,7

R
thayvìviết
5 ,7
R R 
.
Nếu

và

là2tập,chúngtanói

thìchứatrong

,

làtrong

,

làtậpcon
của

,hoặc

chứatrong

,nếumỗiphầntửcủa

cũnglàmộtphầntửcủa



vàtaviết
 
hoặc
  
.
Nếu
 
và
  
chúngtaviết
  

Mộtdấugạchngangcủakíhiệubiểuthịphủđịnhcủanó.Dođó
x 
và
  

biểuthịtươngứnglàxthìkhônglàphầntửcủa

và

khônglàtậpconcủa

.
Tậprỗnglàtậpkhôngchứaphầntửnàovàbiễudiễnbởi

.
Đôikhichúngtabiễudiễnmộttậpbởi
 

, ,x y z
nếutậphợpđượchìnhthànhbởi
tậpcácphầntử
, ,x y z
.Đôikhimộttậphợpđượcđặctrưngbởimộtthuộctínhmà
cácyếutốcủanóphảicó,trongtrườnghợpnàychúngtaviết
{ |x x
thỏatính
}P

Vídụ:Tậpcácsốthựckhôngâmcóthểđượcviếtnhư
 
| , 0
x x R x
 

Tậphợpcácphầntửthuộctronghaitập

hoặc

thìđượcgọilàhợpnhấtcủacác
tậphợp

và

vàđượcbiểudiễnbởi






Chúngtacó:
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

9

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

{ |x x
    
hoặc
}
x


Tậphợpcácphầntửthuộcítnhấtmộttrongcácbộ(hữuhạnhoặcvôhạn)thuộchọ
của tập
 
i
i I

thì được gọi là hợp của họ và được kí hiệu 
i
i I


 sau đó
{ |

i i
i I
x x

  

đốivới
}i I

Tậphợpcácphầntửthuộccảhaitập

và

thìđượcgọilàsựgiaonhaucủatập

và

vàđượckíhiệubởi
 
.Khiđócó
{ |x x
    
và
}
x

 
Tậphợpcácphầntửthuộctấtcảcácbộ(hữuhạnhoặcvôhạn)thuộchọcủatập
 
i

i I

thì được gọi là giao điểm của họ và được kí hiệu 
i
i I


 sau đó
{ |
i i
i I
x x

  

đốivới
}i I

Haitập

và

làrờinhaunếunókhônggiaonhau,nghĩalà,nếu
    

Phéphiệucủatập

và

làtậphợpcủanhữngphầntửcủa


khôngcótrong


vàđượckýhiệulà
 
.Chúngtacó
 
| ,x x x
     

Ởphíatrênnókhôngđượcgiảđịnhmộtcáchtổngquátcho
  
.Tuynhiên
  
thì
 
đượcgọilàphầnbùcủa

tươngđốiđến

.
Phéptíchcủahaitập

và

,kýhiệubởi
x 
đượcđịnhnghĩanhưcặpđượcsắp
 

,x y
trongđó
x 
và
y

.Chúngtacó
 
 
, | ,x x y x y
    


Hình1.2.1Tíchcủahaitập
x 
của

và


Phéptíchcủantập
1
, ,
n
 
biểudiễnbởi
1 2

n
x x x  

làđịnhnghĩabởitậpđược
sắpn–bộ
 
1
, ,
n
x x
trongđó
1 1
, ,
n n
x x
 
.Chúngtacó
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
0

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

 
 
1 2 1 1 1
, , | , x
n n n n
x x x x x x
     


Nếu
1 2

n
       
,thìchúngtaviết

n
x x x    

Nếuchúngtacho
 
| ,1 3
x x R x
    

 
| ,1 2
x x R x
    

thì
 
 
, | , ,1 3,1 2
x x y x R y R x x
        

Hình1.2.1môtảtập

x 
.Tập
2
R RxR

màcóthểbiểudiễnbởicácđiểmtrên
mặt,đógọilàmặtEuclidean.
Nhữngkíhiệusauđâysẽđượcsửdụng:
-
 
x
đọclàvớimỗix
-
 
x
đọclàtồntạimộtx
-

hiểulàkéotheo
-

hiểulàbaohàmlại
-

hiểulàtươngđương
(Dấu
 
/
ngangquabấtkỳmộttrongbakíhiệuđềumangnghĩaphủđịnhlạichính
nó.)

Phátbiểuvídụ“mỗixcótồntạimộtynhư
 
, 1
x y


“cóthểđượcviết:
    
: , 1
x y x y

  

Sựphủđịnhcủaphátbiểutrênđượccóthểmặcđịnhđượcviếtlạinhưsau:
    
: , 1
x y x y

  

Thôngthườngchúngtasẽhướngtheomốiquanhệnhấtđịnhnhưmộtphươngtrình
haymộtbấtđẳngthứcbởimộtsốhoặccácchữsốLaMãnhưlàIhoặcII.
Takíhiệu
I II
nghĩalàhệthức
I
kéotheohệthức
II
.Trong
I

hoặc
II
(
I

hoặc
II
) biểuthị phủđịnhcủa hệthứcgọi làchữ số. Chắnchắn thìphátbiểu
I II
làtươngđươnglogic
I II

.Dođó
I II I II
  

9. Vectors
9.1. n – vector
Mộtn–vectorhoặckhônggianvectorn–chiềux,chobấtkỳsốnguyêndươngn,
làmộtn–bộ
 
1
, ,
n
x x
củasốthực.Sốthực
i
x
gọilàthànhphầnthứihoặccác
hoặccácphầntửcủavectorx.

9.2.
n
R

Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
1

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

Chon–nguyên(thực)Euclideantrongkhônggian
n
R
,vớibấtkỳnnguyên
dương,làtậptấtcản–vector.
Theochúthích
n
x R

cónghĩalàxlàmộtphầntửtrongkhônggian
n
R
,và
dođó,slàmộtn–vector.Thôngthườngchúngtađềcậptớixlàmộtđiểm
trong
n
R

.
1
R
,hoặcđơngiản
R
,saumộtđườngtronghìnhhọcƠclit(tập
tấtcảcácsốthực),
2
R
làmặttronghìnhhọcƠclit(tậptấtcảcáccặpđược
sắpcủasốthực),và

n
R RxRx xR

(nlần)
9.3. Vector cộng và nhân bởi một số thực
Cho
,
n
x y R

và
R


.Lấytổng
x y
đượcđịnhnghĩabởi:
 

1 1
, ,
n n
x y x y x y
   

Vàphépnhậncủasốthực
x

đượcđịnhnghĩabởi:
 
1
, ,
n
x x x
  


9.4. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Chovector
1
, ,
m n
x x R
đượccholàđộclậptuyếntínhnếu
1 1
1 2
1
0
0

, ,
m m
m
m
x x
R
 
  
 
  
    


Nóicáchkhác,làđộclậptuyếntính(ởđâyvàởnhữngnơikhác0biểuthịzerolà
sốthựchoặcmộtvectormàmỗithànhphầncủanóđềulàzero.)
9.5. Tổ hợp tuyến tính
Chovector
n
x R

làtổhợptuyếntínhcủa
1
, ,
m n
x x R
nếu
1 1

m m
x x x

 
  

với
1
,
m
R
 

vànólàmộttổhợptuyếntínhkhôngâmcủa
1
, x
m
x
nếucộng
thêmvàođẳngthứctrênphép
1
, 0
m
 

.Số
1
,
m
 
gọilàtrọngsố.
Liênquanđếncáckháiniệmkéotheophépcộngvectorvàphépnhânđịnhnghĩa
bởimộtvectorvôhướngtrongkhônggiancủavector

n
R
.Nókhôngđủtuynhiên
đểxácđịnhkháiniệmvềkhoảngcách.Nhằmmụcđóchúngtaxácđịnh
9.6. Tích vô hướng
Tíchvôhướng
xy
của2vector
,
n
x y R

đượcđịnhnghĩabởi
1 1

n n
xy x y x y  

9.7. Tiêu chuẩn của vector
Chuẩn
x
 của một vector
n
x R

 được định nghĩa bởi
     
1
1
2 2

2
2
1

n
x xx x x
 
    
 

9.8. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Cho
,
n
x y R

thì
.xy x y


Ởđây
xy
làgiátrịtuyệtđốicủasốthực
xy

Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
2

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

Chứng minh: Cho
,
n
x y R

 cố định. Với bất kỳ
R


:
    
2
2 0
x y x y xx xy yy
   
     

Dođócăncủaphươngtrìnhbậchaitheo


 
2
2 0
xx xy yy
 
  


Khôngthểlàsốthựckhácbiệtvànhưvậy
    
2
xy xx yy


KhiđótacóđượcbấtđẳngthứcCauchy-Schwart
9.9. Khoảng cách giữa 2 điểm
Cho
,
n
x y R

làsốkhôngâm
 
,
x y x y

 
đượcgọilàkhoảngcáchgiữahai
điểmxvàytrong
n
R
.
9.10. Bài toán
Thiếtlậpmộtthựctếrằng
n
R
làmộtkhônggianmatrậnđượcbiểudiễnbởi:

 
,x y


 
, 0
x y



 
, 0
x y x y

  

   
, y, x
x y
 


     
,z , ,x x y y z
  
 
(bấtđẳngthứctamgiác)
(Gợiý:SửdụngbấtđẳngthứcCauchy-Schwarzđểthiếtlậpbấtđẳngthứctamgiác)
9.11. Góc giữa hai vector
Cho

x
và
y
là2vectorkhôngcùngphươngtrong
n
R
.Góc

tạobởi2vector
x

và
y
đượcđịnhnghĩabởicôngthức

cos =
.
xy
x y

 
0
 
 

Định nghĩa này của góc phù hợp cho
2,3
n

 với một trong hình học giải tích.

Vectorkháckhông
x
và
y
làtrựcgiaonếu
0
xy


 
2



.
Tạothànhgócnhọnvớinhaunếu
 
0 0
2
xy


  

Tạothànhgócnhọnhẹpnếu
 
0 0 2
xy
 
  


Tạothànhmộtgóctùnếu
 
0
2
xy

 
  

Vàtạothànhmộtgóctùhẹpnếu
 
0
2
xy

 
  

10. Matrận
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
3

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

10.1. Dạng 1

Mặcdùsựquantâmcủachúngtalàvấnđềphituyếntính,hệtuyếntínhbậcnhất
sauđâysẽđượcgặpthườngxuyên:
11 1 1 1
1 1



n n
m mn n m
A x A x b
A x A x b
  
  

ởđây
ij
A
và
, 1, , , 1, ,
i
b i m j n 
đượccholàsốthực.Chúngtacóthểviếtngắn
gọnhệtrênbằngcáchsửdụngcáckháiniệmởphầntrước.Nếuchúngtacó
i
A
biễu
diễn
n
-vectorcónthànhcónthànhphầnlà
ij

, 1, ,A j n
vànếuchúngtacho
n
x R

,thìhệtrênlàtươngđương.
10.2. Dạng 2
i i
A x b

1, ,i m

Ở
2
,chúngtagiảithích
i
A x
nhưlàmộttíchvôhướng1.3.6của
i
A
và
x
.Nếu
chúngtatiếptụccho
Ax
biễudiễnmộtm-vectormàthànhphầnlà
A x,i=1, ,m
i

và

b
là
m vector
mà
m
thànhphầnlà
i
b
.Nhưvậytacóđược1và2làtương
đươngnhau.
10.3. Dạng 3
Ax
b

Đểphùhợpvớikýhiệulý thuyếtma trận thường, chúng ta định nghĩa ma trận A
m n
nhưsau
11 1
1



n
m mn
A A
A
A A
 
 


 
 
 

DòngthứicủamatrậnAsẽcónghĩalà
i
A
vàsẽlàmộtn-vectơ.Dođó
 
1 2
, ,. . . 1, . . . ,
i i i in
A A A A i m
 

CộtthứjcủamatrậnAsẽcónghĩalàA
.j
vàsẽlàmộtm-vectơ.Dođó
1
2
.
.
.
.
j
j
j
mj
A
A

A
A
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

ChuyểnvịcủamatrậnAlàgọi
'
A
vàđượcđịnhnghĩabởi
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
4

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

11 1
'
1

m
n mn
A A
A
A A
 
 

 
 
 


11 1
1



n
m mn
A A
A
A A
 
 

 

 
 
 (4)
DòngthứicủamatrậnAsẽđượcxácđịnhbởimộtn-vectơ
i
A
.Dođó:
 
1 2
, ,. . . 1, . . . ,
i i i in
A A A A i m
 
 (5)
CộtthứjcủamatrậnAsẽđượcxácđịnhbởimộtm-vectơA
j
.Dođó
1
2
.
.
.
.
j
j
j
mj
A
A
A

A
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 (6)
NếugọiA’làmatrậnchuyểnvịcủamatrậnA,thì:
11 1
'
1



m
n mn
A A
A
A A
 
 

 
 

 
 (7)
HiểnnhiêndòngthứicủaAbằngvớicộtthứicủaA’,vàcộtthứjcủaAbằngvớidòngthứj
củaA’. Do đó:
 
' '
.
.
i i
i
A A A
 
(8)
 
' '
.
j j
j
A A A
 
(9)
Hai(8)và(9)lầnlượtlàđịnhnghĩacủa
'
.i
A
và
'
j
A
.Vì

ij
A
làmộtsốthựcnằmởdòngi,cộtj
củaA,chonênnếutagọi
'
ji
A
làmộtsốthựctrongdòngj,cộticủa
'
A
;tacó
'
ij ji
A A
 (10)
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
5

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

Từ(1),(2),và(3),tacó:
.
1
n
j j
j

A x b



 (11)
VớiA
j
,blàcácvectortrongR
m
;x
j
làcácsốthực.
(2)cóthểđượcxemnhưlàmột
bàitoántrong
n
R
và(11)cóthểđượcxemnhưlàmộtbàitoántrong
m
R
.
Ở(2),tatìmmột
n
x R

thoảtíchvôhướngb
i
(hoặccácgóc,thamkhảo
mục1.3.11)vớin-vectorA
i
vớii = 1, . . . , m.Trong(11),tacón + 1

vector(
. j
A
(j = 1, . . . , n);b)trongR
m
,tacầntìmn trọngsốx
1
,…,x
n
sao
choblàmộttổhợptuyếntínhcủacácvectơ
. j
A
.Haihệ(2)và(11)sẽ
đượcsửdụngđểgiảithíchmộtsốđịnhlýquantrọngtrongcácchương
tiếptheo.
MatrậnAcấp
m n
trong(4)cóthểtạoramộthệcácphươngtrìnhtuyến
tínhyA,đượcxácđịnhnhưsau:
' '
.
1 1
m m
i i i i
i i
yA A y A y A y
 
  
 

 (12)
Với
.
m
y R

Dođó,yAlà mộtkhônggianvectorn-chiềumàthành phần
thứjđượcchobởi
 
.
1, . . . ,
j
i
yA A y j n
 
 (13)
Nóichung,tasẽthựchiệntheocácquyướcsửdụngchữhoaLatinđể
biểuthịmatrận.NếuAlàmộtmatrậncấp
m n
,vànếutađặt
 
1,2, . . . ,I M m
 
 (14)
 
1,2, . . . ,I N n
 
  (15)
thìchúngtađịnhnghĩamatrậnconcủamatrậnA(vớicáchàngvàcột
tươngứngtừcáchàngvàcộtcủaA)

 
|
I i
A A i I 
  (16)
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
6

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm


Hình1.4.1Mộtmatrận
m n
vàcácmatrậnconcủanó
Hàmsố
Hàmsố

làhàmtừtậphợpXvàoR.Nóicáchkháchàmsốlàphéptươngứngmàliên
tưởngsốthựcđếnmỗiphầntửxcủaX.
VídụNếuX = R,thì

làhàmđơntrịsốthựcquenthuộc,nhưlà
 
sinx x



.NếuXlàtập
hợpcácsốnguyêndương,thì

gánmộtsốthựcđốichomỗisốnguyêndương,vídụnhư
 
1 !x x


.Nếu
n
X R
thì

làhàmđơntrịthựccủabiếnn
Hàmvectơ
Mộthàmvectơm-chiềuflàmộthàmtừtậpXvào
m
R
.Nóicáchkháchàmvectơlàphép
tươngứngmàliênkếtmộtvectơtừ
m
R

vớimỗiphầntửxcủaX.Thànhphầnmcủavectơ
( )f x
đượcgọibởi
   
1
, . . . ,
m

f x f x
.Mỗimộtlà
i
f
làmộthàmsốtrênX.Mộthàm
vectơfcótínhchấtchắcchắn(vídụtínhliêntục)bấtcứkhinàomỗithànhphầncủanó
i
f
có
tínhchấtđó.
Vídụ:Nếu
n
X R
,thìfliênkếtđiểmcủa
m
R
vớimỗiđiểmcủa
n
R
.Thànhphầnm của
i
f
,
1, . . . ,i m
của f làhàmsốtrên
n
R

Hàmvectơtuyếntínhtrên
n

R

Mộthàmvectơm-chiềuđịnhnghĩatrên
n
R
đượccholàtuyếntínhnếu
( )
f x Ax b 

nơiAlàmộtvàimatrậncốđịnh
m n
vàblàmộtvàivectơcốđịnhtrong
m
R
.
Chonênnếuflàhàmtuyếntínhtrên
n
R
thì
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
7

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

     
 

1 2 1 2 1 2
0 ,
n
f x x f x f x f cho x x R    

       
1 0 ,
n
f x f x f cho R x R
   
    

(Mộtcáchngượclại,haiquanhệcuốicùngcóthểđượcdùngđểđịnhnghĩahàmvectơtuyến
tínhtrên
n
R
,từđómànócóthểđượctrìnhbày
 
f x Ax b 
[Berge63,trang159].)
Nếum = 1thìchúngtacóhàmsốtuyếntính

trên
n
R
và
 
x cx
 
 


trongđóclàvectơcốđịnhtrong
n
R
và

làsốthựccốđịnh
Đẳngthứchoặcbấtđẳngthứcbaogồmhàmsốtuyếntínhvectơ(hoặchàmsốtuyếntínhsố)
sẽđượcgọitựnhiênlàtuyếnbấtđẳngthứchoặcđẳngthứctuyếntính.

Ký tự

Vectơ và số thực
Nóichung,chúngtasẽtheoquyướcrằngcáckýtựLatinnhỏsẽkýhiệuvectơnhưlàa, b, c,
x, y, z hoặchàmvectơlàf, g, h.Trườnghợpngoạilệsẽkýhiệu:i, j, k, m, n,vàthỉnhthoảng
đượckýhiệukhácvớikýtựlànhữngsốnguyên.NhữngchữcáiHyLạpnhỏsẽcónghĩalà
mộtsốthực(mộtđiểmtrongR)nhưlà
, , , , ,
     
hoặclàhàmsốnhưlà
, ,
  
.
Chỉ số
MộtchữcáiLatinnhỏvớichỉsốdướisốnguyênhaylàchữcáiLatinnhỏsẽcónghĩalàmột
thànhphầncủavectơ,nóichung,vàthỉnhthoảngsẽcónghĩalàmộtvectơ.Vídụnếu
5
x R
,
thì

3
x
và
i
x
cónghĩalàthànhphầnthứ3vàthứicủax.Mặtkhác,chúngtasẽcódịpđểcho
1 2
,
m m
x R x R
 
… với trường hợp này sẽ được làm rõ ràng hơn. Chữ cái HyLạp hoặc
Latinnhỏvớisốnguyênsẽthỉnhthoảngđượcsủdụngnhưkýhiệusốthứtựnhưlà
1
,
i
 
.
Nếu
 
, 1, . . . ,
n
x R K N n
  
,vàKchứakphầntửriêngbiệt,thì
i K
x

vàlàmộtvectơ
trong

k
R
vớinhữngthànhphần
 
|
i
x i K

vàcónghĩalà
K
x
.DođóchữcáiLatinnhỏvới
chỉ số dưới chữ cái Latin có nghĩa là vectơ trong không gian bé hơn hoặc bằng chiều để
khônggiancủavectơunsubscripted.Đólàchỉsốchữcáilatinhnhỏvớimộtchữcáilatin
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
8

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

viếthoatrongmộtkhoảngkhônggiannhỏhơnhoặcbằngkíchthướcchỉsốdướickhônggian
véctơ
Chỉ số trên
MộtchữcáiLatinhoặcHyLạpnhỏvớimộtchỉsốtrênhoặcmộtkíhiệucaosẽcónghĩalà
mộtvectơnhấtđịnhhoặcmộtsốthực,vídụ

1 2 1

, , , , , , ,
i
x x x x x
 
…Mặckháclũythừa
trênsẽđượcphânbiệtbởidấuđóngngoặc,vídụ
 
2
x

Zero
Số0sẽkýhiệunhưsốthựchoặcmộtvectơtrong
n
R
tấtcảthànhphầnmàlàsố0
Ma trận
MatrậnsẽđượckíhiệubởichữcáiLatinviếthoanhưđượcmôtảchitiếttrongphầntrước,
phần1.4
6. Sets: Tập hợp
Tập hợp sẽ luôn được ký hiệu bởi các chữ cái in hoa kiểu Hy Lạp hoặc Latin như là
, , , , , ,R I X Y  
. Các chữcáiviếthoavớichỉsốdướinhưlà:
1 2
, , ,
i
  
vàchữviếthoa
vớikýtựởtrênnhưlà
* 0
, X


cũngsẽbiểuthịnhưtậphợp (ví dụ phần 1.2.)

7. Mối quan hệ
Theoquyướccủađẳngthứchoặcbấtđẳngthứcsẽđượcsửdụng
Nếu
, ,
n
x y R

thì
1, . . . ,
i i
x y x y i n   

1, . . . ,
i i
x y x y i n  

à
x y x y v x y  

1, . . . ,
i i
x y x y i n   


Nếu
0
x


,xđượcgọilàkhôngâm,nếu
0
x

thìxđượcgọilàsemipositive,vànếu
0
x

thìxđượcgọilàsố dương.Mốiquanhệ
, , ,  
đượcđịnhnghĩaởtrênlàcáchsắpxếp
mốiquanhệ(in
n
R
).
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

1
9

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm


8. Vấn đề lập chương trình phi tuyến
Bằng việc sử dụng ký hiệu trên, vấn đề lập chương trình phi tuyến1.1.1đến1.1.3cóthể
đượcviếtlạidướidạngchungchungnhưsau.Cho
0

n
X R
,chog, h,và

lầnlượtlàmột
hàmvectơmchiều,mộthàmvectơkchiềuvàmộthàmsố,tấtcảxácđịnhtrong
0
X
.Thìvấn
đềtrởnênlà:Tìmmộtnghiệm
x
,nếunhưnótồntại,để
9.
 
 
 
0
min | , ( ) 0, ( ) 0
x X
x x x X x x X g x h x
 

    

Tập hợp X được gọi là vùng ràng buộc chấp nhận được, nghiệm
x
là nghiệm nhỏ nhất,
và
 
x


là nhỏ nhất. Tất cả các điểm x trong vùng ràng buộc chấp nhận được X được
gọi là vùng chấp nhận được hoặc đơn giản là vùng ràng buộc.
Một cách viết khác đơn giản hơn là:
 
0
min
x X
x



Subject to
( ) 0
g x


( ) 0
h x


Chúng ta ủng hộ cách viết chính xác và ngắn gọn 9 của bài toán bao gồm từ 10 đến 12.
Chú ý rằng nếu chúng ta cho
0
n
X R
trong bài toán trên, thì chúng ta đạt được bài
toán chương trình phi tuyến 1.1.1 tới 1.1.3
Nếu
0

n
X R
và
, g

và h đều là hàm tuyến tính trên
n
R
, bài toán 9 trở thành bài toán
chương trình tuyến tính: Tìm
x
, nếu nó tồn tại, sao cho
 
 
min | , ,
n
x X
bx bx x X x x R Ax c Bx d

      

tạib,cvàdđượccholàcácvectơcốđịnhtrongR
n
, R
m
và R
k
tươngứngvàAvàBđượccho
cốđịnh
m n

và
k n
matrậntươngứng
Cótồntạimộtnềnvănhọclớnvềđềtàicủalậptrìnhtuyếntính[Dantzig63,Gass64,Hadley
62,Simmonard66].Nóđượcnhậnxétrằngvấnđề13làtươngđươngđểtìmmộtnghiệm
x
saocho
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

2
0

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

 
ax | , ,
n
x X
bx m bx x X x x R Ax c Bx d

    

KhiBvàdkhôngcómặtcôngthứcnày,14trởthànhdạngchuẩnképcủabàitoánlậptrình
tuyếntính[Simmonard66,trang95].


Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

2
1

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

Phụ lục C(210)
Hàm liên tục, nửa liên tục và Cực trị của tập và của hàm
(Phụ lục C)
4. Hàmliêntụcvànửaliêntục
Hàmsố

xácđịnhtrêntập
n
  
đượcgọilàliên tụctại
0
x

nếuthỏamột
trongcácđiềukiệnsauđâylàtươngđương:
(i)
0
0
0, 0: ( ) ( )
x x
x x
x


    
 
      

 

(ii)
1 2
, , ,
n
x x x
 
 hội tụ về
0
x
 ,
0
lim ( ) (lim ) ( )
n n
n n
x x x
  
 
 
 thì


liêntụctại
0
x

,

trên

nếu

liêntụctạimọi
0
x

.
(iii) Tập
{ | , ( ) }
x x x
 
 
và
{ | , ( ) }
x x x
 
 
làmộttậpđóngtrong

với


.
(iv) Tập
{ | , ( ) }
x x x

 
 
và
{ | , ( ) }
x x x
 
 
làmộttậpmởtrong

với


.
(v) Đồthịhàm

trênmiền
0
{(x, ) | , , ( ) }
G x x
   
   
và
0
{(x, ) | , , ( ) }
H x x
   
   
đóng
trên
x 

.
1. Hàm liên tục bên trái
Hàmsố

xácđịnhtrêntập
n
  
đượcgọilànửaliêntụctạitrái
0
x

nếuthỏa
mộttrongcácđiềukiệnsauđâylàtươngđương:
(i)
0
0
0, 0: ( ) ( )
x x
x x
x

    
 
       

 

(ii)
1 2
, , ,

n
x x x
 
hộitụvề
0
x
,
0
liminf ( ) (lim ) ( )
n n
n n
x x x
  
 
 
với
liminf ( )
n
n
x


làcậndướiđúngcủacácsố
1 2
( ), ( ), , ( ).
n
x x x
  



liêntụcbêntráitại
0
x

nếunólànửaliêntụctráivàthỏamộttrongcácđiều
kiệntươngđươngsauđây:
(iii)
{ | , ( ) }
x x x
 
 
làmộttậpđóngtrong

với


.
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

2
2

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

(iv)
{ | , ( ) }
x x x
 

 
làmộttậpmởtrong

với


.
Đồthịhàm

trênmiền
0
{(x, ) | , , ( ) }
G x x
   
   
đóngtrên
x 
.
2. Hàm liên tục phải
Hàmsố

xácđịnhtrêntập
n
  
đượcgọilànửaliêntụctạiphải
0
x

nếuthỏa
mộttrongcácđiềukiệnsauđâylàtươngđương:

(i)
0
0
0, 0: ( ) ( )
x x
x x
x

    
 
      

 

(ii)
1 2
, , ,
n
x x x
 
hộitụvề
0
x
,
0
limsup ( ) (lim ) ( )
n n
n n
x x x
  

 
 
với
limsup ( )
n
n
x


làcậntrênđúngcủacácsố
1 2
( ), ( ), , ( ).
n
x x x
  


liêntụcbênphảitại
0
x

nếunólànửaliêntụcphảivàthỏamộttrongcácđiều
kiệntươngđươngsauđây:
(iii) Tập
{ | , ( ) }
x x x
 
 
làmộttậpđóngtrong


với


.
(iv)
{ | , ( ) }
x x x
 
 
làmộttậpmởtrong

với


.
Đồthị
0
{(x, ) | , , ( ) }
H x x
   
   
đóngtrên
x 
.
3. Chú ý
Hàmsố

xácđịnhtrêntập
n
  

lànửaliêntụctạitrái
0
x

khivàchỉkhi

là
nửaliêntụctạiphải
0
x

.

liêntụctại
0
x

nếuvàchỉnếunónửaliêntụctráivà
nửaliêntụcphảitại
0
x


4. Ví dụ
(i)
, 1
( )
1
, 1
2

x x
x
x




làliêntụctráitrên

(hìnhC.1.1)
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

2
3

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm


(ii)
2
, 0
( )
1
, 0
2
x x
x
x





lànửaliêntụcphảitrên

(hìnhC.1.2)

5. Định lý
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

2
4

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

( )
i i I


(hữuhạnhayvôhạn)làbaocủatậpcáchàmnửaliêntụctráitrên
n
  
,nó
làmộtcậntrênnhỏnhất
( ) sup (x)
i
i I

x
 


lànửaliêntụctráitrên

.Nếu
I
hữuhạn
thìcậndướilớnnhất
( ) inf (x)
i
i I
x
 


nửaliêntụctráitrên

.
Chứngminh:
Từ2(iii)vàB.1.13(i)tacó:

 
thì
{ | ( ) } { |sup ( ) } { | ( ) }
i i
i I
i I
x x x x x x

     


     
làtậpđóng.
Từ2(iii)vàB.1.13(ii)
Tacó:

 
thì
{ | ( ) } { | inf ( ) } { | ( ) }
i i
i I i I
x x x x x x
     
 
     
làtậpđóng.
6. Hệ quả
( )
i i I


(hữuhạnhayvôhạn)làbaocủatậpcáchàmnửaliêntụcphảitrên
n
  
,
nólàmộtcậndướilớnnhất
( ) inf (x)
i

i I
x
 


lànửaliêntụcphảitrên

.Nếu
I
hữu
hạnthìcậntrênnhỏnhất
( ) sup (x)
i
i I
x
 


nửaliêntụcphảitrên

.
2.Cậndưới(trên),giátrịnhỏnhất(lớnnhất)củatậpsốthực.
TheoB.2.8tađịnhnghĩacậndướivàcậntrêncủamộttập
  
:
i.
inf
0 :
x x
x x



  



  
  
     

ii.
sup
0 :
x x
x x


  



  
  
     

,
 
 
khôngnhấtthiếtlàtrong


,tuynhiênnếu
,
 
 
nằmtrong

thìtagọichúng
tươngứnglà
min ,max 
.
3.Giátrịnhỏnhất(lớnnhất)
Theo2thìnếu
inf  
thìđượcgọilàgiátrịnhỏnhấtcủa

.
sup
thìgọilà
giátrịlớnnhấthaytươngđươngvới:
Chuyên đề môn Lý Thuyết Tối Ưu Phi Tuyến
GVHD: TS.Trịnh Công Diệu

2
5

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và phần phụ lục hàm liên
tục và nữa liên tục, cực trị của tập và của hàm

i.
min

x x







  
  

ii.
max
x x







  
  

3.inf(sup),min(max)củamộthàmsố
 1.Hàmbịchặn

làmộthàmxácđịnhtrên

,tanói


bịchặndướinếu
( )x x
 
   
.


đượcgọilàmộtchậndướicủa


4. Ví dụ
infe 0
x


sup
x
x R
e


 


infe
x
 

sup

x R
x

 

inf sin 1
x R
x

 

supsin 1
x R
x



5.Giátrịnhởnhấtcủahàmsố
Đặt

làmộthàmsốxácđịnhtrênr.Nếucítồntạimột
x 
nhưsau:
( ) (x)
x x
 
  

Thì
( )x


đượcgọilàđiểmnhỏnhấtcủa

trên

,tacó:


6.Giátrịlớnnhấtcủahàmsố:
Đặt

làmmộthàmsốxácđịnhtrêntập.Nếunótồntạimột
x 
nhưsau:
( ) (x)
x x
 
  


Thì
( )x

đượcgọilàđiểmlớnnhấtcủa

trên

,tacó:
( ) min ( ) inf ( )
x x

x x x
  
 
 
( ) max ( )
x
x x
 

