GIỚI THIỆU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Hiện nay có nhiều phương pháp để xây dựng số liệu động học tùy theo
trình độ người sử dụng, yêu cầu công việc hoặc trang bị của hệ thống
như ( dạy - học, liên kết CAD/ CAM, xử lý ảnh, giải bài toán ngược)
nhưng phổ biến nhất là kỹ thuật teach-in trong trường hợp sai số vị trí
cho phép của quỹ đạo tương đối lớn, chẳng hạn ở các nguyên công hàn
hay cắt kim loại. Trong trường hợp đòi hỏi độ chính xác cao giải bài
toán động học ngược được cho là kỹ thuật phù hợp nhất.
Để khắc phục nhược điểm trên, trong bản luận văn này tác giả tập trung
phát triển một phương pháp mới để giải quyết bài toán động học cho
nhóm robot song song trên những quan điểm sau:
- Phương pháp mới có cơ sở toán học dễ hiểu hơn các phương
pháp khác;
- Thể hiện được cả các yêu cầu về ràng buộc công nghệ và cơ học
trong mô hình của bài toán;
- Sử dụng tối đa các chương trình hỗ trợ có sẵn, đã được thương
mại, để tránh phải tạo thêm các công cụ tin học mới cho bài
toán;
- Phù hợp với tất cả các kiểu robot khác nhau và áp dụng được
cho cả hai kiểu bài toán động học thuận và nghịch.
Việc hạn chế số lượng phương pháp trong thực hành là cần thiết và sự
hạn chế này cần nhất là không đưa đến những bất tiện do sử dụng các
công cụ vạn năng. Vì vậy mà việc thay thế cấu hình để sử dụng phương
pháp quen thuộc sẽ hiệu quả hơn việc giữ cấu hình gốc và thay đổi
1
phương pháp giải bài toán. Trên cơ sở các phân tích đó tác giả chọn đề
tài luận văn tốt nghiệp là:
“Khảo sát động học Robot song song bằng phương pháp đổi biến số”.
2. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Xác định kết cấu thay thế tương đương và xây dựng mô hình động học
tương đương trên cơ sở công thức đổi biến, xác lập quan hệ duy nhất
giữa hai điểm trong hai không gian khác nhau
3. Phương pháp nghiên cứu
Phát triển các mô hình lý thuyết dựa trên các quan hệ cơ học và toán
học. Chứng minh bằng toán học và mô phỏng bằng phần mềm kết hợp
với thực nghiệm.
4. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn của đề tài
Thu thập được bộ dữ liệu biến khớp bằng cách giải bài toán thay thế và
dùng để điều khiển Robot. Sử dụng công cụ Solver có trong Excel bởi vì
đó là một giải thuật mạnh được tối ưu hóa có sẵn trên tất cả máy tính
Tạo ra một phương thức chuẩn bị số liệu động học lập trình điều khiển
robot hoàn toàn mới, có tính ứng dụng cao, dể hiểu, dễ sử dụng và phổ
thích nghi rộng trên nhiều lớp đối tượng khác nhau đạt độ chính xác cao
5. Cấu trúc luận văn
Chương 1: Tổng quan về bài toán động học Robot
Chương 2: Phép đổi biến và mô hình động học tương đương
Chương 3: Thực nghiệm và kiểm chứng kết quả
2
CHNG 1
TNG QUAN V BI TON NG HC ROBOT
1.1.V trớ v vai trũ ca bi toỏn ng hc robot
Bi toỏn ng hc robot l bi toỏn cú chc nng xõy dng s liu iu
khin mch chuyn v ca robot cụng nghip. Nhim v ca phn cụng
tỏc c thit lp trong khụng gian cụng tỏc, trong khi tỏc ng iu
khin li t vo khp, nờn bin khp l i tng iu khin trc tip.
1.2 Cỏc phng phỏp xõy dng d liu ng hc
Trong quỏ trỡnh s dng mt robot cụng nghip, cỏc kh nng cụng
ngh tiờu chun cú th khụng tha món nhng yờu cu thc t. Nu gp
trng hp cn iu khin robot di chuyn theo mt qu o phc tp
hn so vi kh nng ca b ni suy, vic xõy dng d liu iu khin l
cn thit. Giao din qua cng USB vi file NC code vit theo chun lp
trỡnh do nh sn xut quy nh thng l la chn trong trng hp ny
1.2.1 X lý nh
Cụng ngh x lý nh ngy cng c ng dng rng rói trong cuc
sng. Ngoi cỏc ng dng truyn thng nh phc hi, nõng cao cht
lng nh, cỏc ng dng nhn dng, an ninh, iu khin ngy cng ph
bin. Cụng ngh x lý nh v nhn dng l cụng ngh khỏ phc tp.
1.2.2 Bi toỏn ngc.
Vic gii h phng trỡnh ng hc ca robot c gi l bi toỏn ng
hc ngc, nhm xỏc nh giỏ tr ca cỏc bin khp theo cỏc thụng s ó
bit ca khõu chp hnh cui. Kết quả của việc giải hệ phơng trình
động học đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc điều khiển robot.
3
1.2.3 Kỹ thuật dạy – học
Kỹ thuật dạy - học (Teach- Pendant) dùng để dạy cho robot các thao tác
cần thiết theo yêu cầu của quá trình làm việc, sau đó robot tự lặp lại các
thao tác đã được dạy để làm việc
1.2.4 Liên kết CAD/ CAM
Trước đây, việc mã hoá tín hiệu tập tin CAD thành các thao tác của
robot thường rất tốn kém và phức tạp. Nhưng nay việc mã hoá tập tin
CAD đã trở nên đơn giản và đỡ tốn kém hơn nhờ CAD-CAM Robot,
giải pháp tạo đường dẫn trực tiếp từ các tập tin CAD để robot gia công
vật dạng 2,5D đến 3D.CAD-CAM.
1.3 Bài toán động học ngược Robot và các phương pháp điển hình
1.3.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp giải tích
1.3.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp số
1.3.3 Các phương pháp khác giải bài toán động học ngược
1.3.3.1. Phương pháp “các nhóm 3”
1.3.3.2 Phương pháp dịch chuyển vi phân
1.3.3.3 Phương pháp Raghavan Roth
1.3.3.4 Phương pháp loại trừ thẩm tách Sylvester
1.3.3.5 Phương pháp Pieper
1.3.3.6 Phương pháp Lee and Liang
1.3.3.7 Phương pháp Tsai Morgan
1.3.3.8 Phương pháp chuyển đổi ngược
1.3.3.9 Phương pháp Newton Raphason
1.3.3.10 Phương pháp giải bài toán tối ưu
1.4. Các hướng nghiên cứu tương cận với đề tài
1.5. Hướng nghiên cứu của đề tài
4
Kết luận chương 1
Việc hạn chế số lượng phương pháp trong thực hành là cần thiết và sự
hạn chế này cần nhất là không đưa đến những bất tiện do sử dụng các
công cụ vạn năng. Vì vậy mà việc thay thế cấu hình để sử dụng phương
pháp quen thuộc sẽ hiệu quả hơn việc giữ cấu hình gốc và thay đổi
phương pháp giải bài toán.
Những cản trở chính trong việc này là chọn một phương pháp có thể
giải quyết được phần lớn các bài toán động học khác nhau, khó khăn cơ
bản về bậc của phương trình liên kết sẽ được khắc phục bằng các biện
pháp như hạ bậc bằng cách đổi biến hoặc đưa các cấu hình thay thế có
kèm theo các ràng buộc bổ sung trong mô hình toán.
5
CHƯƠNG 2
KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
2.1. Xây dựng vòng khép kín của véc tơ trong các cấu trúc khác nhau
X
A
6
A
5
A
4
A
3
A
2
A
1
P
z
B
O
DG
O
0
T
E
R
O
v
Hình 2.1: Nguyên tắc hình thành vòng kín trên hai kiểu robot khác nhau
Ở robot chuỗi hở nếu phương trình liên kết tách ra làm hai nội dung là
mô tả vị trí và định hướng riêng thì ở robot song song hướng của khâu
chấp hành cũng được đảm bảo thông qua ràng buộc vị trí của các tọa độ.
2.2 Các dạng phương trình liên kết khác nhau với cấu trúc song song
2.2.1 Phương trình liên kết khi dẫn động kiểu R (rotation
6
a) Mặt trước b) Mặt bên
Hình 2.2: Sơ đồ khai triển chi tiết nhánh thứ i của robot song song dẫn
động quay
(2-1)
Phương trình chi tiết với chân thứ i có dạng:
−
−
−+
+−
+
=
++
+
++
Ai
Ai
Ai
ci
ci
ci
z
y
x
iiiii
iii
iiiii
z
y
x
z
y
x
cccss
cssscccssssc
sscscsccsscc
p
p
p
ssbssa
bca
csbcsa
.
)(
)cos().cos(
)(
21313
323
21313
βαβαβ
γαγβαγαγβαγβ
γαγβαγαγβαγβ
θθθθθ
θθθ
θθθθθ
(2-2)
Như vậy khi cấu trúc hàm mục tiêu theo [30], mục tiêu chỉ có dạng bậc
2:
[ ]
∑
=
−−+−+−=
6
1
2
)()()(min
i
iiziziyiyixix
lbpbpbpL
(2-3)
2.2.2 Phương trình liên kết khi dẫn động kiểu P (prismatic)
7
iiiiiiRPY
CBBAOAPCROP +=−+ .
Hình 2.3: Sơ đồ khai triển chi tiết nhánh thứ i của robot song song dẫn
động kiểu P
6, ,1. =++−= ipRtbl
iRPYii
Chiều dài chân thứ i chính là khoảng cách giữa hai điểm mút và
được xác định như sau:
(2-4)
Như vậy nếu xây dựng hàm mục tiêu cho bài toán tối ưu này theo phương
pháp đã đề xuất ở [10,30] hàm mục tiêu sẽ có dạng là một hàm bậc 4:
(2-5)
2.3 Phương pháp giảm Gradient tổng quát (GRG) và trình solver
2.3.1 Giới thiệu về thuật toán GRG
Xét bài toán tối ưu:
8
i
b
i
p
))(()()()(
222
iiiiiziziyiyixixi
bpbpbpbpbpl −−=−+−+−=
[ ]
∑
=
−−+−+−=
6
1
2
2
222
)()()(min
i
iiziziyiyixix
lbpbpbpL
Trong đó hàm f(x) và h
i
(x) phải liên tục và khả vi tại x và lân cận của x
thỏa mãn:
{x | xlk ≤ x ≤ xuk k = 1, , n} (2-6)
Trước hết khai triển gần đúng hàm f(x) và h
i
(x) tại x
1
như sau:
(2-7)
Các biến số được chia thành hai tập là là các biến cơ sở và là các
biến không cơ sở. Các hệ số cũng chia thành hai tập hợp là
và chứa các biến cơ sở và biến không cơ sở theo thứ tự
đó, dạng khai triển của hai đại lượng này như sau:
(2-8)
Vì x
1
là phương án xấp xỉ đầu chấp nhận được, thỏa các ràng buộc của
bài toán nên nghiệm kế tiếp có thể viết là:
(2-9)
9
Biểu diễn các điều kiện ràng buộc dưới dạng như sau:
(2-10)
Tập hợp các biến cơ sở có thể biểu diễn bởi phương trình:
(2-11)
Thay các biến cơ sở từ hàm mục tiêu vào phương trình (2-11) ở trên, giá
trị của hàm mục tiêu thay đổi từ n đến (n – m) đồng thời bài toán trở
thành bài toán quy hoạch phi tuyến không bị ràng buộc.
Nếu x
1
là lời giải tối ưu, gradient của hàm mục tiêu phải bằng không,
điều đó có nghĩa là:
(2-12)
Phương trình (2-12) xem như lượng giảm véc tơ gradient, nếu véc tơ
gradient giảm bằng 0 tại giá trị x
1
thì nó cũng thỏa mãn điều kiện cân
bằng Lagrange.
2.3.2 Giới thiệu về trình tối ưu solver
Chương trình máy tính sử dụng phương pháp GRG được chọn là hàm
solver của Excell. Solver chỉ xuất hiện khi cài đặt lựa chọn full, hoặc
nếu đã cài Excel trước với lựa chọn typical, phải chọn Add-Ins để cài
solver. Bài toán được khởi tạo ngay trên giao diện chính của Excel, có
thể điều chỉnh trực tiếp các thông số của bài toán tối ưu như:
10
- Convergence;
- Torolance;
- Iteration;
- Precision;
- Max time.
Các ràng buộc của bài toán được gán trực tiếp cho từng biến, kết quả
chạy chương trình được trả ra màn hình.
Hình 2.4: Hộp thoại Solver parameter
2.4 Ứng dụng phương pháp tối ưu vào bài toán động học robot song song
Nhận thấy trong trường hợp robot song song dẫn động quay, dạng của
phương trình liên kết là tương tự như phương trình nhận được trên các
cấu trúc chuỗi hở, đặc biệt là về bậc của hàm.
2.4.1 Giới thiệu robot và mô hình động học
11
Hình 2.6: Cơ cấu chấp hành song song 3RRR
Để đảm bảo tính chính xác, phương trình liên kết và các số liệu liên
quan trong bài toán này được chúng tôi tham khảo từ [10]. Quỹ đạo
chuyển động yêu cầu có dạng một nửa đường Ellipse như hình dưới đây
được sử dụng trong ví dụ này.
Các phương trình liên kết của ba chân có dạng:
Xa
2
+ Ya
2
+ e
11
. Xa + e
12
. Ya + e
13
= 0
(2-22)
Xa
2
+ Ya
2
+ e
21
. Xa + e
22
. Ya + e
23
= 0 (2-23)
Xa
2
+ Ya
2
+ e
31
. Xa + e
32
. Ya + e
33
= 0 (2-24)
2.4.2 Bài toán động học ngược với phương pháp GRG
12
Hình 2.8: Giao diện bài toán ngược
Theo kết quả trả về sau khi chạy chương trình trên hình 2 thì giá trị hàm
mục tiêu ở ô B23 có giá trị rất nhỏ và như vậy bài toán hội tụ [30],
nghiệm của bài toán ngược thể hiện ở các ô B5, B6, B7, ứng với số liệu
nhập vào ở các ô B9, B10, B11. Các phép thử trên matlab chứng tỏ sự
phù hợp của các số liệu trên.
2.4.3 Bài toán động học thuận với phương pháp GRG
Hình 2.9: Giao diện của bài toán thuận
13
2.5 Công thức đổi biến số và cấu trúc thay thế tương đương
2.5.1 Trường hợp robot song song dẫn động bằng khớp tịnh tiến,
khớp chủ động không nối giá
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
A
1
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
x
0
x
1
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
O
x
z
y
p
P
w
u
v
Hình 2.10: Một số ví dụ về cấu trúc thay thế (trái) và cấu trúc gốc
(phải)
Việc thay thế ở đây chỉ là về nguyên tắc để tạo ra một mô hình có dạng
mục tiêu bậc 2, nó yêu cầu giữ lại cơ cấu chấp hành của đối tượng được
thay thế, chỉ thay phần dẫn động để có được một cơ cấu với chức năng
động học tương đương, việc thay thế kết cấu đòi hỏi việc tính toán các
yếu tố như phương của trục khớp quay mới, giới hạn hoạt động của
khớp quay mới trong một mối quan hệ cụ thể với giới hạn co duỗi của
14
khớp tịnh tiến nguyên bản để sao cho hình dáng và thể tích của miền
làm làm việc của hai cơ cấu là như nhau.
R
C
F
q
3
l
3
Hình 2.11: Kết cấu tương đương và biến thay thế
Xét một robot song song phẳng với tấm di động chuyển động
trong mặt phẳng hình vẽ như dưới đây. Cấu hình gốc có chân kiểu RPR
với khớp xy lanh là chủ động, biến điều khiển là l
1
, l
2
, l
3
như hình vẽ.
P Q
R
(PQ=QR=RP=c)
A
B
C
D
E
F
a
1
b
1
a
2
b
2
b
3
a
3
h
h
h
q
1
q
2
q
3
l
1
l
2
l
3
Hình 2.12: Sơ đồ thay thế tương đương
Cho trước chiều dài l
i
với , xét cấu hình một chân như hình vẽ:
15
61÷=i
Hình 2.16: Quan hệ hình học giữa biến gốc (l
i
) và biến mới ( )khi
thay đổi kiểu dẫn động
Do chiều dài các đốt chân trên cấu hình thay thế chọn trước và để đơn
giản có thể chọn bằng nhau mà không làm mất tính tổng quát, khi đó
luôn có tam giác
là tam giác cân đỉnh B
i
với chiều dài tất cả các cạnh đã biết
trước là a = b, và l
i
. Góc B
i
được tính theo công thức:
(2-29)
Hay (2-30)
Theo hình vẽ: với xem như đã biết trước.
16
i2
θ
iii
CBA
)cos(.2
22
2
ii
Babbal −+=
)
2
arccos(
2
22
ab
lba
B
i
i
−+
=
ii
B−=
0
2
180
θ
61÷=i
Vậy trong trường hợp cụ thể này công thức đổi biến của bài toán để hạ
bậc hàm mục tiêu là:
(2-31)
2.5.2 Trường hợp robot song song dẫn động bằng khớp tịnh tiến,
khớp chủ động nối giá
Hình 2.20: Quỹ tích điểm C trong cấu trúc thay thế
Nghiệm lại điều kiện trên theo hình (2.20), phương trình quỹ đạo của
điểm C như có dạng:
17
)
2
arccos(180
2
22
0
2
ab
lba
i
i
−+
−=
θ
−+=
−+=
)
2
180sin(.)sin(.
)
2
180cos(.)cos(.
2
1
2
0
1
q
BCqABy
q
BCqABx
C
C
hay
+=
−=
)
2
sin(.)sin(.
)
2
cos(.)cos(.
2
1
2
1
q
aqay
q
aqax
C
C
thay
2
2
1
q
q =
Thấy
1
1
)sin(.2
0
q
qay
x
C
C
∀
=
=
Rõ ràng quỹ tích điểm C khi chịu sự ràng buộc này là đường thẳng trùng
với trục tung biểu diễn bởi một biến q
1
hay nó chỉ có một bậc tự do trên
tổ hợp khớp RR thay thế với mọi giá trị của q
1
.
18
Hình 2.21: Sơ đồ thay thế tương đương cho một chân của robot TPM khi sử
dụng hai khớp RR thay thế cho một khớp P có điều kiện hạn chế kèm theo
2.6 Xác lập quan hệ giữa 2 điểm cho không gian khác nhau
Trong bài toán điều khiển trình tự thông thường là mô tả trước quỹ đạo
chuyển động của khâu cuối, người điều khiển giải bài toán ngược sau đó
giải bài toán
thuận để xác định lại điểm đã đưa vào bài toán ngược để xuất kết quả,
sự phức tạp là ở chỗ robot song song có nhiều nghiệm với cả bài toán
thuận và bài toán ngược, việc xác định quan hệ duy nhất giữa hai điểm
theo cả hai chiều là việc không dễ dàng.
Hình 2.22: Quan hệ đa chiều giữa hai không gian qua bài toán động học
19
Hình 2.23: Một điểm đưa vào giải bài toán ngược của robot stewart gocgh
Kết luận chương 2
Chương này đã trình bày một phương pháp có khả năng giải được bài
toán động học ngược của các robot kiểu chuỗi động học hở, và khả năng
giải các bài toán thuận, ngược trên kiểu robot song dẫn động quay với
cùng một trình tự đã thực hiện trên robot chuỗi động học hở
Việc hạn chế số lượng phương pháp trong thực hành là cần thiết và sự
hạn chế này cần nhất là không đưa đến những bất tiện do sử dụng các
công cụ vạn năng, vì vậy mà việc thay thế cấu hình để sử dụng phương
pháp quen thuộc sẽ hiệu quả hơn việc giữ cấu hình gốc và thay đổi
phương pháp giải bài toán, kỹ thuật này đã được tác giả thử nghiệm trên
các loại tay máy khác nhau và chứng minh rằng chỉ bằng một phương
pháp duy nhất này có thể khảo sát động học cả robot chuỗi động học hở
và robot song song
20
CHƯƠNG 3
XÂY DỰNG THÍ NGHIỆM KIỂM TRA KẾT QUẢ BÀI TOÁN
- Kiểm tra các kết quả nhận được từ bài toán ngược bằng ánh xạ thuận;
- Kiểm tra việc áp dụng trực tiếp công thực hạ bậc không triển khai qua
khâu thay thế cấu trúc tương đương;
- Kiểm tra tổng quát bằng thí nghiệm với mô hình thực.
3.1 Những điểm nghi ngờ về kết quả bài toán
Vì bản chất việc chuyển bài toán từ giải hệ phương trình sang giải bài
toán tối ưu không có gì sai do biến đổi toán học sơ cấp đều tương
đương, thỏa mãn cả các điều kiện cần và đủ nên không có mối nghi ngờ
nào đặt ra ở đó. Tuy nhiên trong quá trình chọn lựa một phương pháp để
giải bài toán tối ưu trước khi thử phương pháp GRG rất nhiều lần với
các phương pháp khác nhau đã cho hàm mục tiêu có giá trị rất gần với
zero nhưng khi đem bộ giá trị dừng vừa nhận được thay vào phương
trình động học thuận lại cho ra kết quả khác hoàn toàn.
3.2 Kiểm tra kết quả bài toán bằng đồ họa
Vì yếu tố cần kiểm tra là sự phù hợp của các tham số hình học sau khi
giải bài toán, ở đây tác giả trình bày các kết quả kiểm tra bài toán theo
hai cách:
- Kiểm tra trên mô hình đồ họa, cách làm này có ưu điểm dễ tiếp cận và
nhanh cho kết luận đồng thời tránh được sai số chế tạo và lắp ráp như sử
dụng mô hình thực tế vì mô hình đồ họa trên máy tính hiện nay có độ
chính xác rất cao, việc đo lường nhờ các lệnh đo thuận tiện và đảm bảo
kết quả khách quan.
- Kiểm tra bằng một mô hình thực nhằm xác nhận sự phù hợp của các
21
tham số hình học thông qua đo kiểm bằng các dụng cụ chuyên dùng.
3.2.1 Sơ đồ robot thí nghiệm
Hình 3.1: Sơ đồ động robot thí nghiệm và khai triển chi tiết nhánh phải
Theo hình 3.2 phương trình véc tơ cho khai triển một nhánh có dạng:
2,1
=+−=
ital
ii
Chiều dài chân thứ i chính là khoảng cách giữa hai điểm mút a
i
và O
1
được xác định như sau:
))(()()()(
11
2
1
2
1
2
1 iiizziyyixxi
aOaOaOaOaOl −−=−+−+−=
Như vậy nếu xây dựng hàm mục tiêu cho bài toán tối ưu này theo
phương pháp đã đề xuất ở [2] hàm mục tiêu sẽ có dạng là một hàm bậc
4:
[ ]
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
)()()(min
∑
=
−−+−+−=
i
iizziyyixx
laOaOaOL
22
Hình 3.2: Sơ đồ động tương đương và khai triển chi tiết nhánh phải
Do toàn bộ sơ đồ khai triển nằm trong mặt phẳng nên có phương trình
liên kết như sau:
2,1=+−=+ itacb
iii
Phương trình chi tiết cho vòng véc tơ bên phải có dạng:
++
++
=
−
)sin(.)sin(.
)cos(.)cos(.
0
222
222
αβα
αβα
cb
cb
a
p
p
y
x
(1)
Phương trình chi tiết cho vòng véc tơ bên trái có dạng:
++
++
=
−
−
)sin(.)sin(.
)cos(.)cos(.
0
111
111
αβα
αβα
cb
cb
a
p
p
y
x
(2)
Đối với (1, 2), hàm mục tiêu của bài toán tối ưu là:
2
111
2
111
2
222
2
222
))sin(.)sin(.())cos(.)cos(.(
))sin(.)sin(.())cos(.)cos(.(min
αβααβα
αβααβα
+−−++−−++
+−−++−−−=
cbpcbap
cbpcbapL
yx
yx
23
Rõ ràng mục tiêu chỉ có dạng bậc 2 so với dạng bậc 4 của cấu trúc ban
đầu:
24
[ ]
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
)()()(min
∑
=
−−+−+−=
i
iizziyyixx
laOaOaOL
3.2.2 Kiểm tra sự chính xác của công thức đổi biến
Công thức đổi biến có dạng:
)
2
arccos(180
2
22
0
ab
lba
i
i
−+
−=
β
sau đó đem so sánh kết quả nhận được với nhau, vì quan hệ đổi biến xây
dựng cho cả một lớp robot nên nếu việc kiểm tra thành công với một
robot cụ thể bất kỳ nó cũng sẽ đúng cho các robot khác trong lớp đó.
Ngược lại nếu quan hệ này sai trong thử nghiệm ngẫu nhiên bất kỳ nó
cũng sai trên cả lớp bài toán đó.
Trong lược đồ hình 3.3 không làm mất tính tổng quát của bài toán có thể
chọn a = b, khi đó công thức đổi biến trở thành:
)
2
2
arccos(180
2
2
2
0
a
la
i
i
−
−=
β
Thử lại công thức đổi biến bằng cách giải bài toán ngược để tính góc
i
β
cho vế trái, l
i
được đo từ lược đồ dựng nên khi biết các góc
),,,(
2121
ββαα
từ bài toán ngược, nếu hai vế cân bằng được chứng tỏ
công thức đổi biến đúng.
25
