Tiết 3. Định thức của ma trận vuông
1
2
Chương I: Ma trận và định thức
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
Mục tiêu
Hiểu định nghĩa ma trận con của ma trận
vuông, định nghĩa định thức của ma trận vuông
và một số tính chất của định thức .
Biết tìm ma trận con của ma trận vuông, biết
tính định thức của ma trận vuông.
1
2
Chương I: Ma trận và định thức
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
TÀI LIỆU THAM KHẢO
4
Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 1 (Đại số tuyến tính), NXB GD Việt Nam, 2009
1
2
3
5
Nguyễn Đình Trí , Toán học cao cấp ,tập 1 (Đại số và hình học giải tích ), NXB GD , 2005
Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 1 NXB GD, 2004
Nguyễn Huy Hoàng Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 1 – NXB Thống Kê 2007
Đoàn Quỳnh ,Giáo trình ĐSTT &HHGT , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội ,2005
Đoàn Quỳnh ,Giáo trình toán đại cương , Phần 1(đstt &hhgt), NXB ĐHQG Hà Nội 1998.
6
7
Hoàng Xuân Sính, Bài tập Đại số tuyến tính , NXB GD Việt Nam, 2000
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
Kí hiệu
ij
M
là ma trận con của A ứng với phần tử
ij
a
là ma trận con cấp (n – 1) có được từ ma trận A khi bỏ đi hàng i, cột j.
ij
M
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
3
1 2 5
3 4 1
0 5 1
A
−
÷
= −
÷
÷
Ví dụ.
11
2
4 1
5 1
M
−
⇒ =
÷
23
?M⇒ =
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
Định nghĩa
A
Giả sử A là ma trận vuông cấp n.
Khi đó, định thức cấp n của ma trận A kí hiệu là: det(A) hay
là một số thực được định nghĩa một cách qui nạp sau:
A
A
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
a) Định thức cấp 1
( )
11
A a=
11
det( )A a⇒ =
b) Định thức cấp 2
11 12
21 22
a a
a a
A
=
÷
11 12
21 22
a a
det (A)
a a
⇒ =
1 2
1 1 2 2
= (-1) a det(M )+(-1) a det(M )
i i
i i i i
+ +
hoặc
11 12
21 22
a a
det (A)
a a
⇒ =
1 2
1 1 2 2
= (-1) a det(M )+(-1) a det(M )
j j
j j j j
+ +
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
b) Định thức cấp 3
hoặc
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
÷
=
÷
÷
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det( )
a a a
A a a a
a a a
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 a det + 1 a det 1 a det
i i i
i i i i i i
M M M
+ + +
= − − + −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 3
1 1 2 2 3 3
det( ) 1 a det + 1 a det 1 a det
j j j
j j j j j j
A M M M
+ + +
= − − + −
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
Quy tắc Sarus
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
1 3 0
2 1 3
4 1 5
−
1
2
4
3
1−
1
Ví dụ:
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
( )
ij
n x n
a
d) Định thức cấp n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 1 2 2
det 1 a det + 1 a det 1 a det
i i i n
i i i i in in
A M M M
+ + +
= − − + + −
Giả sử ta đã định nghĩa được định thức cấp (n - 1). Khi đó định thức
cấp n của ma trận được xác định như sau:
( )
ij
n xn
A a=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 1 2 2
det 1 a det + 1 a det 1 a det
j j n j
j j j j nj nj
A M M M
+ + +
= − − + + −
hoặc
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
( )
ij
n x n
a
2 0 0 3
1 1 2 2
0 3 5 1
1 4 2 4
A
−
÷
− −
÷
=
÷
÷
−
Ví dụ:
2 0 0 3
1 1 2 2
2 3 5 1
3 4 2 4
A
−
÷
− −
÷
=
÷
÷
−
det(A)= ?
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
1.2.2. Tính chất của định thức
Nhận xét : Do vậy, mọi tính chất nếu đúng cho hàng thì
cũng đúng cho cột và ngược lại.
-
Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho
nhau thì định thức đổi dấu.
-
Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng
một số k thì định thức được nhân lên k lần.
Nhận xét : Nếu các phần tử của một hàng (một cột ) có thừa số
chung thì có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức.
- Giả sử A vuông , khi đó
det det( )
T
A A=
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
1.2.2. Tính chất của định thức
Ví dụ : Chứng minh D chia hết cho 13
1 5 156
2 8 286
4 1 416
D =
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
1.2.2. Tính chất của định thức1.2.2. Tính chất của định thức
- Giả sử A vuông , khi đó det(A) = det(AT)
-
Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau
thì định thức đổi dấu.
- Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng
một số k thì định thức được nhân lên k lần.
-
Khi tất cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng
của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng
của hai định thức
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
1.2.2. Tính chất của định thức
11 12 13
' ' '
21 21 22 22 23 23
31 32 33
a a a
a a a a a a
a a a
+ + +
Ví dụ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
=
11 12 13
' ' '
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
+
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
1.2.2. Tính chất của định thức
-
Định thức của ma trận sẽ bằng không nếu thoả mãn một
trong các điều kiện sau:
+ Có một hàng (một cột) gồm toàn là số không.
+ Có hai hàng (hai cột) tỉ lệ với nhau.
+ Có một hàng (một cột) là tổ hợp tuyến tính
của các hàng khác (cột khác).
Ví dụ
0
b2aba
b2aba
b2aba
3333
2222
1111
=
+
+
+
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
1.2.2. Tính chất của định thức
-
Định thức của ma trận sẽ không thay đổi nếu nhân k vào một
hàng (một cột) rồi đem cộng vào một hàng khác(cột khác).
- Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo
- Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) = det(A). det(B)
Chương I: Ma trận và định thức
1.2 Định thức của ma trận vuông
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 3: Định thức của
ma trận vuông
1.2.1. Định nghĩa & ví dụ
1.2.2. Tính chất của định thức
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
n
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
÷
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
Củng cố và dặn dò
1
2
Cần hiểu về ma trận con của một ma trận vuông,định thức
cấp n của ma trận vuông và các tính chất của định thức
Biết cách tìm ma trận con của ma trân vuông
Biết tính định thức của một ma trận vuông
3
Làm bài tập từ 3.2 – 3.8 ( trang 80, 81 ,82- học liệu [6] tập 1)
Chuẩn bị kiến thức về các phương pháp tính định thức.
