Tiết 5. Hạng của ma trận
1
2
Chương I: Ma trận và định thức
Tiết 5: Hạng của ma trận
Mục tiêu
Hiểu được ma trận vuông cấp k của một ma trận , định
thức con cấp k của một ma trận , định nghĩa hạng của
ma trận, hiểu phương pháp tìm hạng của ma trận.
Biết vận dụng các kiến thức đã học để tìm hạng của
ma trận.
1
2
Chương I: Ma trận và định thức
Tiết 5: Hạng của ma trận
TÀI LIỆU THAM KHẢO
4
Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 1 (Đại số tuyến tính), NXB GD Việt Nam, 2009
1
2
3
5
Nguyễn Đình Trí , Toán học cao cấp ,tập 1 (Đại số và hình học giải tích ), NXB GD , 2005
Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 1 NXB GD, 2004
Nguyễn Huy Hoàng Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 1 – NXB Thống Kê 2007
Đoàn Quỳnh ,Giáo trình ĐSTT &HHGT , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội ,2005
Đoàn Quỳnh ,Giáo trình toán đại cương , Phần 1(đstt &hhgt), NXB ĐHQG Hà Nội 1998.
6
7
Hoàng Xuân Sính, Bài tập Đại số tuyến tính , NXB GD Việt Nam, 2000
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
Xét ma trận
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
*
, min( , )k N k m n∈ ≤
với
Nếu bỏ đi m- k hàng và n- k cột của ma trân A thì ma trận A còn
lại k hàng và k cột. Khi đó ta được một ma trận vuông cấp k
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
a)Định nghĩa 1:
Ví dụ 1:
Xét ma trận
3 4
1 3 2 4
2 2 0 3
3 1 2 1
A
×
÷
= − −
÷
÷
Ma trận con cấp k của ma trận A là ma trận vuông
cấp k có được từ ma trận A bỏ đi m-k hàng và n-k cột .
Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp k của A
Chú ý: Số định thức con cấp k được xác định bằng
k k
m n
C C
Kí hiệu:
1 2
1 2
j j j
k
i i i
k
k
D D=
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
b) Định nghĩa 2: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con
khác không có mặt trong A. Ký hiệu hạng của A là rank (A) hoặc r(A).
Nhận xét:
Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận
Nếu A có cấp m × n thì r(A) ≤ min (m , n ).
1 4
5 2
A
−
=
÷
−
a)
3 4
1 3 2 4
2 2 0 3
3 1 2 1
B
×
÷
= − −
÷
÷
b)
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
Ví dụ 3:
Biện luận theo tham số m hạng của ma trận
3 3
1 2 3
2 4
3 4 5
C m
×
−
÷
=
÷
÷
−
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
a) Ma trận bậc thang
11 12 1 1
22 2 2
0
0 0 0 0
0 0 0 0
r n
r n
rr rn
a a a a
a a a
a a
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
hàng khác không
hàng không
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
Ví dụ 4:
=
0000
1100
2110
7531
A
=
0000
1030
7521
B
=
1120
1210
7521
C
Ma trận bậc thang
Ma trận bậc thang Không là ma trận bậc thang
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
a) Ma trận bậc thang
11 12 1 1
22 2 2
0
0 0 0 0
0 0 0 0
r n
r n
rr rn
a a a a
a a a
a a
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
hàng khác không
hàng không
Nhận xét : Hạng của ma trận có dạng bậc thang bằng số
hàng khác không của nó.
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
b) Phương pháp biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
+ Đổi chỗ 2 hàng ( 2 cột ) của ma trận
+ Nhân 1 hàng ( 1 cột ) với một số khác 0.
+ Cộng vào 1 hàng ( 1 cột ) 1 hàng ( 1 cột ) khác đã nhân với một số .
3 4
1 3 2 4
2 2 0 3
3 1 2 1
B
×
÷
= − −
÷
÷
Ví dụ 6: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận B về dạng
ma trận dạng bậc thang
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
Nhận xét:
- Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi tính bằng không hay
khác không của định thức do đó không làm thay đổi hạng của ma
trận
-
Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về dạng ma trận
hình thang
- Khi đó hạng của ma trận A sẽ bằng hạng ma trận hình thang
và bằng số hàng khác không của ma trận hình thang
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
Ví dụ 7: Tìm hạng của ma trận
a)
1 3 4 2
2 1 1 4
1 2 1 2
A
−
÷
=
÷
÷
− − −
r(A) = 2
b)
3 2 7 8
1 0 5 8
4 2 2 0
1 0 3 7
B
− −
÷
− −
÷
=
÷
−
÷
r(B) = 3
Chương I: Ma trận và định thức
1.3 Hạng của ma trận
( )
nm
ij
aA
×
=
Tiết 5: Hạng của ma trận
1.3.1. Đ/n hạng của ma trận
1.3.2. PP tìm hạng của ma trận
Củng cố và dặn dò
1
2
3
Hiểu rõ hơn về ma trận con cấp k của một ma trận
định thức con cấp k của ma trận , định nghĩa hạng
của ma trận, ma trận bậc thang .
Làm bài tập 3.43, 3.44 ( trang 90- học liệu [6] tập 1).
Chuẩn bị kiến thức về ma trận và định thức để làm
bài tập giờ thảo luận
Biết tìm hạng của ma trận dựa vào định nghĩa . Biết
cách tính hạng của ma trận thông qua ma trận bậc
thang.
