Tiết 7. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính tổng quát
1
2
Mục tiêu
Hiểu được định nghĩa hệ phương trình tuyến tính
tổng quát, biết đươc dạng ma trận của hệ phương
trình tuyến tính, hệ phương trình dạng tam giác và
dạng hình thang
Phân biệt được các dạng của hệ phương trình.
Biết đưa một hệ phương trình tuyến tính về dạng
ma trận và ngược lại . Biết cách giải hệ phương
trình dạng tam giác và dạng hình thang
1
2
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
TÀI LIỆU THAM KHẢO
4
Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 1 (Đại số tuyến tính), NXB GD Việt Nam, 2009
1
2
3
5
Nguyễn Đình Trí , Toán học cao cấp ,tập 1 (Đại số và hình học giải tích ), NXB GD , 2005
Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 1 NXB GD, 2004
Nguyễn Huy Hoàng Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 1 – NXB Thống Kê 2007
Đoàn Quỳnh ,Giáo trình ĐSTT &HHGT , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội ,2005
Đoàn Quỳnh ,Giáo trình toán đại cương , Phần 1(đstt &hhgt), NXB ĐHQG Hà Nội 1998.
6
7
Hoàng Xuân Sính, Bài tập Đại số tuyến tính , NXB GD Việt Nam, 2000
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
a) Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ gồm m
phương trình bậc nhất đối với n ẩn số có dạng:
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Trong đó
là các ẩn số cần tìm
1 2
, ,
n
x x x
là hệ số của phương trình thứ i gắn với ẩn
( )
1, , 1,
j
x i m j n
= =
a
ij
vế phải của phương trình thứ i
, 1,
i
b i m
=
1
1,2, ,
n
ij j i
j
a x b
i m
=
=
=
∑
hoặc
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
Ví dụ 1 :
1 2
1 2
2 3
4 3 1
x x
x x
− =
+ =
1)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 2 0
4 2 5 0
2 8 0
x x x x
x x x x
x x x x
− + − =
− + + =
− + + =
−=++−
=−+
=+−
1
02
42
321
321
321
xxx
xxx
xxx
2)
Hệ phương trình tuyến tính gồm
hai phương trình và hai ẩn
Hệ phương trình tuyến tính gồm
ba phương trình và ba ẩn
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
Ví dụ 1 :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 2 0
4 2 5 0
2 8 0
x x x x
x x x x
x x x x
− + − =
− + + =
− + + =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 2 0
4 2 5 0
2 8 0
x x x x
x x x x
x x x x
− + − =
− + + =
− + + =
3)
Hệ phương trình tuyến tính gồm
ba phương trình và bốn ẩn
=−+
=−+
−=+−
=++
74
11332
2
724
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
4)
Hệ phương trình tuyến tính gồm
bốn phương trình và ba ẩn
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
÷
÷
=
÷
÷
=
n
x
x
x
X
2
1
=
m
b
b
b
B
2
1
ma trận hệ số
ma trận ẩn
ma trận vế phải
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
11 12 1
1
21 22 2 2
1 2
A
n
n
m
m m mn
a a a
b
a a a b
A B
b
a a a
÷
÷
= =
÷
÷
ma trận hệ số mở rộng
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
÷
÷
=
÷
÷
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
÷
÷
=
÷
÷
=
n
x
x
x
X
2
1
=
m
b
b
b
B
2
1
ma trận hệ số
ma trận ẩn
ma trận vế phải
11 12 1
1
21 22 2 2
1 2
A
n
n
m
m m mn
a a a
b
a a a b
A B
b
a a a
÷
÷
= =
÷
÷
ma trận hệ số mở rộng
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
÷
÷
=
÷
÷
=
n
x
x
x
X
2
1
=
m
b
b
b
B
2
1
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Dạng ma trận AX = B
nếu B = là hệ thuần nhất
θ
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Dạng ma trận AX = B
nếu B = là hệ thuần nhất
θ
nếu A là ma trận vuông thì hệ là hệ vuông.
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Dạng ma trận AX = B
nếu B = là hệ thuần nhất
θ
nếu A là ma trận vuông thì hệ là hệ vuông.
Nghiệm của hệ là một bộ gồm n số thực sao cho
thoả mãn tất cả các phương trình của hệ.
1 2
( , , , )
n
x x x
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
Ví dụ:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5
2 4 3 1
3 2 0
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =
− + + + = −
− + − =
1)
thỏa mãn pt 2
bộ số (1,1,-1,0)
thỏa mãn pt 3
thỏa mãn pt 1
là nghiệm của hệ
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
Ví dụ:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 4 9
2 3 8
2 3 5
4 2 6 6
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− + + + = −
+ − − =
+ + + =
− + − =
2)
thỏa mãn pt 2
bộ số (2,1,0,-1)
không thỏa mãn pt 3
thỏa mãn pt 1
không là nghiệm của hệ
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
c) Hệ phương trình dạng tam giác :
Hệ gồm n phương trình, n ẩn có dạng
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b
+ + + =
+ + =
=
11 22
, , , 0
nn
a a a
≠
hệ phương trình dạng tam giác
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
Ví dụ 3 : Cho hệ phương trình
1 2 3
2 3
3
4 3 5
2 1
3 9
x x x
x x
x
+ − =
+ = −
=
hệ phương trình dạng tam giác.
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
d) Hệ phương trình dạng hình thang:
Hệ gồm r phương trình n ẩn ( với r<n)
11 1 12 2 1 1 1 1 1 1
22 2 2 2 1 1 2 2
1 1
r r r r n n
r r r r n n
rr r rr r rn n r
a x a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x b
+ +
+ +
+ +
+ + + + + + =
+ + + + + =
+ + + =
được gọi là hệ phương trình dạng hình thang
).
11 22
, , , 0
rr
a a a
≠
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ
phương trình tuyến tính
tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
Ví dụ 4 :
Cho hệ phương trình
1 2 3 4
2 3 4
4 3 5
2 2 1
x x x x
x x x
+ − + =
+ − = −
hệ phương trình dạng hình thang
Ma trận hệ số
1 4 3 1
0 2 1 2
A
−
=
÷
−
Chương II: Hệ phương trình tuyến tính
Tiết 7: Định nghĩa hệ phương
trình tuyến tính tổng quát
2.1 Định nghĩa hệ phương trình
tuyến tính tổng quát
1
2
Hiểu hơn về phương trình tuyến tính tổng quát. Phân biệt
được các dạng hệ phương trình.
Biết đưa một hệ phương trình tuyến tính về dạng ma trận
và ngược lại .Biết giải thành thạo hệ phương trình dạng
tam giác và dạng hình thang
3
Chuẩn bị phần kiến thức về hệ phương trình Cramer
Củng cố và dặn dò
