Tiết 22. Hàm số liên tục
1
2
Mục tiêu
Hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm , liên tục
một phía, liên tục một khoảng, một đoạn, hàm số gián
đoạn.
Biết vận dụng các kiến thức đã học để làm bài toán về
xét tính liên tục của hàm số.
1
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
4
Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 2 (Giải tích toán học), NXB GD Việt Nam, 2009
1
2
3
5
Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp, tập 2( Phép tính giải tích một biến số), NXB GD, 2005
Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 2 NXB GD, 2004
Nguyễn Huy Hoàng, Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 2 , NXB Thống Kê 2007
Nguyễn Xuân Liêm ,Giải tích tập I, NXB GD ,2010
Tiết 22: Hàm số liên tục
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.1 Liên tục tại một điểm.
Giả sử hàm số f(x) xác định tại và trong lân cận của .
0
x
0
x
Hàm số f(x) gọi là liên tục tại nếu
0
x
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
Khi đó điểm gọi là điểm liên tục của hàm số f(x).
0
x
Nhận xét: Các hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm mà nó xác định
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.2 Liên tục một phía.
Liên tục phải: Nếu thì f(x) gọi là liên tục phải tại .
0
lim ( ) ( )
o
x x
f x f x
+
→
=
0
x
Liên tục trái:
0
lim ( ) ( )
o
x x
f x f x
−
→
=
Nếu thì f(x) gọi là liên tục trái tại .
0
x
Nhận xét :
Hàm số f(x) liên tục tại khi và chỉ khi
0
x
0
lim ( ) lim ( ) ( )
o o
x x x x
f x f x f x
+ −
→ →
= =
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số
sin
khi x 0
( )
0 khi x=0
x
x
f x
≠
=
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.2 Liên tục một phía.
Ví dụ 2:
Xác định a để hàm số liên tục trên miền xác định của nó:
≤+
<
=
x
xf
0 khi2x a
0 xkhi 2e
)(
x
1)
2
1 cos3
khi x 0
( )
a khi x 0
x
f x
x
−
≠
=
=
2)
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.3 Liên tục trên một khoảng, đoạn.
Ký hiệu:
( , )
( )
a b
f x C
∈
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trong (a, b)
và liên tục trái tại a, liên tục phải tại b.
Ký hiệu:
],[
)(
ba
Cxf
∈
f(b)
0
f(a)
a
b
x
y
Ý nghĩa hình học
Hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a, b) nếu f(x) liên tục tại
mọi
( , )x a b
∈
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.4. Các phép tính về hàm liên tục
Định lý 1: Nếu các hàm số f(x), g(x) liên tục tại điểm thì
0
x
[ ]
( ) ( ) ;f x g x
±
[ ]
( ). ( ) ;f x g x
( )
( )
f x
g x
với
0
( ) 0;g x
≠
cũng liên tục tại
0
x
Định lý 2:
(Sự liên tục của hàm số kép)
Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại và hàm liên tục tại
(với ) thì hàm liên tục tại .
0
x
0
x
( )z y
ϕ
=
0
y
0 0
( )y f x
=
( )z y
ϕ
=
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.5. Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn
a) Tính chất 1:
(Tính bị chặn)
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) bị chặn trên [a, b].
Tức là:
[ ]
0: , : ( )M x a b f x M
∃ > ∀ ∈ <
b) Tính chất 2:
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất trên [a, b].
Tức là:
[ ]
1 2 1 2
[a,b]
[a,b]
, , : ( ) min ( ); ( ) ax ( )x x a b f x f x f x m f x
∃ ∈ = =
c) Tính chất 3:
Nếu f(x) liên tục trên [a, b], f(a) ≠ f(b) và k là một số nằm giữa
f(a) và f(b).Khi đó tồn tại ít nhất một số c thuộc (a, b) sao cho f(c)= k
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.5. Các tính chất của hàm liên tục trên một đoạn
f(b)
0
f(a)
a b
x
y
c
Ví dụ 3 :
a) Cho hàm số
2
( ) 5f x x x
= − − +
Chứng minh rằng :
[ ]
1 ;2c
∃ ∈
sao cho
( ) 2f c
=
b) Cho phương trình
5
3 1 0x x
− + =
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trên đoạn
[ ]
0,1
Hệ quả: : Nếu
và f(a).f(b) < 0 khi đó tồn tại 1
điểm sao cho f(c)=0.
[ , ].
( )
a b
f x C
∈
( , )c a b
∈
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.6. Điểm gián đoạn của hàm số
a) Điểm gián đoạn
Ví dụ :
x
xf
1
)(
=
1)
có điểm gián đoạn x = 0
2) Chứng minh
2
2 2
khi x 1
( )
1
5 khi x 1
x x
f x
x
−
≠
=
−
=
gián đoạn tại x=1
Hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm nếu f(x) không liên tục
tại . Khi đó điểm gọi là điểm gián đoạn của hàm số.
0
x
0
x
0
x
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.6. Điểm gián đoạn của hàm số
b) Các trường hợp gián đoạn.
Điểm là điểm gián đoạn của f(x) nếu thuộc một trong các
trường hợp sau:
0
x
- Hàm số f(x) không xác định tại
0
x
( ) ( )
0 0
lim lim
x x x x
f x f x
− +
→ →
≠
-
( ) ( )
0 0
0
lim lim ( )
x x x x
f x f x f x
− +
→ →
= ≠
-
c) Phân loại điểm gián đoạn.
Giả sử điểm là điểm gián đoạn của hàm số f(x).
0
x
Điểm gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số f(x) nếu tồn tại giới
hạn trái và giới hạn phải hữu hạn của hàm số f(x) tại .
0
x
0
x
Các điểm gián đoạn của hàm số không phải là điểm gián đoạn
loại 1 thì gọi là điểm gián đoạn loại 2.
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
4.4.Hàm số liên tục
4.4.6. Điểm gián đoạn của hàm số
Ví dụ: Xét tính liên tục và phân loại điểm gián đoạn của hàm số:
=
≠
=
0 xkhi 1
0 xkhi
sin
)(
x
x
xf
1)
1
sin khi x 0
( )
0 khi x 0
x
f x
x
≠
=
=
2)
≤<
≤≤
=
2x1 khix -2
10 khi x
)(
2
x
xf
3)
1
2
Hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, liên tục
một phía, liên tục một khoảng, một đoạn và định nghĩa
điểm gián đoạn. Biết xét tính liên tục của hàm số .
Làm các bài tập từ 12 -16 ( trang 115- học liệu [6] tập 2).
3
Chuẩn bị phần kiến thức về đạo hàm và vi phân
của hàm một biến
Củng cố và dặn dò
Chương IV: Phép tính vi phân
hàm số một biến số
Tiết 22: Hàm số liên tục
