Tiết 41 phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Tiết 41. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
1
2

Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
Mục tiêu
Hiểu định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính
cấp 1 và cách giải phương trình vi phân tuyến tính
cấp 1.
Biết vận dụng các kiến thức đã học để giải phương
trình vi phân tuyến tính cấp 1.
1
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chương VII: Phương trình vi phân
4
Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 2 (Giải tích toán học), NXB GD Việt Nam, 2009
1
2
3
5
Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp, tập 2( Phép tính giải tích một biến số), NXB GD, 2005
Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 2 NXB GD, 2004
Nguyễn Huy Hoàng, Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 2 , NXB Thống Kê 2007
Ngyễn Thế Hoàng, Cơ sở PTVP và Lý thuyết ổn dịnh, NXB GD ,2013
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
( )
nm

ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
Định nghĩa
7.2.3. Phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1.
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình dạng:
( ). ( ) (*)
dy
p x y q x
dx
+ =
Trong đó p(x), q(x) là các hàm số của x liên tục trên một
khoảng (a, b) nào đó.
Ví dụ 1:
2
3 0y x y
′
− =
là phương trình tuyến tính thuần nhất
xy
x
y 3
1
=+
′

là phương trình tuyến tính không thuần nhất
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
7.2.3. Phương trình vi phân tuyến
tính cấp một
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
a) Cách giải phương trình tuyến tính thuần nhất
Xét phương trình
( ). 0 (1)
dy
p x y
dx
+ =
Ví dụ 2: Giải phương trình
2
1) 3 0y x y
′
− =
( )
2 '
2) 1 0x y xy
+ + =
Nghiệm tổng quát
∫

=
−
dxxp
eCy
)(
.
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
7.2.3. Phương trình vi phân tuyến
tính cấp một
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
b) Mối liên hệ giữa phương trình tuyến tính thuần nhất và phương
trình tuyến tính không thuần nhất.
Xét phương trình:
( ). ( ) (*)
dy
p x y q x
dx
+ =
với
( ) 0q x
≠
( ). 0 (1)
dy

p x y
dx
+ =
Khi đó là phương trình thuần nhất liên kêt của (*).
( )y x
Định lí : Nếu là một nghiệm của phương trình (*) và là
một nghiệm của phương trình thuần nhất liên kết (1) thì
là nghiệm của phương trình (*) .
0
( )y x
( )y x
0
( ) ( )y x y x
+
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
7.2.3. Phương trình vi phân tuyến
tính cấp một
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
b) Mối liên hệ giữa phương trình tuyến tính thuần nhất và phương
trình tuyến tính không thuần nhất.
( )y x
Ví dụ 3 : Giải phương trình
2

dy
xy x
dx
− =
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
7.2.3. Phương trình vi phân tuyến
tính cấp một
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
c ) Phương pháp tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không
thuần nhất .
( )y x
Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết (1)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng
( )
(2)
p x dx
y Ce
−
∫
=
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (*) dưới dạng phương trình (2)
nhưng với C là hàm số của x: C= C(x)
Bước 3: Thay hàm C(x) tìm được ở bước 2 vào (2) ta được nghiệm

tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (*)
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
7.2.3. Phương trình vi phân tuyến
tính cấp một
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
c ) Phương pháp tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không
thuần nhất .
( )y x
Ví dụ 4: Giải phương trình:
xy
x
y 3
1
=+
′
3 2
1
( )
C
y x C x
x x
= + = +
Nghiệm tổng quát của phương trình là:

Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện:
.1
1
=
=
x
y
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
7.2.3. Phương trình vi phân tuyến
tính cấp một
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
c ) Phương pháp tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không
thuần nhất .
( )y x
Chú ý: Trong một số trường hợp ta phải coi x là hàm số của y để giải.

Ví dụ 5: Giải phương trình:
( )
' 2
y x y y
+ =
( )
nm

ij
aA
×
=
nm
×
k to add title in here
1
2
3
Hiểu về phương trình vi phân tuyến tính câp 1 và
cách giải phương trình vi phân tuyến tính câp 1.
Chuẩn bị phần kiến thức về phương trinh Bernoulli
Chương VII: Phương trình vi phân
Củng cố, dặn dò
Tiết 41: Phương trình vi
phân tuyến tính cấp 1.
Làm các bài tập từ 3- 13 ( trang 200- học liệu [8]).