Tiết 43. Phương trình vi phân toàn phần
1
2
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
Mục tiêu
Hiểu định nghĩa phương trình vi phân toàn phần và
cách giải phương trình vi phân toàn phần
Biết vận dụng các kiến thức đã học để giải phương
trình vi phân toàn phần
1
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chương VII: Phương trình vi phân
4
Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 2 (Giải tích toán học), NXB GD Việt Nam, 2009
1
2
3
5
Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp, tập 2( Phép tính giải tích một biến số), NXB GD, 2005
Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 2 NXB GD, 2004
Nguyễn Huy Hoàng, Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 2 , NXB Thống Kê 2007
Ngyễn Thế Hoàng, Cơ sở PTVP và Lý thuyết ổn dịnh, NXB GD ,2013
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
7.2.5. Phương trình vi phân
toàn phần
a) Định nghĩa.
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
( , ) ( , ) 0 (*)P x y dx Q x y dy
+ =
Phương trình vi phân dạng đối xứng
được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại một hàm
khả vi sao cho vi phân toàn phần trong
đó liên tục cùng với các đạo hàm riêng , với mọi
thuộc miền D nào đó của .
( , )u x y
( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy
= +
,
P Q
y x
∂ ∂
∂ ∂
( , )x y
2
R
( , ), ( , )P x y Q x y
Ví dụ 1: Phương trình
0ydx xdy
+ =
là phương trình vi phân toàn phần
( , )u x y xy
=
với hàm
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
b) Định lý:
với liên tục cùng với các đạo hàm riêng
( , ), ( , )P x y Q x y
,
P Q
y x
∂ ∂
∂ ∂
( , ) ( , ) 0 (*)P x y dx Q x y dy
+ =
Phương trình vi phân dạng đối xứng
2
R
P Q
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
với mọi (x, y) thuộc miền D nào đó của là phương trình vi phân
toàn phần khi và chỉ khi .
7.2.5. Phương trình vi phân
toàn phần
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
Ví dụ: Chỉ ra các phương trình vi phân toàn phần
2
1) (2 2 ) 2 0
x x
e x y dx e ydy
+ − − =
02)22(
2
=−−+
ydyedxyxe
xx
( )
( )
2 2
2) 1 0x y dx x y x dy
− + − =
( ) ( )
2 2
3) 3 2 2 6 3 0y xy x dx xy x dy
+ + + + + =
là ptvp toàn phần
không là ptvp toàn phần
là ptvp toàn phần
7.2.5. Phương trình vi phân
toàn phần
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
02)22(
2
=−−+
ydyedxyxe
xx
Chú ý:
Để tìm u(x,y) ta có thể sử dụng
),( yxP
x
u
=
∂
∂
Ta có
( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx y
ϕ
= +
∫
trong đó là hàm khả vi tùy ý
( )y
ϕ
Từ đó
( )
),()(),( yxQydxyxP
y
u
y
=
′
+
′
=
∂
∂
∫
ϕ
),( yxQ
y
u
=
∂
∂
và
Đẳng thức này cho phép ta tìm được từ đó tìm được u(x,y).
( )y
ϕ
7.2.5. Phương trình vi phân
toàn phần
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
02)22(
2
=−−+
ydyedxyxe
xx
Chú ý:
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ))x y P x y dx x y Q x y dy d u x y
µ µ
+ =
Ta có
không là phương trình vi phân toàn phần
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy
+ =
Hàm được gọi là thừa số tích phân
),( yx
µµ
=
7.2.5. Phương trình vi phân
toàn phần
Hàm chỉ phụ thuộc vào x, tức là:
µ
( )x
µ µ
=
( )f x dx
e
∫
=
Hàm chỉ phụ thuộc vào y, tức là:
µ
( )y
µ µ
=
( )g y dy
e
∫
=
( )
nm
ij
aA
×
=
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
02)22(
2
=−−+
ydyedxyxe
xx
Ví dụ 3: Giải các phương trình:
( ) ( )
2 2
1) 3 2 2 6 3 0y xy x dx xy x dy
+ + + + + =
( )
( )
2 2
2) 1 0x y dx x y x dy
− + − =
( ) ( )
2 2 2
3) 0x y y dx y x dy
+ + − =
7.2.5. Phương trình vi phân
toàn phần
( )
nm
ij
aA
×
=
nm
×
k to add title in here
1
2
3
Hiểu rõ về phương trình vi phân toàn phần và
biêt cách giải phương trình vi phân toàn phần.
Ôn tập các phần kiến thức chương 7
Làm các bài tập từ 47- 51 ( trang 218- học liệu [8]).
Chương VII: Phương trình vi phân
Củng cố, dặn dò
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
