ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
HOÀNG ĐỨC QUỲNH
ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH
BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA
THEO NGUYÊN LÝ TÁCH
Chuyên ngành: Tự động hoá
Mã số: 60.52.60
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
CHUYÊN NGÀNH TỰ ĐỘNG HOÁ
THÁI NGUYÊN - 2009
CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP THÁI NGUYÊN
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC
Phản biện 1:
GS.TSKH. NGUYỄN PHÙNG QUANG
Phản biện 2:
PGS.TS. NGUYỄN NHƯ HIỂN
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp
tại: Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp, ĐHTN.
Ngày…….tháng……năm 200
Có thể tìm luận văn tại:
Thư viện Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp, ĐHTN
Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
Tên luận văn: ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH
BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH
Tính cấp thiết của đề tài:
Điều khiển hệ thống là bài toán can thiệp vào đối tượng
điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi sao cho nó có chất lượng
mong muốn. Kết quả của bài toán điều khiển có thể là một tín
hiệu điều khiển thích hợp hoặc một bộ điều khiển tạo tín hiệu
điều khiển thích hợp cho đối tượng. Các bộ điều khiển bao gồm
các cấu trúc: Điều khiển hở, điều khiển phản hồi trạng thái,
điều khiển phản hồi tín hiệu ra.
Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ
dùng được cho hệ SISO (ví dụ: bộ điều khiển PID). Để sử dụng
các bộ điều khiển đó cho hệ MIMO, ta phải can thiệp sơ bộ
trước vào hệ MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ
SISO với mỗi đầu ra chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào.
Bộ điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn
định chất lượng mong muốn cho đối tượng dù trong qúa trình
điều khiển luôn có những tác động nhiễu. Để ứng dụng tốt bộ
điều khiển trạng thái trong việc điều khiển hệ thống MIMO,
cần sử dụng kết hợp với bộ Quan sát trạng thái để có thể lấy
chính xác và đầy đủ nhất các thông tin về chất lượng động học
của đối tượng.
Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết phải nghiên cứu trên, tác
giả muốn đóng góp một phần nhỏ vào việc nghiên cứu khả
năng kết hợp giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản
hồi trạng thái tách kênh hệ MIMO tuyến tính để có được bộ
điều khiển tách kênh phản hồi đầu ra.
Mục đích của luận văn:
Đề tài nghiên cứu thành công sẽ chứng minh khả năng kết hợp
giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng
thái tách kênh hệ MIMO tuyến tính. Nói cách khác, nó sẽ
chứng minh được nguyên lý tách cũng đúng trong điều khiển
tách kênh.
Ý nghĩa thực tiễn và ý nghĩa khoa học
1. Ý nghĩa khoa học
Đề tài nghiên cứu thành công sẽ chứng minh khả năng kết hợp
giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng
thái tách kênh hệ MIMO tuyến tính. Nói cách khác, nó sẽ
chứng minh được nguyên lý tách cũng đúng trong điều khiển
tách kênh.
2. Ý nghĩa thực tiễn
Thiết kế bộ điều khiển cho một số đối tượng tuyến tính trong
thực tế và hướng ứng dụng kết quả nghiên cứu vào thiết kế bộ
điều khiển cho các đối tượng tuyến tính trong các hệ thống tự
động điều khiển quá trình sản xuất, đặc biệt là với các quá trình
chưng cất.
Nội dung của luận văn:
1. Nội dung bài toán điều khiển tách kênh và 2 phương pháp
thiết kế bộ điều khiển tách kênh cơ bản, đó là: Phương pháp
thiết kế theo Falb – Wolovich và Phương pháp thiết kế theo
Smith – McMillan.
2. Phương pháp thiết kế bộ điều khiển tách kênh trong miền tần
số, mô hình ma trận hàm truyền và nhược điểm của tách kênh
trong miền tần số, đánh giá sự tương tác giữa các kênh.
3. Phương pháp thiết kế bộ điều khiển tách kênh bằng phản hồi
trạng thái. Những lý thuyết về điều khiển phản hồi trạng thái và
thuật toán tìm các bộ điều khiển của bài toán tách kênh.
4. Phân tích tính quan sát được của hệ tuyến tính. Phương pháp
thiết kế bộ quan sát Luenberger và một số bộ quan sát trạng
thái tuyến tính khác (Kalman và LQG). Đưa ra kết luận về chất
lượng hệ kín, nguyên lý tách.
5. Kết quả nghiên cứu mô phỏng trên Simulink:
+ Mô phỏng hệ MIMO tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra.
+ Mô phỏng bộ điều khiển tách kênh cho đối tượng MIMO
tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra.
+ Mô phỏng bộ quan sát Luenberger cho đối tượng MIMO
tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra.
+ Nghiên cứu mô phỏng khả năng ghép chung bộ điều khiển
phản hồi trạng thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái cho đối
tượng MIMO tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra.
Với nội dung trên, ngoài lời nói đầu, mục lục và tài liệu tham
khảo, luận văn bao gồm 5 chương:
Chương 1: Tổng quan về bộ điều khiển tách kênh
Chương 2 : Điều khiển tách kênh trong miền tần số và nhược
điểm của nó
Chương 3: Điều khiển tách kênh bằng phản hồi trạng thái
Chương 4: Quan sát trạng thái
Chương 5: Nghiên cứu khả năng ghép chung bộ điều khiển
phản hồi trạng thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ BỘ ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH
1.1.Nội dung bài toán điều khiển tách kênh
Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công
lại chỉ dùng được cho hệ SISO, bộ điều khiển PID là một ví dụ
điển hình. Vì mong muốn sử dụng các bộ điều khiển đó cho hệ
MIMO, người ta nghĩ đến việc can thiệp sơ bộ trước vào hệ
MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ SISO với
mỗi đầu ra y
i
(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào w
i
(t).
Ta nói rằng hệ thống đã được phân ly, tín hiệu ra của 1 kênh
bất biến với tác động điều khiển của các kênh khác.
u
1
u
m
y
1
y
m
w
1
w
m
y
1
y
m
1.2.Hai phương pháp tách kênh cơ bản
Phương pháp 1: Phương pháp Falb – Wolovich
Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u
1
, u
2
,…u
m
và
cũng có m đầu ra y
1
, y
2
,…,y
m
mô tả bởi:
=
+=
xCy
uBxA
dt
xd
Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở
hình trên mô tả, sao cho đầu ra y
i
(t) chỉ phụ thuộc vào một tín
hiệu đầu vào w
i
(t) với i = 1,2, ,m.
Phương pháp 2: Phương pháp Smith - McMillan
Phép biến đổi Smith – McMilan trình bày sau đây cho
phép thiết kế các bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận
truyền đạt S (s) của đối tượng, không cần phải vuông, tức là
không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín hiệu vào bằng
số các tín hiệu ra, về được dạng:
M
R
w
1
w
m
y
1
y
m
x
u
w
1
w
m
y
1
y
m
1
( ) 0
0 ( )
( )
0 0
0 0
m
G s
G s
G s
÷
÷
÷
=
÷
÷
÷
÷
÷
L
M O M
L
L
M O M
L
hoặc
1
( ) 0 0 0
( )
0 ( ) 0 0
m
G s
G s
G s
÷
=
÷
÷
L L
M O M M O M
L L
Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được
kênh.
Phép biến đổi Smith – McMilan dựa vào việc thay đổi các dòng
hay cột của ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương
(phép biến đổi tương đương)
Chương 2
Điều khiển tách kênh trong miền tần số
và nhược điểm của nó
2.1. Mô hình ma trận hàm truyền
Phần này trình bày tóm tắt nội dung phương pháp Smith –
McMillan
Phép biến đổi Smith – McMilan được tóm tắt như sau:
1. Viết lại S (s) thành
1
( )
( )
P s
d s
trong đó d (s) là đa thức bội số
chung nhỏ nhất của tất cả các đa thức mẫu số có trong các phần
tử của S (s) và P (s) là ma trận có các phần tử là đa thức. Ví dụ:
2. Sử dụng các phép biến đổi tương đương đã nói ở trên
để đưa P (s) về dạng “đường chéo” bằng cách đưa dần
các phần tử không nằm trên đường chéo về 0 thông qua
việc cộng trừ hàng và cột. Điều này đã được Smith –
McMillan chuyển thành những bước của thuật toán sau:
a. Đặt d
0
(s) = 1.
b. Chọn d
1
(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả
các phần tử của P (s).
Ví dụ:
d
1
(s) = ƯSCLN {1, -1, s
2
+ s - 4, 2s
2
- s – 4, s
2
–
4, 2s
2
– 8} = 1
d(s
)
P(s)
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 1
3 2 3 2
1 1
4 2 8 1
( ) 4 2 8
3 2 3 2 3 2
4 2 8
2 2 4
1 1
s s s s
s s s s
S s s s s s
s s s s s s
s s
s s
s s
−
÷
+ + + +
÷
−
+ − − −
÷
÷
= = + − − −
÷
÷
+ + + + + +
÷
÷
− −
− −
÷
÷
+ +
c. Chọn d
k
(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả
các phần tử là định thức ma trận vuông kxk lấy
từ P (s). Ví dụ:
d
2
(s)= ƯSCLN
{
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
4 2 8
det , ,
4 2 8 4 2 8
4 2 8
s s s s
s s s s s s
s s
− −
+ − − −
÷
÷ ÷
+ − − − − −
− −
}
= ƯSCLN {
2 2 2
3 2 4,3 4, ( 4)s s s s s− − − −
}=(s+2)(s-2)
d. Ma trận “đường chéo” G (s) tương đương với S
(s) sẽ có các phần tử G
k
(s) là:
G
k
(s) =
1
( )
1
.
( ) ( )
k
k
d s
d s d s
−
2.2. Đánh giá sự tương tác các kênh
Tương tác được hiểu là tác động qua lại hoặc ảnh hưởng lẫn
nhau giữa các đối tượng tham gia tương tác. Trong hệ MIMO,
sự tương tác được thể hiện qua sự thay đổi của một biến sẽ ảnh
hưởng tới các biến còn lại với các mức độ khác nhau.
Giữa hai biến x
i
và x
j
trong hệ thống có thể có các quan hệ:
tương tác 2 chiều (sự thay đổi của bất kỳ biến nào cũng sẽ ảnh
hưởng tới biến còn lại); tương tác 1 chiều, chẳng hạn từ x
i
sang
x
j
(chỉ sự thay đổi của x
i
mới ảnh hưởng tới x
j
còn thay đổi x
j
không ảnh hưởng tới x
i
); hoặc giữa 2 biến không có tương tác.
Mức độ tương tác giữa các biến được thể hiện qua hệ số tương
tác. Hệ số tương tác tĩnh giữa biến vào u
i
và biến ra y
j
ký hiệu
là
ji
λ
được định nghĩa là tỷ số giữa hệ số khuếch đại vòng hở
(khi chưa có điều khiển) và hệ số khuếch đại vòng kín (khi đã
có điều khiển). Khi
ji
λ
= 1: y
j
chỉ phụ thuộc vào riêng u
i
,
ji
λ
= 0 : giữa u
i
và y
j
không có quan hệ gì,
ji
λ
< 1: thể hiện hệ
số khuếch đại từ u
i
sang y
j
sẽ giảm khi khép mạch và ngược lại.
Giả sử hệ thống có n biến vào điều khiển n biến ra và ma trận
truyền đạt:
G(s) = [g
ij
]
nxn
Các hệ số tương tác
ji
λ
tương ứng với các phần tử của ma trận
có hệ số khuếch đại tương đối ký hiệu là
∇
G được xác định
theo công thức:
∇
G = G(s) x (G(s)
-1
)
T
= [
ji
λ
(s)]
nxn
ý nghĩa của hệ số tương tác
ji
λ
: Đánh giá mức độ tương tác
giữa các biến trong hệ thống và trợ giúp việc cặp đôi các biến
điều khiển và biến được điều khiển trong trường hợp sử dụng
cấu trúc điều khiển phi tập trung, khi
ji
λ
→
1 sẽ dùng u
j
để điều
khiển y
i
. Tuyệt đối tránh trường hợp cặp đôi u
j
và y
i
mà
ji
λ
<0.
Một trong những nhiệm vụ quan trọng khi điều khiển hệ
MIMO là giảm thiểu hoặc khử tương tác giữa các đầu ra.
Chương 3
Điều khiển tách kênh bằng phản hồi trạng thái
3.1. Điều khiển phản hồi trạng thái
Bé ®iÒu
khiÓn
§èi tîng
®iÒu khiÓn
y
x
uw e
+
H×nh 3.1a: Bé ®iÒu khiÓn ®Æt ë vÞ trÝ
m¹ch truyÒn th¼ng
Bé ®iÒu
khiÓn
§èi tîng
®iÒu khiÓn
y
x
uw
+
H×nh 3.1b: VÞ trÝ bé ®iÒu khiÓn ®Æt ë
m¹ch håi tiÕp
Hình vẽ trên biểu diễn nguyên tắc điều khiển phản hồi trạng
thái. Bộ điều khiển sử dụng tín hiệu trạng thái x(t) của đối
tượng để tạo ra được tín hiệu đầu vào u (t) cho đối tượng. Vị trí
của bộ điều khiển có thể là ở mạch truyền thẳng (hình 3.1a)
hoặc ở mạch hồi tiếp (hình 3.1b).
3.2. Thuật toán tìm các bộ điều khiển của bài toán tách
kênh
Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u
1
, u
2
,…u
m
và
cũng có m đầu ra y
1
, y
2
,…,y
m
mô tả bởi:
=
+=
xCy
uBxA
dt
xd
Thuật toán tìm các bộ điều khiển R và M cho bài toán tách
kênh sẽ như sau:
1. Xác định véctơ bậc tương đối tối thiểu (r
1
, ,r
m
) của
đối tượng.
M
R
w
1
w
m
y
1
y
m
x
u
w
1
w
m
y
1
y
m
H×nh 3.2. M« t¶ thuËt to¸n
2. Chọn tuỳ ý các tham số b
i
và a
ik
, i = 1,2, ,m, k=0,1,
, r
i
-1. Ta cũng có thể chọn chúng theo chất lượng định
trước cho từng kênh, chẳng hạn:
a. Chọn a
ik
, i = 1,2, , m, k = 0,1, ,r
i
– 1 để có:
1
0 1 , 1 1 2 ,
( )( ) ( )
i i
i i
r r
i i i r i i i r
a a s a s s s s s s s s
−
−
+ + + + = − − −K
với s
i1
, s
i2
, ,
,
i
i r
s
là các điểm cực chọn trước cho kênh
thứ i.
b. Chọn b
i
= a
i0
để kênh thứ i không có sai lệch tĩnh.
3. Lập các ma trận E, F, L rồi tính M, R theo các công
thức
1
R E F
−
=
1
M E L
−
=
Chương 4
Quan sát trạng thái
4.1.Bộ quan sát Luenberger
4.1.1. Phân tích tính quan sát được
4.1.1.1. Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn
Một hệ thống có tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) được gọi
là:
a. Quan sát được tại thời điểm t
0
, nếu tồn tại ít nhất
một giá trị hữu hạn T >t
0
để điểm trạng thái
x(t
0
)=x
0
, xác định được một cách chính xác thông
qua vectơ các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng
thời gian [t
0
,T].
b. Quan sát được hoàn toàn tại thời điểm t
0
, nếu với
mọi T >t
0
, điểm trạng thái x
0
=x(t
0
) luôn xác định
được một cách chính xác từ véctơ các tín hiệu vào
ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t
0
,T].
4.1.1.2. Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ
tuyến tính
* Hệ không dừng
( ) ( )
( ) ( )
dx
A t x B t u
dt
y C t x D t u
= +
= +
sẽ
a. Quan sát được tại t
0
khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một
giá trị T >t
0
hữu hạn sao cho các véctơ cột của ma trận
C (t)
Φ
(t-t
0
) độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian
0
t t≤
<T.
b. Quan sát được hoàn toàn tại t
0
khi và chỉ khi với mọi
giá trị T >t
0
, các véctơ cột của ma trận C (t)
Φ
(t-t
0
)
độc lập tuyến tính trong khoảng
0
t t≤
<T.
* Nếu hệ không dừng
( ) ( )
( ) ( )
dx
A t x B t u
dt
y C t x D t u
= +
= +
có C là ma
trận hằng (không phụ thuộc t) quan sát được tại t
0
thì nó cũng
quan sát được hoàn toàn tại t
0
và ngược lại.
* Nếu hệ không dừng
( ) ( )
( ) ( )
dx
A t x B t u
dt
y C t x D t u
= +
= +
quan sát được tại
thời điểm t
0
thì nó cũng quan sát được tại mọi thời điểm t
≠
0
4.1.1.3. Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát
được của hệ tham số hằng
* Hệ tham số hằng
dx
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
quan sát được khi và chỉ
khi hệ
T T
T T
dx
A x B u
dt
y C x D u
= +
= +
đối ngẫu với nó điều khiển được.
* : Cho hệ tham số hằng
dx
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
. Các phát biểu sau là
tương đương:
a. Hệ quan sát được
b.
sI A
Rank
C
−
÷
= n với mọi s. I là ma trận đơn vị.
c.
1n
C
CA
Rank
CA
−
÷
÷
÷
÷
M
= n
4.1.2. Bộ quan sát Luenberger
4.1.2.1. Phương pháp thiết kế
ý tưởng chính của phương pháp thiết kế bộ quan sát trạng thái
Lueberger là sử dụng khâu có mô hình:
( )
dx
Ax Bu L y y Du
dt
y Cx
= + + − −
=
%
% %
% %
(4.5)
làm bộ quan sát để có được sự xấp xỉ
x x≈
%
ít nhất là sau một
khoảng thời gian T đủ ngắn, nói cách khác là có được:
%
( ) ( ) ( ) 0e t x t x t Khi t T
∞
∞
= − ≈ ≥
(4.6)
Nhiệm vụ của thiết kế là xác định L trong (4.5) để có được yêu
cầu. Trước tiên ta lập sai lệch từ hai mô hình (4.4) và (4.5) và
được:
Hình 4.1: Bộ quan sát trạng thái của Luenberger
dx
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
u
y
y
x
%
( )
dx
Ax Bu L y Cx Du
dt
= + + − −
%
% %
%
% % %
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
e t x t x t
de d x x
A x x L y C x Du Ae L Cx Cx
dt dt
A LC e
= −
−
⇒ = = − − − − = − −
= −
→
Như vậy, rõ ràng để e(t)
→
0 thì A -LC phải là ma trận bền.
Sai lệch e(t) sẽ càng tiến nhanh về 0 , tức là thời gian T cần
thiết cho việc quan sát tín hiệu vào ra sẽ càng nhỏ, nếu các giá
trị riêng của A -LC nằm càng xa trục ảo (về phía -
∞
). Do đó ta
có thể chủ động tìm L với một tốc độ tiến về 0 của e(t) đã được
chọn trước bằng cách xác định L sao cho A -LC có các giá trị
riêng phù hợp với tốc độ đó.
Nếu để ý thêm rằng giá trị riêng của ma trận bất biến với phép
chuyển vị, thì công việc xác định L sao cho A -LC có được
những giá trị riêng chọn trước cũng đồng nghĩa với việc tìm L
T
để
(A-LC)
T
= A
T
-C
T
L
T
nhận các giá trị cho trước s
1
, , s
n
làm giá trị riêng và đây là
bài toán thiết kế bộ điều khiển cho trước điểm cực:
Có hai khả năng thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực bằng bộ
điều khiển R tĩnh là:
- Thiết kế bằng phản hồi trạng thái:
Với R, hệ kín sẽ có mô hình:
( ) ( )
dx
Ax Bu Ax B w Rx Ax Bw BRx A BR x Bw
dt
= + = + − = + − = − +
Bởi vậy nhiệm vụ “ gán điểm cực” là phải thiết kế R sao cho
ma trận A -BR nhận n giá trị s
i
, i = 1,2, , n đã được chọn
trước từ yêu cầu chất lượng cần có của hệ thống, làm giá trị
riêng. Nói cách khác, ta phải giải phương trình:
det(sI-A+BR) = (s-s
1
) (s-s
2
) (s-s
3
) (s-s
n
)
(4.7)
Để có bộ điều khiển (m trận) R
- Thiết kế bằng phản hồi tín hiệu ra:
dx
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
R
-
w u y
x
Hình 4.2: Thiết kế bằng phản hồi trạng thái
dx
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
R
-
w u y
q
Hình 4.3: Thiết kế bằng phản hồi tín hiệu ra
Vì tín hiệu phản hồi về bộ điều khiển R là y nên hệ kín có mô
hình:
( ) ( )
dx
Ax Bu Ax B w Ry Ax Bw BRCx A BRC x Bw
dt
= + = + − = + − = − +
Vậy nhiệm vụ “gán điểm cực” là phải tìm R để ma trận A
-BRC có các giá trị riêng là n giá trị s
i
, i = 1,2, , n đã được
chọn trước từ yêu cầu chất lượng cần có của hệ thống, hay
nhiệm vụ thiết kế chính là tìm ma trận R thoả mãn:
det(sI-A+BRC) = (s-s
1
) (s-s
2
) (s-s
3
) (s-s
n
)
(4.8)
Để phương trình (2.7) có nghiệm R thì chỉ cần hệ
dx
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
cho ban đầu điều khiển được là đủ. Ngược lại,
đối với phương trình (4.8) thì điều kiện hệ
d x
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
điều khiển được là chưa đủ và người ta thường phải mở rộng
phạm vi tìm nghiệm sang cả những bộ điều khiển phản hồi đầu
ra mang tính động học, chứ không phải chỉ giới hạn trong các
bộ điều khiển tĩnh (ma trận hằng) R, tức là phải sử dụng bộ
điều khiển có mô hình trạng thái (tuyến tính):
R:
d z
Ez F y
dt
q Gz H y
= +
= +
4.1.2.2. Các phương pháp khác nhau phục vụ bài toán thiết
kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực:
a. Phương pháp Ackermann
Thuật toán xác định bộ điều khiển R gán điểm cực s
i
, i =
1,2, , n theo nguyên tắc phản hồi trạng thái cho đối tượng
0 1 2 1
0 1 0 0
0
0 0 1 0
0
1
n
dx
x u
dt
a a a a
−
÷
÷
÷
÷
= +
÷
÷
÷
÷
− − − −
K
K
M
M M M O M
K
một đầu vào dạng chuẩn điều khiển gồm các bước sau:
- Tính các hệ số
%
i
a
, i = 0,1, , n-1 của phương trình
đặc tính cần phải có của hệ kín từ những giá trị điểm cực s
i
, i =
1, 2, , n đã cho theo
(s-s
1
) (s-s
2
) (s-s
3
) (s-s
n
) =
% % %
1
0 1 1
n n
n
a a s a s s
−
−
+ + + +K
- Tính các phần tử r
i
, i = 1,2, , n của bộ điều khiển
(4.10) theo công thức: r
i
=
%
1i
a
−
-a
i-1
b. Phương pháp Roppenecker
Thuật toán Roppenecker dạng tổng quát:
1. Tính các véctơ a
k
ứng với các giá trị s
k
đã cho:
a. Nếu s
k
không phải là giá trị riêng của A thì tính theo
công thức:
a
k
= (s
k
I-A)
-1
Bt
k
k = 1,2, ,n
Trong đó t
k
là tham số tự do.
c. Nếu s
k
là giá trị riêng của A thì chọn t
k
= 0 và a
k
là
véctơ riêng bên phải tương ứng của A tính theo công
thức: (s
k
I - A)a
k
= 0
2. Chọn các véctơ tham số còn tự do t
k
sao cho với nó n véctơ
a
k
, k = 1,2, , n xác định ở bước 1 lập thành hệ độc lập tuyến
tính, rồi tính R theo công thức: R = -(t
1
, , t
n
)(a
1
, . , a
n
)
-1
c. Phương pháp Modal phản hồi trạng thái
thuật toán xác định bộ điều khiển R dịch chuyển điểm cực cho
đối tượng có hạng của B là r và A là ma trận giống đường chéo,
như sau:
- Xác định r theo véctơ riêng bên trái b
1
, , b
r
của A
theo công thức b
i
T
(g
i
I-A) = 0
T
- Tính M
r
-1
và T
r
theo công thức
1
1
T
r
T
r
b
M
b
−
÷
=
÷
÷
M
,
1
1
T
r
T
r
b B
T
b B
−
÷
=
÷
÷
M
- Xác định S
r
, G
r
từ g
i
, s
i
, i = 1,2, , n theo
1
1 1
1
( , , )
T
n
T
n
b
M a a
b
− −
÷
= =
÷
÷
M
- Tính R theo công thức R = -T
r
(S
r
- G
r
)M
r
-1
d. Bài toán điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu
Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương
thuật toán tìm bộ điều khiển R, tối ưu theo nghĩa
0
1
( , ) ( ) min
2
T T
Q x u x Ex u Fu dt
∞
= + →
∫
, phản hồi dương trạng
thái gồm hai bước như sau:
1. Xác định ma trận K đối xứng, xác định âm là nghiệm
của phương trình Riccati (
1 T T
KBF B K KA A K E
−
+ + =
). Ma trận K xác định âm khi và chỉ khi ma trận –K xác
định dương. Công cụ để kiểm tra tính xác định dương
của một ma trận là định lý Sylvester (Trang 276: Lý
thuyết điều khiển tuyến tính – Nguyễn Doãn Phước)
Xác định R từ K theo công thức:
1 T
R F B K
−
=
Ta đi đến thuật toán tìm L của bộ quan sát trạng thái
Luenberger cho đối tượng
dx
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
quan sát được gồm 2 bước như sau:
1. Chọn trước n giá trị s
1
, s
n
có phần thực âm ứng với
thời gian T mong muốn để quan sát tín hiệu vào ra. Các
giá trị s
1
, s
n
được chọn nằm càng xa trục ảo về phía
trái(có phần thực càng nhỏ càng tốt) so với giá trị riêng
của A thì thời gian T sẽ càng ngắn và do đó sai lệch e(t)
càng nhanh tiến về 0.
2. Sử dụng các phương pháp đã biết như Roppenecker,
Modal để tìm bộ điều khiển L
T
phản hồi trạng thái gán
điểm cực s
1
, s
n
cho đối tượng:
dx/dt=A
T
x + C
T
u
Một điều cần chú ý là bộ quan sát trạng thái thường được sử
dụng kèm với bộ điều khiển phản hồi trạng thái:
Nói cách khác, trạng thái xấp xỉ
x
%
(t) tìm được sẽ là tín hiệu
đầu vào của bộ điều khiển. Bởi vậy thời gian xác định trạng
thái xấp xỉ
x
%
(t) của đối tượng không thể chậm hơn thời gian
thay đổi trạng thái
( )x t
của bản thân đối tượng. Từ đây suy ra
điều kiện tiên quyết để chọn những giá trị s
1
, ,s
n
là chúng
không những phải nằm bê trái các điểm cực của đối tượng mà
còn phải nằm bên trái các điểm cực của hệ kín (giá trị riêng A
-BR)
4.2. Các bộ quan sát trạng thái tuyến tính khác
dx
Ax Bu
dt
y Cx Du
= +
= +
( )
dx
Ax Bu L y Cx Du
dt
= + + − −
%
% %
R
w
-
u y
y
x
%
Hình 4.10: Sử dụng kết hợp bộ quan sát trạng thái và bộ
điều khiển phản hồi trạng thái
