PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH LỚP VÒNG 2
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề).
Câu 1 (4,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x sao cho
6
2
++ xx
là số chính phương
b) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
2222
)( cbacba ++=++
Tính giá trị của biểu thức: P=
abc
c
acb
b
bca
a
222
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
Câu 2 (4,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x;y;z thỏa mãn:
222
zyx ++
<xy+3y+2z-3
b) Giải phương trình:
2
7
4
3
1 =++++ xxx
Câu 3 (4,5 điểm)
a) Cho a;b là các số không âm. Chứng minh:
233
32 abba ≥+
b) Cho x;y;z là các số dương và x+y+z=3.
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức: P=
2
3
2
3
2
3
x
z
z
y
y
x
++
Câu 4 (4,5điểm)
Cho
ABC
∆
đều, đường cao AH; M là một điểm thuộc cạnh BC(M khác B ;C).Kẻ
ME vuông góc với AB; MF vuông góc với AC. Gọi I là trung điểm của AM.
a) Tứ giác HEIF là hình gì? vì sao?
b) Gọi G là trọng tâm của
ABC
∆
. Chứng minh EF; HI; MG đồng qui
c) Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho độ dài EF đạt giá trị bé nhất. Tính giá trị
bé nhất đó khi cho cạnh của tam giác đều bằng a.
Câu 5 (2.0 điểm)
Cho
ABC
∆
có góc A bằng 60
0
, phân giác AD, cạnh AB=2 cm; AC=4cm. Tính
độ dài đường phân giác AD.
Hết
Họ và tên thí sinh: SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH LỚP 9 VÒNG 2
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Câu Ý Nội dung Điểm
1
4,5đ
a
2,5đ
))((66)(6
2222
xnxnxxnxZnnxx +−=+⇔−=+⇒∈=++
0,5
*
−=
=
⇔
+=
−=+
5
3
8
1
6
x
n
xn
xnx
không thỏa mãn
0,5
*
=
=
⇔
−=
+=+
5
6
1
6
x
n
xn
xnx
thỏa mãn
0,5
*
=
−=
⇔
+−=
−−=+
5
6
)(1
)(6
x
n
xn
xnx
thỏa mãn
0,5
*
−=
−=
⇔
−−=
+−=+
3
5
3
8
)(1
)(6
x
n
xn
xnx
không thỏa mãn
* x+6=0
3666
2
=++⇒−=⇒
xxx
(thỏa mãn)
Vậy x=5 và x=-6 là giá trị cần tìm
0,5
b
2đ
(a+b+c)
2
=
0
222
=++⇔++ bcacabcba
0,25
))((2
2
2
2
2
2
caba
a
bcacaba
a
bca
a
−−
=
+−−
=
+
0,5
tương tự:
))(2
2
2
2
cbab
b
acb
b
−−
=
+
0,25
))(2
2
2
2
bcac
c
acc
c
−−
=
+
0,25
1
))()((
))()((
))(())(())((222
222
2
2
2
2
2
2
=
−−−
−−−
=
−−
+
−−
−
−−
=
+
+
+
+
+
=
cbcaba
cbcaba
cbca
c
cbba
b
caba
a
abc
c
acb
b
bca
a
P
0,75
a
10; −≤⇒<∈ aaZa
0,5
0423323
222222
≤+−−−++⇒−++<++ zyxyzyxzyxyzyx
0,5
0)1()1
2
(3)
2
(
222
≤−+−+−⇒ z
yy
x
0,5
HƯỚNG DẪN CHẤM
2
4,5đ
2đ
=
=
=
⇔
=
=
=
⇒
1
2
1
1
1
2
2
z
y
x
z
y
y
x
Vậy
=
=
=
1
2
1
z
y
x
l à giá trị cần tìm
0,5
b
2,5đ
ĐKXĐ :x
4
3
−≥
0,5
pt
2
7
2
1
4
3
2
7
)
2
1
4
3
(
2
=+++⇔=+++⇔ xxxx
3
4
3
=++⇔ xx
1,0
2
2
1
4
3
4)
2
1
4
3
(
2
=++⇔=++⇔ xx
0,5
2
3
4
9
4
3
=⇔=+⇔ xx
(thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình
là : S=
2
3
0,5
3
4.5đ
a
2,5đ
⇔+≥+⇔≥+
2233233
2232 ababbaabba
0,5
0)(2)(
222
≥−−−⇔ babbaa
0,5
0)2)((
22
≥−+−⇔ bababa
0,5
0)2)()(( ≥+−−⇔ bababa
0,5
0)2()(
2
≥+−⇔ baba
đúng, dấu = xảy ra khi a=b
0,5
b
2đ
Theo câu a
yx
y
x
xyyx 2332
2
3
233
−≥⇒≥+⇒
0,5
tương tự
zy
z
y
23
2
3
−≥
0,5
xz
x
z
23
2
3
−≥
0,5
3=++≥⇒ zyxP
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1.Vậy giá trị bé nhất
của P=3 khi x=y=z=1
0,5
4
4,5đ
F
E
Q
K
O
G
I
H
M
C
B
A
a
1,5đ
IE=IH=IF=AM/2 0,5
góc EIM=2EAI (góc ngoài tam giácEAI) ;
góc MIH=2IAH ( góc ngoài tam giácAIH)
0,5
EIHviBAHEAHEIH ∆⇒===⇒
00
30602
đều
HEIHIE
==⇒
tương tự : IH=ÌF=HF
⇒
tứ giác HEIF là hình thoi
0,5
b
1đ
Gọi O là giao điểm của IH và EF;.MO cắt AH tại G .Kẻ IK vuông góc
với MH,IK cắt MG tai Q
HOGIOQ =∆⇒
(g.c.g)
0,5
2
1
==⇒
GA
IQ
GA
GH
(vì I là trung điểm của AM)
⇒
G là trọng tâm của
ABC∆
⇒
E F;HI;MG đồng qui
0,5
c
2đ
E F bé nhất
EO
⇔
bé nhất
EI
⇔
bé nhất
AM
⇔
bé nhất(vì
∆
EIO vuông
tại O và góc EIO =60
0
HM
a
AHAM ≡⇒==⇔
2
3
1,0
Khi đó :
aAM
EI
EOEF
4
3
3
2
1
2
3.2
2 ====
1,0
5
H
D
C
B
A
32
2
1
.
2
1
===
∆
SinAABACBHACS
ABC
0,5
2
2
1
,
2
2
1 A
SinADACS
A
SinADABS
ADCABD
==
∆∆
0,5
ADCABDABC
SSS
∆∆∆
+=⇒
0,5
3
34
34
2
.).( =⇒=+⇒ AD
A
SinADACAB
0,5
