Các dạng phương trình lượng giác và cách giải (lời giải chi tiết)

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI
Vấn đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản.
1. Phương trình
cos x m=
* Nếu
1m >
thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu
1m ≤
thì
cos arccos 2 , x m x m k k
π
= ⇔ = ± + ∈¢
Đặc biệt:
cos cos 2x x k
α α π
= ⇔ = ± +
2. Phương trình
sin x m
=
* Nếu
1m >
thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu
1m ≤
thì
( )
sin 1 arcsin , k
k
x m x m k
π

= ⇔ = − + ∈¢

arcsin 2
arcsin 2
x m k
x m k
π
π π
= +

⇔

= − +

Đặc biệt:
( )
sin sin 1
k
x x k
α α π
= ⇔ = − +

2
;
2
x k
k
x k
α π
π α π

= +

⇔ ∈

= − +

¢
3. Phương trình
tan x m=
*
tan arctan , kx m x m k
π
= ⇔ = + ∈¢
*
tan tan , kx x k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
4. Phương trình
cot x m=
*
cot arccot , kx m x m k
π
= ⇔ = + ∈¢
*
cot cot , kx x k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
• Các giá trị đặc biệt cần nhớ:
cos 0
2

x x k
π
π
= ⇔ = +
cos 1 2x x k
π
= ⇔ =
( )
cos 1 2 1x k
π
= − ⇔ +
sin 0x x k
π
= ⇔ =
sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
sin 1 2
2
x x k
π
π
= − ⇔ = − +
tan 1
4
x x k
π

π
= ⇔ = +
tan 1
4
x x k
π
π
= − ⇔ = − +
.
1
Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình sau:
a)
2cos 1 0x + =
b)
2sin 3 0
4
x
π
 
+ + =
 ÷
 
c)
sin cos 0x x+ =
d)
tan5 tan3x x=
2. Giải các phương trình sau:
a)
sin 4

1
cos6
x
x
=
b)
1 tan
tan3
1 tan
x
x
x
+
=
−
c)
tan 2 .tan 7 1x x
=
d)
sin 6
8cos .cos2 .cos4
sin
x
x x x
x
=
Vấn đề 2: Phương trình bậc hai hay bậc cao đối với một hàm số lượng giác.
Ví dụ: Giải phương trình
a)
2

2cos cos 1 0x x− − =
b)
3 2
3tan tan tan 1 0x x x− − − =
Giải:
1)
2
2
cos 1
2cos cos 1 0 ,
2
1
2
cos
3
2
x k
x
x x k
x k
x
π
π
π
=
=





− − = ⇔ ⇔ ∈


= ± +
=


¢
2)
3 2
3tan tan tan 1 0x x x− − − =
Đặt
tan x t=
, ta có pt:
( )
( )
3 2 2
3 1 0 1 3 2 1 0Pt t t t t t t⇔ − − − = ⇔ − + + =

( )
2
1 0
1
3 2 1 0
t
t
t t Vn
− =

⇔ =


+ + =

Vậy:
tan 1 , k
4
x x k
π
π
= ⇔ = + ∈¢
.
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình:
a)
2 2
2sin 3 sin 6 2x x+ =
b)
4 6
cos cos2 2sin 0x x x− + =
2) Giải các phương trình:
a)
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =
b)
tan 2cot 1 0x x
− + =
2

Vấn đề 3: Phương trình có số mũ cao và chẵn đối với hai hàm số
sin x
và
cos x
Cách giải: Người ta thường dùng phương pháp hạ bậc để giải các phương trình loại này. Công thức
hạ bậc
2 2 2
1 cos2 1 cos 2 1 cos 2
sin ; cos ; tan
2 2 1 cos 2
x x x
x x x
x
− + −
= = =
+
Ví dụ: Giải phương trình:
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4x x x x+ = +
(1)
Giải:
(1)
2 2 2 2
1 cos2 1 cos 4 1 cos6 1 cos8
sin sin 2 sin 3 sin 4
2 2 2 2
x x x x
x x x x
− − − −
⇔ + = + ⇔ + = +

cos2 cos4 cos6 cos8 2 3 .cos 2cos7 .cosx x x x co x x x x
⇔ + = + ⇔ =

( )
cos cos7 cos3 0x x x⇔ − =

2
cos 0
,
cos7 cos3
5
2
x k
x
k
x k
x x
k
x
π
π
π
π

= +


=



⇔ ⇔ = ∈


=



=


¢
Vậy: phương trình có các họ nghiệm:
; ,
2 5
k
x k x k
π π
π
= + = ∈¢
.
Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
a)
2 2 2 2
sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 2x x x x+ + + =
b)
( )
6 6 4 4
5

cos sin cos sin
6
x x x x+ = +
c)
8 8
1
cos sin
8
x x+ =
d)
4 4
sin cosx x a+ =
(a là tham số)
e)
2 2 2
1
sin sin 2 sin 3
2
x x x− + =
f)
6 6
2 2
cos sin 1
.tan 2
cos sin 4
x x
x
x x
+
=

−
3
Vấn đề 4: Phương trình bậc nhất đối
sin x
và
cos x
.
Dạng:
.sin .cosa x b x c+ =
(*) với a, b, c là các hằng số và
2 2
0a b+ ≠
Cách giải:
(*)
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
Ta thấy:
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
   
+ =
 ÷  ÷

+ +
   
nên ta đặt
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
α α
= =
+ +
(*)
2 2
sin .cos cos .sin
c
x x
a b
α α
⇔ + =
+

( )
2 2
sin
c
x
a b
α
⇔ + =
+
.

Vậy ta đã biến (*) về dạng phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
(*) có nghiệm
2 2 2
2 2
1
c
a b c
a b
⇔ ≤ ⇔ + ≥
+
(*) vô nghiệm
2 2 2
a b c⇔ + <
Ghi nhớ:
• Chia 2 vế pt cho
2 2
a b+
• Pt (*) có nghiệm
2 2 2
a b c⇔ + ≥
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình sau:
2) Cho pt:
sin cos 1x m x+ =
(1)
a. Giải pt với
3m = −
b. Định m để mọi nghiệm của pt (1) cũng là nghiệm của pt
2
sin cosm x x m+ =

3) Giải và biện luận theo tham số m phương trình:
a.
( )
2 1 cos sin 3 1m x m x m− + = −
b.
cos2 sin 2 1m x x m
− = −
4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a.
cos 2sin
2 sin
x x
y
x
−
=
−
b.
2cos sin 1
2 cos sin
x x
y
x x
− −
=
+ +
4
5) Chứng minh
x∀ ∈¡
, ta có:

4 71 2sin cos 4 71
11 sin 2cos 4 11
x x
x x
− − + − +
≤ ≤
+ +
Vấn đề 5: Phương trình đẳng cấp đối với
sin x
và
cos x
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0a x b x x c x+ + =
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
4 3 2 2 3 4
sin sin cos sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x x e x+ + + + =
…
(
, , , , a b c d e
là các hằng số)
Các phương trình trên được gọi là các phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba, bậc bốn, … đối với
sin x
và
cos x
Mọi số hạng trong phương trình đẳng cấp bậc
k
đều phải có tính chất: tổng số bậc của
sin x

và
cos x
đều bằng
k
.
Cách giải:
• Xét xem
cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
có phải là nghiệm của phương trình hay không ? Chú ý
2
cos 0 sin 1x x= ⇒ =
• Sau đó chia hai vế của phương trình cho
2
cos x
(đối với phương trình đẳng cấp bậc hai) hay
3
cos x
(đối với phương trình đẳng cấp bậc ba) …để đưa về dạng phương trình bậc hai, bậc ba, … đối với
tan x
.
Chú ý:
Cũng có thể xét riêng trường hợp
sin 0x x k
π
= ⇒ =

, rồi chia 2 vế cho
2
sin x
hay
3
sin x
, … để được
phương trình bậc hai, bậc ba, … đối với
cot x
.
Ví dụ: Giải phương trình
2 2
2sin 3sin cos 3cos 2x x x x+ + =
(1)
Giải:
• Khi
cos 0x
=
, ta có VT (1) = VP (1) = 2 do đó pt (1) có họ nghiệm
,
2
x k k
π
π
= + ∈¢
• Khi
cos 0x ≠
, chia 2 vế cho
2
cos x

, ta được:
(1)
( )
2 2
2 tan 3tan 3 2 1 tanx x x⇔ + + = +
5
1 1
tan arctan
3 3
x x k
π
 
⇔ = − ⇔ = − +
 ÷
 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:
1
; arctan ;
2 3
x k x k k
π
π π
 
= + = − + ∈
 ÷
 
¢
.
Bài tập áp dụng:
1) Giải các phương trình:

a.
2 2
sin 2sin 2 3cos 0x x x+ + =
b.
( )
2 2
3 sin 1 3 sin cos cos 1 3 0x x x x+ − − + − =
c.
3 2 2 3
2sin 4sin cos sin cos 2cos 0x x x x x x+ + + =
2) Xác định
m
để các phương trình sau đây có nghiệm.
Nhận xét:
• Ta có thể giải và biện luận phương trình đẳng cấp bậc hai đối với
sin x
và
cos x
cách dung công
thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về dạng:
sin 2 cos2A x B x C+ =
.
• Bằng phương pháp tương tự như trên còn giúp ta tìm GTLN, GTNN của hàm số có dạng:
2 2
sin sin cos cosy a x b x x c x d= + + +
hoctoancapba.com
6
Vấn đề 6: Phương trình dạng:
( )
sin cos ,sin .cos 0f x x x x

± =
.
Bằng cách biến đổi biến số ta có thể chuyển phương trình này về dạng phương trình đại số hữu tỉ.
• Xét phương trình
( )
sin cos ,sin .cos 0f x x x x
± =
Đặt
sin cos 2 cos
4
t x x x
π
 
= + = −
 ÷
 
Vậy:
2
2
1
2 à 1 2sin cos sin cos
2
t
t v t x x x x
−
≤ = + ⇒ =
Thay vào phương trình đã cho, ta được phượng trình hữu tỉ theo
t
• Phương trình
( )

sin cos sin 0a x x b x c+ + + =
được gọi là phương trình đối xứng của
sin à cosx v x
.
Phương trình này là trường hợp đặc biệt của phương trình trên.
Ví dụ: Giải phương trình:
( )
sin 2 12 sin cos 12 0x x x− − + =
Giải:
( )
sin 2 12 sin cos 12 0x x x− − + =
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
π
 
= − = −
 ÷
 
. Vậy
2
2 à 1 sin 2t v t x≤ = −
. Thay vào phương trình đã
cho, ta có:
( )
( )
2 2
1
1 12 12 0 12 13 0

13
t
t t t t
t L
=

− − + = ⇔ + − = ⇔

= −

Vậy
2
1
2 sin 1 sin sin ;
2
4 4 4
2
2
x k
x x k
x k
π
π
π π π
π π

= +
   

− = ⇔ − = = ⇔ ∈

 ÷  ÷

   
= +

¢
Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình sau
a.
( )
3 3
sin cos 2 sin cos 1x x x x+ = + −
b.
( )
4sin cos 2 sin cos 1 0x x x x− + + =
c.
3 3
2
sin cos
2
x x+ =
7
2. Giải các phương trình sau
a.
3 3
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x+ = −
b.

( )
sin cos 6 sin cos 1x x x x= − −
c.
( ) ( )
5 sin cos sin 3 cos3 2 2 2 sin 2x x x x x+ + − = +
d.
( ) ( )
3
sin cos 2 1 sin 2 sin cos 2 0x x x x x+ − + + + − =
e.
( )
2 sin cos tan cotx x x x+ = +
3. Giải các phương trình sau
a.
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
+ + + =
b.
3
2
3
1 cos
tan
1 sin
x
x
x

−
=
−
4. Cho phương trình:
sin cos 1 sin cosx x m x x+ = +
a. Định m để phương trình có nghiệm.
b. Giải phương trình khi
2
3
m =
.
8
Vấn đề 7: Biến đổi về phương trình dạng tích.
• Nếu phương trình
( )
0f x =
được biến đổi về dạng
( ) ( ) ( )
1 2
0
n
f x f x f x =
thì tập nghiệm của
phương trình
( )
0f x =
là tập hợp các nghiệm của phương trình
( )
1
0f x =

;
( )
2
0f x =
; …
( )
0
n
f x =
.
• Để biến đổi phương trình về dạng tích ta chú ý các vấn đề sau: hoctoan capba.com
- Dạng:
( )
sin sin 2 sin3 0 sin 4sin 2cos 3 0a x b x c x x x x a c+ + = ⇔ − + + + =
.
- Để đặt thừa số chung cần chú ý :
a)
sin 2 ; sin 3 ; tan ; tan 3 ; tan 2x x x x x
có nhân tử chung là
sin x
.
b)
sin 2 ; cos3 ; tan 2 ; cot 3 ; cotx x x x x
có nhân tử chung là
cos x
c)
2 2 2 2
cos ; cot ; sin ; tan
2 2
x x

x x
có nhân tử là
1 cos x
+
.
d)
2 2 2 2
sin ; tan ; sin ; tan
2 2
x x
x x
có nhân tử là
1 cos x−
.
e)
cos 2 ; cot 2 ; 1 sin 2 ; 1 tan ; 1 cot ; tan cotx x x x x x x+ + + −
có nhân tử chung là
sin cosx x
+
.
f)
cos 2 ; cot 2 ; 1 sin 2 ; 1 tan ; 1 cot ; tan cotx x x x x x x− − − −
có nhân tử chung là
cos sinx x−
.
Ví dụ: Giải phương trình
( ) ( )
2
2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x− + = −
(1)

Giải:
Ta có
( )
( ) ( )
2 2 2
3 4cos 3 4 1 sin 4sin 1 2sin 1 2sin 1x x x x x− = − − = − = − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2sin 1 2sin 1 2sin 1 2sin 1 0x x x x⇔ − + − − + =

( ) ( ) ( )
2sin 1 2sin 1 2sin 1 0x x x⇔ − + − + = 
 


( ) ( )
2sin 1 2sin 2 2sin 0x x x⇔ − − =

( ) ( )
2sin 2sin 1 2cos 1 0x x x⇔ − − =

sin 0
2
6
1
sin ,
5
2
2
6
1

cos
2
2
3
x k
x
x k
x k
x k
x
x k
π
π
π
π
π
π
π
=




=

= +





⇔ = ⇔ ∈

= +




=


= ± +


¢
9
Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình:
a)
cos 2 cos8 cos6 1x x x− + =
.
b)
( )
sin 4 4sin cos4 4cos 1x x x x− − − =
.
c)
3sin 2cos 2 3tanx x x+ = +
d)
3
2cos cos2 sin 0x x x+ + =
2. Giải các phương trình:

a)
4cos 2cos 2 cos 4 1x x x− − =
b)
sin sin 2 sin 3
3
cos cos2 cos3
x x x
x x x
+ +
=
+ +
c)
1
cos cos 2 cos3
2
x x x− + =
d)
1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + =
Vấn đề 8: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số phương trình lượng giác có thể giải bằng cách quy về phương trình đại số qua phép đặt ẩn
phụ.
Các phép đặt ẩn phụ thường gặp:
• Đặt
sin ; cos thì 1t x t x t= = ≤
• Đặt
tan ; cot thì tt x t x= = ∈¡
• Đặt
2 2
sin cos thì t a x b x t a b= + ≤ +
• Đặt

tan cot thì 2t x x t= + ≥
…
Ví dụ: Giải phương trình
2 6
cos 2 4sin 8cosx x x+ =
Giải:
Đặt
cos2 ; 1t x t= ≤
. Ta có:
2 2
2
1 cos2 1
sin
2 2
x t
x
− −
   
= =
 ÷  ÷
   
;
3 3
6
1 cos 2 1
cos
2 2
x t
x
+ +

   
= =
 ÷  ÷
   
Pt trở thành:
( ) ( )
2 3
1 1t t t+ − = +
3 2
2 4 0t t t⇔ + + =
( )
2
2 4 0t t t⇔ + + =
0t⇔ =
10
Vậy:
cos2 0 2 ;
2 4 2
x x k x k k
π π π
π
= ⇔ = + ⇔ = + ∈¢
.
Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình sau:
a)
2 cos 2 tan
2
x
x+ =

b)
( ) ( )
1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = +
c)
2
2
1 1
cos cos
cos cos
x x
x x
+ = +
d)
2
2
1 1
cos 2 cos 1
cos cos
x x
x x
 
+ = − +
 ÷
 
2. Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
2
1 5

cot tan cot 2 0
cos 2
x x x
x
+ − + = =
b)
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
c)
3 3
9sin 5sin 2cos 0x x x− + =
.
d)
2
tan 2 cot 8cosx x x+ =
.
11