SƯU TẦM BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
1 Xác định số phức
Bài 1: Tìm số phức z biết thỏa mãn
z + i
¯z
+
¯z + 1
z
=
7
5
+
1
5
i.
Bài 2: Tìm số phức z biết (iz +2)(z −2) là số thuần ảo và |z| = 2.
Bài 3: Giải phương trình sau trên tập số phức, biết rằng phương trình có ít nhất một nghiệm ảo: z
3
−(2 +
3i)z
2
+ 3(1 + 2i)z −9i) = 0.
Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn |z|=
√
2 và z = 2 − ¯z.
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn |z|=
√
5 và (z + i)
2
là số thuần ảo.
Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn |z|= 5 và
z + 7i
¯z + i
là số thực.
Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn (1 +i)¯z −
z
1 −i
= −5 + 7i.
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z −
¯z
1 + 3i
=
6 + 7i
3
. Tìm phần thực của z
2013
.
Bài 9: Tìm số phức z thỏa mãn 3z −4(¯z −1) + |z|
2
= 5 +7i.
Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn |¯z + 2i| = 2
√
3 và (
√
3 + i)¯z có một argument bằng
π
3
.
Bài 11: Cho phương trình 8z
2
−4(a +1)z +4a +1 = 0(1), với a là tham số. Tìm a ∈ R để (1) có hai nghiệm
z
1
, z
2
thỏa mãn
z
1
z
2
là số ảo, trong đó z
2
là số phức có phần ảo dương.
Bài 12: Tìm hai số phức z
1
, z
2
sao cho
4z
1
−3i
2013
= iz
1
+ 5
z
2
z
1
−z
2013
1
= 4
.
Bài 13: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn |2z −3|= |¯z + 1 + i| và (z −i)(¯z + 1 + 2i) là số thực.
Bài 14: Tìm số phức z biết u =
z + 2 + 3i
z −i
là số thuần ảo và |z + 1 −3i| = |z −1 + i|.
Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn z +
1 + i
(1 −i)¯z
= (1 −i)¯z.
Bài 17: Cho hai số phức z và w thỏa mãn |z| = |w| = 1. Chứng minh rằng
z
2
+ w
2
1 + z
2
w
2
là số thực.
Bài 18: Tìm số phức z thỏa mãn (1 −3i)z là số thực và |z −2 + 5i| = 1.
Bài 19: Tìm các số phức z
1
, z
2
biết z
1
+
1
z
2
= 1 +2i và z
2
+
1
z
1
=
1
2
−
3
2
i.
2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z + i
z + 1
+
¯z + i
¯z + 1
là số
thuần ảo.
1
3 Tìm môđun của số phức
Bài 1: Tính môđun của số phức z biết z
3
+ 12i = ¯z và z có phần thực dương.
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn 2z + 3(1 −i)¯z = 1 −9i. Tính môđun của z.
Bài 3: Trong các số phức z thỏa mãn |z −2 + i|= |¯z + 1 −4i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn (3z − ¯z)(1 +i)−5z = 8i −1. Tìm môđun của z.
Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z + ¯z = i. Tìm môđun của số phức w = 1 + i + z.
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn 1 + ¯z = |¯z −i|
2
+ (iz −1)
2
. Tính môđun của z =
4
z + 1
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn z −1 =
z −18
z −2
. Hãy tính môđun của
z + 4i
¯z −2i
.
4 Lượng giác của số phức và định lý Moivre
Bài 1: Cho các số phức z
1
= cos α +i sin α, z
2
= cos β +i sin β thỏa mãn z
1
+z
2
=
4
5
+
3
5
i. Tính tan(α +β).
Bài 2: Cho z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình : z
2
−2z + 4 = 0. Tìm phần thực, phần ảo của số
phức: w =
z
1
z
2
2013
, biết z
1
có phần ảo dương.
Bài 3: Tính
a)
(1 −i)
n
(1 −
√
3i)
n
b)
(1 +
√
3i)
n
(1 + i)
n+1
.
2