Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp gaas gaasal trong từ trường đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM









BÁO CÁO TỔNG KẾT






Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp Bộ


PHỔ NĂNG LƯỢNG TRẠNG THÁI EXCITON CỦA KHÍ
ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU TẠO RA DO HỆ NHIỀU LỚP
GaAs/ GaAsAl TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU


Mã số: B.2005.23.72

Chủ nhiệm đề tài: TSKH Lê Văn Hoàng













TP.Hồ Chí Minh – 2007


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM









BÁO CÁO TỔNG KẾT

Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp Bộ


PHỔ NĂNG LƯỢNG TRẠNG THÁI EXCITON CỦA KHÍ
ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU TẠO RA DO HỆ NHIỀU LỚP
GaAs/ GaAsAl TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU


Mã số: B.2005.23.72



Chủ nhiệm đề tài: TSKH Lê Văn Hoàng

TP.HỒ Chí Minh - 2007

2

Danh sách người tham gia đề tài:

TS. Thái Khắc Định
GV. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
GV. Lữ Thành Trung
GV. Nguyễn Ngọc Ty
Sinh viên Phan Ngọc Hƣng
Sinh viên Phan Thị Cẩm Nhung




Thời gian thực hiện: tháng 05 năm 2005 đến tháng 05 năm 2007.

3

MỤC LỤC

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ 8
CHƢƠNG I 12
PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO EXCITON TRUNG HÒA 12
Phụ lục A1: Phép biến đổi Levi-Civita 15
CHƢƠNG II: NGHIỆM CHÍNH XÁC BẰNG SỐ 17
Phụ lục A.2 : Biểu diễn qua toán tử sinh hủy 28
Phụ lục A3: Hàm siêu bội Gau-xơ (Gaussian Hypergeometric function) 31
Phụ lục A4: Chƣơng trình FORTRAN cho năng lƣợng gần đúng bậc zero 32
Phụ lục A5 : Dạng chuẩn của toán tử                   35
Phụ lục A6: Yếu tố ma trận cho toán tử Hamilton 37
CHƢƠNG III: PHƢƠNG PHÁP TOAN TỬ NÂNG CAO VÀ NGHIỆM GIẢI TÍCH 40
Phụ lục A.7 : Yếu tố ma trận cho toán tử, =
e
-2α
   47
Phụ lục A.8 : Tích phân sai số (Error Integral) 50
Phụ lục A.9 : Các yếu tố ma trận của toán tử  55
Phụ lục A.10 : Biểu thức giải tích các hàm số tƣơng ứng f(), g(), h() Xét phƣơng trình (3.3) và chọn
nghiệm gần đúng bậc zero là ta có: 56
KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59




4

TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ


Tên đề tài:
Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp
GaAs/GaAsAl trong từ trường đều.
Mã số: B.2005.23.72
Chủ nhiệm đề tài: TSKH. Lê Văn Hoàng Tel: 0903.82.90.90
E-mail: hoanglv2005@gmailcom
Cơ quan chủ trì đề tài: Đại học Sƣ phạm Tp. HCM
Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: ĐH Tổng hợp Belarus - Minsk; TS. Thái
Khắc Định; các giảng viên Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lữ Thành Trung, Nguyễn Ngọc Ty; các
sinh viên Phan Ngọc Hƣng, Phan Thị Cẩm Nhung.
Thời gian thực hiện: tháng 05 năm 2005 đến tháng 05 năm 2007.
1. Mục tiêu: ứng dụng phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger cho
Exciton hai chiều trong từ trường với cường độ bất kỳ.
2. Nội dung chính: - Đưa phương trình Schrödinger cho Exciton trong từ trường (có
cả thế màn chắn) về phương trình dao động tử phi điều hòa qua phép biến đổi Levi-Civita. -
Biểu diễn phương trình thu được qua các toán tử sinh hủy Dirac, sau đó bằng tính toán đại
số thu được biểu thức tổng quát cho các yếu tố ma trận tương ứng. - Áp dụng phương pháp
toán tử giải chính xác bằng số phương trình thu được. - Đưa biểu hiện tiệm cận của hàm
sóng vào phương trình và từ đây tìm nghiệm giải tích cho bài toán.
3. Kết quả chính đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế-xã hội):
Về khoa học:
- Qua phép biến đổi Levi-Civita đưa phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều
có thế màn chắn trong từ trường về phương trình cho dao động tử

5

phi điều hòa. Từ đây thu được dạng biểu diễn qua các toán tử sinh hủy, đồng thời tính được
các yếu tố ma trận của Hamiltonian.
- Ứng dụng phương pháp toán tử đưa ra lời giải chính xác bằng số cho trạng thái cơ bản
và một số trạng thái kích thích
- Cải tiến phương pháp toán tử bằng cách đưa thành phần tiệm cận của hàm sóng vào
phương trình Từ đây thu được lời giải giải tích (hàm sóng và năng lượng) cho bài toán
exciton có thế màn chắn trong từ trường. Độ chính xác của lời giải thu được ổn định đều đặn
trong toàn miền biến đồi từ trường.
Các kết quả trên đã được báo cáo tại Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 30
(tháng 8, 2005), công bố trên tạp chí khoa học Việt nam chuyên ngành vật lý Communication
in Physics [11,13].
Về đào tạo: hướng dẫn một luận văn tốt nghiệp, một luận văn thạc sỹ.

6

SUMMARY


Project Title: Energy spectrum and wave-functions of Exciton of 2D electron gas in
the multilayer semiconductor GaAs/GaAsAl in a magnetic field.
Registered number: B.2005.23.72
Principal Investigator: Dr. Sc Le Van Hoang
Applicant Institution: HCMC University of Pedagogy.
Collaborators and other affiliations: Belarus State University - Minsk City, Dr. Thái
Khắc Định, Lec. Hòang Đỗ Ngọc Trâm, Lec. Lữ Thành Trung, Lec. Nguyễn Ngọc Ty,
Students Phan Ngọc Hƣng and Phan Thị Cẩm Nhung.
Duration: from May 2005 to May 2007.
1. Objectives: To apply the operator method for solving the Schrodinger equation of

2D Exciton in a magnetic field with arbitrary strength.
2. Main contents: - Transforming the Schrodinger equation of 2D exciton in a
magnetic field (with the screening potential) into the one of anharmonic oscillator by using
the Levi -Civita transformation. - Rewritting the obtained equation into the representation of
Dirac annihilation and creation operators and calculating all useful matrix elements. -
Applying the operator method for exact numerical solutions. - Taking into account the
asymptotic behavior of wavefunctions in the equation and obtaining the analytical solutions.
3. Results:
- With using the Levi-Civita transformation the Schrodinger equation for 2D Exciton
in a magnetic field (with the screening potential) has been transformed into the one of
anharmonic oscillator. The representation of annihilation (creation) operators of the equation
are obtained. All useful matrix elements are calculated.
7

- The exact numerical solutions for ground state and some excited states are obtained
by using the operator method.
- The operator method is modified by taking into account the asymptotic behavior of
wave-functions thus allows to obtained analytical solutions for the considered problem. The
solutions are uniformly suitable for the whole range of an external magnetic intensity.
The mentioned above results were reported at XXX Vietnam National Conference on
Theoretical Physics (August, 2005) and published in Communication in Physics [11,13].
The part of materials of this work is formed one B.Sc. thesis and one M.Sc. thesis.
8

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ

Xét hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/GaAsAl, do đáy vùng dẫn GaAsAl cao hơn so với
đáy vùng dẫn của GaAs cho nên phần bù vùng dẫn tạo thành một bức tƣờng thế. Đối với
điện tử, hệ bán dẫn này tạo thành một thế năng có dạng các bức tƣờng thế và hố thế nối
tiếp nhau [2] nhƣ trong hình sau:

Trong các thiết bị kích cỡ nano, các lớp bán dẫn đủ mỏng và bức tƣờng






thế có thể xem là cao vô hạn. Lúc này ta có một hệ khí điện tử chuyển động tự do trong
không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Do là khí điện tử tự do cho nên về
nguyên tắc phổ năng lƣợng đo đƣợc là phổ liên tục. Tuy nhiên thực nghiệm quan sát đƣợc
phổ năng lƣợng gián đoạn của khí điện tử [2-5,19,23]. Điều này chỉ có thể giải thích bởi sự
tồn tại một câu trúc có trạng thái liên kết (bound state). Hiện nay chúng ta đã biết rõ đó là
trạng thái kết hợp giữa điện tử và lỗ trống tạo thành một giả hạt gọi là exciton, di chuyển tự
do hai chiều trong bán dân. Nghiên cứu phổ năng lƣợng của exciton cho ta nhiều thông tin
về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi các chất này đƣợc đặt trong
từ trƣờng. Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế
các hệ thấp chiêu kích cỡ nano. Ngoài GaAs, hiện nay nghiên cứu đƣợc mở rộng với các
chất liệu bán dẫn khác (InAs/GaSb, InGaAs/InP,
9

GaN, SiO
2
). Các quan sát cho thấy có nhiều dạng Exciton. Khi sự kết hợp xảy ra giữa một
điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa. Khi hai điện tử kết hợp với một lỗ trống thì
exciton có điện tích âm (exciton âm X
-

). Và cũng có trƣờng hợp khi hai lỗ trống kết hợp với
một điện tích tạo ra một exciton dƣơng X
+
[3-5]. Hiện nay nghiên cứu thực nghiệm cho khí
điện tử hai chiều và các điều kiện để có các cấu trúc exciton khác nhau là một vấn đề thời sự
liên quan đến nhiều hiệu ứng vật lý mới [3-5,19,23].




Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống nhƣ nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó có bán
kính lớn hơn và năng lƣợng liên kết nhỏ hơn. Tƣơng tự nhƣ vậy các exciton dƣơng hay âm
cho ta hình ảnh i-ôn phân tử HI hay nguyên tử Heli. Tuy nhiên, khác hẳn với nguyên tử trong
từ trƣờng khi mà tƣơng tác Coulomb bao giờ cũng đƣợc cho là mạnh, trong trƣờng hợp
exciton tƣơng tác Coulomb có thể so sánh trong cùng thang với tƣơng tác từ. Chính vì vậy
mà khi xét bài toán với sự có mặt của từ trƣờng ngƣời ta thƣờng dùng gần đúng trƣờng mạnh
[9,18] thay vì dùng lý thuyết nhiễu loạn truyền thống. Trong nhiều trƣờng hợp trong các
nghiên cứu hệ thấp chiều kích cỡ nano thì tƣơng tác Coulomb trở nên có thể so sánh đƣợc
với năng lƣợng từ trƣờng. Phƣơng pháp biến phân (variation method) lúc này gần nhƣ là
chọn lựa tốt nhất nếu ta muốn có nghiệm giải tích [1,22]. Hiện nay khi mà các nghiên cứu về
exciton trong từ trƣờng đƣợc đẩy mạnh thì việc xây dựng một phƣơng pháp giải phƣơng trình
Schrödinger cho hệ tƣơng ứng cho trƣờng hợp từ trƣờng thay đổi bất kỳ là điều cần thiết.
10

Trong công trình cấp cơ sở CS2004.23.59 [16] chúng tôi đã đƣa ra phƣơng pháp đại
số giải phƣơng trình Schrödinger cho nguyên tử Hydro trong trƣờng từ với cƣờng độ bất kỳ
[14,17]. Một bài toán cụ thể minh họa trong công trình đó là exciton trong từ trƣờng và kết
quả đƣa ra là lời giải chính xác bằng số. Công trình tiếp theo này là một bƣớc phát triển của
[16] cho hệ hai chiều có tính đến tƣơng tác giữa các điện tử, đƣợc đƣa vào thông qua thế màn
chắn. Ngoài nghiệm chính xác bằng số, trong công trình này nghiệm giải tích đƣợc xây dựng

tƣơng đối chính xác cho miền biến đổi rất rộng của từ trƣờng dựa vào việc tính đến thành
phần tiệm cận trong miền từ trƣờng mạnh của hệ. Các kết quả thu đƣợc so sánh với kết quả
phƣơng pháp biến phân của nhóm Villabra [22,25] và so sánh với kết quả chính xác bằng số.
Cơ sở quan trọng của phƣơng pháp đại số sử dụng trong công trình này là mối liên hệ
giữa bài toán exciton hai chiều với bài toán dao động tử điều hòa [15,24]. Chính nhờ phép
biến đổi Levi-Civita mà phƣơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa có thể chuyển
về phƣơng trình cho exciton hai chiều. Từ đây biểu diễn biến động lực qua các toán tử sinh
hủy Dirac có thể đƣợc áp dụng một cách thuận tiện cho bài toán đang xét. Trong chƣơng I ta
xây dựng phƣơng trình cho exciton hai chiều trong từ trƣờng và thế màn chắn qua phép biến
đổi Levi-Civita. Cần nhắc lại là với bài toán dao động tử điều hòa chúng ta có thể tìm thấy
trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lƣợng tử, trong đó có một phƣơng pháp giải bằng
cách đƣa về dạng biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy mà trạng thái cơ bản chính là
trạng thái chân không, còn các trạng thái kích thích ứng với tác dụng của toán tử sinh lên
hàm chân không. Biểu diễn toán tử sinh hủy của bài toán exciton trong từ trƣờng cho phép ta
ứng dụng phƣơng pháp toán tử [6-8,10-13,20-21] để giải phƣơng trình Schrodinger. Phƣơng
pháp toán tử này đƣợc xây dựng từ những năm 80 và đã chứng tỏ hiệu quả trong rất nhiều bài
toán vật lý nguyên tử (xem ví dụ [12]). Các nét cơ bản của phƣơng pháp sẽ đƣợc trình bày
thông qua giải bài toán cụ thể trong chƣơng II của đề tài. Trong
11

chƣơng III sẽ phát triển phƣơng pháp toán tử để nhận đƣợc nghiệm giải tích cho bài toán với
độ chính xác ổn định trong toàn miền biến đổi từ trƣờng. Phân tích bằng số đƣợc đƣa ra cho
trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích. Phần Kết luận dành để nêu tóm tắt các kết
quả thu đƣợc và hƣớng phát triển của đề tài.
12

CHƢƠNG I
PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO EXCITON TRUNG HÒA

Phƣơng trình Schrödinger cho Exciton trong trƣờng từ dễ dàng xây dựng và có trong

hầu hết các sách chuyên khảo về vật lý chất rắn. Chúng ta sẽ sử dụng một dạng rất đặc biệt
của phƣơng trình này, đƣợc viết nhờ vào phép biến đổi Levi-Civita [24]. Phƣơng trình đƣợc
đƣa ra trong công trình [15] cho thấy bài toán Exciton hai chiều trong từ trƣờng đều có thể
đƣa về bài toán dao động tử phi điều hòa hai chiều. Trong chƣơng này, dựa theo [15] chúng
tôi viết lại phƣơng trình và các công thức biến đổi cần thiết đồng thời bổ sung thêm thành
phần liên quan đến hiệu ứng màn chắn.
Phương trình Schrodinger cho trạng thái liên kết điện tử - lỗ trống trong từ trƣờng đƣợc
viết nhƣ sau:


với hệ đơn vị nguyên tử đƣợc sử dụng. Ký hiệu m*, lần lƣợt là khối lƣợng hiệu dụng của
điện tử và hằng số điện môi, khi đó đơn vị năng lƣợng sẽ là hằng số Rydberg hiệu dụng R*
=m*e/2


2
, đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng a* =.

e
2
m*. Cƣờng độ từ trƣờng
không thứ nguyên đƣợc xác định bằng biểu thức: γ = ћ

/2R*, trong đó 

=eB/m*c là tần
số chuyển động xoáy ốc với B là cƣờng độ từ trƣờng. Để đánh giá độ lớn tƣơng đối của từ
trƣờng so với tƣơng tác Coulomb, ta đƣa ra phép so sánh sau đây: Thang năng lƣợng từ
trƣờng đƣợc đặc trƣng bởi giá trị ћ


= ћeB/m*c trong khi thang năng lƣợng tƣơng tác
Coulomb đƣợc đặc trƣng bởi hằng số Rydberg hiệu dụng R* Nhƣ vậy hệ số so sánh giữa
13

hai thang năng lƣợng là γ = ћ 

/2R*,. Từ đây ta có thể gọi từ trƣờng yếu ứng với giá trị
γ << l và từ trƣờng mạnh ứng với γ >> l .
Trong phƣơng trình này, phần thế màn chắn đặc trƣng cho ảnh hƣởng của môi
trƣờng lên exciton (trong yếu tố môi trƣờng có cả thành phần tƣơng tác giữa các điện tử).
Khi λ= 0 bài toán chuyển về exciton lý tƣởng, còn trong nhiều trƣờng hợp ta chọn λ tƣơng
ứng với chất bán dẫn và điều kiện nhiệt độ. Với GaAs chúng ta xét λ = 0 0.5 (xem [25]).
Mối liên hệ với bài toán dao động tử phi điều hòa hai chiều. Trong các công trình
[14,17] đã chỉ ra rằng phƣơng trình (1.1)-(1.2) có thể thuận lợi hơn khi đƣợc xét trong
không gian mới dựa vào phép biến đổi Levi-Civita:


  

 

  
(1.3)

Ta có dxdy = 4(u
2
+ v
2
)dudv, r = 


 

= u
2
+ v
2
cho nên tích vô hƣớng vectơ trạng thái
trong không gian (x,y) liên quan đến tích vô hƣớng vectơ trạng thái trong không không gian
(u,v) thông qua biểu thức liên hệ sau:




Sự xuất hiện trọng số 4(u
2
+ v
2
) trong (1.4) cho ta gợi ý: thay vì sử dụng phƣơng trình (1.1)-
(1.2) ta xét chƣơng trình r(

 )Ѱ(r)=0 và đƣa nó về không gian (u,v). Sau phép biến đổi
Levi-Civita,phƣơng trình này có dạng:





Với Hamiltonian

14

hermit trong không gian (u,v) (xem chi tiết trong phụ lục A.1). Dễ dàng nhận thấy (1.6) có
dạng toán tử Hamilton cho bài toán dao động tử phi điều hòa trong không gian hai chiều
(u,v). Nhƣ vậy từ bài toán chuyển động của điện tử trong điện từ trƣờng phức tạp ta đã đƣa về
bài toán đơn giản và đƣợc nghiên cứu nhiều trong cơ học lƣợng tử.
Trong phƣơng trình (1.5)-(1.6), năng lƣợng E chỉ đóng vai trò tham số. Vì vậy để có
dạng phƣơng trình tìm trị riêng ta viết lại (1.5) nhƣ sau :
với Z đóng vai trò trị riêng của phƣơng trình Schrodinger (1.5')-(1.6). Sau khi giải phƣơng
trình này ta tìm đƣợc Z nhƣ một hàm phụ thuộc vào tham số E. Vì giá trị của Z luôn bằng
zero nên phƣơng trình


cho ta nghiệm chính xác E .
Để tìm nghiệm hoàn chỉnh của một phƣơng trình động học chúng ta cần xác định các
bất biến của hệ. Trong trƣờng hợp phƣơng trình (1.5') ta dễ dàng kiểm chứng rằng 


, toán tử
hình chiếu mô-men xung lƣợng lên trục z, giao hoán với
Hamiltonian (1.6). Điều này tƣơng ứng với việc hình chiếu mô-men quỹ đạo là đại
lƣợng bảo toàn với chuyển động trong trƣờng Coulomb và trƣờng từ. Nhƣ vậy hàm sóng cần
tìm thỏa mãn phƣơng trình:

với 








 


 đƣợc viết trong không gian (u,v) và trị riêng của nó sẽ tìm
đƣợc trong các phần tiếp theo nhƣ sau: m = 0,± 1,± 2, Dựa vào đây, chúng ta sẽ giải
phƣơng trình (1.5') cùng với điều kiện (1.8). Ngoài ra, chúng ta có thể thay thế toán từ 



bằng trị riêng của nó trong các phƣơng trình tƣơng ứng.

15


Phụ lục A1: Phép biến đổi Levi-Civita

I. Sử dụng phép biến đổi Levi-Civita (1.3) ta dễ dàng thu đƣợc các công thức biến đổi thƣờng
dùng nhƣ sau:

II. Ta có thể sử dụng tọa độ phức một chiều thay cho hai giá trị thực, cụ thể:

Khi đó phép biến đổi Levi-Civita có dạng: (A1.2)
Với:
Lúc này các công thức (A1.1) là











16

r









 




,

r








 



,


17

CHƢƠNG II: NGHIỆM CHÍNH XÁC BẰNG SỐ

Trong chƣơng này ta sẽ chỉ ra rằng phƣơng pháp toán tử [6,7,8] có thể sử dụng hiệu
quả để nhận đƣợc nghiệm (năng lƣợng và hàm sóng) bằng số cho phƣơng trình (1.5)-(1.6).
Kết quả có thể tính với bổ chính bất kỳ và hội tụ đến giá trị với độ chính xác cho trƣớc cho
nên ta còn gọi là nghiệm chính xác bằng số. Một thế mạnh của phƣơng pháp toán tử là sơ đồ
tính toán không phụ thuộc vào độ lớn của trƣờng từ.
Phương pháp luận: Ta thấy (1.5)-(1.6) là dạng phƣơng trình Schrödinger cho

chuyển động điện tử trong trƣờng Coulomb và trƣờng từ, Hamiltonian có thể viết dƣới dạng
tổng quát sau:


Trƣờng hợp từ trƣờng yếu γ << 1, dựa vào lý thuyết nhiễu loạn ngƣời ta chọn





 


còn tƣơng tác từ trƣờng và màn chắn 





có thể xem nhƣ nhiễu loạn.
Vì bài toán chuyển động trong trƣờng Coulomb có nghiệm chính xác nên ta có thể tìm
nghiệm riêng của 


và sau đó dùng lý thuyết nhiễu loạn để tính các bổ chính bậc cao.
Tƣơng tự nhƣ vậy, trong trƣờng hợp từ trƣờng mạnh γ >> 1 ngƣời ta chọn 





 


có
nhiễu loạn sẽ là 





. Trƣờng hợp khó nhất là khi từ trƣờng không mạnh cũng không
yếu   . Lúc này phƣơng pháp thƣờng dùng là biến phân. Vì phƣơng pháp này chỉ hiệu
quả cho trạng thái cơ bản cho nên để sử dụng cho các trạng thái kích thích thấp cũng đòi hỏi
những cải tiến đáng kể [1,22,25]. Chúng ta sẽ ứng dụng phƣơng pháp toán tử cho bài toán
đang xét cho toàn miền biến đổi của từ trƣờng. Ý tƣởng chủ yếu của phƣơng pháp toán tử là
làm sao tách Hamiltonian thành hai phần 

= 




sao cho:



có chứa một phần của tƣơng tác Coulomb (có màn chắn) và tƣơng tác từ

18

2) 


có trị riêng chính xác
3) 

"đủ nhỏ" để có thể xem nhƣ là nhiễu loạn với mọi giá trị γ

Ý tƣởng đó chính là nguyên lý cho phƣơng pháp nhiễu loạn. Cái quan trọng là ở đây
biểu diễn toán tử sinh hủy cho phép ta làm các bƣớc từ 1 đến 3 không phụ thuộc vào đặc
điểm vật lý của hệ. Chúng ta sẽ thực hiện các ý tƣởng trên qua việc giải phƣơng trình (1.5')-
(1.6) bằng phƣơng pháp toán tử. Ta cần thực hiệncác bƣớc sau:
Bước một: Trƣớc hết chúng ta chuyên phƣơng trình (1.5')-(1.6) từ biểu diễn tọa độ
(u,v) qua biểu diễn bằng các toán tử sinh hủy. Các toán tử này đƣợc định nghĩa bằng các biêu
thức:

trong đó tọa độ phức là  = u+ iv, 

  . Dễ dàng kiểm chứng các toán tử sinh hủy (2.2)
thỏa mãn hệ thức giao hoán

(các giao hoán tử khác bằng không). Khi định nghĩa các toán tử sinh hủy (2.2) chúng ta đƣa
vào một tham số tự do  (  ) .Tham số này tạm thời chƣa xác định và chúng ta sẽ thấy ở
phần tiếp theo rằng việc đƣa tham số tự do này vào sơ đồ OM là để tối ƣu hóa tốc độ hội tụ
của quá trình tính toán. Sau phép biến đổi (2.2) với các công thức đƣa ra trong phụ lục A.2,
phƣơng trình (1.5')-(1.6) có thể viết dƣới dạng:

19






Thành phần có dạng hàm mũ 

=exp

(
+
 + 




+
+
 +

+


+1)/2

trong
phƣơng trình (2.4) có thể đƣa về dạng nhƣ sau:



nghĩa là toán tử sinh sang bên trái còn các toán tử hủy ở phía bên phải. Điều này cho phép ta
dễ dàng sử dụng tính toán đại số dựa vào các tính chất (2.3) của giao hoán tử (xem Phụ lục
A.5 cách đƣa toán tử về dạng chuẩn) .

Bước hai: Tách Hamiltonian ở phƣơng trình (2.4) thành hai thành phần nhƣ sau:


với Hamiltonian 


chỉ chứa thành phần giao hoán với các toán tử â
+
â và 












Còn 



- 


có thể xem nhƣ toán tử "nhiễu loạn". Nghiệm gần đúng bậc zero
của phƣơng trình (2.4) chính là nghiệm riêng chính xác của toán tử 


, còn các bổ chính bậc
cao hơn ta có thể tính theo chuỗi của toán tử 

dựa vào lý thuyết nhiễu loạn. Thừa số β
đƣa vào trƣớc toán tử 

trong (2.5) để chỉ rằng toán tử này "nhỏ" hơn toán tử 


một bậc; ta

gọi là tham số nhiễu loạn và trong kết quả cuối cùng ta sẽ choβ = 1. Chúng ta có thể chọn
tham số  sao cho
20



đƣợc thỏa mãn, đây chính là điều kiện để phƣơng pháp lý thuyết nhiễu loạn có thể sử dụng
hiệu quả.

Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc zero bằng cách giải phƣơng trình


Dễ dàng nhận thấy rằng nghiệm riêng của 


cũng là nghiệm riêng của các toán
tử â
+
â và 

+


. Hay nói khác hơn nghiệm của (2.7) là hàm sóng của dao động tử điều
hòa hai chiều với các vectơ trạng thái có dạng chuân hóa nhƣ sau:




Ở đây n

1,
n
2
là hai số nguyên không âm, còn trạng thái chân không đƣợc xác định bởi
các phƣơng trình:




Chú ý rằng hệ đang xét bảo toàn hình chiếu mô men quỹ đạo, nghĩa là cần đòi hỏi
(2.8) thỏa mãn phƣơng trình (1.8). Mà phƣơng trình này khi chuyển về biểu diễn toán tử có
dạng nhƣ sau:


cho nên dễ dàng nhận thấy rằng chỉ có các trạng thái



thỏa mãn yêu cầu của chúng ta với n = 0, 1, 2… là số lƣợng từ chính và m là số lƣợng tử từ -n
 m  n. Để sử dụng trong các tính toán cụ thể, dựa vào các hệ
21


thức giao hoán (2.3) và các phƣơng trình định nghĩa trạng thái chân không (2.9), ta có thể
chứng minh các công thức sau:
Trong Phụ lục A.2 ngoài (2.11) ta đƣa ra các công thức thƣờng dùng cho tính toán đại
số. Thế vectơ trạng thái (2.10) vào (2.4) đồng thời bỏ các thành phần không giao hoán với
toán tử trung hòa trong phƣơng trình (2.4), từ điều kiện Z
(0)
(



= 0 ta thu đƣợc biểu thức để
xác định năng lƣợng riêng tƣơng ứng:





với là hàm siêu biệu Gau-xơ đƣợc định nghĩa sau:







Trong Phụ lục A.3 chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ về hàm đặc biệt này. Tham số trong
biểu thức năng lƣợng có thể xác định từ điều kiện:
(2.13)

Tiêu chí để chọn giá trị  theo phƣơng pháp toán tử đã đƣợc thảo luận trong một số
các công trình (xem [19]) và đã chỉ ra rằng phƣơng trình (2.13) cho ta kết quả tƣơng đối
chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau. Phƣơng trình này cũng phù
hợp với điều kiện ‖ 


‖>>‖ 

‖. Với bài toán chúng ta đang xét, điều kiện (2.13) dẫn tới

phƣơng trình để xác định  nhƣ sau:


22


Phƣơng trình (2.14) có một nghiệm thực dƣơng. Thế nghiệm thực dƣơng này vào
(2.12) ta có thể tìm đƣợc nghiệm giải tích gần đúng cho bài toán đang xét. Để minh họa cho
sự chính xác của lời giải ở gần đúng bậc thấp của OM, trong bảng số b2.1 sau ta đƣa ra két
quả 


(γ) và so sánh với lời giải chính xác OM cho trạng thái cơ bản và một vài trạng thái
kích thích. Ở đây ta ký hiệu các mức năng lƣợng nhƣ sau: ns- ứng với m=0; np
+
 m= l; np
-

m= -1; nd
+
m=2; nd
-
 m= -2;….

Bảng b2.1: So sánh năng lƣợng gần đúng bậc zero và nghiệm chính xác (λ=0)


1s
2s

E
T

E
0

E
T

E
0

0.1
-1.9995314921
-1.9995312273
-0.2052868886
-0.1894253925
0.5
-1.9884252817
-1.9882704148
0.0403174085
0.0408303824
1.0
-1.9555159683
-1.9531182326
0.4946796388
0.4573762458
2.0
-1.8362074391
-1.8166555249

1.5768955420
1.4284794294
5.0
-1.2263566374
-1.0429262394
5.2710977608
4.7184188319
10.0
-0.848438521 7
-0.8297123940
11.8835864692
10.6282379665


Trong bảng b2.1 ta thấy rằng: trong miền từ trƣờng yếu và trung bình kết quả thu
đƣợc bằng OM ở gần đúng bậc zero rất gần với nghiệm chính xác. Tuy nhiên với cƣờng độ từ
trƣờng lớn độ chính xác này giảm đi đáng kể. Kết quả tƣơng tự đƣợc nhận cho các trạng thái
kích thích khác và cho trƣờng hợp (λ0). Do vậy, để có thể thu đƣợc kết quả với độ chính
xác đều đặn trong toàn miền thay đổi từ trƣờng ở gần đúng bậc thấp, ta cần xét đến biểu hiện
tiệm cận của hàm sóng khi từ trƣờng lớn γ >> 1, nghĩa là cần đƣa thêm vào hàm sóng thừa
số:
23


với  là tham số biến phân. Lời giải nhƣ thế ta sẽ đƣa ra ở chƣơng III, trong phần tiếp theo ở
bƣớc 4, chúng ta sẽ đƣa ra sơ đồ OM trên cơ sở lý thuyết nhiễu loạn để tìm lời giải bằng số
với độ chính xác cho trƣớc bất kỳ.
Bước 4: Phương pháp toán tử tìm nghiệm bằng số.
Vì các vectơ trạng thái (2.10) tạo thành một bộ hàm số cơ sở đầy đủ nên lời giải chính
xác của hàm sóng có thể viết dƣới dạng chuỗi của các vectơ trạng thái đó nhƣ sau:

với các hệ số thực C
k
(k=







   Đem (2.15) thế vào phƣơng trình (2.4), so
sánh các hệ số trƣớc mỗi vectơ trạng thái với nhau, ta thu đƣợc hệ phƣơng trình:






Ở đây, trƣớc các yếu tố ma trận 


   trong (2.16)-(2.17) ta đƣa tham số nhiễu
loạn β vào. Điều này dựa trên cơ sở là 


 




kk
với mọi, 


=



với mọi k  trong
khi đó trong Hamiltonian (2.5) hệ số β chỉ có trƣớc thành phần toán tử nhiễu loạn. Các yếu tố
ma trận của toán tử 

đối với chuyển đổi giữa các trạng thái (2.10) dễ dàng tính đƣợc bằng
các phép biến đổi đại số dựa vào các công thức (2.3). Trƣớc hết ta tính yếu tố ma trận của
toán tử 

và thu đƣợc kết quả nhƣ sau:

24




Sau đó ta thu đƣợc các yếu tố ma trận của Hamiltonian

nhƣ sau:

Dựa vào tính đối xứng 


=


ta tính đƣợc tất cả các yếu tố ma trận khác không
còn lại (chi tiết về tính yếu tố ma trận, xem phụ lục A.6).
Bây giờ ta giải hệ phƣơng trình (A.1)-(A.2) bằng cách phân tích theo chuỗi tham số
nhiễu loạn β:




Thế (2.20)-(2.21) vào (2.16)-(2.17), sau đó so sánh các hệ số theo từng bậc với nhau,
ta thu đƣợc:

với F
s
(n,m,x) là hàm đặc biệt đƣợc định nghĩa phía trên, s  0