Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phương trình vi tích phân trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM










TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM
TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH









Mã số: CS2004.23.56
Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa.
Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004

Tháng 9 năm 2004



BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM
TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH









Mã số: CS2004.23.56
Chủ nhiệm: LÊ HOÀN HÓA.
Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004

Tháng 9 năm 2004




BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM





BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ




TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM
TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH





Mã số: CS2004.23.56
Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa.
Cán bộ tham gia thực hiện: Lê Thị Phƣơng Ngọc,

Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang
Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004


3

BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ

Tên đề tài:
Tính compact, liên thông của tập nghiệm
trong phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach.
Mã số: CS2004.23.56
Các thành viên tham gia :
1 - PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài)
2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƢƠNG NGỌC

BÁO CÁO TỔNG QUAN
Đề tài về tính compact, liên thông của một số phƣơng trình phi tuyến đã đƣợc chúng
tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm. Một số kết quả đã đƣợc trình bày dƣới dạng : luận
văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quốc, báo cáo
tại Hội nghị Quốc tế về phƣơng trình vi phân. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ
trình bày các kết quả về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau :

ở đây u
0
,U
1
,f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên chƣa biết p(t) thỏa phƣơng
tình phi tuyến sau :
P(t) = g(t) + H(u(0,t))-


  


, trong đó g,H,k là các hàm
cho trƣớc.

BÁO CÁO KẾT QUẢ

Báo cáo kết quả gồm hai phần :
1. Một ghi chú về tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa.
2. Tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phƣơng trình sóng nửa tuyến tính
liên kết với một phƣơng trình tích phân phi tuyến.
4

MỘT GHI CHU VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG
CỦA TẬP HỢP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TIẾN HÓA

Lê Hoàn Hóa
1
- Lê Thị Phƣơng Ngọc
2
1.Trƣởng ĐHSP Tp.HCM
2.Trƣờng CĐSP Nha Trang

Tóm tắt : Bài báo chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của các phƣơng trình
sau là khác rỗng, compact và liên thông :

ở đây : (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H.
(2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thỏa điều kiện : Có các số dƣơng

không đổi a, b và α (0 < α< 1) sao cho | f(x) | < a + b | x |
α
, xH.
Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact và các tính chất của
toán tử tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe.
1. Lời giới thiệu :
Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đƣa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử
f để có đƣợc tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán (I), (II).
Trong bài báo này, chúng tôi đƣa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f để có đƣợc kết
quả tƣơng tự cho hai bài toán trên.
2. Các kết quả chính :
Cho H là không gian Hinbe và chuẩn đƣợc sinh ra bởi tích vô hƣớng trên H

đƣợc ký hiệu là |.| . Xét các phƣơng trình




và với giả thiết:


(1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H.
(2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dƣơng
không đổi a, b, α (0
< α <
1) sao cho |
f(x) |
< a + b |X |
α
, xH. Ta có :

Định lý 1 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Khi đó tập hợp các nghiệm của
phƣơng trình (I) khác rỗng, compact và liên thông.
Định lý 2 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Giả sử thêm rằng nếu u(t) là
nghiệm của phƣơng trình thì

|
u(0) |

< E, với E là hằng số

dƣơng cho trƣớc.

5

Khi đó tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (II) khác rỗng, compact và
liên thông.
Chú thích : Sự thu hẹp |u(0)|< E, với E là hằng số dƣơng cho trƣớc, là
chấp nhận đƣợc theo ý nghĩa vật lý của bài toán trên, (xem [2], [3]).
Chứng minh định lý 1:
Chứng minh hoàn toàn tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 1 ở bài báo
[1], với các ký hiệu giống nhƣ ƣơng [1]. Do đó trong chứng minh sau đây chỉ
trình bày kỹ một số ý cần thiết.
Gọi X= C([0,1], H) là không gian Banach các ánh xạ liên tục trên [0, 1],
nhận giá trị trong không gian Hinbe H với chuẩn ||.||

thông thƣờng; X
1
=
C
1

([0,1],
H) với chuẩn ||u||= max {|u(t)| + |u'(t)|, t  [0, 1]}.
Bƣớc 1 : Xét χ = 0. Gọi X
1
*= {uX
1
/u(0) = 0 }.
Đ ặ t T : X
1
* → x sao cho T(u)(t) = u
t
(t) +A(u(t)), t[0, 1].
F : X → x
u→ F(u) sao cho F(u)(t) = f(u(t)), t  [0, 1].
- Bổ đề : Với giả thiết (1), (2), các tính chất sau là đúng :
i. T là toán tử tuyến tính liên tục và khả nghịch. T
-1
là toán tử tuyến tính liên
tục. ii. Toán tử F là toán tử compact. iii.Toán tử T
-1
F là toán tử compact.
Chứng minh ii. Rõ ràng F liên tục. Điều này có đƣợc do f, u liên tục. Khi đó nếu
u
→
u 0 thì
t
[0,l], u(t)
→
u
0

(t) =>
t
[0, 1], f(u(t))
→
f(u
0
(t)) => F(u)
→F (U
0
).
Mặt khác : Lấy B bị chặn trong X. ta chứng minh đƣợc F(B) compact tƣơng
đối trong X bằng cách sử dụng định lý Ascoli-Azela nhƣ sau :
Ta có : F(B) đẳng liên tục. Vì : uB, f
0
u liên tục trên [0, 1] nên f
0
u liên tục
đều trên [0, 1] =>ε > 0,δ > 0 : t,t' [0, 1] ta có:
0
< |
t-t' | < s =>
|
f
0
u(t)- f
0
u(t') | <e
=>
|F(u)(t)-F(u))(') | < e . F(B) bị chặn đều . Vì
:

Do B bị chặn nên C' > 0 :||u||<c'

uB => |u(t)|<c

uB, t[0, l] , suy ra
u(t)  (0,C), t[0, 1], uB,
ở đây (0, C') là hình cầu đóng có tâm tại 0 và có bán kính C' trong không
gian Hinbe H. Nhƣ thế f(u(t))  f( (0,C')). Ta lại có f( (0,C')) là tập
compact tƣơng đối ƣơng H, do f hoàn toàn liên tục. Nên m>0 : |f(v)| < m,
v (0,C).
Do đó |F(u)(t)| < m, t [0,1], uB. Tóm lại F là toán tử compact.
6

- Ta chứng minn tập nghiệm của phƣơng trình :




bị chặn. Nghĩa là chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm
u(t) của phƣơng tình (3) đều thoả điều kiện : |u(t)| < M, T [0,1], Λ [0,1],
(4). Chứng minh nhƣ sau :
Nếu u(t), T[0,1] là nghiệm của (3) thì:
(u
t
, u) = - (Au, u) + (f(u), u) và u(0) = 0.
Từ đó, với các giả thiết (1),(2) và 0 ≤ λ ≤ 1, ta có :

Nên :





Để có (4), trƣớc hết ta chú ý rằng :



Vì vậy với hằng số dƣơngR=





ta xét hai trƣờng hợp :

Trƣờng hợp 1. Với mọi Λ [0,1], nếu f |u(t) I < R , T [OA] thì (4) đúng.
Trƣờng hợp 2. Với mọi Λ [0,1]. nếu tồn tại t
0
 [0,1] sao cho |u (t
0
)| ≥ R thì
(4) cũng đúng. Thật vậy,
Vì |u(t)| liên tục trên đoạn [0,1], tồn tại một lân cận của t
0
sao cho |u(t)| ≥ R,
với mọi t thuộc vào lân cận đó. Mặt khác, | u(0) | = 0 và |u(t

0
)| > R, nên có s'
(0, t
0
) sao cho |u(s')| = R.
Suy ra tồn tại s  (0, t
0
) sao cho |u(t)| ≥ R, T [s, t
0
] và |u(s)| = R. Nhƣ thế,
V t [s, to], theo trên ta có :



7

Suy ra với mọi Ta nhận
đƣợc :

w(t
0
)< w(s) +4(1-β)b (t
0
- s) < w(s) +4(l-β)b.

Nên
Do đó (4) đúng.
Vậy (4) sẽ đúng ƣơng cả hai trƣờng hợp, nếu ta chọn
Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u  D và u ∂D (ở đây ∂D là biên của D),
với mọi λ[0,1]. Suy ra mọi nghiệm của phƣơng trình (3) (nếu có), với mọi λ[0,1] đều chứa

trong D nhƣng không chứa trong ∂D.
- Bằng việc chứng minh toán tử T
-1
F :  X→X
1
*
thỏa mãn các điều kiện
của định lý Krassosel'skii-Perov. bƣớc 1 hoàn thành.
Bƣớc 2 : Xét χ ≠ 0 .
Với mọi u thuộc tập nghiệm của (I), đặt u
*
: [0,1]→Hs sao cho: u
*
(t) = u(t)-χ.
Khi đó
u
*
X
1
, u
*
(0)= 0 và u
*
t
= u
t
.
Suy ra

Nhƣ thế u*(t) là nghiệm của phƣơng trình (I)'

trong đó f
*
: H→ H
X→ f
*
(x) = f(x+χ ) -A(χ ).

Ngƣợc lại, nếu u
*
(t) là nghiệm của (I)' thì u(t) = u*(t)+ χ sẽ là nghiệm của (I).
Rõ ràng, tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông khi và chỉ khi tập nghiệm của (I)
khác rỗng, compact, liên thông.
Ta có f* hoàn toàn liên tục vì f hoàn toàn liên tục. Mặt khác : x H,
|

f*(x)| ≤ |f(x+χ)||A(x)|≤

a +|A(χ)|+b|x+χ|
α
≤;
≤a +|A(χ)| + b ( | x | + |χ|)
α
< a *+bC| x |
α
,
với a* = >a+|

A(χ)| >

0; b > 0; 0 < α < 1 và C >1 là các hằng số cho trƣớc, nếu và
chỉ nếu

8

Từ tính chất này của f* bằng cách chứng minh tƣơng tự NHƢ Ở BƢỚC 1, ta sẽ chứng
minh đƣợc tập nghiệm của (I') khác rỗng, compact, liên thông. Bƣớc 2 hoàn thành.
Tóm lại tập các nghiệm của phƣơng trình :

với các điều kiện (1),(2) là khác rỗng, compact và liên thông.
Chứng minh định lý 2 :
Ta chỉ cần chứng minh định lý 2 đúng trong trƣờng hợp X = 0.
Hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở định lý 2, [1], chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chứng minh đƣợc
tập nghiệm của phƣơng trình sau bị chặn :

trong đó toán tử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Ta sẽ chứng minh có một số dƣơng không
đổi M để mọi nghiệm u(t) của (5) đều thoả điều kiện : |u(t)| ≤ M. t [0,1], λ [0,1], (6).
Chứng minh tƣơng tự (4), với giả thiết (1), (2) và có thêm điều kiện |u(0)|<E,λ[0.1].
Nếu u(t), t [0,1] là nghiệm của ( 5 ) thì(u
t
,u)= -(Au,u)+ λ (f(u),u) và u(1)=0
Từ (1), (2) và 0 ≤ λ ≤ 1, ta có

Để có (6), trƣớc hết ta chú ý rằng :


Nên với hằng số dƣơng ,ta xét hai trƣờng hợp :
Trƣờng hợp 1. Với mọi λ [0,1], nếu |u(t)|≤ R , t [0,1] thì (6) đúng.

Trƣờng hợp 2. Với mọi λ [0,l], nếu có t
0
 [0,1] sao cho |u(t
0
)| > R thì (6) đúng. Thật vậy,
Vì |u(t)| liên tục trên [0,1], có một lân cận của t
0
sao cho |u(t)| ≥ R với mọi t thuộc vào lân
cận đó. Ta lại có |u(1)| = 0 và |u(t
0
)| > R nên có s'  (t
0
,l) sao cho |u(s')| = R. Nhƣng ta không
sử dụng đƣợc s' trong chứng minh ở đây, ta cần thêm giả thiết |u(0)|< E .
Nếu có s [0, t
0
) sao cho |u(s)| ≤ R thì nhƣ ở (4), ta có (6) đúng.
Nếu không nhƣ vậy thì t [0, to], ta có |u (t)| > R. Suy ra :

9

W(t
0
)< W(0)+4(1- β)b < 

+ 4(1- β)b

Nên

Do đó (6) đúng.

Nhƣ thế (6) sẽ đúng trong cả hai trƣờng hợp nếu ta chọn :


Tóm lại tập các nghiệm của phƣơng trình :



với các điều kiện đã đƣa ra là khác rỗng, compact và liên thông.
Tài liệu tham khảo :
[1] L. H. Hóa - L. T. P. Ngọc. Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm
của bài toán tiến hóa. Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp. HCM, tháng 5/2004.
[2] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh, Approximation of a
parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994)
905-914. Printed in the UK.
[3] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations
backward in time by Sobolev equations. SIAM J. Math. Anal. Vol 6, No. 2, April
1975.
Note on the connectivity and compactness of solution set of the evolution
problem
Abstract : The paper proves that for the following equations the sets of
solutions are nonempty, compact and connected :


where where : (1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend
on t and χ is a given vector in a Hilbert space H.
(2). f : H→H is completely continuous and satisties the following condition :
There are positive constants a, b, α

(0 < α

< 1) such that |f(x)| a+b

xH.
The main tools are the topological degree theory of compact vector field and
properties of the non-negative, self-adjoint operator.

10

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM YẾU CỦA
MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI
MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

Lê Hoàn Hóa
1
- Lê Thị Phƣơng Ngọc
2
1. Trƣờng ĐHSP Tp.HCM
2.Trƣờng CĐSP Nha Trang

Tóm tắt : Bài báo này chứng tỏ tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng thỏa điều
kiện đầu và điều kiện biên sau đây là khác rỗng, liên thông và compact





trong đó U
0
, U
1

, f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x, t) và giá trị biên chƣa biết P(t) thoa
phƣơng trình tích phân phi tuyến sau :



ở đây g, H, k là các hàm cho trƣớc.
Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact.

1. Lời giới thiệu :
Trong các bài báo [1], [2], [3] gần đây các tác giả đã chỉ ra đƣợc tính khác rỗng,
compact và liên thông của các tập hợp nghiệm của một số phƣơng trình vi phân, tích phân và
của bài toán tiến hóa. Trong bài báo này, chúng tôi lại tiếp tục nghiên cứu tính chất đó cho
tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng nửa tuyến tính với các điều kiện ban đầu và
điều kiện biên nhƣ sau :






trong đó U
0
, U
1
,f là các hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên P(t) chƣa
biết thoả phƣơng trình tích phân phi tuyến

ở đây g, H, k là các hàm đã cho.

Bài toán này đã đƣợc Nguyễn Thành Long và Trần Minh Thuyết ([4]) nghiên cứu. Một trong
những kết quả mà hai tác giả nghiên cứu đƣợc là chứng minh sự tồn tại và sự tồn tại duy nhất
nghiệm yếu của bài toán trên với các điều kiện tƣơng ứng. Sử dụng kết quả này và lý thuyết
bậc tôpô của trƣờng vectơ compact kết hợp với việc vận dụng định lý Krassnosel'skii-Perov
(xem [2], [3]) và sự xấp xỉ Lipschitz

11

địa phƣơng của hàm f (xem [1], [2], [3]), trong mục 3 chúng tôi chứng minh tập hợp các
nghiệm yếu tìm đƣợc theo phƣơng pháp xấp xỉ Galerkin ([4]) của bài toán nói trên khác rỗng,
compact và liên thông.
2. Các định lý :
Chúng tôi nhắc lại các định lý quan trọng ở đây để sử dụng cho chứng minh ở mục 3.
Định lý 1 : (Định lý Krassnoserskii-Perov)
Cho (E,|.|) là không gian Banach, D là tập con mở và bị chặn của E và T:
là toán tử compact. Giả sử 0 (I-T) δD
và deg (I-T,D,0) ≠ 0

Giả sử T thoả
thêm điều kiện:
Với mọi ε >0có toán tử compact T
ε
sao cho | T
ε
(x)-T(x)|< ε ( * ) x  

và với mỗi h
(*) mà|h|< ε phƣơng trình x= T
ε
(x)+h có nhiều nhất

một nghiệm trên
Khi đó tập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên thông.
Định lý 2 [4] (Định lý về sự tồn tại và tồn tại duy nhất nghiệm yếu)
-Các ký hiệu đƣợc sử dụng trong định lý 2 :

ở đây H
1
, H
2
là các không gian Sobolev trên Ω
Chuẩn trong không gian L
2
đƣợc ký hiệu là||.||,< . , . > là ký hiệu tích vô hƣớng trong
L
2
hoặc để chỉ sự cặp đôi đối ngẫu của một hàm tuyến tính liên tục với một phần tử trong
không gian hàm,||.||x ký hiệu cho chuẩn trong không gian Banach X và X' là đối ngẫu của X.
L
p
(0, T ; X), 1 < p < là không gian Banach các hàm số thực đo đƣợc u : (0, T) →X với





Đặt V là không

gian con đóng của H
1

và trên V, và là hai chuẩn tƣơng đƣơng.

-Các giả thiết :(A
1
) u
0
H
1
, u
1
 L
2
;
(A
2
) g  H 1 ( 0 , T ) , T > 0 ;
(A
3
) k  H
1
(0, T), T>0 và k(0) = 0;

12

(A4) Hàm H  C
1
(R) thoa H(0) = 0 và có một số không đổi h
0
> 0
sao cho

Hàm f: R
2
→ R thỏa điều kiện f(0, 0) = 0 và các điều kiện sau :

Có hai số không đổi α, β (0, 1] và hai hàm số B
1
, B
2
: R
+
→R
+
liên tục, sao cho :

- Định lý 2 :Giả sử các giả thiết (A
1
) - (A
4
) và (F
1
) -(F
3
) đúng. Khi đó với mọi số T>0, tồn tại
một nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho
u  L
∞
(0, T; V), u
t
 L

∞
(0, T; L
2
), u
t
(0,t)  L
2
(0,T), P(t)H
1
(o, T).
Hơn nữa, nếu β = 1 trong (F
3
) và hàm H, B
2
thỏa thêm điều kiện
(A
5
) H  C
2
(R), H'(s) > - 1, sR;
(F
4
) B
2
(|v|)  L2(Q
t
), với mọi   L
2
(Q
T

),  T > 0, thì nghiệm tồn tại duy nhất.
Chứng minh : Để thuận lợi cho việc sử dụng kết quả này trong chứng minh định lý ở mục 3,
chúng tôi xin nêu lại các bƣớc chứng minh cần thiết mà các tác giả của bài báo [4] đã thực
hiện nhƣ sau : Bƣớc 1 : (Sử dụng phƣơng pháp Galerkin)

Tìm nghiệm (u
m
(t), P
m
(t)) với của hệ phƣơng trình :



(hội tụ mạnh) trong H
1
,
(hội tụ mạnh) ƣơng L
2
.

Hệ này đƣợc viết lại thành một hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình có dạng :
(2.4) c = Uc,
ở đây c = (c
1
,c
2
, ,c
m
), Uc = ((Uc)
1

,(Uc)
2
, (Uc)
m
), (chỉ số m đƣợc lƣợc bỏ trong thành phần
thứ j, 1 ≤ j ≤m )

(2.5) (Uc)
j
(t)= G
j
(t) +










13


||G||
1*
=||G||
0 *
+||G’||

0 *
=


+



Chọn và' sao cho
Khi đó S là tập con lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach
và toán tử U : S Y có các tính chất: U liên tục trên S,
, là tập compact trong Y. Áp dụng định lý điểm bất động
Shauder, toán tử U có một điểm bất động  S. Từ đó hệ
phƣơng tình (2.1)-(2.3) có nghiệm

Bƣớc 2: Tìm các ƣớc lƣợng để có thể lấy = T với mọi m.
Bƣớc 3 : Chuyển qua giới hạn . tồn tại một dãy con của dãy(đƣợc chọn hai lần),
cũng ký hiệu làU
m
,P
m
, sao cho :
u
m
→u trong L
∞
(0,T;V) yếu * ,u
m
→u mạnh trong L
2

(Q
t
)
u’
m
→u’ trong L
∞
(0,T;L
2
) yếu *,
u
m
(0,t) → u (0,t) trong L
∞
(0,T) yếu* , u
m
(0,t) → u (0,t) mạnh trong C
0
([0,T]),
u’
m
(0,t) → u’ (0,t) trong L
2
(0,T) yếu,
P
m
→P^ trong H
1
(0,T) yếu , P ≡ P^h.k.n trong Q
t

f(u
m
,u’
m
) →f(u,u’) trong L
∞
(0,T;L
2
) yếu *,

14

u(0) = U
0
, u'(0) = u
1
.
Khi đó (u, P) chính là nghiệm yếu cần tìm.
Bƣớc 4. Chứng minh nghiệm tồn tại duy nhất với giả thiết của bài toán .
3. Kết quả chính :
Định lý : Giả sử các giả thiết (A
1
) - (A
4
) và (F
1
) -(F
3
) đúng. Khi đó với mọi số T>0, tập

hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho :
u  L
∞
(0, T; V), u
t
 L
∞
(0, T; L ), u
t
(0, t)  L
2
(0,T), P(t) H
1
(0, T), tìm đƣợc theo
phƣơng pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách chọn phù hợp).
Chứng minh : Ta chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau :
Bƣớc 1 : Tập các điểm bất động c của toán tử U : s →Y là tập khác rỗng,
compact, liên thông.

Ở đây

là bao đóng của tập con lồi, mở và bị chặn :


với M > 0 sẽ đƣợc chọn thích hợp dƣới đây.
Chứng minh : Ta có f:(u, .)  R
2
→ f(u, .)  R liên tục nên ε > 0, có ánh xạ
f
ε

: (u, .)→ f
ε
(u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phƣơng của f theo biến thứ nhất sao cho
(3.1) , uR , với μ> 0 đƣợc chọn thích hợp để đủ bé.
Rõ ràng ánh xạ f
ε
thoả mãn các giả thiết (F
1
)(F
2
).
- Xét toán tử U
ε
: → Y xác định nhƣ sau :






(xác định nhƣ ở (2.7))

( xác định nhƣ ở (2
15

Đặt, (giá trị này

hoàn toàn xác định do f
ε
liên tục trên R
2
),





-Xét họ toán tử
viết gọn là xác định nhƣ sau :
xác định nhƣ ở
(2.6), (2.7)
Đặt






Chọn và SAO cho :

-Khi đó, từ chứng minh ở bƣớc 1 của định lý 2 ta suy ra các toán tử u :
:[0, 1 ] x là CÁC TOÁN TỬ COMPACT, (3.6) .
Hơn nữa do nên các toán tử
(rõ ràng khi có điểm bất động c  s nhƣng
Từ đó
Tƣơng tự, ta cũng chứng minh đƣợc toán tử là toán tử compact,
với chú ý sau :
Khi thay f bởi trong toán tử u : ,ta có toán tử Khi
chứng minh u là toán tử compact, giả thiết đƣợc sử dụng ƣơng chứng minh
bất đẳng thức (2.26) và chứng minh toán tử u liên tục (xem [4]).
Ánh xạ không thoả tính chất nhƣ trong giả thiết nhƣng liên tục nên bất
đẳng thức (2.26) trong [4] vẫn đúng và có tính chất Lipschitz địa phƣơng
nên với
mọi c  s, tồn tại một lân cận của để
c
ó tính chất Lipschitz trên lân
cận này, do đó vẫn chứng minh đƣợc liên tục.
16

Ta lại có :

kết hợp (3.1), ta có

Suy ra :


và nếu μ đủ lớn.


Nhƣ thế

- Bây giờ ta chứng minh với mỗi h mà||h||
1
< ε , phƣơng trình (3.9) : c = U
ε
c + h có nhiều
nhất một nghiệm trên Thật vậy :
. Giả sử c = (c
1
, c
2
, ,c
m
), d = (d
1

. d
2
, ,d
m
) là hai nghiệm của (3.9) với h = 0.
Khi đó :

là


hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1)-(2.2).
(Để cho gọn ta lƣợc bỏ chỉ số m trong ký hiệu trên cũng nhƣ trong các ký hiệu tƣơng ứng sau
đây.)
Rõ ràng c = d khi và chỉ khi u
1
= u
2
, do hệ ω
j
độc lập tuyến tính. Vậy ta chứng minh u
1
= u
2
.
Ta có u
1
(0) = u
2
(0) = u
0

.
Đặt b = max {a € [0, T] : u
1
(t) = u
2
(t), t [0, a]}. Ta chứng minh b = T.
Giả sử 0 < b < T.
Ta có ánh xạ f
ε
(u, .): R
2
→R có tính chất Lipschitz địa phƣơng nên với u
1
(b) =
u
2
(b)
 R, tồn tại một lân cận B của u
1
(b) có bán kính r > 0 và số L> 0 sao cho :


Ta lại có u
1
(t) , u
2
(t) liên tục trên [0, T] nên liên tục tại b. Do đó, với số r >0 ở trên, tồn tại số
δ > 0 sao cho u
1
(t), u

2
(t) thuộc B với mọi t  [b, b + δ ].
Nhƣ thế: ||f
ε
(u
1
(s),u
2
'(s))-f
ε
(u
2
(s),u
2
'(s)|| ≤ L||u
1
-u
2
||
v
,s  [0, b + δ ].

17

Từ tính chất này và chứng minh tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 2 ở bƣớc 4,
ta có u
1
=u
2
trên [0,b+ δ].Điều này mâu thuẫn với cách chọn b.

Suy ra u
1
=u
2
trên [0,T]
• Giả sử là hai nghiệm của (3.9) với Khi
đó
là

hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1')-(2.3
f
) :




 (hội tụ mạnh) trong H
1

(hội tụ mạnh) ƣơng

Ớ đây có tính chất

Do h thuộc s nên hàm có các tính chất

nhƣ g(t). Từ đó cũng có các tính chất TƢƠNG tự
Vì vậy, tƣơng tự trên ta có : , Suy ra đpcm.
- Cuối cùng ta chỉ ra deg (I-U, D, 0) 0, (3.10).
Ta có họ toán tử compact : [0,1] X thỏa điều kiện (3.7) : 0
, nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I - s, 0) không phụ thuộc

Suy ra deg(I - s, 0) = deg(I - s, 0), trong đó I - = I - U,I - = I -G với G là ánh xạ
hằng vì
hay deg(I -U, s, 0) = deg(I - G, s, 0) = I.
Từ (3.6) - (3.10) và áp dụng định lý Krassnosel'skii-Perov, ta chứng minh xong Bƣớc 1 .
Bƣớc 2 : Tập các nghiệm tìm đƣợc tƣơng ứng là tập khác rỗng, compact,
liên thông.
Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng c =(c
1m
, c
2m
,…, c
mm
) với u
m

sao cho

là ánh xạ liên tục.

Bƣớc3 : Tập các nghiệm yếu (u, P) có đƣợc do chuyển các nghiệm (u
m
,P
m
)

qua giới
hạn là khác rỗng, compact, liên thông.

18

Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi nghiệm (u
m
, p
m
) với nghiệm
yếu (u, P) là ánh xạ liên tục .
Định lý hoàn toàn đƣợc chứng minh.

Tài liệu tham khảo :
[1] L. H. Hóa - V. T. T. Nhiều - N. T. Phƣơng, The connectivity and
compactness of solution sets. Hội nghị Toán học toàn quốc, Huế, 7 -
10/09/2002. Chƣơng trình và tóm tắt các báo cáo, 82 - 83.
[2] L. H. Hóa - L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập
hợp nghiệm. Hội nghị Khoa học Toán-Tin học, ĐHSP Tp. HCM, tháng
12/2002.
[3] L. H. Hóa - L. T. p. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập
hợp nghiệm của bài toán tiến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa
học của Trƣờng ĐHSP Tp HCM.)
[4] Nguyen Thanh Long - Tran Minh Thuyet, A semilinear wave
equation associated vith a nonlinear integral equation, Demonstratio
Mathematica, Vol.XXXVI, No 4, 2003.

Abstract : The paper proves that for the following semilinear wave
equation with the initial-boundary, the set of weak solutions is nonempty,
compact and connected :



where U
0

,U
1
f are given functions, the unknown function u (x,t) and the
unknown boundary value P(t) satisfy the fbllovving nonlinear integral
equation

where g, H, k are given functions.
The main tool is the topological degree theory of compact vector field.


19

KẾT LUẬN
Đối với đề tài nghiên cứu cấp cơ sở "Tính compact, liên thông của tập
nghiệm của phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach", ngoài bài
báo "Tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa" đăng
trong Tạp chí Khoa học tự nhiên số 36 (2-2004) Trƣờng Đại học Sƣ phạm
Tp.HCM tháng 5/2004, trong phần báo cáo này, chúng tôi đã trình bày một
kết quả khác về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho phƣơng trình
tiến hóa với một điều kiện mới tốt hơn và tính compact, liên thông của tập
nghiệm yếu cho phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết với một phƣơng
trình t ích phân phi tuyến.
Chúng tôi sẽ tiếp tục gửi đăng các kết quả trên trong các tạp chí trong
nƣớc và ngoài nƣớc.

1

THE CONNECTIVITY AND COMPACTNESS
OF SOLUTION SETS

Le Hoan Hoa
a
, Le Thi Phuong Ngoc
b,(1)
° Department of Mathematics, Ho Chi Minh City University of Education,
280 An Duong Vuong Sir Dist. 5. Ho Chi Minh City, Viet Nam
h
Nhatrang Educational College, 01 Nguyen Chanh Str., Nha Trang City, Viet Nam

Abstract : The paper shows that the solution sets of the following equations (in three forms:
integral equation, differential equation, partial differential equation) are nonempty, connected
and compact. The main tool is the topological degree theory of compact vector fields with
applying the theorem of Krasnosel'skii-Perov and locally Lipschitz approximation of a
continuous mapping.

1. Introduction.
Besides the existence problem for solution, the number of solutions or the structure of
the solution set for many equations such as differential equations, integral equations, partial
differential equations, have been considered by many mathematicians. The matter is of
particular importance in many nonlinear problems, for example the theory of waves, auto -
oscillations, or forms of loss of stability in elastic sy stems. Many authors have considered
the connectivity property of the solution set. A paradigmatic application is the following
theorem : if a mixed boundary value problem for a quasilinear parabolic equation has two
different solutions, then there must be a continuum of solutions.
According to [7], the first theorem stating that the solution funnel has connected
sections was stated by A. Kneser (*). Connectedness of the solution set was first established
by M. Fukuhara(*). These theorems have been extended by various authors to more general
classes of differential equations. There are three generalizations which are particularly
important. E.E. Viktorovskii(*) treated the case of equations with mutivalued right hand side,
V.A. Cecik(*) dealt with the singular Cauchy problem, and A.D. Myskis (*) with equation

with a retarded argument. A topological approach to proving connectivity of the solution set
of operator equations was invented by M.A. Krasnosel'skii and A.I. Perov(*) . This approach
was further developed and applied by several authors. There are many important
contributions. The contributions by M.A. Krasnosel'skii and P.E. Sobolevskii (*) to equations
with unbounded operators in Banach spaces and to partial differencial equations of parabolic
type, by V.A. Pogorelenko and P.E. Sobolevskii (*) to equations of hyperbolic type, by V.F.
Subbotin (*) to new classes of equation with a retarded argument, by A.E. Rodkina and B.N.
Sadovskii (*), R.V. Ahmerov and A.E. Rodkina (*) to equations of neutral type, and by W.V.
Petryshyn (*) to equation with operators in some special classes. (The papers (*) were given
in [7], Ch.6 -316 with the references therein.)
On the basis of the above theorems, we have considered the structure of the solution
sets of the following equations



(1)
Corresponding author.
E-mail address: (L.T.P. Ngoc)

2







and we also consider this problem for the.following semilinear wave equation with
the ninitial-boundary

where u
0
, u
1
. f are given functions. the unknovvn function u (x,t) and the unknown
boundary value P(t) satisfy the follovving nonlinear integral equation

are given functions.

The solution existence of the equations (I)-(VI) was established in ([5], [6], [8]. [9].
[10]). On the basis of the results of these papers and the topological degree theory of
compact vector field with applying Krasnosel'skii-Perov"s theorem and locally
Lipschitz approximation of a continuous mapping, we prove that the solution sets of
the above equations are nonempty.compact and connected.
The paper consists of six sections. In section 2, we recall the fixed point
theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space, the theorem of Krasnosel'skii-Perov
on the connectiviry and compactness of fixed points set of a completely continuous
operator T:
w
here D is a bounded open subset of the real Banach space E, and the
theorem on the locally Lipschitz approximation. In section 3. we present the content of the
main theorems on the connectiviry and compactness of the solution seis (or weak solution
set) of the equations (I)-(VI). These theorems will be proved in sections 4. 5 and 6.
2. The theorems.
The fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space.
Condition (A). ([5], [6]).
Let X be a locally convex topological vector space and let P be a
separating family of seminorms on X. Let D be a subset of X and let U :

D X. For any a X. define U
a
: D→X by U
a
(x)=U(x)-a
The operator U: D→X is said to satisfy condition (A) on a subset

Ω o f X i f : (A.1) For any
a Ω,U
a
(D) D

3

(A.2) For a n y a Ω a n d p P there exists k
3
 Z- with the property : for any ε > 0, there
exist r  N and δ > 0 such that for x, y D with Α
3
P
(x, y) ε<+ δ implies Α
3
P
(U
a
r
(x), U
a
r
(y)) <

ε , where Α
3
P
(x,y) = max {p(U
a
i
(x) - U
a
j
(y)), i, j = 0, 1,2, k
a
}, N={ 1, 2, 3, } and

Remark 1. ([5]) Let X be a locally convex space with a separating family of seminorms P.
Let D be 2 sequentially complete subset of X. Let U be a unifonmly continuous operator on
D and U satisfies condition (A) on a subset Ω of X. Then the operator (I-U)
-1
is well defined
and continuous on Ω . Furthermore, if δ in condition (A) can be chosen independent of a
Ω then the operator (I-U)
-1
is uniformly continuous in Ω .

Theorem 2.1. (The fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space, [5])
Let X be a sequentially complete locally convex space with a separating family of
seminorms p. Let U and C be operators on X such that (i) U satisfies condition (A) on X.
(ii) For any p P , there exists k > 0 (dependins on p) such that
y X,
(iii)There exists X
0

X with the property : for any p p, there exist r N and λ [0, 1) (r
and λ depending on p) such that p (U
x0
r
(x) - U
r
x0
(y)) < λ p (x - y),
(iv)C is completely continuous, p(C(A)) < ∞ whenever p(A) <∞ , for A  X, (v)
(v) lim p(C(λ))/p(x) = 0 for all xX.
x
→∞
Then. U - C has a fixed point.
Remark 2. From the proof of theorem 2.1 ([5]) we have : In case family of seminorms p
is finite. there exists a bounded open convex subset D of X with boundary δD and closure 


such that (I-U)
-1
C(

)  D and (I-U)
-1
C has a fixed point in 

(not in δD) which is precisely
a fixed pont of u + c in 

(not in δD). Indeed.
In the proof of theorem 2.1 ([5]), we only choose 2R

3p
- 2βp(x
0
) > R'
3p
> R
3p
> 2βp(x
0
)
+ βR
2p
,
then D is a bound open convex subset of X,



p={x X /p(x-x
0
) ≤R'
3p
} and 

= ∩
p

p


p

is a bounded closed convex subset of X
satisfying the above conditions.
The following theorems are known and are proved, let us recall these theorems without
having the proofs.
Theorem 2.2. (Krasnosel'skii-Perov) Let (E, I. I) be a real Banach space, D be a bounded
open set of E and T: 

→ E be a compact operator. Assume that 0Ể(I-T) δD and that deg (I-
T, D, 0) ≠ 0. Assume in addition that T satisfies the condition
Foreach ε > 0,there isacompact operator T
ε
such that|T
ε
(x)-T(x)| < ε, x 


(*) and such that for each h with |h| < ε the equation X = T
ε
(x)+h has at
(*) mostone
solution in 

.
Then the set of fixed points of T is nonempty, compact and connected.

4

Theorem 2.3. (The locally Lipschitz approximation)
Let E, F be Banach space, D be an open subset of E and f: D→ F be continuous. Then for
each E > 0, there is a mapping f

t
: D→ F that is locally Lipschitz such that for
all
x D and f
c
(D) c cof(D), where cof(D) is the convex hull off(D).

3, The main results.

Let E be a real Banach space with norm |.| and let r > 0 be given. Let C = C([-r, 0], E)
be the Banach space of all continuous functions on [-r, 0] to E with the usual norm. For each
continuous function x: R→ E and for t > 0, we let x
1
 C be defined by x
t
() =x(t+),[-
r,0]
Let E) be the Frechet space of all continuous functions on [0, oo) to E with the
family of seminomas for each n e N and the metric




Consider the integral equation :

Where f, g satisfy the conditions as follows :
(1.1) f: (0, ∞) ∞ E → E is continuous with the prorerty : for each n  N, 3 k
n
> 0 such that
|f(t,x) – f(t,y)|  k

n
| x – y|, , y E, t [0,n],
(1.2) g: [0, ∞)
2
∞ E→E is completely continuous such that g(t, ., .) : I x A → E is
continuous
uniformly with respect to t in any bounded interval, for any bounded I [0, ∞) and any
bounded A E.
(1.3) 

=0 uniformly with respe:: to (t. s) e [0, ∞)
2
.
Remark 3. Here, the condition (1.1) relaxs the condition (1.1) of theorem 5 in [5]. but
the theorem also holds. That is f:[0, ∞) xE →E is continuous such that there exists a
constant k > 0 satisfying |f(x,t)-f(t,y)|k|x-y|,x.y E And we consider the following
equations :
(II)











 










(III)





 



 














Where φ  C and f. g satisfy the conditions respectively as follows :

(II.4) f: [0, ∞) x C → E is continuous with the property : For each n  N, 3 k
n
> 0 such that
|f(x,t)-f(t,y)|k
n
|x-y|,x.y C ,t  [0,n] or
(III.5) f: [0. ∞) x E → E is continuous with the property : For each n e N, 3 k
n
> 0 such that
|f(x,t)-f(t,y)|k
n
|x-y|,x.y E ,t  [0,n] and
(III.6) g:
[ 0 ,
∞)x→E is completely continuous such that 
















 uniformly

with respect to t in each bounded set of [0, ).
We have the following theorems.
5

Theorem 3.1. Suppose that f and g satisfy (1.1), (1.2), (1.3) respectively. Then the solution
set of equation (I) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.
Theorem 3.2. Suppose that f and g satisfy (I1.4),(III.6) respectively. Then the solution set of
equation (II) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.
Theorem 3.3. Suppose that f and g satisfy (III.5), (III.6) respectively. Then the solution set of
equation (III) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.

Remark 4. Here, the equations (I), (II), and (III) are only considered on the domains which
are chosen as follows (see the following proofs of these theorems).

Let H be Hilbert space with |.| denotes the norm in H . We consider the following equations :
(IV)



 




  





(V)



 










where : (IV.1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend on t and χ
is a given vector in a Hilbert space H.
(IV.2). f : H → H is completely continuous and satisfies the following condition:
There are positive constants a. b. α (0 < α < 1) such that|f(.x) | < a - b | x |
a
.xH. We have:

Theorem 3.4. Suppose that A and f satisfy (IV. 1). (IV. 2). respectively. Then the solution set
of the equation (IV) is nonempty, compact and connected.

Theorem 3.5. Suppose that A and f satisfy (IV.1), (IV.2), respectively. Suppose in addition
that if u(t) is a solution of the equation (IV)



 













 then
|u(0)|< E,
where E is some known positive constant.
Then the solution set of the equation (V) is nonempty, compact and connected.
Remark 5. It is known that, the restriction |u(0)|< E is acceptable because of a physical
reasonning, (see [8], [11]).
Let Ω= (0, I), Q
T
= Ω x (0, T), T > 0, L
p
= L

P
(Ω), H
1
= H
l
(Ω), H
2
= H
2
(Ω), where H
1
,
H
2
are the usual Sobolev spaces on Ω.
The norm in L
2
is denoted by ||.|| , < . , . > denotes the scalar product in L
2
or pair of
dual scalar product of continuous linear functional with an element of a function space, the
norm of a Banach space X is denoted by ||.||
x
. L
P
(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ denotes the Banach
space of the real

function u : (0, T)→X measurable, such that ||u|| L
p

(0,T;X)=(













, if 1 p  ∞

and ||u||L
∞
(0,T;X) =ess


||u(t)||
x

,
if p= ∞