Tích phân của hàm suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






NGUYỄN HỒNG THÁI







TÍCH PHÂN CỦA HÀM SUY RỘNG






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






NGUYỄN HỒNG THÁI




TÍCH PHÂN CỦA HÀM SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí













HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí.
Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu

trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và
khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn
trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu
sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các
quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp
chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Hồng Thái
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Hồng Thái
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Một số khái niệm và thuật ngữ cơ bản . 5
1.2. Không gian các hàm thử. . . . . . . 6
1.3. Hàm suy rộng Schwartz . . . 11
1.4. Đạo hàm của hàm suy rộng. . . . . . . 14
1.5. Tích hai hàm suy rộng. . . . . . . . 15
Chương 2. Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . 23
2.1. Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . 23
2.2. Các tính chất về vi phân trong đại số G (R

n
) . . 28
2.3. Số Colombeau . . . . . . 33
2.4. Giá trị tại điểm của hàm G-suy rộng. . . . 36
Chương 3. Tích phân của các hàm suy rộng và ứng dụng 39
3.1. Tích phân của một hàm suy rộng trên một tập compact 39
3.2. Sự liên hệ với tích phân cổ điển . . . 43
3.3. Nguyên hàm. . . . . . . . 46
3.4. Tích chập . . . . . . 49
3.5. Biến đổi Fourier . . . . 58
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thường
gặp. Tuy nhiên, không phải với hàm số nào ta cũng làm được điều đó.
Ví dụ như hàm số f(x) = |x| là hàm số liên tục trên toàn bộ R nhưng
nó chỉ có đạo hàm tại những điểm x = 0. Điều này làm nảy sinh vấn đề
là cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn
có thể lấy đạo hàm đồng thời hàm đó bao hàm những hàm đã biết. Từ
đó, trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi
là "Hàm suy rộng". Tiêu biểu phải kể đến lý thuyết hàm suy rộng của
L.Schwartz và lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau.
Lý thuyết hàm suy rộng được phát triển bởi Schwartz đã mở ra cánh
cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là
trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Với lý thuyết đó,
L.Schwartz đã được nhận giải thưởng Fields vào năm 1950. Tuy nhiên,
một số bài toán thực tiễn đã dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suy
rộng bất kỳ. Về vấn đề này L.Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kết
quả không thể" trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát. Trong

kết luận đó L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng
bất kỳ mà vẫn thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích.
Tuy nhiên, rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng, điều này
thu hút nhiều nhà Toán học nghiên cứu để có thể giải quyết vấn đề này.
1
Vào năm 1980, một lý thuyết mới về hàm suy rộng đã được nhà toán
học người Pháp là J.F.Colombeau giới thiệu. Trong lý thuyết này, hàm
suy rộng Schwartz được coi như một tập con và trong đó có thể lấy tích
hai hàm suy rộng tùy ý. Sau khi lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau
ra đời, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và có những kết quả quan trọng
trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Hiện nay, việc
nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau vẫn thu
hút nhiều nhà toán học trên thế giới và có những kết quả quan trọng,
(tham khảo trong
/>Đối với hàm suy rộng Schwartz nói chung, ta không thể xác định
được giá trị tại mỗi điểm. Với hàm suy rộng Colombeau, dựa trên việc
mở rộng tập số phức C ta có thể xác định được giá trị tại mỗi điểm. Điều
này dẫn tới việc cần xây dựng trên tập số phức suy rộng (số Colombeau)
sao cho có thể xem xét một số kết quả trong giải tích cổ điển đối với
hàm suy rộng Colombeau.
Khi có giá trị điểm (suy rộng, xét trên tập số Colombeau) của hàm
suy rộng Colombeau một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: “Liệu có thể xem
xét khái niệm tích phân của hàm suy rộng Colombeau? Có thể hiểu được

b
a
δ (x)dx?”. Đây cũng chính là vấn đề quan tâm của luận văn này.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,
dưới sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn
đề tài "Tích phân của hàm suy rộng" cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của

mình. Trong luận văn này, ta cũng sẽ tóm tắt các kiến thức cơ bản về lý
2
thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, cuối cùng luận
văn sẽ trình bày tích phân của các hàm suy rộng và các kết quả liên quan.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau,
tích phân của hàm suy rộng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz;
• Tìm hiểu các lý thuyết hàm suy rộng Colombeau;
• Tích phân của hàm suy rộng và một số ứng dụng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau, tích
phân của hàm suy rộng.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, một số bài báo liên quan đến các
lý thuyết hàm suy rộng và tích phân của hàm suy rộng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức, phương pháp và các công cụ của giải tích
hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan,
đặc biệt là các bài báo mới về ứng dụng tích phân của hàm suy rộng.
3
6. Dự kiến đóng góp mới
Luận văn là tài liệu liên quan đến một số kết quả trên tập các số
Colombeau, từ đó có thể là cơ sở cho việc phát triển những kết quả tiếp
theo.
4
Chương 1
Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz
Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý
thuyết hàm suy rộng Schwartz. Các kiến thức sau đây được tham khảo

trong [2], [3] và [5].
1.1. Một số khái niệm và thuật ngữ cơ bản
Ta gọi mỗi phần tử α = (α
1
, α
2
, , α
n
) ∈ N
n
là một n-chỉ số (hay đa
chỉ số) với bậc |α| = α
1
+ α
2
+ · · · + α
n
.
Với mỗi đa chỉ số α, toán tử vi phân ký hiệu ∂
α
= ∂
α
1
1
∂
α
2
2
∂
α

n
n
, ở
đây ∂
j
=
∂
∂x
j
và toán tử D
α
= D
α
1
1
D
α
2
2
D
α
n
n
, trong đó D
j
=
∂
i∂x
j
=

−i∂
j
, j = 1, 2, , n.
Nếu không có gì đặc biệt thì ta hiểu Ω là một tập mở trong R
n
.
Với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞ ta ký hiệu L
p
(Ω) =

f : Ω → C





Ω
|f (x)|
p
dx < +∞

.
L
p
(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn
f
p
=




Ω
|f (x)|
p
dx


1
p
.
Khi p = ∞ thì L
∞
(Ω) =

f : Ω → C




esssup
x∈Ω
|f(x)| < +∞

, trong đó
esssup
x∈Ω
|f(x)| = inf {M > 0 sao cho µ {x ∈ Ω ||f(x)| > M } = 0} .
5
Khi đó chuẩn trong L
∞

(Ω) là
f
∞
= esssup
x∈Ω
|f(x)|.
Với mỗi α = (α
1
, α
2
, , α
n
) ∈ N
n
, β = (β
1
, β
2
, , β
n
) ∈ N
n
thì β ≤ α
nghĩa là β
j
≤ α
j
, j = 1, 2, , n. Nếu β ≤ α ta viết
C
β

α
= C
β
1
α
1
C
β
2
α
2
· · · C
β
n
α
n
,
trong đó
C
β
j
α
j
=
α
j
!
β
j
! (α

j
− β
j
)!
; j = 1, 2, , n.
Ta ký hiệu C
k
(Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục tới cấp k. Với
f, g ∈ C
k
(Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz
∂
α
(fg) =

β≤α
α!
β! (α − β)!
∂
β
f∂
α−β
g, (1.1)
D
α
(fg) =

β≤α
α!
β! (α − β)!

D
β
fD
α−β
g, (1.2)
trong đó α! = α
1
!α
2
! α
n
!.
1.2. Không gian các hàm thử
Cho Ω là một tập khác rỗng và Ω ⊂ R
n
. Ta ký hiệu C
∞
(Ω) là tập
hợp những hàm f giá trị phức xác định trên Ω sao cho ∂
α
f tồn tại với
mọi đa chỉ số α.
Giá của hàm liên tục f : Ω → C là tập hợp, ký hiệu suppf, được xác định
bởi suppf = cl {x ∈ Ω : f(x) = 0}. Nếu K là một tập compact trong R
n
,
ta ký hiệu D
K
là tập hợp {f ∈ C
∞

(R
n
) : suppf ⊆ K}. Ta thừa nhận các
bổ đề sau (chi tiết xin xem trong [5]).
6
Định nghĩa 1.2.1. Một không gian Fréchet là một không gian vectơ lồi
địa phương, khả metric và đầy đủ.
Bổ đề 1.2.1. Cho Ω ⊂ R
n
và Ω = ∅. Khi đó tồn tại các tập compact
{K
j
}, (j = 1, 2, 3, ) thỏa mãn K
j
⊂ intK
j+1
và
∞

j=1
K
j
= Ω.
Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact
của Ω và K
j
là một trong các tập compact trong họ K
j
nói trong bổ đề
trên.

Bổ đề 1.2.2. C
∞
(Ω) là một không gian Fr´echet và D
K
là không gian
con đóng của C
∞
(Ω) với mọi K ⊂ Ω.
Chọn các tập compact K
j
, j = 1, 2, , sao cho K
j
nằm trong phần
trong của K
j+1
(kí hiệu IntK
j+1
) và Ω = ∪
∞
j=1
K
j
. Họ các nửa chuẩn p
N
với N = 1, 2, , xác định bởi
p
N
(f) = max{ |∂
α
f (x)| : x ∈ K

N
, |α| ≤ N}
có tính chất : các điểm tách thuộc C
∞
(Ω) và tạo một tôpô với một cơ
sở địa phương đếm được,(chi tiết xin xem trong [6]), từ đó ta có Định
nghĩa 1.2.2 và Định lý 1.2.1
Như vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω thì D
K
(Ω) là một không gian
Fr´echet. Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử.
Định nghĩa 1.2.2. Ta ký hiệu D (Ω) là tập hợp
D (Ω) =

φ ∈ C
∞
(Ω) : suppφ là tập compact trong Ω

.
Khi đó ta gọi D (Ω) là không gian các hàm thử (test function).
7
Ta thấy D (Ω) =
∞

j=1
D
K
j
(Ω), nên D (Ω) là không gian vectơ, đó còn
là không gian vectơ lồi địa phương. Điều này được thể hiện qua định lý

sau:
Định lý 1.2.1. Không gian các hàm thử D (Ω) là một không gian vectơ
tôpô lồi địa phương.
Chứng minh. Theo nhận xét trên ta có D
K
(Ω) là không gian Fr´echet.
Ký hiệu τ
K
là tôpô trên không gian D
K
(Ω), β là họ tất cả các hợp W
tập cân, lồi của D (Ω) sao cho D
K
∩W ∈ τ
K
với mọi tập compact K ⊂ Ω.
Gọi τ là họ tất cả các tập hợp có dạng φ + W với φ ∈ D (Ω) và W ∈ β.
a) Ta chứng minh τ là một tôpô trên D (Ω) và β là một cơ sở lân cận
của τ.
Thật vậy, với V
1
, V
2
∈ τ và φ ∈ V
1
∩ V
2
ta chỉ cần chứng minh tồn tại
W ∈ β sao cho φ + W ⊂ V
1

∩ V
2
. Ta có, do φ ∈ V
i
, (i = 1, 2) nên tồn tại
φ
i
∈ D (Ω) và W
i
∈ β sao cho
φ ∈ φ
i
+ W
i
, (i = 1, 2).
Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho φ, φ
i
∈ D
K
, (i = 1, 2). Do D
K
∩ W
i
mở trong D
K
nên tồn tại δ
i
> 0, i = 1, 2 sao cho
φ − φ
i

∈ (1 − δ
i
) W
i
.
Do W
i
là tập lồi nên
φ − φ
i
+ δ
i
W
i
⊂ (1 − δ
i
) W
i
+ δ
i
W
i
= W
i
,
suy ra
φ + δ
i
W
i

⊂ φ
i
+ W
i
⊂ V
i
, (i = 1, 2).
8
Từ đó ta chọn W = (δ
1
W
1
) ∩ (δ
2
W
2
) thì φ + W ⊂ V
1
∩ V
2
.
Vậy τ là một tôpô trong D (Ω).
Hiển nhiên β là một cơ sở của τ.
Giả sử φ
1
, φ
2
là hai phần tử phân biệt tùy ý của D (Ω). Với mỗi φ ∈ D (Ω)
ta đặt
φ

0
= sup
x∈Ω
|φ(x)|
và
W = {φ ∈ D (Ω) : φ
0
< φ
1
− φ
2

0
}
thì W ∈ β và φ
1
⊂ φ
2
+ W . Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong
D (Ω) theo tôpô τ.
b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên D liên tục với tôpô τ.
Với mọi φ
1
, φ
2
∈ D (Ω) và φ
1
+ φ
2
+ W ∈ τ với W ∈ β. Khi đó do

W là cân, nên
1
2
W ∈ β, suy ra φ
1
+
1
2
W ∈ τ và φ
2
+
1
2
W ∈ τ và
φ
1
+
1
2
W ∈ τ + φ
2
+
1
2
W ∈ τ ⊆ φ
1
+ φ
2
+ W . Vậy phép cộng hai phần
tử trong D (Ω) là liên tục theo τ.

Với α
0
∈ C và φ
0
∈ D (Ω) ta có
αφ − α
0
φ
0
= α (φ − φ
0
) + (α − α
0
) φ
0
.
Với mọi W ∈ β tồn tại δ > 0 sao cho δφ
0
∈
1
2
W . Đặt c =
1
2 (|α
0
| + δ)
thì do W là tập lồi và cân nên ta có αφ − α
0
φ ∈ W với mọi |α − α
0

| < δ
và φ ∈ φ
0
+ cW .
Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong D (Ω) theo tôpô
τ. Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử D (Ω) là không gian vectơ
tôpô và hơn nữa còn là không gian lồi địa phương.
9
Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải
tích hiện đại. Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như
mở rộng các khái niệm đã có. Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của
D (Ω).
Định lý 1.2.2. Cho không gian D (Ω) với tôpô τ. Ta có
1. Dãy các hàm thử {φ
l
}
∞
l=1
hội tụ theo tôpô τ tới φ
0
trong D (Ω) khi
và chỉ khi tồn tại j ∈ N
∗
sao cho suppφ
l
⊂ K
j
với mọi l ∈ N
∗
và φ

l
→ φ
0
trong D
K
j
(Ω), nghĩa là
sup
x∈K
j
|∂
α
φ
l
(x) − ∂
α
φ
0
(x)| → 0 khi l → ∞, (1.3)
với mọi đa chỉ số α.
2. Tập E ⊂ D (Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N
∗
sao cho E là tập con
bị chặn trong D
K
j
(Ω). Đặc biệt, nếu {φ
l
}
∞

l=1
là dãy Cauchy trong D (Ω)
thì tồn tại j ∈ N
∗
sao cho φ
l
hội tụ trong D
K
j
(Ω) và do đó hội tụ trong
D (Ω).
3. Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D (Ω) → C liên tục khi và chỉ khi
với mọi j ∈ N tồn tại N
j
∈ N và hằng số c
j
> 0 sao cho
sup
φ∈D
K
j
(Ω)
|Λ (φ)| ≤ c
j
sup
x∈K
j
{|∂
α
φ(x)| : |α| ≤ N

j
} . (1.4)
Định lý 1.2.3. Trong không gian các hàm thử
1. Phép lấy vi phân ∂
α
: φ → ∂
α
φ là tuyến tính và liên tục trên D (Ω)
với mọi đa chỉ số α.
2. Với mọi f ∈ C
∞
(Ω) thì ánh xạ M
f
: φ → fφ cũng là tuyến tính
liên tục trên D (Ω).
10
1.3. Hàm suy rộng Schwartz
Định nghĩa 1.3.1. Mỗi phiếm hàm u : D (Ω) → C tuyến tính và liên
tục với tôpô trên D (Ω), được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng
Schwartz.
Không gian các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D

(Ω). Với mỗi
hàm suy rộng u, ta viết u (φ) là u, φ, với φ ∈ D (Ω).
Như vậy D

(Ω) là không gian đối ngẫu của D (Ω). Dựa vào tính liên
tục của phiếm hàm trên D (Ω) ta có
Mệnh đề 1.3.1. Cho u là một phiếm hàm tuyến tính trên D (Ω). Các
mệnh đề sau là tương đương

i) u ∈ D

(Ω)
ii) Với mỗi tập compact K ⊂ Ω, tồn tại một số thực c > 0 và một số
nguyên không âm N sao cho
|u, φ| ≤

|α|≤N
sup |∂
α
φ| (1.5)
với mọi φ ∈ D (Ω) và suppφ ⊂ K.
iii) Mọi dãy {φ
j
}
∞
j=1
hội tụ về 0 trong D (Ω) thì lim
j→0
u, φ = 0.
Ta biết rằng trong (1.5) nếu ta thay N bởi N

> N thì vẫn đúng. Ta
gọi số N nhỏ nhất trong (1.5) là cấp của hàm suy rộng.
Chú ý. D

(Ω) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng trên
C như sau
• Phép cộng. Với mọi u, v ∈ D


(Ω) ta định nghĩa u + v như sau:
u + v, φ = u, φ + v, φ , ∀φ ∈ D (Ω). Khi đó u + v ∈ D

(Ω).
11
• Phép nhân với phần tử vô hướng. Với mọi u ∈ D

(Ω) và mọi
số λ ta định nghĩa λu như sau: λu, φ = λ u, φ , ∀φ ∈ D (Ω). Khi đó
λu ∈ D

(Ω).
Ví dụ 1.3.1. 1. Mỗi hàm f ∈ L
loc
(Ω) là một hàm suy rộng, hàm suy
rộng này được xác định như sau: f : φ → f, φ =

Ω
f(x)φ(x)dx.
Thật vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm φ ∈ D (Ω) sao cho
suppφ ⊂ K ta có
|f, φ| =





Ω
f(x)φ(x)dx





=





K
f(x)φ(x)dx




≤

K
|f(x)| |φ(x)| dx ≤ sup
K
|φ(x)|

K
|f(x)| dx. (1.6)
Từ đó với việc chọn N = 0 và c =

K
|f(x)| dx thì f là hàm suy rộng có
cấp là 0.
2. Tương tự, mọi hàm f ∈ L

p
(Ω) cũng là một hàm suy rộng.
Ví dụ 1.3.2. (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là δ được xác định như
sau
δ : D (R
n
) → C và δ, φ = φ(0)
là một hàm suy rộng có cấp là 0.
Thật vậy, với mọi tập compact K ⊂ R
n
và mọi φ ∈ D (R
n
) sao cho
suppφ ⊂ K ta có |δ, φ| = |φ(0)| ≤ 1. sup
K
|φ(x)|.
Ví dụ 1.3.3. Với mỗi f ∈ L
1
loc
(Ω) và với α ∈ N
n
, ánh xạ
u
f,α
: φ →

Ω
f(x) (D
α
φ) (x)dx là một hàm suy rộng.

Ví dụ 1.3.4. Trên R xét hàm suy rộng f xác định như sau
f, φ =
+∞

j=0
φ
(j)
(j), ∀φ ∈ D(R),
12
thế thì f là hàm suy rộng có cấp vô hạn.
Thật vậy, chọn φ ∈ D(R) sao cho φ(x) = 1, x ∈

−
1
2
;
1
2

,
suppφ ⊂ (−1, 1). Đặt φ
j
(x) = (x − j)
j
φ
j

x − j



, với 
j
> 0 chọn thích
hợp. Ta có D
k
φ
j
(k) = 0 nếu k = j và D
j
φ
j
(j) = j! nên f, φ
j
 = j!.
Nhưng nếu |x − j| > 
j
thì φ
j
(x) = 0, nên sup
x∈R


D
k
φ
j
(x)


≤ c

j−k
j
, k < j,
ta chọn 
j
sao cho
|f, φ
j
| = j! > j
j−1

l=1
sup
x∈R


D
l
φ
j
(x)


> c
j−1

l=1
sup
x∈R



D
l
φ
j
(x)


.
Bởi vậy f có cấp vô hạn.
Định nghĩa 1.3.2. Cho u ∈ D

(Ω).
1. Hàm suy rộng u được gọi bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, ký hiệu
u |
K
= 0, nếu u, φ = 0, ∀φ ∈ D(K).
2. Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu suppu là phần bù của tập

x ∈ Ω : u triệt tiêu trên một lân cận của x

Nếu u có suppu là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có
giá compact. Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu
bởi E

(Ω).
Ví dụ 1.3.5. supp δ = {0}. Thật vậy, nếu x = 0 thì ta có thể chọn U là
lân cận của x sao cho 0 /∈ U, thế thì
δ, φ = φ (0) = 0
(vì φ ∈ D (R

n
) )
13
1.4. Đạo hàm của hàm suy rộng
Trong không gian D

(Ω) ta có:
Bổ đề 1.4.1. Cho u ∈ D

(Ω) là một hàm suy rộng. Khi đó, với mỗi đa
chỉ số α ∈ N
n
toán tử tuyến tính được ký hiệu ∂
α
u xác định bởi
∂
α
u, φ = (−1)
|α|
u, ∂
α
φ , φ ∈ D (Ω) (1.7)
là một hàm suy rộng.
Định nghĩa 1.4.1. Cho u ∈ D

(Ω). Hàm suy rộng xác định bởi (1.7)
được gọi là đạo hàm cấp α của hàm suy rộng u.
Ví dụ 1.4.1. Hàm Heaviside xác định bởi
H(x) =




1 nếu x ≥ 0,
0 nếu x < 0
có ∂H = δ.
Thật vậy, với Ω = R, với mọi φ ∈ D (Ω) ta có
∂H, φ = (−1)
1
H, ∂φ = −
∞

0
∂φ(x)dx = −φ(x) |
∞
0
= φ(0) = δ, φ ,
do đó ∂H = δ.
Ví dụ 1.4.2. Với f(x) = ln |x|, ta có f ∈ L
1
loc
(R), do đó f có thể được
xem như một hàm suy rộng theo cách sau
f, φ =

+∞
−∞
ln |x| φ(x)dx.
14
Ta có
∂f, φ = −


+∞
−∞
ln |x| ∂φ(x)dx
= −

0
−∞
ln |x| ∂φ(x)dx −

+∞
0
ln |x| ∂φ(x)dx
= − lim
→0
+


−
−∞
ln |x| ∂φ(x)dx +

+∞

ln |x| ∂φ(x)dx

= lim
→0
+


[φ() − φ(−)] ln || +

−
−∞
φ(x)
x
dx +

+∞

φ(x)
x
dx

= lim
→0
+


−
−∞
φ(x)
x
dx +

+∞

φ(x)
x
dx


vì [φ() − φ(−)] ln || → 0 khi  → 0
+
. Thực tế
1
x
không phụ thuộc vào
không gian L
1
loc
(R), nên ta không thể xem hàm suy rộng
1
x
ở dạng tích
phân. Tuy nhiên, ta có thể định nghĩa hàm suy rộng
1
x
∈ D

(R) là đạo
hàm của hàm ln |x| và
1
x
∈ D

(R)\L
1
loc
(R). Như vậy
∂ ln |x| =

1
x
.
Biểu thức lim
→0
+


−
−∞
φ(x)
x
dx +

+∞

φ(x)
x
dx

thường được ký hiệu là
p.v.

+∞
−∞
φ(x)
x
dx được gọi là tích phân chính của

+∞

−∞
φ(x)
x
dx.
1.5. Tích hai hàm suy rộng
1.5.1. Tích chập của hai hàm suy rộng
Định nghĩa 1.5.1. Cho u, v ∈ D

(R
n
), tích chập của hai hàm suy rộng
u và v là một phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u ∗ v, xác định bởi
u ∗ v, φ = u(y), v(x), φ(x + y) , φ ∈ D (R
n
) .
15
Chú ý. a) u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D

(R
n
). Thật vậy, ta có δ có
giá compact và
u(y), δ(x), φ(x + y) = u(y), φ(y) = u, φ.
Mặt khác
δ(y), u(x), φ(x + y) = u(x), φ(x).
Vậy nên u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D

(R
n
).

b) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với f, g ∈ L
1
(R
n
). Thật
vậy, với φ ∈ D(R
n
) tùy ý đặt:
h(y) =

R
n
g(x)φ(y + x)dx
thì ta có h ∈ L
1
(R
n
) hơn nữa, ta có:
|h(y)| ≤

R
n
|g(x)φ(x + y)|dx =

R
n
|g(t − y)||φ(t)|dt
≤ sup
t∈suppφ
|φ(t)|


R
n
|g(t − y)|dt = c||g||
L
1
với y ∈ R
n
. Do đó:
f(y), g(x), φ(y + x) = f(y), h(y) =

R
n
f(y)h(y)dy
và |f(y)h(y)| ≤ c||g||
L
1
|f(y)| do đó f(y), g(x), φ(y + x) luôn tồn tại
nên f ∗ g tồn tại.
Mặt khác theo Fubini ta có:
f ∗ g, φ =

R
n
×R
n
f(y)g(x)φ(x + y)dxdy
=

R

n


R
n
f(y)g(t − y)dy

φ(t)dt
=


R
n
f(y)g(t − y)dy, φ(t)

16
nên (f ∗ g)(x) =

R
n
f(y)φ(t − y)dy xác định.
1.5.2. Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng
Định nghĩa 1.5.2. Cho f ∈ C
∞
(Ω) và u ∈ D

(Ω) tùy ý. Tích của hàm
f và hàm suy rộng u được ký hiệu là fu và được xác định như sau:
fu, φ = u, fφ với mọi φ ∈ D(Ω). (1.8)
Ta nhận thấy φ ∈ D(Ω) nên fφ ∈ D(Ω) do đó vế phải của (1.8) hoàn

toàn xác định một hàm suy rộng. Nghĩa là định nghĩa trên hoàn toàn
xác định trong D

(Ω).
Ví dụ 1.5.1. 1. Với δ ∈ D

(R) thì ta có xδ, φ = δ, xφ = (xφ)(0) =
0, ∀φ ∈ D(R) nên xδ = 0 trong D

(R).
2. Với u =
1
x
thì x
1
x
= 1 trong D

(R).
Thật vậy, ta có:

x
1
x
, φ

=

1
x

, xφ

= lim
ε→0
+


−ε
−∞
xφ(x)
x
dx +

+∞
ε
xφ(x)
x
dx

=

+∞
−∞
φ(x)dx
= 1, φ, ∀φ ∈ D(R).
Tích của một hàm trơn với một hàm suy rộng cũng thỏa mãn công
thức Leibniz về lấy đạo hàm.
Định lý 1.5.1. Cho f ∈ C
∞
(Ω), u ∈ D


(Ω) và α là một đa chỉ số tùy ý.
Thế thì ta có:
∂
α
(fu) =

β≤α
α!
β!(α − β)!
∂
β
f∂
α−β
u (1.9)
17
1.5.3. Vấn đề tích của hai hàm suy rộng tùy ý
Ở phần trên, chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn f ∈
C
∞
(Ω) và một hàm suy rộng u ∈ D

(Ω). Bây giờ chúng ta muốn định
nghĩa tích của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên R
m
, rõ ràng không
thể dùng cách Định nghĩa 1.5.2 cho hai hàm suy rộng vì fφ có thể không
là hàm thử nếu f ∈ D

(R

m
) và φ ∈ D(R
m
). Sau đây chúng ta sẽ xét một
số các định nghĩa tích hai hàm suy rộng.
Định nghĩa 1.5.3. Một dãy (δ
n
), n = 1, 2, các phần tử của D(R
m
)
được gọi là một dãy Delta nếu thỏa mãn:
a) supp δ
n
⊂ {x ∈ R
m
: |x| ≤ ε
n
} với lim
n→∞
ε
n
= 0,
b)

R
m
δ
n
(x)dx = 1.
Định nghĩa 1.5.4. (Mikusinski) Ta nói rằng S và T có thể lấy tích S.T

nếu với mọi dãy Delta (δ
n
), n = 1, 2, , thì giới hạn lim
n→∞
(S ∗ δ
n
)(T ∗ δ
n
)
tồn tại trong D

(R
m
) và giới hạn đó không phụ thuộc vào việc chọn dãy
Delta.
Cơ sở của Định nghĩa 1.5.4 là do lim
n→∞
δ
n
= δ trong D

(R
m
) do đó
lim
n→∞
T ∗ δ
n
= T và lim
n→∞

S ∗ δ
n
= S trong D

(R
m
). Sau đây, ta đi xét một
số ví dụ về tích hai hàm suy rộng theo cách này.
Ví dụ 1.5.2. Trong D

(R), theo cách định nghĩa trên chúng ta có
1
x
δ =
−
1
2
δ

18
Chứng minh. Đặt δ
−
n
(x) = δ
n
(−x), n = 1, 2, ta có:

(
1
x

∗ δ
n
).(δ ∗ δ
n
), φ

=

(
1
x
∗ δ
n
).δ
n
, φ

=

(
1
x
∗ δ
n
), δ
n
φ

=


1
x
, δ
n
∗ δ
−
n
φ

với ∀φ ∈ D(R). Khai triển φ(x) = φ(0) + xφ

(0) + x
2
ψ(x) ta có:

(
1
x
∗ δ
n
).(δ ∗ δ
n
), φ

= φ(0)

1
x
, δ
−

n
∗ δ
n

+ φ

(0)

1
x
, δ
−
n
∗ (xδ
n
)

+

1
x
, δ
−
n
∗ (x
2
ψ)δ
n

Ta có thể chứng minh số hạng cuối cùng của vế phải dần tới 0 khi

n → ∞.
Số hạng đầu tiên dần tới 0 khi n → ∞ vì δ
−
n
∗ δ
n
là hàm chẵn. Ta sẽ đi
chứng minh số hạng thứ hai ở vế trái hội tụ tới
1
2
φ

(0). Thật vậy ta có:
φ

(0)

1
x
, δ
−
n
∗ (xδ
n
)

=

+∞
−∞

1
x
α
n
(x)dx,
trong đó α
n
= δ
−
n
∗(xδ
n
), nên α
−
n
= δ
n
∗[(−x)δ
−
n
] = −x(δ
n
∗δ
−
n
)+(xδ
n
)∗δ
−
n

,
vì rõ ràng nếu ψ
1
và ψ
2
∈ L
1
(R), thì x(ψ
1
∗ ψ
2
) = (xψ
1
) ∗ ψ
2
+ ψ
1
∗ (xψ
2
).
Do đó ta có: α
n
− α
−
n
= x(δ
n
∗ δ
−
n

), và

1
x
, α
n

=
1
2

1
x
, α
n
+ α
−
n

+
1
2

1
x
, α
n
− α
−
n


=
1
2

1
x
, α
n
− α
−
n

vì α
n
+ α
−
n
là lẻ.
Điều đó chứng tỏ:

1
x
, α
n

=
1
2


1
x
, x(δ
n
∗ δ
−
n
)

=
1
2

+∞
−∞
(δ
n
∗ δ
−
n
)(x)dx =
1
2
19