TÀI LIỆU ôn tập môn TOÁN THEO TỪNG CHỦ đề ôn tập THI lớp 9 vào 10 lý THUYẾT và bài tập có HƯỚNG dẫn

Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
TÀI LIỆU ÔN TẬP MÔN TOÁN THEO TỪNG CHỦ ĐỀ ÔN TẬP THI LỚP 9 VÀO 10
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
CĂN BẬC HAI
A. Kiến thức:
1. Định nghĩa căn bậc hai:
- CBH của số a không âm là số x sao cho x
2
= a
- Số dương a có đúng hai CBH là hai số đối nhau:
+ Số dương :
a
; + Số âm:
a−
- Số 0 có CBH là chính số 0,
0 0
=
2. Định nghĩa căn bậc hai số học.
- Với số dương a, số
a
gọi là căn bậc hai số học của a.
- Số 0 được gọi là căn bậc hai số học của 0.
-
2
x 0
x a
x a
≥

= ⇔


=

3. So sánh các căn bậc hai số học. Với a > 0 và b > 0:
a b a b> ⇔ >

B. Ví dụ:
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH X
2
= A.
Phương pháp:
2
X 0
X A
X A
≥

= ⇔

=

Ví dụ 1: Tìm x biết x
2
= 8. Giải : x =
228 ±=±
II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
X A=
VỚI
X 0≥
Phương pháp:
2 2

X A X A X A= ⇔ = ⇔ =
Ví dụ 2 : Tìm số x không âm :
a)
x 5 x 25 x 25= ⇔ = ⇔ =
b)
2x 6 2x 36 2x 36 x 18
> ⇔ > ⇔ > ⇔ >
III. SO SÁNH:
Phương pháp so sánh : Với a > 0 và b > 0 thì nếu a > b ⇔ >
Ví dụ 3: So sánh:
1
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
a)
15
và 4; b)
2 3
và
3 2
c) 2
5
và 6 d) 2 và
5
-2
Giải:
a) Ta có: 4 =
16 15>
b) Ta có:
2 3 12
3 2 18 2 3 3 2
12 18


=


= ⇒ <


<


c) ta có: 6 = 2.3 = 2
9
> 2
5
(vì
9
>
5
)
d) 2 = 4 – 2 =
16
- 2 >
5
-2 (vì
16
>
5
)
C. Bài tập.
Bài 1: Tính

4916.100
2
1
)
4
1
.25,0) +++
−
ba
Bài 2: Tìm số x không âm, biết:
a)
x 7=
b)
3x 6=
c)
x 4≤
d)
5x 7>
e)
x 1 7+ =
f)
x 9 7+ =
g)
( )
2 x 2 x 4− − =
h)
( )
x 2 3 x 0+ − >

Bài 3: SO SÁNH các giá trị chứa căn thức ( Không dùng máy tính )

a) 12 và
147
b) – 8 và
67−
c)
2 3+
và
5 3+
d) 11 và
120
e)
17 10
+
và 7 f)
26 17
+
và 9 g)
8 24
+
và
65
h)
117 7
−

và 4
i) 4
5
và 12 k) 8 và
34 2−

l) -3
7
và -9 m) -2
5
và
-6
Bài 4: So sánh hai số sau:
a. 5 và
3 3
b. 6 và
41
c. 7 và
47
d.
3 3
và
3

+ 1
Bài 5: So sánh: a.
2 2
và 2 +
2
b.
2 5
và 5 -
5
Bài 6: So sánh: a.
2004
-

2003
và
2006
-
2005
b. 2 -
3
và 3 -
2 2
………………………………………………………………
CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức :
2
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
1. Căn thức bậc hai : A một là biểu thức, ta gọi
A
là căn thức bậc hai.
2.
A
có nghĩa khi A (xác định)
A 0≥
.
3. Hằng đẳng thức:
2
n
A êu A 0
A A
Anêu A 0
≥


= =

− <

.
B. Ví dụ:
I. DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH
Phương pháp tìm điều kiện: xác định khi A ≥ 0 Cần lưu ý xác định khi B
≠
0.
- Nếu A là nhị thức bậc nhất thì ta phải giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Nếu A là đa thức bậc hai, Ta phải giải bất phương trình bậc hai.
+ Nếu A phân tích được thành nhân tử ta giải bất phương trình bằng xét dấu
các nhị thức bậc nhất.
. Trường hợp bất phương trình có dạng: x
2

≤
a , hoặc x
2

≥
a trong đó a là
hằng số dương, ta có thể giải thích bằng cách:
x
2

≤
a
x a a x a⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤

2
x a
x a x a
x a

≥
≥ ⇔ ≥ ⇔

≤ −


+ Nếu A không phân tích được thành nhân tử, ta sẽ chứng tỏ rằng A:
. Luôn có giá trị dương (khi đó
A
có nghĩa với mọi x).
. Hoặc luôn có giá trị âm (khi đó
A
không có nghĩa với mọi x)
Ví dụ : Xác định giá trị của biến để biểu thức sau xác định:
a)
42 −x
có nghĩa ?. Giải : Ta có
42 −x
có nghĩa khi
2042
≥⇔≥−
xx
b)
5
2

+x
có nghĩa? Giải : Ta thấy
xx ∀≥ 0
2
nên
5
2
+x
có nghĩa với mọi x.
c)
5
x 3−
có nghĩa? Giải:
5
x 3−
có nghĩa khi : x – 3 > 0
⇔
x > 3
d)
2
1 4x−
có nghĩa khi
2
1 – 4x 0≥
Cách 1: Ta có:
( ) ( )
2
1 1
1 – 4x 0 1 2x 1 2x 0 x
2 2

≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≤ ≤
Cách 2:
2 2
1 1 1 1
1 4x 0 x x x
4 2 2 2
− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
3
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH = B
Phương pháp giải phương trình = B ⇔
Ví dụ: Tìm x biết
21 =−x
Giải : Ta có
5
5
1
41
01
=⇔



=
≥
⇔



=−

≥−
x
x
x
x
x
III. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI THEO HẰNG ĐẲNG THỨC
Phương pháp rút gọn đưa về dạng : = | A |
B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức của A
B2: phân tích thành hằng đẳng thức với a + b = hệ số còn lại
B3: đưa về dạng = | A |
B4: so sánh 2 số a và b và bỏ trị tuyệt đối sao cho biểu thức A > 0
Ví dụ: Tính
( )
2
1 3 ; 4 2 3
− −
Giải : Ta có :
( )
( )
2
2
1 3 1 3 3 1
4 2 3 3 1 3 1 3 1
− = − = −
− = − = − = −
IV. PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
Phương pháp: Áp dụng: A =
( )
2

A
với A
≥
0
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử:
a) x
2
– 5; b) x – 3 c) x + 2
x
+ 1 d) x
2
- 2
3
x + 3
Giải:
a) x
2
– 5 = x
2
-
( ) ( ) ( )
2
2
x 5 x 5 x 5
− = − +
; b)
( ) ( )
2 2
2
x 2 x 1 x 2 x.1 1 x 1

+ + = + + = +
C. Bài tập.
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức sau:
a) g) m) s)
b) h) t) r) 2 - 4
c) i) o) u)
d) j) p) v)
4
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
e) w) f) l)
Bài 2: Tìm ĐKXĐ của biểu thức:
a)
2
3 1 16x− −
b)
2
8x x 15− −
c)
2
x x 1− +
d)
2
x 5−
e)
2
1
1 x 3− −
f)
2
1

x 8x 15− +
g)
2
1
9x 6x 1− +
h)
1
1 x-1−
i)
1
x 2x 1− −
k)
1
2x 4x 1− −
l)
2
2
6 x x− −
m)
2
2
16 x
x 8x 14
−
− +
Bài 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa ?
a,
3x
;
3x

−
;
5 10x
+
b,
1
3
x− +
;
2
1x
+
;
2
5x
−
c,
2
9x
−
;
1
2x
−
;
2
3x
+
;
( 3)( 2)x x

− +
Bài 4 :Giải phương trình :
a) = 4 g) = 12 l) = x
b) = 4 h) = 21 m) = 2 s) = 3
c) = 10 i) = o) = t) = x
d) = 12 j) - = 0 p) = 8
e) = 2 k) = 2 q) = 3 v) = 5
f) + x = 11 y) = 1 - 2x
Bài 5 : Giải phương trình :
a)
2
4x 20x 25 1− + =
b)
2
25x 30x 29 x 7− + = +
Bài 6 : Rút gọn căn bậc hai :
a)
6 2 5+
b)
7 2 6−
c)
12 2 11−
d)
24 2 23+
e)
7 4 3−
f)
18 8 2+
g)
14 6 5−

h)
155 24 11
+
Bài 7 : Cho biểu thức :
2
A 3x 1 4x 9 12x= − − + −
a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để A = 3
Bài 8: Cho biểu thức:
2 2
B x 6x 9 x 6x 9= − + − + +
5
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị của x để A = 1.
Bài 9 : Phân tích thành nhân tử :
a) x – 7 ; b) 2x – 5 c) x
2
-
2
x 2 5x 5− +
d)
2
x 2 7x 7− +
Bài 10 : Rút gọn biểu thức :
a)
3 3
3
−
b)
x 25
x 5

−
+
c)
2
x 6x 9
2x 6
− +
−
d)
2
x 8x 16
12 3x
− +
−
Bài 11: Rút gọn
a,
2
(3 2)−
b,
2
(1 5)+
c,
2
(1 3)−
d,
4
(4 2)−
Bài 12: Rút gọn:
a, A = 3.
2

( 3)a −
+
2
( 1)a −
với 1<a<3 b, B =
2
(4 )x+
- 2.
2
( 8)x −
+x với
x>8
c, C =
2
( 7)x −
- (3x+1) với x bất kỳ
Bài 13: Giải các phương trình: a,
3 6x −
= 3 b,
1
5 1
4
x + =
Bài 14: Giải các phương trình: a,
2 1x x+ =
b,
4 3 2x x− = +
Bài 15: Giải các phương trình: a,
2 2
(3 1) ( 2)x x− = −

b,
2 2
4 4 6 9x x x x+ + = − +
………………………………………………………………………….
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. Kiến thức.

A.B A. B=
với A
≥
0, B
≥
0

2
A. B nêuA 0; B 0
A .B A . B
A. B nêu A 0; B 0

≥ ≥

= =

− < ≥


;
A A
B
B

=
với A
≥
0, B >0
Với A
≥
0 ta có:
( )
2
2
A A A= =
B. Ví dụ:
I. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI
6
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
Phương pháp rút gọn đưa về dạng : sử dụng
A.B A. B=
với A
≥
0, B
≥
0; =
A
B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức của A
B2: phân tích thành hằng đẳng thức với a + b = hệ số còn lại
B3: đưa về dạng = | A |
B4: so sánh 2 số a và b và bỏ trị tuyệt đối sao cho biểu thức A > 0
Ví dụ : Rút gọn biểu thức :
a)
5 2 6−

b)
9 2 20+
c)
2
0,09x
với x < 0
Giải:
a)
( )
2
5 2 6 3 2 3. 2 2 3 2 3 2 3 2− = − + = − = − = −
b)
( )
2
9 2 20 4 2 4. 5 5 4 5 2 5 2 5+ = + + = + = + = +
c)
2 2
0,09x 0,09. x 0,3x= =
II. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI
Phương pháp khai phương:
2 2
A. B NeuA 0
A B A . B A B
A. B NeuA 0

≥

= = =

− <



VỚI B ≥
0
Lưu ý: Để tạo nên A trong căn ta lấy biểu thức chia cho các số chính phương như
:
2= 4,3= 9, 4= 16, 5 = 25, 6= 36, 7 = 49,
Ví dụ 1: M = - 2 + N = 2 - + 3 - P = - -
Giải:
( )
M 20 2 10 45 4.5 2 2. 5 9.5
2 5 2 2. 5 3 5 5 5 2 2. 5 5 5 2 2
= − + = − +
= − + = − = −
N 2 12 48 3 27 108 2 4.3 16.3 3 9.3 36.3
4 3 4 3 9 3 6 3 3 3
= − + − = − + −
= − + − =
2
P 343 112 63 49 16.7 9.7
49 4 7 3 7 49 7 7
= − − = − −
= − − = −
7
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
Ví dụ 2: rút gọn biểu thức:
A x 2 x 1 x 1= + − − −
với x > 1
( )
2

A x 2 x 1 x 1 (x 1) 2 x 1 1 x 1
x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1
= + − − − = − + − + − −
= − + − − = − + − − = − + − − =
Bài tập:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a)
2 2
122 22−
b)
2 2
68 32−
c)
2 2
116 84−
d)
25,6.250
e)
3 6
3 2
+
+
f)
7 14
7 2
−
−
g)
( )
(

)
(
)
5 4 2 3 2 1 2 3 2 1 2+ + + − +
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j) k) l) m)
n) o) p) q) r) s)
t)
u) v) w) x) y) c') d')
e') f') g') z) .( + )
a') ( +7 ). b') 2.( - ).
h') (4 + )( - ) i') ( 7 + ).
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
A = - 7 - 14 - B = 3( 4 - ) + 3( 1 - 2)
C = 2 + 5 - 3 D = + - 4
E = ( - 2) + 12 F = 3 - 7 + 12
G = 2 - 2 + 2 H = - 4 + 7
I = - + 2 J = - + 3
K = - 2 + 5 L = 5 - 3 + 2 -
Bài 4: Rút gọn biểu thức:nhiều căn thức:
A = 4 - B = + 1
C = - D = +
E = - IV = -
H = - F = + - 2 G = I = -
8
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
J = + K = -
L = (3 + ). M = -
N = - O = +

R = - S = +
P = - T= +
U = - V = +
W = + Y =
Z = + II = -
Bài 5 : Rút gọn biểu thức :
a)
A 7 2 6 7 2 6= − − +
b)
B 9 4 5 9 4 5= − − +
c)
C 4 2 3 4 2 3= + − −
d)
D 4 7 4 7= − − +
Bài 6 : Rút gọn biểu thức :
a)
( )
2 3 7 4 3+ −
b)
(
)
5 2 6 2 3− +
c)
4 2 3 5 2 6 2+ − + +
d)
3 2 2 6 4 2+ + −
e)
2 17 4 9 4 5+ − +
g)
2 2 3 18 8 2+ + −

Bài 7 : Rút gọn biểu thức :
( ) ( ) ( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1= − − + +
( )
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
+ +
= + − +
+
C 3 2 2 6 4 2= − − +
D 2 3 2 3= + + −
Bài 8 : Rút gọn biểu thức :
a)
A 2x 4x 1 2x 4x 1= + − − − −
với
1
x
2
>
b)
A 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1
= + − − − −
Với
1
x
2
≥
, HD: A

2
= 2, mà A> 0 nên
A 2
=
Bài 9: So sánh
a) 2 và b) -3 và - 5 c) 21, 2 , 15 , - (tăng dần)
d) 2 và e) 2 - 1 và 2 f) 6 và g) và 1 h) - và - 2 i) - 1 và 3 j)
2 - 5 và 1 k) và
9
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
l) 6 , 4 , - , 2 , (Sx giảm dần)
m) - 2 và - n) 2 - 2 và 3 o) 28, , 2, 36 (sắp xếp tăng dần)
q) và - r) - 7 và 4 p) - 27, 4, 16 , 21 (sắp xếp giảm dần )
…………………………………………………………………………….
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. Kiến thức.

A A
B
B
=
với A
≥
0, B >0 ; Với A
≥
0 ta có:
( )
2
2
A A A= =

B. Ví dụ :
Ví dụ 1 : Tính :a)
68 68 4 2
153 9 3
153
= = =

( ) ( )
( )
b) 32 50 8 : 2 16.2 25.2 4.2 : 2
4 2 5 2 2 2 : 2 2 : 2 1
− + = − +
= − + = =

Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức :
( )
2
3 1
2 3 2 3 4 2 3 3 1
A
2 4 4 2
2
−
− − − −
= = = = =
C. Bài tập :
Bài 1 : Tính giá trị của biểu thức :
a)
( )
5 48 3 27 2 12 : 3− +

b)
9 1
2 : 2
2 2
 
+ −
 ÷
 
c)
6 2 5
1 5
+
+
d)
9 6 2 6
3
− −
e)
3 5 : 2−
f)
27 7 5 : 2+
Bài 2 : Rút gọn biểu thức :
x 2x 1
A
2
− −
=
với
1
x 1

2
≤ <
x 2 2x 4
B
2
− −
=
với a)
x 4≥
b)
2 x 4≤ <
………………………………………………………………
T2-10
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
A. Kiến thức :
10
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :
2
A. B Neu A 0
A B A B
A. B Neu A 0

≥

= =

− <



với B
≥
0
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
2
A B A B=
với A
≥
0, B
≥
0;
2
A B A B= −
với A < 0, B
≥
0
3. Khử mẫu biểu thức lấy căn:
A AB
B B
=
với A
≥
0, B
≥
0 , B
≠
0
4. Trục căn thức ở mẫu
a) Với các biểu thức A, B > 0 ta có:
A A B

B
B
=
b) Với các biểu thức A, B, C mà A
≥
0 và A
≠
B
2
ta có:
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
c) Với các biểu thức A, B, C, mà A
≥
0, B
≥
0 , A
≠
B ta có:
( )
C A B
C

A B
A B
=
−
±
m
B. Ví dụ:
I. RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG SỐ
Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B và A – B là
hai biểu thức lien hợp của nhau) (A + B)(A – B) = A
2
– B
2
để trục căn ở
mẫu .
→ Nghĩa là
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
;
( )
C A B
C

A B
A B
=
−
±
m
Lưu ý : Trong bài toán rút gọn căn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng : CHỮ và
SỐ.
+ Để có được kỹ năng rút gọn trên ta cần nhắc lại 1 số kiến thức của toán 6 - 7 - 8
để giải các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời 1 số kiến thức trước khi giải:
→ Thừa số chung được không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 )
→ Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 )
11
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
→ Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán 7 của lớp
9 )
→ Quy đồng được không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8)
Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau:
A =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 5 2 3 5 2
3 3
5 2 5 2
5 2 5 2 5 2 5 2
+ −
− = −
− +

− + + −

3 5 3 2 3 5 3 2
3 5 3 2 3 5 3 2 6 2
5 4 5 4
+ −
= − = + − + =
− −
B=
( ) ( )
6 2 1 6 2 1
2 3 6 6 1
: 6 : 6 : 6 : 6
2 2
8 2 2 2 2 2( 2 1)
+ +
 
+
= = = =
 ÷
+ + +
 

C
(
)
(
)
(
)

2 2 2 3 5
2
2 2 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
− +
= =
+ +
+ + − +
(
)
( )
(
)
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2 2 3 5
8 1 5
8 6 2 5 8 1 5 7 5
8 3 5 5 5
5 5 1 5 5 1
2 2 3 5
− +
− +
− + − − −
= = = = =
− − −
− −

− +
Bài tập: Rút gọn các biểu thức:
a)
3 5
3 5
+
−
b/
43
13
3
363
21
36
+
−
+
+
−
−
c)
6 3 10 15 1
2 1 5 3 2
− −
− −
− +
d)
14 7 15 5 1
:
1 2 1 3 7 5

 
− −
+
 ÷
 ÷
− − −
 
e) + : f)
2 5 33 10
8 7
5 2
3 11 1
+ − +
−
g)
( )
3 4 5
2 60 15 3 5 3
5
3 7
− + − −
−
h)
7 7 35 7
7 5 1
+ +
−
+
II.RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG CHỨA CHỮ
12

Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B và A – B là
hai biểu thức lien hợp của nhau) (A + B)(A – B) = A
2
– B
2
để trục căn ở
mẫu .
→ Nghĩa là
( )
2
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
;
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
Lưu ý : Trong bài toán rút gọn căn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng : CHỮ

và SỐ.
+ Để có được kỹ năng rút gọn trên ta cần nhắc lại 1 số kiến thức của toán 6 - 7 -
8 để giải các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời 1 số kiến thức trước khi giải:
→ Thừa số chung được không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 )
→ Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 )
→ Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán 7 của
lớp 9 )
→ Quy đồng được không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8)
Lưu ý: Tìm tập xác định và cách tìm giá trị của ẩn x khi thay biểu thức bằng
1
giá trị xác định
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
x x x x x x x 1 x x x 1
A 1 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x 2 x 1 x 2 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
  
+ − + + + − − +
= + − = ×
 ÷ ÷
+ − + −
  
+ −
+ + − +

= × = × = + − = −
+ − + −
ĐKXĐ:
x 0, x 1≥ ≠ ±
Ví dụ 2: Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a) Rút gọn y. b) Tìm x để y = 2.
c) Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
13
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
a)
( )
( )
( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 
+

+
 
 
= + − = + + − − = −
− +
b)
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
c) Có
y y x x x x− = − − −
Do x 1 x x x x 0 x x x x y y 0> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = − ⇒ − =
d) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
y x x x x x 2. x. x
2 4 4 2 4 4
 
= − = − = − + − = + − ≥ −
 ÷
 
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4

= − = ⇔ = ⇔ =
III. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp:
+ Thu gọn biểu thức (nếu có thể).
+ Thu gọn giá trị của biến (nếu có thể).
+ Thay giá trị thu gọn của biến vào biểu thức đã thu gọn.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức:
2
A x 3x y 2y= − +
tại
1 1
x ; y
5 2 9 4 5
= =
− +
Giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
A x 3x y 2y x x y 2x y 2y
x x y 2 y x y x y x 2 y
= − + = − − + ∞
= − − − = − −
Ta có:
( ) ( )
( )
5 2
1 5 2
x 5 2
5 4

5 2
5 2 5 2
+
+
= = = = +
−
−
− +
14
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
( ) ( )
( )
( )
2
2
5 2
1 9 4 5 5 2. 5.2 4
y 5 2
81 16.5 1
9 4 5
9 4 5 9 4 5
−
− − +
= = = = = −
−
+
+ −
y 5 2⇒ = −
Thay:
x 5 2= +

;
y 5 2= −
vào A ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
A 5 2 5 2 5 2 2 5 2 4 5 2 2 5 4 4 6 5
 
= + − + + − − = + − + = −
 
Bài tập:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A = - B = -
C = + D = -
E = + F = + - ( +)
G = - H = -
I = - J = 1+ .1 -
K = - L = - :
M = : N = +
O = + - P = -
Q = - .( - ) R = +
S = - T = -
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau :
A = - ( với a ≥ 0, b ≥ 0, a
≠
b)
B = - ( với với a ≥ 0, b ≥ 0, a
≠
b)
C = - . (Với x ≥ 0, y ≥ 0, x
≠
y) D = x - 4 - ( x > 4)

E = : (a>0, b>0, a
≠
b) F = 2 + .2 - (Với a>0, a
≠
1)
G = - ( với a ≥ 9 ) H = - - 6 ( với x ≥ 9)
I = - : - 1 ( với x ≥ 0, x
≠
1)
J = - ( với x ≥ 6 )
K = + ( Với bất kì m)
L = + ( với 1 ≤ a ≤ 2)
15
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
M =








−
+
−
+
−
1
1

1
1
x
x
x
x
:
2
1
2
2
x
x
 
−
 ÷
 ÷
 
(Với x>0, x
≠
1) N =
x
xx
xx
xx +
−+
+−
+ 2
1
1

2
( với
x>0)
O =
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
P =
x
x
xx
xx
xx

xx 111 +
+
+
+
−
−
−

Q =
1
1
1
1
1
2
−
−
++
+
+
−
+
xxx
x
xx
x
R =
1212
1
.

1
1
2
−
+
−+
−








−
+
−
−
−+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
S =
xxxx

x
xx ++
+
−
1
:
1
2
T =
xy
xyyx +
:
yx
yx
−
−
U =
3 1 4 4
4
2 2
a a a
a
a a
+ − −
− +
−
− +
V =









−
+
−








+
+
−
2
1
1
1
1
1
1
x
x
xx

W =
( )
2
1 1 3 1 1
:
1 1 1
3 1
a a a a
a a a a
a a
 
− − + +
 ÷
− −
 ÷
− − −
 ÷
+ −
 
X =
x
xx
x
x
xx
x
3
13
1
42

:3
1
2
3
2 −+
−
+
−








−
+
+
+
Y =








++

+








−
−
−
+
1
2
:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
Z =
( ) ( )
2 2 4 6 9
:
4
2 2

2 3
x x x x x
x
x x
x x
 
+ − − +
− −
 ÷
 ÷
−
− +
− −
 

Bài 3 : Chứng minh đẳng thức căn.
Phương pháp chứng minh: thực tế, Bài toán CM cũng chỉ là bài toán rút gọn, ta chọn 1
vế bất kì rồi thu gọn cho thành vế còn lại. Vẫn sử dụng hết các tính chất của 8 bài toán đã
học.
Chứng minh các đẳng thức sau :
a) = - 1 b) + - 2 = 0
c) = 1 + d) = 3
e) = 1 f) - . > 2
g) : = a - b h) ++ + + = 4
i) + . = 1 j) (4 + )( - ) = 2
k) + = 28 l) - = -
Bài 4: Cho biểu thức
x 2 1
A ( ):
x 1 x x x 1

= +
− − −
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị của A khi x= 3 -
2
2
16
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =
+ +
+ −
2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =
+ + − −
………………………………………………………………
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC CHỨA CĂN
* DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:

Bài 1: Rút gọn biểu thức
a/
721834520 ++−
. b/ (
847)73228
++−
.
c/
( )
12056
2
−+
.
1 1 3 4 1
d/ 2 200 :
2 2 2 5 8
 
− +
 ÷
 ÷
 
Bài 2. Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3

= − + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
   
= + − − − −
 ÷  ÷
   
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5

+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
17
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5
2 3
 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a/
1 1
5 3 5 3

A = −
+ −
b/
4 2 3
6 2
B
−
=
−
c/
1 2 2
2 3 6 3 3
= + −
+ +
C
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/
( ) ( )
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 9− + + − =
b/
2 3 2 3 6+ + − =

c/
( ) ( )
2 2
4 4
8
2 5 2 5
− =

− +
d/
75 48 300+ −

Bài 5: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/
2 3+
và
10
b/
2003 2005+
và
2 2004
c/
5 3
và
3 5
Bài 6: Thực hiện phép tính:
a/
( )
12 75 27 : 15+ +
b/
252 700 1008 448
− + −
c/
( ) ( )
2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2
+ − − −
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:
a/

2 3 1 3
;
2 2
− −
+
b/
3 2 2 6 4 2;+ + −
c/
2 3 2 3 2 2 3
:
2 2
6 2 3
 
+ + +
 ÷
− +
 ÷
 
d/
13
33
:
12
22
−
−
+
+
e/
15281528

−−+
Bài 8: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/
3 5 +
và
2 2 6+
; b/
7 1
2 21
và
4 1
9 5
; c/
14 13−
và
2 3 11−
.
18
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
Bài 9: Cho
11 96A = +
và
2 2
1 2 3
B =
+ −
Không dùng bảng số, máy tính, hãy so sánh
A và B.
Bài 10: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/

( ) ( ) ( )
2
2 2 5 2 3 2 5 20 2 33− − − − = −
; b/
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10+ + + − + = +
c/
1 1 1
9
1 2 2 3 99 100
+ + + =
+ + +
Bài 11: Tìm x, biết
a/
21x2x =−−
( )
2
x x 1 x 5
b) 4 x . 81 36 c) 3 d) 1
x x 4
+ + −
− = = =
−
Bài 12: Giải các phương trình sau:
a,
3 9 4 0x x+ + − =
b,
2 2
4 4 1 ( 3) 0x x x+ + + − =
c,
2

4 6 3 0x x− + − =
Bài 13: Rút gọn: A=
4 2 2 4 2 2x x x x+ − + + − − +
Bài 14: Giải phương trình:
a,
2 2
2 9 7 0x x− − + =
b,
2
3 4 15 2 1x x x+ + = +
c,
2 1 1
5 5 2 5
3 2 6
x x x− + − − − =
Bài 15 Giải các phương trình sau:
a)
3 5x − =
b)
2 1 0x x− + =
c)
( )
2
3 1x − =

d)
( )
2
3 3x x− = −
e)

( )
2
3 3x x− = −
f)
2 4 8 12x x− + − =
*DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
Bài 1: Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
− + −
− −
= =
− +
a) Rút gọn A và B. b) Tìm x để A = B.
Bài 2: Cho
x 1
A
x 3
+
=
−
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 3: Cho biểu thức
1 1 1
:
1 2 1

a
M
a a a a a
+
 
= +
 ÷
− − − +
 
với a >0 và a
1≠
19
ễn tp toỏn lp 9 vo lp 10 trung hc ph thụng
a/ Rỳt gn biu thc M. b/ So sỏnh giỏ tr ca M vi 1.
Bi 4: Cho biu thc :









+

=
xx
x
xx
x
xx
P
2
2
2
2
21
3
1
1
a/ Rut gon biờu thc P. b/ Tinh gia tri cua P vi
223
=
x
.
Bi 5: Cho biu thc :

9
113
3
1
3
2
2




+

+
=
x
x
x
x
x
x
A
vi
3

x

a/ Rut gon A. b/ Tim x ờ A < 2. c/ Tim x nguyờn ờ A
nguyờn.
Bi 6: Cho biu thc :

+
+








++


+
= x
x
x
xx
x
x
x

B
1
1
.
1
1
12
3
3
vi
0x
va
1x
a/ Rut gon B; b/ Tim x ờ B = 3.
Bi 7: Cho biu thc:
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
A
+
+++

++
+








+=
vi x >0, y > 0
a/ Rut gon A;
b/ Biờt xy = 16. Tim cac gia tri cua x, y ờ A co gia tri nho nhõt, tim gia tri o.
Bi 8: Cho biu thc
2
2 2
1 3 1
:
3 3
3 27 3
x
A
x

x x x


ữ
ữ
ữ
ữ


= + +
+

a) Rỳt gn A b) Tỡm x A < 1
Bài 9: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 10: Cho biểu thức
x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4

2 x x 2 x 2



+ + +
ữ
ữ
ữ

+ +


a) Rút gọn B; b) Tìm giá trị của x để B > 0.
Bài 11: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
+
+ +
a) Rút gọn C; b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 12: Rút gọn biểu thức :
2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +
x x x x

P = 1 1
x 1 x 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

20
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
2
1 x 1
Q = :
x x x x x x
+
− + +
x 1 2 x 2
H =
x 2 1
− − −
− −
Bài 13. Cho các biểu thức: A =
2
232
−
−−
x
xx
và B =

2
22
3
+
−+−
x
xxx
a) Rút gọn A và B. b) Tìm giá trị của x để A = B.
Bài 14. Cho biểu thức: P =
1
2
1
1
2
2
393
−
+
+
−
−
−
−+
−+
aa
a
aa
xa
a) Rút gọn P. b) Tìm a để |P| = 1. c) Tìm các giá trị của a N sao cho P
N.

Bài 15. Cho biểu thức:
( )
1x
2x
2x
3x
2xx
3xx3
P
−
−
−
+
+
+
−+
−+
=
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
4
15
P <
.
Bài 16. Cho biểu thức:









+
+
−
−
+
−








+
−
+
+
+
+
=
1xy
1x
1xy
xxy
11
xy1
xxy

1xy
1x
P
a) Rút gọn P. b) Cho
6
11
=+
yx
. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 17. Cho biểu thức:








+
−








+−
+

+
−
+
+
−
+
=
1x
x
1:
6x5x
2x
x3
2x
2x
3x
P
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
P
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 18. Cho biểu thức: P =
xx
xx
xx
xx
x
x
+

+
−
−
+
+ 1
_
122
a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, CMR biểu thức
P
8
chỉ nhận đúng một giá
trị nguyên.
Bài 19. Cho biểu thức:








+
−









−
+
−
−
+
−
+−
+
=
1x
x
2:
3x
2x
x2
3x
6x5x
2x
P
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
2
51
−≤
P
21
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
Bài 20. Cho biểu thức: P =
1

1
1
2
1
1
++
+
−
−
+
−
−
+
xx
x
xx
x
x
x
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
P
Q +=
2
.
Bài 21. Cho biểu thức: P =
1
)1(22
1
2

−
−
+
+
−
++
−
x
x
x
xx
xx
xx
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q
2
=
nhận giá trị là số nguyên.
Bài 22. Cho biểu thức:
2
2
x
x2
1
1x
1x
1x

1x
P








−








−
+
−
+
−
=
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
2>
x
P
Bài 23. Cho biểu thức: P =

x
x
xx
xx
xx
xx 111 +
+
+
+
−
−
−
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
2
9
=P
Bài 24. Cho
( )
2
1 a a 1 a a
A 1 a : a a 1
1 a 1 a
 
  
− +
= − + − +
 
 ÷ ÷
− +
 

  
 
a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của a thì
A A=
Bài 25. Cho biểu thức :
a b 1 a b b b
B
a ab 2 ab a ab a ab
 
+ − −
= + +
 ÷
+ − +
 
.
a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B nếu
a 6 2 5= +
c) So sánh B với
-1
Bài 26. Cho
1 1 a b
A : 1
a a b a a b a b
 
+
 
= + +
 ÷
 ÷
− − + + −

 
 
a) Rút gọn A. b) Tìm b biết
A A= −
c) Tính giá trị của A khi
a 5 4 2 ; b 2 6 2
= + = +
Bài 27. Cho biểu thức
a 1 a 1 1
A 4 a a
a 1 a 1 a
 
+ −
 
= − + −
 ÷
 ÷
− +
 
 
22
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của A nếu
6
a
2 6
=
+
c) Tìm giá trị của a để
A A>

Bài 28. Cho biểu thức
a 1 a a a a
A
2
2 a a 1 a 1
  
− +
= − −
 ÷ ÷
+ −
  
.
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A để A = - 4
Bài 29. Cho biểu thức
c ac 1
B a
a c a c
a c
ac c ac a ac
 
−
= + −
 ÷
+
+
 
+ −
+ −
a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54; a = 24
c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.

Bài 30. Cho biểu thức:
2 2 2
2mn 2mn 1
A= m+ m 1
1+n 1 n n
 
+ − +
 ÷
+
 
với m ≥ 0 ; n ≥ 1
a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của A với
m 56 24 5
= +
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 31. Cho
1 2 x 2 x
P : 1
x 1
x 1 x x x x 1
   
= − −
 ÷  ÷
+
− + − −
   
với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P < 0
Bài 32. Xét biểu thức A

2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
.
a) Rút gọn A. Tìm x để A = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : A - | A|
= 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
Bài 33. Cho A =








−
+
+









−
−
−
1
2
1
1
:
1
1
a
aaaa
a
a. Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi a =
223 +
c) Tìm a để A < 0
Bài 34. Cho P =








−
−
−









−
+
+ xxx
x
x
x
x
x 2
2
1
:
4
8
2
4
a. Rút gọn P b) Tính giá trị của x để P = -1
Bài 35. Cho P =









+
−
+
−








−
xx
x
x
x
x
x
11
:
1
23
Ôn tập toán lớp 9 vào lớp 10 trung học phổ thông
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại x=
32
2
+

c) Tìm x thỏa mãn
436. −−−= xxxP
Bài 36. Cho B =








−
+
−
+
−








−
1
1
1
1

2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
a. Rút gọn B b) Tìm x để B = 2 c) Tìm x để B > 0
Bài 37. Cho A =
1
)12(2
:
11
−
+−








+
+
−
−

−
x
xx
xx
xx
xx
xx
a. Rút gọn A b) Tìm x
∈
Z để A
∈
Z
Bài 38. Cho A =
2
1
:
1
1
11
2 −








−
+

++
+
−
+ x
xxx
x
xx
x
a. Rút gọn A b) Chứng minh rằng 0 < A < 2
Bài 39. Cho K =
x
x
x
xx
x
x
x
x 2009
.
1
14
1
1
1
1
2
2
+









−
−−
+
+
−
−
−
+
a. Rút gọn K b) Tìm x nguyên để K nhận giá trị nguyên
Bài 40. Cho P =








−
++
+









+
−
+
−
+
xy
xyyx
xy
yx
xy
yx
1
2
1:
11
a. Rút gọn P b) Tính P tại x =
32
2
+
c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 41. Cho P =









+
−+
+
−
−+








−
− xx
xxx
x
xx
xx 1
12
1
12
:
1
1
1

a. Rút gọn P b) Tính P tại x =
347 −
Bài 42. Cho M =
1
1
1
1
1
2
−
−
−
++
+
+
−
+
x
x
xx
x
xx
x
a. Rút gọn M b) Chứng minh rằng 1 > 3M
Bài 43. Cho A =









++
+
−








−
−
−
+
1
4
1:
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
a. Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Bài 44. Cho M =








−
+
+








−
−
−
1
2
1
1
:
1
1

x
xxxx
x
a. Rút gọn M b) Tìm x sao cho M > 0
24
ễn tp toỏn lp 9 vo lp 10 trung hc ph thụng
Bi 45. Cho M =

















+
+



+

x
xx
x
x
x
x 1
4
1
1
1
1
a. Rỳt gn M b) Chng minh rng M > 0
Bi 46. Cho P =









+

+
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
a. Rỳt gn P b) Tỡm x P = 3
Bi 47. Cho M =
1212
1
.
1
1
2

+
+

+


+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
a. Tỡm x M cú ngha b) Rỳt gn M
c. Tỡm x nguyờn M nhn giỏ tr nguyờn d) Chng minh rng M < 1 vi mi x
Bi 48. Cho P =
ba
abab
ba
bbaa
ab

ab
+
+













2
)(
:
a. Rỳt gn P b) Chng minh rng P

0
Bi 49. Cho P =

+


+

+













6
9
3
2
2
3
:
9
3
1

xx
x
x
x
x
x
x
xx
a. Rỳt gn P b) Tỡm x P = 1
Bi 50. Cho P =









+









+

+
a
a
aa
aa
a
aa
a
1
1
:
11
12
a. Rỳt gn P b) Tỡm a
01. < aP
Bài 51: Cho các biểu thức
2x 3 x 2
P =
x 2


và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
+
+

a) Rút gọn biểu thức P và Q; b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 52: Cho các biểu thức








+





+











=
3

2
2
3
6
9
:
9
3
1
x
x
x
x
xx
x
x
xx
B
a) Rút gọn biểu thức B. b) Tim x ờ B > 0 .
c) Vi x > 4 ; x
9

, Tim gia tri ln nhõt cua biờu thc B( x + 1).
Bài 53: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+

+ +
ữ
ữ

+ +

a) Rút gọn P; b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên;
25