Bài toán dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên có cấu trúc hình học đặc biệt (LV01183)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
————————–o0o————————–
PHẠM THỊ NHÀI
BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN
CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
————————–o0o————————–
PHẠM THỊ NHÀI
BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN
CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn,
người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp đỡ, truyền đạt lại những kiến thức
quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong trường Đại
học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi
trong thời gian học tập tại trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã động
viên, tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K16 nói chung
và chuyên ngành Toán giải tích nói riêng đã giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận
văn này.
Hà Nội, tháng 12, năm 2014
Phạm Thị Nhài
Mục lục
Mở đầu 2
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian C

(
¯
Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Không gian C
l,γ
(
¯
Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . 6
1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Các bước kiểm tra điều kiện (1.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm bài toán
Dirichlet 9
2.1 Hàm rào cản trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài . . . . . . . . . . 12
2.3 Miền lồi. Các điều kiện về cấu trúc các hệ số của phương trình . . . . . 15
2.4 Các điều kiện về độ cong của biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Đánh giá môđun liên tục đối với nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận 36
Tài liệu tham khảo 37
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công
bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 12, năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Nhài
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính
cấp hai phụ thuộc vào việc đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một của
nghiệm ở trong lân cận biên của miền. Nếu biên của miền được giả thiết là trơn
thì việc đánh giá nói trên là thuận lợi. Luận văn xét một số cấu trúc hình học
đặc biệt của miền sao cho khi biên không trơn mà việc đánh giá nói trên vẫn
có thể thực hiện được. Trong một số trường hợp đặc biệt của biên, luận văn đã
chỉ ra bài toán Dirichlet không có nghiệm. Tài liệu tham khảo chính của luận
văn là các chương 11, 14 quyển Elliptic Partial Differential Equations of Second
Order của hai tác giả D. Gilbarg và N. Trudinger (2001).
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày sự tồn tại của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic
á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng quan về sự tồn tại nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic

á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền
với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được
nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai dạng bảo toàn.
6. Những đóng góp mới
Luận văn là một tài liệu tham khảo về chuyên đề này.
7. Kết cấu luận văn
Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục tài liệu tham
khảo.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trình bày một số các không gian hàm, phát biểu bài toán Dirichlet và chỉ
3
ra các điều kiện giải được của bài toán này, để kiểm tra tính giải được của bài
toán ta phải đưa ra các đánh giá tiên nghiệm bên trong và trên biên.
Chương 2: Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm
của bài toán Dirichlet
Đưa ra các đánh giá đối với nghiệm ở trên biên của miền. Để chỉ ra các đánh
giá đó, luận văn đưa vào khái niệm hàm rào cản trên biên, điều kiện hình cầu
ngoài, điều kiện mặt phẳng ngoài, điều kiện hình cầu trong và các điều kiện đối
với độ cong của biên. Trên cơ sở khảo sát, luận văn chỉ ra các điều kiện tồn tại
và không tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Holder
1.1.1 Không gian C


(
¯
Ω)
Cho Ω là miền bị chặn trong R
n
với biên Ω trơn. Cho x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ Ω và
đa chỉ số α, α = (α
1
, α
2
, , α
n
), α
j
∈ N với |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
. Ta ký hiệu:
D
α

u = D
α
1
1
D
α
2
2
D
α
n
n
u,
D
j
u =
∂u
∂x
j
.
Khi đó C(
¯
Ω) = C
0
(
¯
Ω) là không gian các hàm số liên tục trên
¯
Ω với chuẩn:
u

C(
¯
Ω)
= u
0;Ω
= sup
x∈Ω
|u(x)| . (1.1)
Từ đó ta cũng định nghĩa được C
l
(
¯
Ω) như sau
C
l
(
¯
Ω) =

u(x); D
α
u ∈ C
0
(
¯
Ω), ∀α : |α| ≤ l

,
và được trang bị chuẩn:
u

C
l
(
¯
Ω)
= u
l;Ω
=

|α|≤l
sup
¯
Ω
|D
α
u(x)| . (1.2)
Các không gian C
l
(
¯
Ω) là các không gian Banach.
5
1.1.2 Không gian C
l,γ
(
¯
Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1
Trước tiên ta định nghĩa không gian C
0;γ
(Ω) như sau:

C
0;γ
(
¯
Ω) =



u ∈ C
0
(
¯
Ω); [u]
γ;Ω
= sup
,y∈
¯
Ω
=y
|u(x) − u(y)|
|x − y|
γ
< +∞



,
và được trang bị chuẩn:
u
γ;Ω

= u
0;Ω
+ [u]
γ;Ω,
(1.3)
Từ đó ta có định nghĩa của không gian C
l,γ
(
¯
Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1
C
l,γ
(
¯
Ω) =

u ∈ C
l
(
¯
Ω); [D
α
u]
γ,Ω
< +∞; ∀ |α| = l

,
với chuẩn:
u
l,γ,

¯
Ω
= u
l;
¯
Ω
+

|α|=l
[D
α
u]
γ,
¯
Ω
(1.4)
Các không gian C
l,γ
(
¯
Ω) là các không gian Banach. Ta có C
l,0
(
¯
Ω) = C
l
(
¯
Ω) và
C

0,1
(
¯
Ω) là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á
tuyến tính cấp hai
1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai sau:
Qu ≡ a
ij
(x, u, Du)D
ij
u + b(x, u, Du) = 0, x ∈ Ω, (1.5)
u = ϕ trên ∂Ω. (1.6)
6
Giả sử toán tử thỏa mãn các điều kiện sau đây







a
ij
= a
ji
0 < λ(x, z, p)|ξ|
2
≤ a

ij
(x, z, p)ξ
i
ξ
j
≤ Λ(x, z, p)|ξ|
2
,
(1.7)
Ta cũng giả sử rằng với α ∈ (0, 1) các hệ số a
ij
, b ∈ C
α
(
¯
Ω×R ×R
n
), biên ∂Ω ∈ C
2,α
và ϕ là một hàm số được cho trong C
2,α
(
¯
Ω).
1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet
Định lí 1.1. ([3]) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
, Q là elliptic trong
¯
Ω

với các hệ số a
ij
, b ∈ C
α
(
¯
Ω × R × R
n
),α ∈ (0, 1). Giả sử ∂Ω ∈ C
2,α
và ϕ ∈ C
2,α
(
¯
Ω).
Khi đó, nếu với 0 < β < 1 nào đó tồn tại một hằng số M không phụ thuộc vào
u và σ sao cho với mọi C
2,α
(
¯
Ω) - nghiệm u(x) của bài toán Dirichlet, Q
σ
u = 0
trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω, 0 ≤ σ ≤ 1 thỏa mãn:
u
C
l,β
(
¯
Ω)

< M, (1.8)
thì bài toán (1.5), (1.6) là giải được trong C
2,α
(
¯
Ω), trong đó:
Q
σ
u = a
ij
(x, u, Du)D
ij
u + σb(x, u, Du) = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω. (1.9)
Nhận xét 1.2. Như vậy tính giải được của bài toán (1.5), (1.6) đưa về việc
nghiên cứu đánh giá (1.8).
1.2.3 Các bước kiểm tra điều kiện (1.8)
Để kiểm tra điều kiện (1.8) người ta thực hiện theo bốn bước:
1. Đánh giá max |u| trên toàn miền.
7
2. Đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên.
3. Đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm bên trong miền.
4. Đánh giá chuẩn Holder của đạo hàm cấp một.
Nội dung chính của Chương 2 là việc thực hiện bước 2, trình bày đánh giá đạo
hàm cấp một của nghiệm trên biên. Đây là một bước quan trọng trong việc đánh
giá (1.8) và đưa tới tính giải được của bài toán Dirichlet (1.5), (1.6).
8
Chương 2
Đánh giá ở trên biên đối với đạo
hàm cấp một của nghiệm bài toán
Dirichlet

2.1 Hàm rào cản trên biên
Ta xét phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai:
Qu = a
ij
(x, u, Du)D
ij
u + b(x, u, Du) = 0, (2.1)
trong miền Ω ⊂ R
n
. Việc đánh giá đạo hàm trên biên sẽ cho lời giải của phương
trình trên. Những giả thuyết này là sự tổ hợp các điều kiện cấu trúc đối với
các hệ số của Q và điều kiện hình học trên miền Ω. Nó cho thấy đạo hàm trên
biên của nghiệm phương trình elliptic có những khía cạnh khác so với đánh giá
Holder trên miền với biên trơn. Việc đánh giá đạo hàm trên biên buộc phải xét
trong nguyên lý cực đại và phải lựa chọn được các hàm rào cản. Những đánh
giá này rất quan trọng khi chúng được xem là thừa số chính trong việc xác định
xem có thể giải quyết được đặc điểm bài toán Dirichlet hay không.
9
Ta miêu tả phương pháp chắn như sau: Giả sử Q là một toán tử elliptic của
có dạng:
Qu = a
ij
(x, u, Du)D
ij
u + b(x, u, Du), (2.2)
ở đây b(x, z, p) không tăng theo z. Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
0
(

¯
Ω) thỏa mãn Qu = 0
trong Ω.
Giả sử x
0
∈ ∂Ω và trong một lân cận N = N
x
0
nào đó của nó tồn tại hai hàm
w
±
= w
±
x
0
∈ C
2
(N ∩ Ω) ∩ C
1
(N ∩
¯
Ω) sao cho
(i) ±Qw
±
< 0 trong N ∩ Ω
(ii) w
±
(x
0
) = u(x

0
)
(iii) w
−
(x) ≤ u(x) ≤ w
+
(x), x ∈ ∂(N ∩ Ω)
Ta sẽ sử dụng Nguyên lý so sánh được phát biểu như sau:
Định lí 2.1. ([3]) Giả sử u, v ∈ C
0
(
¯
Ω) ∩ C
2
(Ω) thỏa mãn Qu ≥ Qv trong Ω, u ≤ v
trên ∂Ω trong đó:
(i) toán tử Q là elliptic địa phương đều với u hoặc v;
(ii) các hệ số a
ij
không phụ thuộc vào z;
(iii) hệ số b không tăng theo z với mọi (x, p) ∈ Ω × R
n
;
(iv) các hệ số a
ij
(x, z, p), b(x, z, p) là khả vi liên tục theo biến p;
Khi đó u ≤ v trong Ω. Hơn nữa nếu Qu > Qv trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω và những
điều kiện (i), (ii) và (iii) xảy ra (không nhất thiết có điều kiện (iv)), ta có bất
đẳng thức hoàn toàn u < v trong Ω.
10

Khi đó áp dụng Định lý trên đối với miền N ∩ Ω, với mọi x ∈ N ∩ Ω ta có:
w
−
(x) ≤ u(x) ≤ w
+
(x).
Và ở đây theo (ii)
w
−
(x) − w
−
(x
0
)
|x − x
0
|
≤
u(x) − u(x
0
)
|x − x
0
|
≤
w
+
(x) − w
+
(x

0
)
|x − x
0
|
.
Do đó các đạo hàm theo hướng pháp tuyến của w
±
và u tồn tại tại x
0
thỏa mãn
∂w
−
∂v
(x
0
) ≤
∂u
∂v
(x
0
) ≤
∂w
+
∂v
(x
0
). (2.3)
Ta gọi các hàm w
±

tương ứng là các hàm cản trên và hàm cản dưới tại x
0
của
toán tử Ω và hàm số u. Sự tồn tại của chúng xảy ra ở tất cả các điểm x
0
∈ ∂Ω,
tương ứng với các đạo hàm trên biên nghĩa là việc đánh giá đạo hàm trên biên
cho u thỏa mãn Qu = 0 trong Ω.
Việc xây dựng các hàm rào cản thuận lợi cho phép biến đổi công thức một
cách tùy ý. Trước tiên lấy I là một khoảng trong R và tập u = ψ(u), ở đây
ψ ∈ C
2
(I), ψ

= 0 trên I, với v(x) ∈ I ta có:
Qv = ψ

a
ij
D
ij
v +
ψ

(ψ

)
2
E + b, (2.4)
ở đây những biến số của a

ij
, E và b là x, u = ψ(v) và Du = ψ

Dv. Sau đó lấy tập
u = v + ϕ với ϕ ∈ C
2
(
¯
Ω). Khi đó với x ∈ Ω ta có:
˜
Qv = Qu = a
ij
D
ij
v + a
ij
D
ij
ϕ + b, (2.5)
ở đây những biến số của a
ij
và b là x, u = v + ϕ và Du = Dv + Dϕ. Ta định nghĩa
hàm số F như sau:
F(x, z, p, q) = a
ij
(x, z, p)(p
i
− q
i
)(p

j
− q
j
) với (x, z, p, q) ∈ Ω × R × R
n
× R
n
. (2.6)
11
Đối với toán tử
˜
Q trong (2.5) ta có:
˜
E(x, v, Dv) = F(x, u, Du, Dϕ). (2.7)
Công thức (2.4) và (2.5) báo trước phạm vi điều kiện cấu trúc đòi hỏi phải xây
dựng các hàm rào cản.
2.2 Miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên
ngoài
Ta bắt đầu xây dựng hàm chắn cho những miền trơn. Giả sử Ω thỏa mãn điều
kiện mặt cầu ngoài tại điểm x
0
∈ ∂Ω, tức là tồn tại một hình cầu B = B
R
(y) với
x
0
∈
¯
B ∩
¯

Ω =
¯
B ∩ ∂Ω. Ta định nghĩa khoảng cách hàm số d(x) = dist(x, ∂B) và
lấy tập w = ψ(v) ở đây ψ ∈ C
2
[0, ∞) và ψ

> 0.
Theo công thức (2.4), với mỗi u ∈ C
1
(
¯
Ω) ∩ C
2
(Ω) ta có:
¯
Qw = a
ij
(x, u(x), Dw)D
ij
w + b(x, u(x), Dw)
= ψ

a
ij
D
ij
d + b +
ψ


(ψ

)
2
E
≤
(n − 1)
R
ψ

Λ + b +
ψ

(ψ

)
2
E,
(2.8)
Bất đẳng thức cuối là kết quả của:
D
ij
d = |x − y|
−3

|x − y|
2
δ
ij
− (x

i
− y
i
)(x
j
− y
j
)

.
Bây giờ ta giả sử rằng Q thỏa mãn một điều kiện cấu trúc. Giả sử tồn tại một
hàm không tăng µ sao cho với mọi (x, z, p) ∈ Ω × R × R
n
:
|p| Λ + |b| ≤ µ (|z|) E. (2.9)
12
Thay điều kiện (2.9) vào (2.8) ta thu được:
¯
Qw ≤

ψ

(ψ

)
2
+ v

E, (2.10)
với điều kiện là ψ


≥ µ = µ(M ), ở đây v =

1 +
(n−1)
R

µ, M = sup
Ω
|u|. Ta xét hàm
ψ được cho bởi:
ψd =
1
v
log(1 + kd), k > 0; (2.11)
và xét lân cận N = N
x
0
=

x ∈
¯
Ω


d(x) < a

, a > 0. Rõ ràng ψ

= −v(ψ


)
2
trong
N . Hơn nữa:
ψ(a) =
1
v
log(1 + ka) = M nếu ka = e
vM
− 1 . (2.12)
Và trong N ∩ Q
ψ

(d) =
k
v(1 + kd)
≥
k
v(1 + ka)
=
k
ve
vM
≥ µ nếu k ≥ µve
vM
.
(2.13)
Do đó, nếu k và a được chọn để thỏa mãn hệ thức:
k = µve

vM
,ka = e
vM
− 1 , (2.14)
thì hàm số w
+
= ψ(d) là một chắn trên tại x
0
đối với toán tử
¯
Q và hàm số u
với điều kiện u = 0 trên N ∩ Q. Tương tự hàm số w
−
= −ψ(d) tương ứng là một
chắn dưới. Ở đây nếu Qu = 0 trong Ω, từ công thức (2.2) ta có đánh giá:
|Du(x
0
)| ≤ ψ

(0) = µe
vM
, (2.15)
nếu đẳng thức xảy ra trong (2.14).
13
Bây giờ mở rộng đánh giá (2.15) cho giá trị biên khác 0. Lấy ϕ ∈ C
2
(
¯
Ω) và
giả sử rằng u = ϕ trên ∂Ω. Sau đó cần phải có phép biến đổi toán tử cho bởi

(2.5) để thỏa mãn điều kiện cấu trúc (2.9). Tức là thỏa mãn:

|p − Dϕ| +


D
2
ϕ



Λ + |b| ≤ ¯µ (|z|) F(x, z, p, Dϕ), (2.16)
với mọi (x, z, p) ∈ Ω × R × R
n
sao cho |p − Dϕ| ≥ ¯µ (|z|) với hàm số không giảm
¯µ. Từ:
F(x, z, p, q) = a
ij
(x, z, p)(p
i
− q
i
)(p
j
− q
j
)
≥
1
2

E − a
ij
q
i
q
j
theo bất đẳng thức Schwarz;
≥
1
2
E − Λ|q|
2
,
(2.17)
ta xem điều kiện cấu trúc (2.9) có hệ quả (2.16) với điều kiện là ta sẽ chọn:
¯µ = 4

µ

1 + |ϕ|
2
1

+ |ϕ|
2

.
Do đó, đánh giá (2.15) sẽ thay thế u bởi u − ϕ và µ bởi ¯µ. Ta có khẳng định sau
về đánh giá đạo hàm trên biên.
Định lí 2.2. ([3]) Giả sử u ∈ C

2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω) thỏa mãn Qu = 0 trong Ω và u = ϕ
trên ∂Ω. Giả sử Ω thỏa mãn điều kiện hình cầu ngoài đều và ϕ ∈ C
2
(
¯
Ω). Khi đó
nếu điều kiện cấu trúc (2.9) được thỏa mãn thì trên ∂Ω ta có:
|Du| ≤ C trên ∂Ω, (2.18)
trong đó C = C(n, M, µ(M ), Φ, δ), M = sup
Ω
|u| , Φ = |ϕ|
2;Ω
và δ là bán kính của
hình cầu giả định bên ngoài.
Khi đó điều kiện (2.9) được viết ở dạng:
pΛ, b = O(E) khi p → ∞ , (2.19)
14
ở đây việc xem xét giới hạn liên quan tới |p| được hiểu như trong Ω × (−N , N )
với mọi N > 0. Đặc biệt nếu Q là elliptic đều trong Ω × (−N , N ) × R
n
với mọi
N > 0 thì Λ = 0(λ) và nếu b = 0(λ|p|
2
) thì điều kiện cấu trúc (2.7) được thỏa
mãn.

2.3 Miền lồi. Các điều kiện về cấu trúc các hệ số
của phương trình
Ta sẽ xây dựng hàm chắn đối với các miền lồi và các miền lồi đều. Giả sử Ω
thỏa mãn điều kiện mặt phẳng ngoài tại điểm x
0
∈ ∂Ω, tức là tồn tại một siêu
phẳng P với x
0
∈ P ∩
¯
Ω = P ∩ ∂Ω. Thiết lập d(x) = dist(x, P ) và w = ψ(d), với
mỗi u ∈ C
1
(
¯
Ω) ∩ C
2
(Ω) ta có:
¯
Qw = ψ

a
ij
D
ij
d + b +
ψ

(ψ


)
2
E,
= b +
ψ

(ψ

)
2
E.
(2.20)
Ở đây nếu b = O(E) thì với những hàm số không giảm µ ta có:
|b| ≤ µ (|z|) E với |p| ≥ µ (|z|) . (2.21)
Các đại lượng chắn ở mục trước có thể áp dụng với ν = µ(M), M = sup
Ω
|u| Do đó
ta thu được một đánh giá cho Du(x
0
) với điều kiện Qu = 0 trong Ω và u = 0 trên
∂Ω. Mở rộng kết quả này cho giá trị biên ϕ khác 0, ta đòi hỏi ΛD
2
ϕ và b = 0(F)
phải thỏa mãn:
Λ


D
2
ϕ



+ |b| ≤ ¯µ (|z|) F với |p − Dϕ| ≥ ¯µ (|z|), (2.22)
với hàm số ¯µ không giảm nào đó. Từ đó ta có đánh giá dưới đây:
15
Định lí 2.3. ([3]) Giả sử u, ϕ ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω) thỏa mãn Qu = 0 trong Ω và
u = ϕ trên ∂Ω và giả sử rằng Ω là miền lồi. Khi đó nếu điều kiện cấu trúc (2.22)
được thỏa mãn thì ta có:
|Du| ≤ C trên ∂Ω, (2.23)
trong đó C = C(n, M, ¯µ(M), |ϕ|
1;Ω
), M = sup
Ω
|u|.
Điều kiện cấu trúc (2.22) có thể được thay thế trong giả thuyết của Định
lý 2.3 bởi điều kiện mà không phụ thuộc giá trị biên ϕ. Đặc biệt cũng với điều
kiện:
Λ = o(E), b = O(E) khi |p| → ∞, (2.24)
hoặc điều kiện:
Λ, b = O

λ|p|
2


khi |p| → ∞, (2.25)
sẽ suy ra điều kiện (2.22) cho những hàm số ¯µ phụ thuộc vàò |ϕ|
2;Ω
. Trước tiên
nó kéo theo một hệ quả của bất đẳng thức (2.17), thứ hai là dẫn đến bất đẳng
thức dưới đây:
F(x, z, p, q) ≥ λ(x, z, p)|p − q|
2
, (x, z, p, q) ∈ Ω × R × R
n
× R
n
. (2.26)
Ta có thể khẳng định hệ quả dưới đây của Định lý 2.3
Hệ quả 2.4. Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω) thỏa mãn Qu = 0 trong Ω và u = ϕ trên
∂Ω. Giả sử Ω là miền lồi và ϕ ∈ C
2
(
¯
Ω). Khi đó, nếu một trong các điều kiện cấu
trúc (2.24) và (2.25) được thỏa mãn thì ta có:
|Du| ≤ C trên ∂Ω, (2.27)
trong đó C = C(n, M, ¯µ, |ϕ|
2;Ω

).
16
Hệ quả 2.4 đặc biệt được áp dụng cho toán tử mặt cực tiểu M cho bởi:
Mu =

1 + |Du|
2

∆u − D
i
uD
j
uD
ij
u. (2.28)
Ở đây λ = 1, Λ = 1 + |p|
2
, vì vậy việc đánh giá đạo hàm trên biên vẫn đúng trong
những miền lồi cho phương trình Mu = 0.
Tiếp theo ta giả sử rằng miền Ω thỏa mãn một điều kiện mặt cầu bao tại một
điểm x
0
∈ ∂Ω. Ở đây tồn tại một hình cầu B = B
R
(y) ⊃ Ω với x
0
∈ ∂Ω. Thiết lập
d(x) = dist(x, ∂B) và w = ψ(d), với mỗi u ∈ C
1
(

¯
Ω) ∩ C
2
(Ω) ta có:
¯
Qw = ψ

a
ij
D
ij
d + b +
ψ

(ψ

)
2
E
≤ −
ψ

R
(T − E
∗
) + b +
ψ

(ψ


)
2
E
(2.29)
trong đó T(x, z, p) = vết

a
ij
(x, z, p)

= a
ij
(x, z, p) và E
∗
= E

|p|
2
. Cuối cùng có hệ
thức sau:
D
ij
d = −|x − y|
−3

|x − y|
2
δ
ij
− (x

i
− y
i
) (x
j
− y
j
)

.
Một đánh giá đạo hàm trên biên bây giờ có thể suy ra từ (2.29) nếu b bị chặn
đối với T hoặc E. Thật vậy, lấy ϕ ∈ C
2
(
¯
Ω) và giả sử tồn tại một hàm số không
giảm ¯µ sao cho:


a
ij
D
ij
ϕ + b


≤
1
R
|p − Dϕ| T + ¯µF với |p − Dϕ| ≥ ¯µ. (2.30)

Miền Ω được gọi là lồi đều nếu nó thỏa mãn điều kiện mặt cầu đóng tại mọi
điểm trên biên với các hình cầu bán kính cố định R. Qua việc xây dựng các chắn
ở trên cho ta đánh giá dưới đây:
Định lí 2.5. ([3]) Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω) thỏa mãn Qu = 0 trong Ω và u = ϕ
trên ∂Ω. Giả sử rằng Ω là lồi đều. Khi đó nếu điều kiên cấu trúc (2.30) được
17
thỏa mãn thì trên ∂Ω ta có:
|Du| ≤ C (2.31)
trong đó C = C(n, M, ¯µ(M), |ϕ|
1;Ω
).
Rõ ràng điều kiện cấu trúc (2.30) với ¯µ phụ thuộc vào |ϕ|
1;Ω
được suy ra từ
điều kiện:
b = o (Λ |p|) + O

Λ|p|
2

khi |p| → ∞, (2.32)
hoặc điều kiện:
Λ = O


Λ|p|
2

, |b| ≤
|p|
R
T + O

Λ|p|
2

khi |p| → ∞. (2.33)
Do đó ta có hệ quả của Định lý 2.5:
Hệ quả 2.6. Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω) thỏa mãn Qu = 0 trong Ω và u = ϕ trên
∂Ω. Giả sử rằng Ω là miền lồi đều và ϕ ∈ C
2
(
¯
Ω). Khi đó nếu điều kiện cấu trúc
(2.32) hoặc (2.33) được thỏa mãn thì trên ∂Ω ta có:
|Du| ≤ C, (2.34)
trong đó C = C(n, M, ¯µ(M), |ϕ|
1;Ω
).

Hệ quả 2.6 đặc biệt được áp dụng cho phương trình độ cong trung bình với
toán tử
Mu = nH(x, u, Du)(1 + |Du|
2
)
3/2
, (2.35)
ở đây T = 1 + (n − 1)(1 + |p|
2
), vì vậy một đánh giá đạo hàm trên biên sẽ cho lời
giải của (2.35) trong những miền lồi đều với điều kiện hàm số H thỏa mãn:
|H| ≤
(n − 1)
nR
với |p| ≥ µ (|z|). (2.36)
18
Điều kiện cấu trúc (2.32) rõ ràng thỏa mãn khi b = 0. Trong trường hợp này
Hệ quả 2.6 có thể được suy ra bởi các hàm chắn tuyến tính, từ những biên có
nhiều dạng khác nhau (∂Ω, ϕ) sẽ thỏa mãn một điều kiện biên nghiêng. Hơn nữa
khi b = o(Λ |p|) trong (2.32), một chắn có dạng w = kd, d = dist(x, ∂B) với k đủ
lớn sẽ thỏa mãn điều phải chứng minh. Những chứng minh ở trên rõ ràng chỉ
ra rằng kết quả ở mục này vẫn được thừa nhận nếu những điều kiện cấu trúc
trong các giả thuyết chỉ xảy ra khi x nằm trong lân cận của ∂Ω.
Nhận xét 2.7. Việc đánh giá đạo hàm trên biên chỉ được xác định bởi quỹ
tích của biên ∂Ω. Nó phù hợp để dẫn đến một kết quả cho những miền C
2
. Cho
κ = κ(x
0
) là giá trị cực tiểu của độ cong chính của ∂Ω tại x

0
và cho v = v(x
0
) là
kí hiệu chuẩn bên trong ∂Ω tại x
0
. Giả sử tồn tại một hàm số không giảm ¯µ sao
cho với mọi x ∈ ∂Ω, ε > 0 thì:


a
ij
D
ij
ϕ + b


< κT |p| + ¯µ (|z|) F với ∀(x, z, p) ∈ Ω × R × R
n
. (2.37)
với |x − x
0
| < ε,



p−Dϕ
|p−Dϕ|
± v




< ε và |p − Dϕ| ≥ ¯µ.
Khi đó ta có đánh giá
|Du| ≤ C trên ∂Ω, (2.38)
trong đó C = C(n, M, ¯µ(M), x). Nếu κ(x
0
) ≥ κ là hằng số, với mọi x
0
∈ ∂Ω ta có
thể nhận được một bất đẳng thức không hoàn toàn trong (2.37) với điều kiện κ
thay thế bởi κ
0
.
2.4 Các điều kiện về độ cong của biên
Cho đến đây ta đã xây dựng được những hàm cản mà biểu diễn qua hàm khoảng
cách của mặt ngoài có độ cong hằng số (mặt phẳng hoặc hình cầu). Sau đây ta
19
giả sử rằng ∂Ω ∈ C
2
và sử dụng chính biên ∂Ω như một mặt ngoài thích hợp.
Đặt d(x) = dist(x, ∂Ω), khi đó ta có d ∈ C
2
(Γ) ở đây Γ =

x ∈
¯
Ω |d(x) < d
0


với
các d
0
> 0. Bởi vậy nếu w = ψ(d), ψ ∈ C
2
[0, ∞) và ψ

> 0 theo công thức (2.4) với
mỗi u ∈ C
1
(
¯
Ω) ∩ C
2
(Ω) ta có:
¯
Qw = a
ij
(x, u(x), Dw)D
ij
w + b(x, u(x), Dw)
= ψ

a
ij
D
ij
d + b +
ψ


(ψ

)
2
E.
(2.39)
Mở đầu để minh họa lý thuyết chung của phần này ta xem xét trường hợp đặc
biệt của toán tử mặt cực tiểu M, ta có:
a
ij
(x, z, p) =

1 + |p|
2

δ
ij
− p
i
p
j
. (2.40)
Khi đó ta có:
a
ij
D
ij
d =

1 +




ψ




2

∆d −



ψ




2
D
i
dD
j
dD
ij
d
=

1 +




ψ




2

∆d bởi vì |Dd| = 1, D
i
dD
ij
d = 0
≤ −(n − 1)

1 +



ψ




2

H


.
(2.41)
trong đó H

là độ cong trung bình của ∂Ω tại điểm y = y(x) trên tập đóng ∂Ω
của x. Nếu ∂Ω có độ cong trung bình ở mọi nơi thì ta thu được:
¯
Qw ≤ b +
ψ

(ψ

)
2
E.
Một đánh giá đạo hàm trên biên dưới đây cho tùy ý những giá trị biên C
2
(
¯
Ω)
nếu b = O

|p|
2

. Ta sẽ chỉ ra kết quả này đúng cho toán tử mặt cực tiểu Mu = 0.
Sử dụng hệ thức (2.39) và (2.41) ta cũng có kết quả này đúng cho phương trình
của độ cong trung bình (2.35). Tuy nhiên trở lại trường hợp tổng quát, ta thừa
20
nhận rằng trường các hệ số của Q được khai triển theo hướng cho p = 0 ta có:

a
ij
= Λa
ij
+ a
ij
0
, i, j = 1, , n;
b = |p| Λb
x
+ b
0
.
(2.42)
ở đây:
a
ij
∞
(x, z, p) = a
ij
∞
(x, p/|p|) , b
x
(x, z, p) = b
∞
(x, p/|p|) ,
a
ij
∞
= δ

ij
− p
i
p
j
/|p|
2
,
với mọi x ∈ Ω, |σ| = 1, ξ ∈ R
n
và b
∞
không tăng trong z.
Ví dụ trong trường hợp toán tử mặt cực tiểu M ta có thể nhận được
a
ij
∞
= δ
ij
− p
i
p
j

|p|
2
, a
ij
0
= p

i
p
j

|p|
2
.
Sử dụng ma trận

a
ij
∞

, ta đưa vào một khái niệm mở rộng cho độ cong trung
bình như sau. Lấy y là một điểm của ∂Ω và kí hiệu v là đơn vị thông thường bên
trong của ∂Ω tại y; κ
1
, , κ
n
là những độ cong chính của ∂Ω tại y và α
1
, , α
n
là
đường chéo chính của ma trận

a
ij
∞


với việc thừa nhận phương pháp đồng vị
trên trục tọa độ tại y. Khi đó ta định nghĩa:
K
±
(y) =
n−1

i=1
a
i
(y, ±v)κ
i
. (2.43)
Từ a
i
≥ 0, i = 1, , n những đại lượng K
±
là sai số trung bình của những độ cong
của ∂Ω tại y. Hơn nữa trong trường hợp đặc biệt của toán tử mặt cực tiểu M,
ta có a
i
= 1, i = 1, , n − 1, a
n
= 0 và ở đây:
K
+
(y) = K
−
(y) =
n−1


i=1
κ
i
= (n − 1)H

(y),
ở đây H

(y) kí hiệu độ cong trung bình của ∂Ω tại y. Những độ cong K
±
được
nối với khoảng cách hàm số d bởi công thức:
K
±
= −a
ij
∞
(y, ±Dd(y)) D
ij
d(y). (2.44)
21