Bài toán dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên có cấu trúc hình học đặc biệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
oOo
PHẠM THỊ NHÀI
BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI
TRONG MIEN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
oOo
PHẠM THỊ NHÀI
BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI
TRONG MIỀN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT
HÀ NỘI - 2014
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.
Hà Tiến Ngoạn
HÀ NỘI - 2014
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn PGS.TS. Hà Tiến
Ngoạn, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp đỡ, truyền đạt lại
những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong
trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện
tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.
Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã
động viên, tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K16 nói
chung và chuyên ngành Toán giải tích nói riêng đã giúp đỡ, động viên tôi hoàn
thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12, năm 2014
Phạm Thị Nhài

Mục lục
Tài liệu tham khảo
3
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố
trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 12, năm 2014 Tác giả Phạm Thị Nhài
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp
hai phụ thuộc vào việc đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một của nghiệm
ở trong lân cận biên của miền. Nếu biên của miền được giả thiết là trơn thì việc
đánh giá nói trên là thuận lợi. Luận văn xét một số cấu trúc hình học đặc biệt của
miền sao cho khi biên không trơn mà việc đánh giá nói trên vẫn có thể thực hiện
được. Trong một số trường hợp đặc biệt của biên, luận văn đã chỉ ra bài toán
Dirichlet không có nghiệm. Tài liệu tham khảo chính của luận văn là các chương 11,
14 quyển Elliptic Partial Differential Equations of Second Order

của hai
tác giả D. Gilbarg và N. Trudinger (2001).
5
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày sự tồn tại của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á
tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng quan về sự tồn tại nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á
tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với
biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được nghiên
cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
dạng bảo toàn.
6. Những đóng góp mới
Luận văn là một tài liệu tham khảo về chuyên đề này.
7. Kết cấu luận văn
Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục tài liệu tham
khảo.
6
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trình bày một số các không gian hàm, phát biểu bài toán Dirichlet và chỉ
ra các điều kiện giải được của bài toán này, để kiểm tra tính giải được của bài toán
ta phải đưa ra các đánh giá tiên nghiệm bên trong và trên biên.
Chương 2: Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm của bài toán
Dirichlet
Đưa ra các đánh giá đối với nghiệm ở trên biên của miền. Để
chỉ ra các đánh giá đó, luận văn đưa vào khái niệm hàm rào
cản trên biên, điều kiện hình cầu ngoài, điều kiện mặt phẳng
ngoài, điều kiện hình cầu trong và các điều kiện đối với độ
cong của biên. Trên cơ sở khảo sát, luận văn chỉ ra các điều
kiện tồn tại và không tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Holder
1.1.1 Không gian
c

£
{ )ũ
Cho íì là miền bị chặn trong R" với biên trơn. Cho X = (íEi, X 2 , x
n
) e íì và
đa chỉ số Ck, Ck =

(ai , «2: &n),
a
j € N

với |a| = a

1 + «2 + ■■■ + Qí„. Ta
ký hiệu:
Khi đó ơ(fỉ) = ơ°(fĩ) là không gian các hàm số liên tục trên íí với chuẩn:
“llơ(n) = =SUP!“(*)!•
Từ đó ta cũng định nghĩa được c
l
(íì) như sau
ơ'(íl) = {u(

X

y,D

a

u

e ơ°(íl),Va : \a\ < l} ,
và được trang bị chuẩn:
|a|<ỉ
ù
Các không gian c
l
(ũ) là các không gian Banach.
Dau = D^D^2 D^u,
(1.
(1.
8
1.1.2 Không gian ơỉ,7(íỉ) với 0 < 7 < 1
Trước tiên ta định nghĩa không gian c
0
;
7
(íì) như sau:
và được trang bị chuẩn:
IMI7;n = Hlo;íl +

(1-3)
Từ đó ta có định nghĩa của không gian cỉ,
7
(0) với 0 < 7 < 1
cl’7(n) = ịue Cl{ủ)-[Dau]in < +oo; V
|a| = /} ,
với chuẩn:
IMIỉ,7,n = IMI/íO +
^2 \.^

c

‘

u

\'t,ủ

(1-4)
\a\=l
Các không gian ƠỈ,
7
(Õ) là các không gian Banach. Ta có
ƠỈ,
0
(Õ) = c

l

(ũ)

và c
0
,
1
(n) là không gian các hàm thỏa mãn
điều kiện Lipschitz.
1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến
tính cấp hai
1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet

Xét bài toán Dirichlet chophương trình elliptic á tuyến
tính cấp hai sau:
Qu = a u, Du)DiịU + b(x, u, Du) =
Ũ,IEÍ1, (1-5)
u = tp

trên díì.

(1-6)
\u(x)-u(y)\ {
‘í’
ơ
0
;
7
(íì) = <
Giả sử toán tử thỏa mãn các điều kiện sau đây
r
aij = a

j i
(1.7)
0 < \(x,z,p)\ç\2 < а^(х,г,р)^ <
A(x,z,p)|£|
2
,
Ta cũng giả sử rằng với а e (0,1) các hệ số aij, b e c
a
(ù X
R X R"), biên ỚÍ2 e c

2, a
và tp là một hàm số được cho
trong c
2
’
a
(ũ).
1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet
Định lí 1.1. ([3]) Giả sử Q là một miền bị chặn trong
R”
;
Q ỉà elliptic trong ũ với các hệ số a
ij
,ò e са(й X
R X R"),o € (0,1). Giả sử dn e c2’a và <p E c2’a(ù).
Khi đó, nếu với 0 < ß < 1 nào đó tồn tại một hằng
số M không phụ thuộc vào и và ơ sao cho với mọi
c2,a(ù) - nghiệm u(x) của bài toán Dirichlet, Qơu
= 0 trong Q, и = ơ<p trên дп, 0 < ơ < 1 thỏa mãn:
1М1сг'0(й) < (1-8)
thì bài toán (1-5), (1-6) là giải được trong
c2,a(ù), trong đó:
Qơu — ац(х, и, Du)D[ịU + ơb(x, u, Du) — 0 trong
Г2, и — ơ(p trên ỠÍ2. (1-9)
Nhận xét 1.2. Như vậy tính giải được của bài toán
(1-5), (1.6) đưa về việc nghiên cứu đánh giá (1.8).
1.2.3 Các bước kiểm tra điều kiện (1.8)
Để kiểm tra điều kiện (1.8) người ta thực hiện theo bốn
bước:
1. Đánh giá max |tí| trên toàn miền.

2. Đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên.
3. Đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm bên trong miền.
4. Đánh giá chuẩn Holder của đạo hàm cấp một.
Nội dung chính của Chương 2 là việc thực hiện bước 2,
trình bày đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên.
Đây là một bước quan trọng trong việc đánh giá (1.8) và
đưa tới tính giải được của bài toán Dirichlet (1.5),
(1.6).
Chương 2
Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm bài toán Dirichlet
2.1 Hàm rào cản trên biền
Ta xét phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai:
Qu = u, Dn)DịịU + b(x, u, Du) = 0, (2-1)
trong miền ílcl". Việc đánh giá đạo hàm trên biên sẽ cho lời giải của phương trình
trên. Những giả thuyết này là sự tổ hợp các điều kiện cấu trúc đối với các hệ số
của Q

và điều kiện hình học trên miền Í2. Nó cho thấy đạo hàm trên biên của
nghiệm phương trình elliptic có những khía cạnh khác so với đánh giá Holder
trên miền với biên trơn. Việc đánh giá đạo hàm trên biên buộc phải xét trong
nguyên lý cực đại và phải lựa chọn được các hàm rào cản. Những đánh giá này rất
quan trọng khi chúng được xem là thừa số chính trong việc xác định xem có thể
giải quyết được đặc điểm bài toán Dirichlet hay không.
Ta miêu tả phương pháp chắn như sau: Giả sử Q

là một toán tử elliptic của có
dạng:
Qu = 0^(2;, tí, Du)DiịU + b(x,u, Du), (2-2)
ở đây b(x,z,p

) không tăng theo z.

Giả sử u

e C

2

(Jl)

n c°(n) thỏa mãn Qu =

0
trong 0.
Giả sử x°

e và trong một lân cận N = M

X a

nào đó của nó tồn tại hai hàm w± = w±
€ C

2

(N

n íĩ) n n 0) sao cho
(ĩ) ±Qw± < 0 trong N n (ii) w±(x0) =
u(x0)

(in) w~ (x) < u(x) < w+(x), X £ d(ĂÍ n íí)
Ta sẽ sử dụng Nguyên lý so sánh được phát biểu như sau:
Định lí 2.1. ([3]) Giả sử u,v € ơ°(0) n ơ
2
(0) thỏa mẫn Qu > Qv trong Q,u <
V trên trong đó:
(i) toán tử Q là elliptic địa phương đều với u hoặc v;
(ii) các hệ số a
ij
không phụ thuộc vào z;
(Ui) hệ số b không tăng theo z với mọi (x,p) e Í2 X R";
(iv) các hệ số a^(x, z,p),b(x, z,p) ỉà khả vi liên tục theo biến p;
Khi đó u < V trong ũ. Hơn nữa nếu Qu > Qv trong íì,u < V trên ỠÍ2 và
những điều kiện (i), (ii) và (Ui) xảy ra (không nhất thiết có điều kiện
(iv)), ta có bất đẳng thức hoàn toàn u < V trong Í2.
Khi đó áp dụng Định lý trên đối với miền N

n ũ,

với mọi X € я

n 0 ta có:
w

(X) < u(x

) < ш+(х).
Và ở đây theo (ii)
w ~ ( x ) — w ~ ( x o)u ( x ) — U ( X Q ) W
+

( X ) — W
+
( X o )
\x — Xo| \ x — Xo| \x — Xo|
Do đó các đạo hàm theo hướng pháp tuyến của w

± và и

tồn tại tại x

0

thỏa mãn
dw~ , , du, dw+ , ,
s s (2-3) Ta gọi các hàm w

±

tương ứng là các
hàm cản trên

và hàm cản dưới

tại Xo của toán tử íĩ và hàm số u.

Sự tồn tại
của chúng xảy ra ở tất cả các điểm Xũ

e dũ,

tương ứng với các đạo hàm trên biên
nghĩa là việc đánh giá đạo hàm trên biên cho и

thỏa mãn Qu =

0 trong fĩ.
Việc xây dựng các hàm rào cản thuận lợi cho phép biến đổi công thức một
cách tùy ý. Trước tiên lấy I

là một khoảng trong R và tập и

—

ф(и),

ở

đây
Ф

£ C

2

(I),ĩp

Ф

0 trên I,

với v(x

) eita có:
E(x,v, Dv) = F(x, u, Du, Dip).
Công thức (2.4) và (2.5) báo trước phạm vi điều kiện cấu trúc đòi hỏi phải xây
dựng các hàm rào cản.
2.2 Miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên
ngoài
Ta bắt đầu xây dựng hàm chắn cho những miền trơn. Giả sử íí thỏa mãn điều
kiện mặt cầu ngoài

tại điểm Xa

Ễ ỡíí, tức là tồn tại một hình cầu B = Bn(y)
với X0Ễ ỗ n n = S n dQ.

Ta định nghĩa khoảng cách hàm số d(x

) = dist(x,dB

)
và lấy tập w = ĩỊ)(v)

ở đây ĩỊ>

e c
2
[0, oo) và lị)

>0.

Theo công thức (2.4), với mỗi u £

n c
2
(fi) ta có:
Qw = ữ u(x), Dw)DiịW + b(x, u(x), Dw)
(2.8)
Bất đẳng thức cuối là kết quả của:
Diịd = \x - yl
-3
(l^ - 2/1% -(xi - Vi){xj - Viì) ■
Bây giờ ta giả sử rằng Q

thỏa mãn một điều kiện cấu trúc.Giả sử tồn tại một
hàm không tăng ụ,

sao cho với mọi (x, z,p)

€ 0 X R X R":
M A + |ò| < /X (|z|) £.
(2.
Đối với toán tử Q trong (2.5) ta
/
= ĩị) a

i j

Dịjd + b +

^

„£
(2.
Thay điều kiện (2.9) vào (2.8) ta thu được:
Qw<(—%

"je, (2.10)
\WŸ
+
VJ
với điều kiện là Ф > ịi = n(M), ỗ

đây V = ( 1 +) ß, M

= sup |ií|. Ta xét hàm
4
'

Í2
Ф

được cho bởi:
ißd,

= —

log(l + fed), к

>

0; (2-11)
V
và xét lân cận N = M

X ữ

= {x £

Õ| d(x) <

a} ,a > 0. Rõ ràng lị) =

)
2
trong
Я

.

Hơn nữa:
ф(а)

=

-log(l + ha.) = M

nếu ka. = e

v M

—

1 . (2-12)
V
Và trong Я

r\Q
к
Ф

(d) =

>
ũ(l + kd) v{ĩ + ка)
(2.13)
> ịx nếu к > ụ,vevM.
Do đó, nếu к

và а

được chọn để thỏa mãn hệ thức:
к = fj,vevM ,ka = evM - 1 , (2.14)
thì hàm số w

+

=

Ф(с1)

là một chắn trên

tại Xũ đối với toán tử Q

và hàm số и
với điều kiện и

=

0 trên Я

П Q.

Tương tự hàm số w~ = —ĩp(d)

tương ứng là
một chắn dưới, ở đây nếu Qu

= 0 trong Q,

từ công thức (2.2) ta có đánh giá:
\Du(x0)\ < ф'(0) = ịievM, (2.15)
nếu đẳng thức xảy ra trong (2.14).
к
v e
v
Bây giờ mở rộng đánh giá (2.15) cho giá trị biên khác 0. Lấy <p

e Ơ

2
(Õ) và giả
sử rằng u = tp

trên ớíl. Sau đó cần phải có phép biến đổi toán tử cho bởi (2.5) để
thỏa mãn điều kiện cấu trúc (2.9). Tức là thỏa mãn:
(b -
D Ì
P\ + \D\\) Ấ+\b\ < ụ, (|z|)F(x,z,p,Dip), (2.16)
với mọi (x, z,p)

e Q

X R X R" sao cho Ip

- D<p\ > ụ,

(|z|) với hàm số không
giảm
(1.

Từ:
ta xem điều kiện cấu trúc (2.9) có hệ quả (2.16) với điều kiện là ta sẽ chọn:
n = 4 (n (l + \<p\\) + \y\2) .
Do đó, đánh giá (2.15) sẽ thay thế u

bởi u — <p

và ụ,

bởi ụ,.

Ta có khẳng định
sau về đánh giá đạo hàm trên biên.
Định lí 2.2. ([3]) Giả sử u € ơ
2
(fì) n ơ
1
(0) thỏa mẫn Qu — 0 trong íí và u —
tp trên díì. Giả sử thỏa mãn điều kiện hình cầu ngoài đều và e c2(ủ).
Khi đó nếu điều kiện cấu trúc (2.9) được thỏa mãn thì trên ỠQ ta có:
Du\ < c trên dũ,
trong đó c = C(n, M, M = sup|íx|,$ = M
2
-Í2 và s là bán kính của
hình cầu giả định bên ngoài.
Khi đó điều kiện (2.9) được viết ở dạng:
(2.1
(2.1
pẤ, b

= 0(£) khi p —>

00ở đây việc xem xét giới hạn liên quan tới |p| được hiểu
như trong íĩ X (—Я,Я)

với mọi N

> 0. Đặc biệt nếu Q

là elliptic đều trong Q X (—
N,M)

X R” với mọi Я

>

0 thì Л = 0(Л) và nếu b

= 0(л|р|2) thì điều kiện cấu trúc
(2.7) được thỏa mãn.
2.3 Miền lồi. Các điều kiện về cấu trúc các hệ số của phương trình
Ta sẽ xây dựng hàm chắn đối với các miền lồi và các miền lồi đều. Giả sử íì thỏa
mãn điều kiện mặt phẳng ngoài

tại điểm Xo

€ ỡíĩ, tức là tồn tại một siêu
phẳng p

với i o ễ P í ì Õ = P í ì dí}.

Thiết lập d(x) = dist(x,p)

và w =

Ip(d),

với
mỗi и

€ С
1
(П) П ơ
2
(fì) ta có:
Qw = Ф a^Dịịd + b H
(VO
ở đây nếu b — 0(8

) thì với những hàm số không giảm ụ,

ta có:
|b| < /i(M)£ với |p| > n(\z\) .
Các đại lượng chắn ở mục trước có thể áp dụng với V = ự(M), M =

sup |tí| Do đó
П
ta thu được một đánh giá cho Du(x

o) với điều kiện Qu =

0 trong Q

và и

=

0 trên
ỠQ. Mở rộng kết quả này cho giá trị biên tp

khác 0, ta đòi hỏi ЛD

2

ip

và b

= o(^)
phải thỏa mãn:
Л ÌD2ip I + |b| < n (|z|) T với Ip - Dipị > fi(\z\),
với hàm số ụ,

không giảm nào đó. Từ đó ta có đánh giá dưới đây:
(2.2
(2.2
(2.2
Định lí 2.3. ([3]) Giả sử u,tp e c2(ũ) n Ơ
1
(Õ) thỏa mẫn
Qu — 0 trong Q và
и = tptrên dỉì và giả sử rằng Í2 ỉà miền lồi. Khi đó nếu điều kiện cấu
trúc (2.22)
được thỏa mẫn thì ta có:
\Du\ < С trên dỉì, (2.23)
trong đó С = C(n, M, ß(M), м = sup |u|.
n
Điều kiện cấu trúc (2.22) có thể được thay thế trong giả thuyết của Định lý 2.3
bởi điều kiện mà không phụ thuộc giá trị biên (fi.

Đặc biệt cũng với điều kiện:
Л = o(£),Ö = ơ(£) khi \p\

-» oo, (2.24)
hoặc điều kiện:
Л,b = 0

(A|p|2) khi \p\

00, (2.25)
sẽ suy ra điều kiện (2.22) cho những hàm số fi

phụ thuộc vàò H
2
.ÍJ- Trước tiên
nó kéo theo một hệ quả của bất đẳng thức (2.17), thứ hai là dẫn đến bất đẳng thức
dưới đây:
T( x, z ,p, q ) > A(rr, z,p) \p — q\2 , (x , z,p, q ) £ о X R X R” X
R
n
. (2.26)
Ta có thể khẳng định hệ quả dưới đây của Định lý 2.3
Hệ quả 2.4. Giả sử и £ с2{ũ) П ơ
1
(íĩ) thỏa mẫn Qu = 0 trong íĩvà и =
(p trên
ỠÍ2. Giả sử Q ỉà miền lồi và e c2(ủ). Khi đó, nếu một trong các điều
kiện cấu
trúc (2.2Ậ) và (2.25) được thỏa mãn thì ta có:

\Du\ < С trên d£l, (2.27)
trong đó С = C(n, M, ß,
Hệ quả 2.4 đặc biệt được áp dụng cho toán tử mặt cực tiểu sơĩ cho bởi:
3Jtu — (l + ịDuị2') Alt — DiuDjuDiịU.
ở đây X =

1, A = 1 + |p|2, vì vậy việc đánh giá đạo hàm trên biên vẫn đúng trong
những miền lồi cho phương trình 97Xu —

0.
Tiếp theo ta giả sử rằng miền thỏa mãn một điều kiện mặt cầu bao

tại một
điểm Xo e ôíì. ở đây tồn tại một hình cầu B = B

R

(y) D

với Xo e ớíì. Thiết lập d(x)
= dist(x,dB

) và lí) = Ip(d),

với mỗi u

e ơ
1
(íí) n C

2

(Q)

ta có:
/t
(2.29)
trong đó 7(x,z,p) =

vết [aij(:r, z,p)] = a^(x,z,p)

và £* = £/|p|2. Cuối cùng có hệ
thức sau:
Dịịd = - \x - y\
3
(|x - y|
2
ổij - (Xị - Ui) (Xj - yjì) .
Một đánh giá đạo hàm trên biên bây giờ có thể suy ra từ (2.29) nếu b

bị chặn đối
với T hoặc £. Thật vậy, lấy ip

€ C

2

(Cì)

và giả sử tồn tại một hàm số không giảm p

sao cho:
a^Diịip + ò| < — Ip — D(fi\ 7 + ịiT với Ip — D(fi\ > ịi.
Miền Q

được gọi là ỉồi đều

nếu nó thỏa mãn điều kiện mặt cầu đóng

tại mọi
điểm trên biên với các hình cầu bán kính cố định R.

Qua việc xây dựng các chắn ở
trên cho ta đánh giá dưới đây:
(2.2
Qw = ĩị) a^Diịd + b

H
——
(VO
(2.3
Định lí 2.5. ([3]) Giả sử u e c
2
(fi) n c
1
(íĩ) thỏa mẫn Qu = 0 trong íì và u = tp
trên ỠÍ2. Giả sử rằng íí là lồi đều. Khi đó nếu điều kiên cấu trúc (2.30)
đượcthỏa mẫn thì trên dữ ta có:
\Du\ < С (2.31)
trong đó С = C(n, M, ß(M), Mi-n)-
Rõ ràng điều kiện cấu trúc (2.30) với ß

phụ thuộc vào IHi-n được suy ra từ
điều kiện:
b

= о

(Л \p

\) + О

(ли2) khi \p\ —> oo,

(2.32)
hoặc điều kiện:
A = 0

(ЛИ2) , IЬ\<^7 +

0

(ЛН2) khi IpH 00. (2.33)
Do đó ta có hệ quả của Định lý 2.5:
Hệ quả 2.6. Giảsử и G С2{ũ) n ơ
1
(fi) thỏa mẫn Qu = 0trong Пvà и =
(p trên
ÔÍ2. Giả sử rằng Qỉà miền ỉồi đều và <p £ c2(ũ). Khi đó nếu điều kiện
cấu trúc
(2.32) hoặc (2.33) được thỏa mẫn thì trên ỠÍ2 ta có:

\Du\ < c, (2.34)
trong đó С = C(n, M, ß(M), Mi-íỉ)-
Hệ quả 2.6 đặc biệt được áp dụng cho phương trình độ cong trung bình với
toán tử
3JĨU = nH

(X

, u, Dù){

1 + IDuf)

3

/

2

,

(2.35)
ở đây 7=1 +

(n —

1)(1 + |í>|2), vì vậy một đánh giá đạo hàm trên biên sẽ cho lời
giải của(2.35) trong những miền lồi đều với điều kiện hàm số H

thỏa mãn:
|tf|<^-^với|p|>/i(|z|). (2-36)

Điều kiện cấu trúc (2.32) rõ ràng thỏa mãn khi 0 = 0. Trong trường hợp này Hệ
quả 2.6 có thể được suy ra bởi các hàm chắn tuyến tính, từ những biên có nhiều
dạng khác nhau (ỠQ, ụ>)

sẽ thỏa mãn một điều kiện biên nghiêng. Hơn nữa khi b
=

о(Л |p|) trong (2.32), một chắn có dạng w = kd,d = dist(x,dB

) với к

đủ lớn sẽ
thỏa mãn điều phải chứng minh. Những chứng minh ở trên rõ ràng chỉ ra rằng
kết quả ở

mục này vẫn được thừa nhận nếu những điều kiện cấu trúc trong các
giả thuyết chỉ xảy ra khi X nằm trong lân cận của dũ.
Nhận xét 2.7. Việc đánh giá đạo hàm trên biên chỉ được xác định bởi quỹ
tích của biên dũ. Nó phù hợp để dẫn đến một kết quả cho những miền
c2. Cho К = k(xq) là giá trị cực tiểu của độ cong chính của
ÔÍ2
tại Xũ và
cho V = v(xo) ỉà kí hiệu chuẩn bên trong ỠQ tại Xo■ Giả sử tồn tại một
hàm số không giảm ß sao cho với mọi X £ дп,£ > 0 thì:
|a^£)ij(/j + ò| < k7

|p| + ß

(|z|) T với

V(x, z,p)

G fi X M X R”. (2.37)
< £ và \p — DipI > ịi.
\p-Dip\
Khi đó ta có đánh giá
\Du\ < С trên ỡíĩ, (2.38)
trong đó С — C(n, M, ß(M),x). Nếu k(xo) > К là hằng số, với mọi Zo €
ỡíĩ ta có thể nhận được một bất đẳng thức không hoàn toàn trong
(2.37) với điều kiện К
thay thế bởi /vo.
2.4 Các điều kiện về độ cong của biên
với \x —
Cho đến đây ta đã xây dựng được những hàm cản mà biểu diễn qua hàm khoảng
cách của mặt ngoài có độ cong hằng số (mặt phẳng hoặc hình cầu). Sau đây tagiả
sử rằng dữ

€ c
2
và sử dụng chính biên ỡíì như một mặt ngoài thích hợp. Đặt d(x

)
= dist(x,dQ),

khi đó ta có d e c

2

(

r) ở đây r = ịx

e ũ

|d(:r) < do} với các do >

0.
Bởi vậy nếu w

= ĩỊ}(d),Tp

e c
2
[0,oo) và ĩị> >

0 theo công thức (2.4) với mỗi u

e
C
1
(n) n c
2
(í2) ta có:
Qw = a, i(x, u(x), Dw)DiịW + b(x, u(x), Dw)
(2.39)
= ĩị) a^Dịíd + b H—
(VO
Mở đầu để minh họa lý thuyết chung của phần này ta xem xét trường hợp đặc biệt
của toán tử mặt cực tiểu 971,

ta có:

aij(x,z,p) = (l + \p\

2

)

ốịj -
Khi đó ta có:
trong đó H

là độ cong trung bình của tại điểm y = y(x)

trên tập đóng díì

của X.
Nếu ỠÍ2 có độ cong trung bình ở mọi nơi thì ta thu được:
V)// n
Qw < b

H——=-£.
W')
Một đánh giá đạo hàm trên biên dưới đây cho tùy ý những giá trị biên c
2
(ũ) nếu
(2.4
Pi
a^Diịd —
^1 +

-L
A
I
(2.41
■
l
H
i
Ad bởi vì \Dd\ = 1,
DịdDịịd = 0 2'
< -(n - 1) 1 1 +
DịdDjdD