Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ HẢI ĐƯỜNG
XẤP XỈ TOÁN TỬ KHUNG NGHỊCH ĐẢO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ HẢI ĐƯỜNG
XẤP XỈ TOÁN TỬ KHUNG NGHỊCH ĐẢO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Quỳnh Nga
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh
Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người
đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng
thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức và phương pháp
nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán
bộ giảng viên khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sao Đỏ đã tạo điều
kiện giúp tôi hoàn thành chương trình cao học.
Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K16 (đợt 2)-trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả
Nguyễn Thị Hải Đường
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với
đề tài "Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo" được hoàn thành dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Hải Đường
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều . . 5
1.2. Khung trong không gian Hilbert tổng quát . . . . . . . . . 7
1.3. Cơ sở Riesz và khung Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Toán tử khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5. Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 2. Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo . . . . . . . . . . . 30
2.1. Cách tiếp cận đầu tiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Phương pháp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Ứng dụng vào khung Gabor. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm khung được đưa ra vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer
[9] khi họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên phải
đến năm 1986, sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [7] thì

khung mới nhận được sự quan tâm rộng rãi. Khung thường được sử dụng
trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu và trong lý thuyết mật mã.
Đặc trưng chính của một cơ sở {f
k
}
∞
k=1
trong không gian Hilbert H
là mọi véctơ f ∈ H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các
phần tử f
k
trong cơ sở :
f =
∞

k=1
C
k
(f)f
k
(1)
Các hệ số C
k
(f) là duy nhất. Một khung cũng là một dãy các phần tử
trong H cho phép mỗi phần tử f ∈ H có các biểu diễn như trong (1).
Tuy nhiên các hệ số tương ứng là không duy nhất.
Ta xét một khung {f
k
}
∞

k=1
trong một không gian Hilbert H và toán
tử khung tương ứng:
S : H → H, Sf :=
∞

k=1
f, f
k
f
k
.
Một trong những kết quả chính của lí thuyết khung là khai triển khung
f =

f, S
−1
f
k
f
k
, f ∈ H.
Trong thực hành, sẽ rất khó khăn (hoặc thậm chí không thể) ứng dụng
khai triển khung một cách trực tiếp do H thường là một không gian
Hilbert vô hạn chiều sẽ khó để tìm toán tử nghịch đảo S
−1
một cách
1
2
cụ thể. Do đó ta cần xấp xỉ S

−1
(hoặc ít ra là xấp xỉ các hệ số khung

f, S
−1
f
k

∞
k=1
).
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết khung trong không
gian Hilbert, được sự đồng ý hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi
đã lựa chọn nghiên cứu đề tài "Xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo"
để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về các phương pháp xấp xỉ
toán tử khung nghịch đảo và ứng dụng vào các khung Gabor.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz và khung
Riesz, toán tử khung, khung Gabor;
- Nghiên cứu về các phương pháp xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo,
ứng dụng vào các khung Gabor.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số khái
niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung, xấp xỉ toán tử khung
nghịch đảo, khung Gabor;
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến xấp xỉ toán tử khung nghịch đảo.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề;
3
- Thu thập tài liệu và các bài báo về xấp xỉ toán tử khung nghịch
đảo;
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn trình bày một cách tổng quan về các phương pháp xấp xỉ
toán tử khung nghịch đảo và ứng dụng vào các khung Gabor.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Khi nghiên cứu không gian véctơ một trong những khái niệm quan
trọng nhất là cơ sở, nhờ đó mỗi phần tử trong không gian đều có thể
viết như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên
các điều kiện là cơ sở khá hạn chế, ta không cho phép sự phụ thuộc
tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở. Đôi khi chúng ta thậm chí còn
yêu cầu các phần tử trực giao với nhau đối với một tích vô hướng. Điều
này làm cho việc tìm các cơ sở thỏa mãn thêm một số điều kiện mong
muốn trở nên khó khăn hoặc thậm chí không thể tìm được. Đây chính
là lí do để chúng ta tìm kiếm một công cụ linh hoạt hơn để giải quyết
trong những trường hợp như vậy. Các khung chính là công cụ chúng ta
quan tâm. Một khung trong không gian véctơ được trang bị một tích vô
hướng cũng cho phép biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một
tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử trong khung nhưng ta không
đòi hỏi các phần tử trong khung phải độc lập tuyến tính với nhau.
Khái niệm khung được đưa ra vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer
[9] khi họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên phải
đến năm 1986, sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [7] thì
khung mới nhận được sự quan tâm rộng rãi. Khung thường được sử dụng

trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu và trong lý thuyết mật mã.
Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở cần thiết của lí thuyết
khung trong không gian Hilbert sẽ dùng trong chương hai. Nội dung của
chương này được tham khảo trong các tài liệu [3], [6], [7], [8], [9], [10].
4
5
1.1. Khung trong không gian Hilbert hữu hạn chiều
Cho H là không gian Hilbert hữu hạn chiều, được trang bị một tích
vô hướng. Nhớ lại rằng một dãy {e
j
}
m
j=1
trong H là một cơ sở của H nếu
hai điều kiện sau đây được thỏa mãn
i) H = span {e
j
}
m
j=1
;
ii) {e
j
}
m
j=1
là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu

m
j=1

c
j
e
j
= 0 với các
hệ số vô hướng {c
j
}
m
j=1
thì c
j
= 0, (j = 1, , m).
Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ H có một biểu diễn duy
nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là, tồn tại bộ duy nhất các
hệ số vô hướng {c
j
}
m
j=1
sao cho
f =
m

j=1
c
j
e
j
. (1.1)

Nếu {e
j
}
m
j=1
là một cơ sở trực chuẩn, nghĩa là một cơ sở với
e
i
, e
j
 = δ
ij
=





0 nếu i = j
1 nếu i = j
thì các hệ số {c
j
}
m
j=1
rất dễ tìm, đó chính là tích vô hướng của f trong
(1.1) với một e
j
tùy ý
f, e

j
 =

m

i=1
c
i
e
i
, e
j

=
m

i=1
c
i
e
i
, e
j
 = c
j
vì vậy
f =
m

j=1

f, e
j
e
j
(1.2)
Bây giờ ta sẽ chuyển sang khái niệm khung; ta sẽ chứng minh rằng một
khung cũng cho ta một biểu diễn như (1.2)
6
Định nghĩa 1.1.1. Một họ đếm được của các véctơ {f
j
}
m
j=1
trong không
gian Hilbert hữu hạn chiều H được gọi là một khung của H nếu tồn tại
các hằng số A, B > 0 hữu hạn sao cho
Af
2
≤
m

j=1
|f, f
j
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ H. (1.3)
Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng là không duy nhất.

Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng của tất cả các cận trên của
khung, và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng của tất cả các cận
dưới của khung. Chú ý rằng các cận tối ưu thực sự là các cận của khung.
Để cho điều kiện khung dưới trong (1.3) được thỏa mãn cần giả thiết
rằng span {f
j
}
m
j=1
= H. Điều kiện này cũng là đủ; mọi dãy hữu hạn là
một khung cho bao tuyến tính của nó.
Mệnh đề 1.1.2. Cho {f
j
}
m
j=1
là một dãy trong không gian Hilbert hữu
hạn chiều H. Khi đó, {f
j
}
m
j=1
là một khung cho span {f
j
}
m
j=1
.
Chứng minh.
Thật vậy, giả sử {f

k
}
m
k=1
là một khung của không gian hữu hạn chiều H.
Nếu span {f
k
}
m
k=1
= H thì tồn tại g khác không thuộc H sao cho
g, f
k
 = 0, ∀k = 1, m.
Theo định nghĩa của khung thì tồn tại các hằng số A, B > 0 hữu hạn để
(1.3) thỏa mãn. Từ bất đẳng thức vế trái của (1.3) cho
f = g và g, f
k
 = 0, ∀k = 1, m
ta có Ag
2
≤ 0. Do đó g = 0, suy ra mâu thuẫn.
Bây giờ giả sử span {f
k
}
m
k=1
= H. Ta có thể giả thiết không phải toàn
7
bộ các f

k
đều bằng 0. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,
m

k=1
|f, f
k
|
2
≤
m

k=1
f
2
.f
k

2
=

m

k=1
f
k

2

.f

2
.
Do đó ta có thể chọn B =
m

k=1
f
k

2
.
Xét ánh xạ φ : H → R xác định bởi
φ (f) =
m

k=1
|f, f
k
|
2
.
Ta thấy φ liên tục.
Do mặt cầu đơn vị đóng trong H là compact nên ta có thể tìm g ∈ H
với g = 1 sao cho
A :=
m

k=1
|g, f
k

|
2
= inf

m

k=1
|f, f
k
|
2
: f ∈ H, f = 1

.
Rõ ràng A > 0. Với mỗi f khác không trong H ta có
m

k=1
|f, f
k
|
2
=
m

k=1






f
f
, f
k





2
.f
2
≥ Af
2
.
Vì vậy {f
k
}
m
k=1
là một khung của H. 
Hệ quả 1.1.3. Một họ các phần tử {f
j
}
m
j=1
trong H là một khung của
H khi và chỉ khi span {f
j

}
m
j=1
= H.
Hệ quả 1.1.3 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần
tử cần thiết để làm cơ sở. Đặc biệt, nếu {f
j
}
k
j=1
là một khung của H và
{g
j
}
m
j=1
là một tập hữu hạn tùy ý các véctơ trong H thì {f
j
}
k
j=1
∪{g
j
}
m
j=1
cũng là một khung của H.
1.2. Khung trong không gian Hilbert tổng quát
Định nghĩa 1.2.1. Một dãy {f
k

}
∞
k=1
của các phần tử trong không gian
Hilbert khả ly H được gọi là một khung của H nếu tồn tại các hằng số
8
0 < A ≤ B < ∞ sao cho
Af
2
≤
∞

k=1
|f, f
k
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ H. (1.4)
Nếu dãy {f
k
}
∞
k=1
thỏa mãn bất đẳng thức ở vế phải của (1.4) thì nó
được gọi là dãy Bessel. Khi đó số B được gọi là một cận Bessel của dãy
{f
k
}

∞
k=1
.
Định nghĩa 1.2.2.
(i) Một khung được gọi là chặt nếu ta có thể chọn A = B là các cận
của khung;
(ii) Giả sử {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H. Ta nói rằng {f
k
}
∞
k=1
là một
dãy khung nếu nó là một khung của span {f
k
}
∞
k=1
.
Khi ta nói về cận của khung chặt, ta muốn nói giá trị chính xác A
cùng lúc là cận trên và cận dưới của khung. Chú ý rằng điều này hơi
khác với thuật ngữ của khung tổng quát, ở đó ví dụ một cận khung trên
chỉ là một số nào đó mà bất đẳng thức vế phải của (1.4) được thỏa mãn.
Ví dụ 1. Lấy H = R
2
, e

1
= (0, 1)
T
, e
2
= (
√
3
2
,
1
2
)
T
, e
3
= (
√
3
2
, −
1
2
)
T
.
Khi đó {e
1
, e
2

, e
3
} là một khung chặt với cận khung
3
2
.
Thật vậy, với x = (x
1
, x
2
)
T
∈ H bất kì, ta có
3

j=1
|x, e
j
|
2
= |x
2
|
2
+ |
√
3
2
x
1

+
1
2
x
2
|
2
+ |
√
3
2
x
1
−
1
2
x
2
|
2
=
3
2

|x
1
|
2
+ |x
2

|
2

=
3
2
x
2
.
Ví dụ 2. Giả sử {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert
H.
9
(i) {e
k
}
∞
k=1
là một khung, hơn nữa nó còn là một khung chặt với A =
B = 1.
(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {e
k
}
∞
k=1
hai lần ta thu được

{f
k
}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
2
, } khi đó {f
k
}
∞
k=1
là khung chặt với cận khung
A = 2.
Thật vậy, ta có
∞

k=1
|f, f
k
|
2
= 2
∞


k=1
|f, e
k
|
2
= 2f
2
, ∀f ∈ H.
Nếu chỉ e
1
được lặp lại ta thu được {f
k
}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
3
, }, khi đó
{f
k
}
∞
k=1

là một khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có
∞

k=1
|f, f
k
|
2
= |f, e
1
|
2
+
∞

k=1
|f, e
k
|
2
≤
∞

k=1
|f, e
k
|
2
+
∞


k=1
|f, e
k
|
2
= 2
∞

k=1
|f, e
k
|
2
= 2f
2
.
Mặt khác |f, e
1
|
2
+
∞

k=1
|f, e
k
|
2
≥

∞

k=1
|f, e
k
|
2
= f
2
.
Do đó f
2
≤
∞

k=1
|f, f
k
|
2
≤ 2f
2
, ∀f ∈ H.
Vì vậy {f
k
}
∞
k=1
là một khung với cận khung dưới là 1 và một cận khung
trên là 2.

(iii) Giả sử
{f
k
}
∞
k=1
:=

e
1
,
1
√
2
e
2
,
1
√
2
e
2
,
1
√
3
e
3
,
1

√
3
e
3
,
1
√
3
e
3


,
nghĩa là {f
k
}
∞
k=1
là dãy mà mỗi véctơ
1
√
k
e
k
được lặp lại k lần.
Khi đó với mỗi f ∈ H có
∞

k=1
|f, f

k
|
2
=
∞

k=1
k





f,
1
√
k
e
k





2
= f
2
.
10
Vì thế {f

k
}
∞
k=1
là một khung chặt của H với cận khung A = 1.
Bổ đề 1.2.3. Cho {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H và giả sử
∞

k=1
c
k
f
k
hội tụ
với mọi {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N). Khi đó
T : l
2
(N) → H, T {c

k
}
∞
k=1
:=
∞

k=1
c
k
f
k
(1.5)
xác định một toán tử tuyến tính bị chặn. Toán tử liên hợp được cho bởi
T
∗
: H → l
2
(N) , T
∗
f = {f, f
k
}
∞
k=1
. (1.6)
Hơn nữa,
∞

k=1

|f, f
k
|
2
≤ T 
2
f
2
, ∀f ∈ H. (1.7)
Toán tử T được xác định bởi (1.5) thường được gọi là toán tử tổng
hợp tương ứng với dãy {f
k
}
∞
k=1
Chứng minh. Xét dãy các toán tử tuyến tính
T
n
: l
2
(N) → H, T
n
{c
k
}
∞
k=1
:=
n


k=1
c
k
f
k
T
n
{c
k
}
∞
k=1
 = 
n

k=1
c
k
f
k
 = sup
g=1
|
n

k=1
c
k
f
k

, g|
≤ sup
g=1
n

k=1
|c
k
f
k
, g|
≤

n

k=1
|c
k
|
2

1
2
sup
g=1

n

k=1
|f

k
, g|
2

1
2
≤

n

k=1
|c
k
|
2

1
2
sup
g=1

n

k=1
f
k

2
g
2


1
2
=

n

k=1
|c
k
|
2

1
2

n

k=1
f
k

2

1
2
.
11
Kí hiệu B =


n

k=1
f
k

2

1
2
. Theo tính toán trên
T
n
{c
k
}
∞
k=1
 ≤ B

n

k=1
|c
k
|
2

1
2

≤ B

∞

k=1
|c
k
|
2

1
2
= B{c
k
}
∞
k=1
, ∀{c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N).
Do đó, T
n
là bị chặn với mọi n ∈ N.
Rõ ràng, T
n

→ T theo từng điểm khi n → ∞.
Theo Định lý Banach-Steinhaus, T bị chặn.
Để tìm biểu thức cho T
∗
, giả sử f ∈ H, {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N). Khi đó
f, T {c
k
}
∞
k=1
 =

f,
∞

k=1
c
k
f
k

=
∞


k=1
f, f
k
 ¯c
k
(1.8)
Do T : l
2
(N) → H là bị chặn nên T
∗
: H → l
2
(N) cũng bị chặn. Do đó
hàm tọa độ thứ k là bị chặn, đi từ H → C.
Theo định lí biểu diễn của Riesz, T
∗
có dạng
T
∗
f = {f, g
k
}
∞
k=1
với {g
k
}
∞
k=1

là một dãy trong H.
Theo định nghĩa của T
∗
thì
f, T {c
k
}
∞
k=1
 = T
∗
f, {c
k
}
∞
k=1

=
∞

k=1
f, g
k
¯c
k
Từ (1.8) ta suy ra
∞

k=1
f, f

k
¯c
k
=
∞

k=1
f, g
k
¯c
k
, với mọi {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N) và f ∈ H. (1.9)
12
Với mỗi i chọn c
i
= 1, c
j
= 0 với mọi j = i. Khi đó từ (1.9) suy ra
f, f
i
 = f, g
i
, ∀i ∈ N, ∀f ∈ H.

Từ đó f, f
i
− g
i
 = 0, ∀i ∈ N, ∀f ∈ H.
Với mỗi i ∈ N, lần lượt chọn f = f
i
− g
i
, ta suy ra f
i
− g
i
= 0, ∀i ∈ N
hay g
i
= f
i
, ∀i ∈ N.
Liên hợp T
∗
của toán tử bị chặn T là bị chặn và T  = T
∗
.
Từ đó T
∗
f
2
≤ T
∗


2
f
2
= T 
2
f
2
.
Do T
∗
f
2
=
∞

k=1
|f, f
k
|
2
nên ta có (1.7). 
Định lí 1.2.4. Cho {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H. Khi đó, {f
k
}

∞
k=1
là một
dãy Bessel với cận Bessel B nếu và chỉ nếu
T : {c
k
}
∞
k=1
→
∞

k=1
c
k
f
k
,
là toán tử hoàn toàn xác định bị chặn từ l
2
(N) đến H và T  ≤
√
B.
Chứng minh.
Đầu tiên, giả sử rằng {f
k
}
∞
k=1
là dãy Bessel với cận Bessel là B.

Cho {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N). Trước tiên chúng ta cần chỉ ra rằng T {c
k
}
∞
k=1
được
xác định, tức là
∞

k=1
c
k
f
k
là hội tụ.
13
Xét n, m ∈ N, n > m. Khi đó:

n

k=1
c
k

f
k
−
m

k=1
c
k
f
k
 = 
n

k=m+1
c
k
f
k

= sup
g=1
|
n

k=m+1
c
k
f
k
, g|

≤ sup
g=1
n

k=m+1
|c
k
f
k
, g|
≤ (
n

k=m+1
|c
k
|
2
)
1
2
sup
g=1
(
n

k=m+1
|f
k
, g|

2
)
1
2
≤
√
B(
n

k=m+1
|c
k
|
2
)
1
2
.
Vì {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N) nên {
n

k=1
|c

k
|
2
}
∞
n=1
là một dãy Cauchy trong C. Tính
toán trên chỉ ra rằng {
n

k=1
c
k
f
k
}
∞
n=1
là một dãy Cauchy trong H và do đó
hội tụ. Do đó, T {c
k
}
∞
k=1
hoàn toàn xác định.
Rõ ràng, T là tuyến tính. Vì T {c
k
}
∞
k=1

 = sup
g=1
|T {c
k
}
∞
k=1
, g|, một
tính toán như ở trên chỉ ra rằng T bị chặn và T  ≤
√
B.
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T được xác định và T  ≤
√
B.
Khi đó theo Bổ đề 1.2.3 ta có
∞

k=1
|f, f
k
|
2
≤ T 
2
f
2
, ∀f ∈ H. Từ đó
{f
k
}

∞
k=1
là dãy Bessel với cận Bessel là B. 
Hệ quả 1.2.5. Nếu {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H và

∞
k=1
c
k
f
k
hội tụ với
mọi dãy {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N) thì {f
k
}
∞
k=1
là một dãy Bessel.

Hệ quả 1.2.6. Nếu {f
k
}
∞
k=1
là một dãy Bessel trong H thì

∞
k=1
c
k
f
k
hội tụ không điều kiện với mọi dãy {c
k
}
∞
k=1
∈ l
2
(N) (tức là chuỗi hội tụ
với mọi thứ tự của các số hạng của chuỗi).
14
Định lí 1.2.7. Một dãy {f
k
}
∞
k=1
trong H là khung của H khi và chỉ khi
T : {c

k
}
∞
k=1
→
n

k=1
c
k
f
k
là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, liên
tục từ l
2
(N) lên H.
1.3. Cơ sở Riesz và khung Riesz
Trước tiên ta nhắc lại khái niệm cơ sở Schauder. Đây là khái niệm cơ
bản nhất về cơ sở, được Schauder đưa ra vào năm 1927.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X là không gian Banach. Dãy {e
k
}
∞
k=1
của
X được gọi là cơ sở Schauder nếu với mỗi f ∈ X, tồn tại duy nhất một
bộ các hệ số vô hướng {c
k
(f)}
∞

k=1
sao cho
f =
∞

k=1
c
k
(f)e
k
(1.10)
Phương trình (1.10) hiểu là chuỗi
∞

k=1
c
k
(f)e
k
hội tụ theo chuẩn của X
đến f theo thứ tự đã chọn của các phần tử.
Ví dụ 3. i) Xét không gian Banach l
p
(1 ≤ p < ∞)
l
p
=

{c
k

}
∞
k=1
⊂ C :
∞

k=1
|c
k
|
p
< ∞

với chuẩn {c
k
}
∞
k=1
 =

∞

k=1
|c
k
|
p

1
p

.
Các phép toán cộng và nhân vô hướng được tính toán trên mỗi tọa độ.
Trong l
p
, cơ sở tự nhiên {e
1
, e
2
, e
3
, } trong đó e
n
= (0, 0, , 0, 1, 0, )
với 1 xuất hiện ở vị trí thứ n còn tất cả các vị trí còn lại đều bằng 0, là
một cơ sở Schauder. Nếu c = {c
k
}
∞
k=1
∈ l
p
thì c =
∞

k=1
c
k
e
k
.

ii) Trong trường hợp không gian Banach ta đang xem xét là hữu hạn
chiều thì cơ sở Schauder cũng chính là cơ sở đại số mà ta đã biết trong
15
đại số tuyến tính.
iii) Bất kì cơ sở trực chuẩn {e
k
}
∞
k=1
nào trong không gian Hilbert khả li
H đều là cơ sở Schauder của H.
Bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang nghiên cứu một lớp cơ sở khác trong
không gian Hilbert được gọi là cơ sở Riesz.
Định nghĩa 1.3.2. Một cơ sở Riesz trong H là một họ có dạng {U e
k
}
∞
k=1
trong đó {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của H và U : H → H là một
toán tử tuyến tính song ánh bị chặn.
Nhận xét 1. Một cơ sở Riesz là một cơ sở Schauder. Thật vậy, giả sử
f
k
= U e
k

trong đó {e
k
} là một cơ sở trực chuẩn của H và U : H → H
là một toán tử tuyến tính, song ánh, bị chặn. Cho f ∈ H tùy ý. Tồn tại
một g ∈ H sao cho f = U g. Ta có thể viết g dưới dạng
g =
∞

k=1
g, e
k
e
k
.
Do đó
f = U g =
∞

k=1
g, e
k
Ue
k
=
∞

k=1
g, e
k
f

k
,
tức là ta luôn có thể biểu diễn f dưới dạng tổ hợp tuyến tính vô hạn của
các f
k
.
Nếu
f =
∞

k=1
c
k
f
k
=
∞

k=1
d
k
f
k
thì 0 =
∞

k=1
(c
k
− d

k
)f
k
=
∞

k=1
(c
k
− d
k
)Ue
k
= U

∞

k=1
(c
k
− d
k
)e
k

. Do U
khả nghịch nên
∞

k=1

(c
k
− d
k
)e
k
= 0. Do đó c
k
− d
k
= 0, ∀k = 1, 2,
Vì vậy biểu diễn chuỗi là duy nhất.
Do đó {f
k
} là cơ sở Schauder.
16
Định lí 1.3.3. Nếu {f
k
}
∞
k=1
là một cơ sở Riesz của H, tồn tại duy nhất
dãy {g
k
}
∞
k=1
trong H sao cho
f =
∞


k=1
f, g
k
f
k
, ∀f ∈ H (1.11)
{g
k
}
∞
k=1
cũng là một cơ sở Riesz và {f
k
}
∞
k=1
, {g
k
}
∞
k=1
là song trực giao,
tức là f
j
, g
k
 = δ
j,k
=




1 khi j = k
0 khi j = k
. Hơn nữa, chuỗi trên hội tụ không
điều kiện với mọi f ∈ H.
Chứng minh. Theo định nghĩa ta viết {f
k
}
∞
k=1
= {Ue
k
}
∞
k=1
, U là toán
tử tuyến tính song ánh bị chặn và {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn. Giả
sử f ∈ H, khai triển U
−1
f trong cơ sở trực chuẩn {e
k
}
∞

k=1
, ta có
U
−1
f =
∞

k=1
U
−1
f, e
k
e
k
=
∞

k=1

f, (U
−1
)
∗
e
k

e
k
.
Đặt g

k
:= (U
−1
)
∗
e
k
. Ta có
f = U U
−1
f =
∞

k=1

f, (U
−1
)
∗
e
k

Ue
k
=
∞

k=1
f, g
k

f
k
.
Do (U
−1
)
∗
là tuyến tính song ánh, bị chặn, {g
k
}
∞
k=1
là một cơ sở Riesz
theo định nghĩa. Cho f ∈ H,
∞

k=1
|f, f
k
|
2
=
∞

k=1
|f, U e
k
|
2
= U

∗
f
2
≤ U
∗

2
.f
2
= U
2
f
2
(1.12)
Điều này chứng tỏ một cơ sở Riesz là một dãy Bessel, từ đó chuỗi (1.11)
hôi tụ không điều kiện. Theo (1.11) ta có
f
j
=
∞

k=1
f
j
, g
k
f
k
.
17

Do {f
k
} là một cơ sở Schauder nên do tính duy nhất của biểu diễn ta
suy ra f
j
, g
k
 = σ
j,k
. Giả sử tồn tại một dãy {h
k
}
∞
k=1
khác sao cho
f =
∞

k=1
f, h
k
f
k
, ∀f ∈ H. (1.13)
Lấy (1.11) trừ đi (1.13) ta được
0 =
∞

k=1
f, g

k
− h
k
f
k
.
Do {f
k
} là một cơ sở Schauder nên
f, g
k
− h
k
 = 0, ∀k.
Do f ∈ H là tùy ý nên g
k
− h
k
= 0, với mọi k = 1, 2, vậy g
k
=
h
k
với mọi k = 1, 2, 
Ta gọi {g
k
}
∞
k=1
là cơ sở Riesz đối ngẫu của {f

k
}
∞
k=1
. Ta lại sử dụng
chứng minh của Định lí 1.3.3 để tìm đối ngẫu của {g
k
}
∞
k=1
=

(U
−1
)
∗
e
k

∞
k=1
.
Theo chứng minh Định lí 1.3.3, ta phải tìm liên hợp của toán tử nghịch
đảo của (U
−1
)
∗
và cho tác động lên {e
k
}

∞
k=1
. Quá trình này lại cho ta
{f
k
}
∞
k=1
. Từ đó, {f
k
}
∞
k=1
và {g
k
}
∞
k=1
là đối ngẫu của nhau và
f =
∞

k=1
f, g
k
f
k
=
∞


k=1
f, f
k
g
k
, ∀f ∈ H. (1.14)
Mệnh đề sau khẳng định rằng một cơ sở Riesz cũng là một khung.
Mệnh đề 1.3.4. Nếu {f
k
}
∞
k=1
= {Ue
k
}
∞
k=1
là một cơ sở Riesz của H,
thì tồn tại các hằng số A, B > 0 hữu hạn sao cho
Af
2
≤
∞

k=1
|f, f
k
|
2
≤ Bf

2
, ∀f ∈ H. (1.15)
Giá trị lớn nhất có thể của hằng số A là
1
U
−1

2
, và nhỏ nhất có thể của
B là U 
2
.
18
Chứng minh. Một cơ sở Riesz {Ue
k
}
∞
k=1
là một dãy Bessel với cận trên
tối ưu U
2
suy ra từ đánh giá trong (1.12). Kết quả về cận dưới được
kéo theo từ
f = (U
∗
)
−1
U
∗
f ≤ (U

∗
)
−1
.U
∗
f = U
−1
.U
∗
f.

Định lí tiếp theo cho các điều kiện tương đương để {f
k
}
∞
k=1
trở thành
một cơ sở Riesz.
Định lí 1.3.5. Cho một dãy {f
k
}
∞
k=1
trong H, các điều kiện sau là tương
đương:
(i) {f
k
}
∞
k=1

là một cơ sở Riesz của H;
(ii) {f
k
}
∞
k=1
đầy đủ trong H tức là
span {f
k
}
∞
k=1
= H, tồn tại các
hằng số A, B > 0 sao cho với mỗi dãy số hữu hạn {c
k
} ta có:
A

|c
k
|
2
≤ 

c
k
f
k

2

≤ B

|c
k
|
2
(1.16)
(iii) {f
k
}
∞
k=1
là dãy Bessel đầy đủ và nó có dãy song trực giao đầy
đủ {g
k
}
∞
k=1
cũng là một dãy Bessel.
Nếu {f
k
}
∞
k=1
là một cơ sở Riesz thì các số A, B > 0 thỏa mãn (1.16)
được gọi là các cận Riesz dưới và trên tương ứng.
Mệnh đề 1.3.6. {f
k
}
∞

k=1
là cơ sở Riesz khi và chỉ khi {f
k
}
∞
k=1
là một
khung và nếu
∞

i=1
c
i
f
i
= 0, với {c
i
}
∞
i=1
∈ l
2
(N) thì c
i
= 0, ∀i.
Chứng minh. (⇒) Giả sử {f
k
}
∞
k=1

là cơ sở Riesz của không gian Hilbert
H. Theo Mệnh đề 1.3.4, {f
k
}
∞
k=1
là một khung. Theo Nhận xét 1, {f
k
}
∞
k=1
là một cơ sở Schauder. Nếu
∞

i=1
c
i
f
i
= 0 thì do tính duy nhất của biểu
19
diễn ta suy ra c
i
= 0 với mọi i = 1, 2,
(⇐) Giả sử {f
i
}
∞
i=1
là một khung và

∞

i=1
c
i
f
i
= 0 với {c
i
}
∞
i=1
∈ l
2
(N) thì
c
i
= 0, với mọi i.
Gọi {e
i
}
∞
i=1
là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l
2
(N). Do {f
i
}
∞
i=1

là một
khung nên toán tử tổng hợp T được xác định bởi (1.5) là tuyến tính,
liên tục, toàn ánh theo Định lí 1.2.7
Điều kiện
∞

i=1
c
i
f
i
= 0 kéo theo c
i
= 0, với mọi i nói lên T là đơn ánh.
Vậy T là toán tử tuyến tính song ánh bị chặn thỏa mãn f
i
= T e
i
, với
mọi i. Do đó, {f
i
}
∞
i=1
là cơ sở Riesz theo Định nghĩa 1.3.2 
Định lí 1.3.7. Một cơ sở Riesz {f
k
}
∞
k=1

của H là một khung của H và
các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung. Cơ sở đối ngẫu Riesz
là

S
−1
f
k

∞
k=1
, trong đó S là toán tử khung được định nghĩa bởi (1.20)
Định nghĩa 1.3.8. Cho {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H.
i) Ta nói một khung {f
k
}
∞
k=1
là một khung Riesz nếu mọi họ con của
{f
k
}
∞
k=1
là một dãy khung với cùng các cận khung A, B.

ii) Số dư của dãy {f
k
}
∞
k=1
được định nghĩa là
e ({f
k
}
∞
k=1
) := sup{|J| : J ⊆ N và span{f
k
}
k∈N\J
= span{f
k
}
∞
k=1
}.
iii) Dãy {f
k
}
∞
k=1
được gọi là dãy Riesz nếu nó là cơ sở Riesz cho span {f
k
}
∞

k=1
.
Nếu điều kiện (1.16) được thỏa mãn cho một hệ {f
k
}
∞
k=1
thì nó cũng
được thỏa mãn với bất kì dãy con nào của {f
k
}
∞
k=1
. Vì vậy, ta có mệnh
đề sau
Mệnh đề 1.3.9. Nếu dãy {f
k
}
∞
k=1
là một cơ sở Riesz với các cận Riesz
A, B thì bất cứ họ con {f
i
}
i∈I
nào cũng là một cơ sở Riesz cho span {f
i
}
i∈I
với cùng các cận Riesz như của {f

k
}
∞
k=1
.
20
Nhận xét 2. 1) Đối với khung tổng quát thì Mệnh đề 1.3.9 không còn
đúng nữa. Ví dụ khung xét ở Ví dụ 2 (iii)
{f
k
}
∞
k=1
:=

e
1
,
1
√
2
e
2
,
1
√
2
e
2
,

1
√
3
e
3
,
1
√
3
e
3
,
1
√
3
e
3


,
nghĩa là {f
k
}
∞
k=1
là dãy mà mỗi véctơ
1
√
k
e

k
được lặp lại k lần, trong đó
{e
k
}
∞
k=1
là cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H là khung chặt với
cận khung là A = 1. Họ con

1
√
k
e
k

∞
k=1
không là một dãy khung.
Thật vậy, rõ ràng span{
1
√
k
e
k
}
∞
k=1
= H và với mọi f ∈ H, ta có
∞


k=1
|f,
1
√
k
e
k
|
2
=
∞

k=1
1
k
|f, e
k
|
2
Chọn f = e
i
thì
∞

k=1
1
k
|e
i

, e
k
|
2
=
1
i
→ 0 khi i → ∞.
Do đó không thể tồn tại hằng số A > 0 sao cho
∞

k=1
1
k
|e
i
, e
k
|
2
≥ Ae
i

2
= A.
Như vậy khung {f
k
}
∞
k=1

không phải là khung Riesz. Tuy nhiên khung
Riesz tránh được tình huống trên.
2) Ta cũng có thể định nghĩa khung Riesz như sau: Một khung {f
k
}
∞
k=1
được gọi là một khung Riesz nếu tồn tại một hằng số A > 0 sao cho bất
cứ họ con nào của {f
k
}
∞
k=1
là một dãy khung với cùng cận khung dưới
A. Điều này có được là do mọi họ con của khung {f
k
}
∞
k=1
tự động có cận
khung trên bằng cận khung trên của chính {f
k
}
∞
k=1
.
3) Các khung gồm hữu hạn phần tử tự động là một khung Riesz vì trong
không gian hữu hạn chiều, mọi dãy đều là khung cho bao tuyến tính của
chúng và ta chỉ có một số hữu hạn các họ con của khung ban đầu nên
cận khung dưới chung của các họ con này có thể chọn là minimum của

một số hữu hạn các cận khung dưới của mỗi họ con.