Bài toán bao hàm thức tựa biến phân pareto và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




ĐÀO XUÂN TIẾN





BÀI TOÁN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN
PHÂN PARETO VÀ ỨNG DỤNG






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC









HÀ NỘI, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




ĐÀO XUÂN TIẾN




BÀI TOÁN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN
PHÂN PARETO VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học


GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành Luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và
hướng dẫn tận tình, chu đáo cho tôi.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn tới Phòng Sau đại học, các thầy cô
giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và cơ
quan công tác đã giúp đỡ, động viên tạo điều kiện để tôi hoàn thành Luận
văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Đào Xuân Tiến
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS.TSKH.
Nguyễn Xuân Tấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Bài
toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng” được hoàn
thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Đào Xuân Tiến
Mục lục
Mở đầu 5
1 Kiến thức cơ bản 9
1.1 Các không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 17
1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Các tính chất của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị 24
1.3.2 Tính lồi và tựa lồi theo nón . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Các định lý điểm bất động và KKM . . . . . . . . . . . . . 29
2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 32
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến
phân Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
2.3 Bài toán tựa cân bằng Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Bài toán tựa cân bằng Pareto trên (UP QEP )
1
: . . . 43
2.3.2 Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới (LP QEP )
1
. . . 44
2.3.3 Bài toán tựa cân bằng yếu trên, loại 1 . . . . . . . . 45
2.4 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 1 (P QOP )
1
. . . . . . 46
2.4.2 Định lý: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 48
3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến
phân Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Bài toán tựa cân bằng Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . 59
Kết luận 61
Tài liệu tham khảo 62
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Từ những năm đầu thế kỉ XX đến nay, đặc biệt là thời gian gần đây, lý
thuyết tối ưu véctơ đóng một vai trò quan trọng, vì nó thâm nhập vào rất
nhiều lĩnh vực trong thực tế và các ngành khoa học kĩ thuật khác nhau.
Các bài toán cơ bản của lý thuyết tối ưu là bài toán tựa tối ưu, bài toán
bao hàm thức tựa biến phân, bài toán tựa cân bằng.
Lúc đầu, người ta chỉ nghiên cứu những bài toán này liên quan đến ánh
xạ đơn trị từ không gian Euclide có số chiều hữu hạn này sang không gian
Euclide có số chiều hữu hạn khác. Sau đó người ta mở rộng cho các bài
toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ.
Dựa trên định lý điểm bất động Kỳ Fan, Browder-Kỳ Fan và nguyên lý
KKM người ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm
thức biến phân Pareto, bài toán cân bằng Pareto và bài toán tối ưu Pareto.
Các lớp bài toán này, khi miền định nghĩa thay đổi theo ánh xạ đa trị,
người ta gọi chúng là các bài toán tựa. Dựa theo tính chất của các ánh xạ
ở miền ràng buộc, ta lại chia chúng thành hai loại: loại 1 và loại 2. Mỗi
loại lại được chia thành 2 loại: trên và dưới. Bài toán bao hàm thức tựa
biến phân Pareto được phát biểu cụ thể như sau:
1.1. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1
5
Cho D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng, với các ánh xạ đa trị:
S : D × K → 2

D
,
T : D × K → 2
K
,
F : K × D × D → 2
Y
.
Bài toán: Tìm (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y) và
F (¯y, ¯x, x)  F (¯y, ¯x, ¯x) − C\ {0}
(F (¯y, ¯x, ¯x)  F(¯y, ¯x, x) + C\ {0}), với mọi x ∈ S(¯x, ¯y).
được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên ( dưới ) loại
1.
1.2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2
Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff,
gọi D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ P
1,
P
2
:
D → 2
D
, Q : D × D → 2
K
và F : K × D × D → 2
Y
Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P
1
(x) và
F (y, x, x)  F (y, x, x) − C\ {0}

(F (y, x, x)  F (y, x, x) + C\ {0}) với mọi x ∈ P
2
(x) và y ∈ Q(x, x)
được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên ( dưới ) loại
2.
Các bài toán này có liên quan tới các loại bài toán tựa cân bằng Pareto
trên (dưới) loại 1, loại 2, các loại bài toán tựa tối ưu Pareto trên (dưới)
loại 1, loại 2 và nhiều bài toán khác nữa và được nghiên cứu rất nhiều
trong những năm trở lại đây. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài “Bài
toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng” làm luận
văn thạc sĩ của mình, luận văn này được viết dựa trên cơ sở của bài báo
6
[3]. [4].
2. Mục đích nghiên cứu
Để tìm nghiệm của các bài toán trước hết người ta phải biết bài toán có
nghiệm hay không, sau đó mới tìm các phương pháp thuật toán tiếp cận
nghiệm. Ví dụ, xét các bài toán tối ưu, thông thường người ta thường đưa
ra các điều kiện tổng quát cho việc tồn tại nghiệm, sau đó, mới tìm các
thuật toán để giải. Chính vì vậy, việc xét sự tồn tại nghiệm của các bài
toán là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các bài toán.
Mục đích của luận văn là đưa ra mô hình, sự tồn tại nghiệm của các bài
toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phát biểu bài toán dựa trên những yêu cầu của thực tế khách quan. Sau
đó tìm các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán này
và của các bài toán liên quan.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quan tới ánh xạ đa
trị: Sự tồn tại nghiệm và ứng dụng của chúng. Sau đó, tìm các mối liên hệ
giữa bài toán này với các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu đa trị.

5. Những đóng góp mới của đề tài
Luận văn là trình bày những kết quả về một lớp bài toán trong lý thuyết
tối ưu. Nghiên cứu sâu về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức
tựa biến phân Pareto và ứng dụng của nó.
6. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các định lý điểm bất động
7
của Ky Fan, Ky Fan-Browder và Định lý KKM liên quan đến ánh xạ đa
trị để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho các bài toán trong lý thuyết tối
ưu đa trị.
8
Chương 1
Kiến thức cơ bản
Trong chương này ta nhắc lại một số không gian thường dùng, một số
tính chất cơ bản của nón và ánh xạ đa trị từ một tập con khác rỗng của
không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương Hausdorff khác được sắp xếp theo thứ tự từng
phần bởi nón. Trong luận văn này, các tính chất của nón đóng vai trò quan
trọng cho việc nghiên cứu các bài toán ở chương sau.
1.1 Các không gian thường dùng
1.1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập X = ∅. Một ánh xạ d : X × X → R được
gọi là một khoảng cách (hay metric) nếu các tính chất sau được thỏa mãn:
1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề phản xạ);
2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng);
3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác).
Cặp (X, d) trong đó d là một khoảng cách được gọi là một không gian
metric.
Không gian metric M
0

= (X
0
, d) gọi là không gian metric con của
9
không gian metric đã cho.
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, d). Một tập con bất
kỳ X
0
= ∅ của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian
metric.
Không gian metric M
0
= (X
0
, d) gọi là không gian metric con của không
gian metric đã cho.
Tính chất:
1) (∀x
i
∈ X, i = 1, 2, , n, n ∈ N
∗
) d(x
1
, x
n
) ≤
n−1

i=1
d(x

i
, x
i+1
);
2) (∀x, y, u, v ∈ X) |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng
thức tứ giác);
3) (∀x, y, u ∈ X) |d(x, y) − d(y, u)| ≤ d(x, u), (bất đẳng thức tam
giác).
Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt
d(x, y) = |x − y|
Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực R ta dễ dàng
kiểm tra hệ thức trên xác định một mêtric trên R. Không gian tương ứng
được kí hiệu là R
1
. Ta sẽ gọi mêtric trên là mêtric tự nhiên trên.
Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác
định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞) . Với hai hàm số
bất kỳ x(t), y(t) ∈ C
[a, b]
ta đặt
d(x, y) = max
a≤t≤b
|x(t) − y(t)| .
10
Khi đó vì các hàm số x(t), y(t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm số
|x(t) − y(t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b] . Do đó hàm số này đạt giá trị
lớn nhất trên đoạn [a, b]. Suy ra hệ thức trên xác định một ánh xạ từ tích
Descartes C

[a, b]
× C
[a, b]
vào tập số thực R
+
.
Dưới đây ta kí hiệu N
∗
là tập các số tự nhiên.
Định nghĩa 1.1.3. Cho (X, d) là một không gian metric, ta nói dãy
(x
n
)
n∈N
∗
⊂ X họi tụ đến phần tử x ∈ X (hay x là giới hạn của dãy
(x
n
)
n∈N
∗
⊂ X) nếu lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0, ta viết x
n
→ x hay lim
n→∞
x

n
=
x.
Định nghĩa 1.1.4. Cho (X, d) là một không gian metric, a ∈ X, số r > 0.
Ta ký hiệu
S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}
là hình cầu mở tâm a, bán kính r;
S

(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r}
là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.
Định nghĩa 1.1.5. Cho (X, d) là một không gian metric. Tập V ⊂ X được
gọi là lân cận của điểm x
0
∈ X nếu tồn tại số r > 0 sao cho S(a, r) ⊂ V .
Định nghĩa 1.1.6. Cho (X, d) là một không gian metric, tập A ⊂ X,
điểm b ∈ X.
1) Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm
b bao hàm trong tập A.
11
2) Điểm b gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm
b không chứa điểm nào của tập A.
3) Điểm b gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm b đều
chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A.
Định nghĩa 1.1.7. Cho (X, d) là một không gian metric và tập A ⊂ X
1) Tập A được gọi là tập mở trong không gian (X, d), nếu mọi điểm
thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì
tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A.
2) Tập A gọi là tập đóng trong không gian (X, d), nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x /∈ A, thì

tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.
Định nghĩa 1.1.8. Cho (X, d) là một không gian metric, giả sử A ⊂ X.
Khi đó ta nói A là tập compact trong X nếu ∀(x
n
)
n∈N
∗
⊂ A, ∃(x
n
k
)
n∈N
∗
⊂
(x
n
) sao cho (x
n
k
) → x ∈ A.
Định nghĩa 1.1.9. Cho (X, d) là một không gian metric, ta nói dãy (x
n
)
là dãy Cauchy trong không gian metric X, nếu ∀ε > 0, tồn tại n
ε
sao cho
ρ(x
n
, x
m

) < ε, ∀n, m ≥ n
ε
.
Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian
metric đầy.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X, Y là các không gian metric, A ⊂ X và
f : A → Y . Ta nói: f liên tục tại x
0
∈ A nếu và chỉ nếu (∀ε > 0), (∃δ =
δ(x
0
, ε) > 0) sao cho (∀x ∈ A), (d(x, x
0
) < δ → d(f(x), f(x
0
)) < ε).
f liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm của A. Khi f liên tục trên
12
X thì ta nói f là liên tục.
Các khái niệm hội tụ, lân cận, tập đóng, tập mở . đều cùng sinh ra
trên X một cấu trúc gọi là cấu trúc tôpô. Vậy tôpô có thể là họ các tập
mở, họ các tập đóng, họ các lân cận.
Ta có thể đưa ra khái niệm về không gian tôpô một cách tổng quát như
sau:
Định nghĩa 1.1.11. Cho tập hợp X, một họ τ những tập con của X
được gọi là một tôpô trên X nếu:
1) Hai tập X, ∅ đều thuộc họ τ.
2) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là với mọi U
1
, U

2
∈ τ đều có
U
1
∩ U
2
∈ τ.
3) τ đóng kín đối với phép lấy hợp bất kì, tức là {U
s
}
s
∈ S là một họ
tùy ý thuộc τ thì
∪
s∈S
U
s
∈ τ.
Tập X cùng với tôpô τ trên X được gọi là không gian tôpô (X, τ) (hay
không gian tôpô X).
Khi có hai tôpô τ, τ

trên X, nếu τ ⊂ τ

thì ta nói tôpô τ yếu hơn (thô
hơn) tôpô τ

hay tôpô τ

mạnh hơn (hay mịn hơn) tôpô τ Trong trường

hợp không có quan hệ đó thì ta nói hai tôpô không so sánh được.
Định nghĩa 1.1.12. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d), họ
τ tất cả các tập mở trong M lập thành một tôpô trên X.
Ví dụ: Cho X là không gian metric với khoảng cách d. Khi đó, họ tất
cả các tập mở trong không gian metric X là một tôpô trên X. Như vậy
mọi không gian metric là không gian tôpô và tôpô sinh bởi khoảng cách
của X.
13
1.1.2 Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.13. Cho X là một tập hợp mà các phần tử được ký
hiệu là x, y, z, , K là một trường các phần tử được ký hiệu là α, β, γ,
Trên X có hai phép toán:
.) Phép cộng hai phần tử của X
(+) : X × X → X
(x, y) → x + y
.) Phép nhân một phần tử của X với một phần tử của K:
(.) : K × X → X
(α, x) → αx
Khi đó với mọi x, y, z ∈ X, với mọi α, β ∈ K các điều kiện sau được
thỏa mãn.
1. (x + y) + z = x + (y + z);
2. Tồn tại véctơ θ sao cho θ + x = x + θ;
3. Với mỗi x có một phần tử x

sao cho x + x

= x

+ x = θ;
4. x + y = y + x;

5. α.(x + y) = α.x + α.y;
6. (α + β).x = α.x + β.x;
7. (α.β).x = α.(β.x);
8. 1.x = x, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K
Khi đó, ta nói rằng X là một không gian véctơ trên trường K (hoặc X
là K- không gian vectơ). Ta cũng nói rằng X là không gian tuyến tính trên
trường K.
Khi K = R (tương ứng, K = C ) ta nói X là không gian véctơ thực
(tương ứng không gian véctơ phức).
14
Ví dụ: R, , R
∗
là các không gian tuyến tính Q không là không gian
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.14. Không gian véctơ định chuẩn là không gian tuyến tính
X trên trường P(P = R hoặc P = C, cùng với một ánh xạ . : X → R
+
,
thỏa mãn các tiên đề sau:
1) x ≥ 0, x = 0 ↔ x = 0 ∀x ∈ X;
2) αx = |α| . x ∀x ∈ X, α ∈ R;
3) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ X.
Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Để cho đơn giản ta kí hiệu không gian
định chuẩn là X. Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ: X = R, R
2
, , R
n
là các không gian định chuẩn với x =


n

i=1
|x
i
|
2
. Trong đó x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
.
Không gian véctơ định chuẩn cũng là không gian metric, với metric
d(x, y) = x − y ta có:
1) Bất biến: d(x + z, y + z) = d(x, y); x, y, z ∈ X
2) Thuần nhất: d(αx, αy) = |α| .d(x, y); α ∈ R; x, y ∈ X.
Vì vậy, không gian định chuẩn cũng có đầy đủ khái niệm của không gian
metric.
Định nghĩa 1.1.15. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, ánh xạ
A : X → Y gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu ∀x
0
, x
1
, x
2
, x

n
∈
X, ∀α, β ∈ K :
1) A(αx
1
+ βx
2
) = αAx
1
+ βAx
2
;
2) x
n
→ x
0
thì Ax
n
→ Ax
0
.
15
Toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (hay giới nội) nếu có một hằng số
k > 0 sao cho (∀x ∈ X) : Ax ≤ k. x .
Toán tử tuyến tính A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi A giới nội.
Định nghĩa 1.1.16. Không gian đối ngẫu (hay liên hợp) của X là L(X, R) =
{f : X → R, f tuyến tính }, ký hiệu X
∗
. Ta thấy X
∗

có một tôpô sinh,
với f = sup
X≤1
|f(X)| .
1.1.3 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.17. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu có hàm số
., . : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với x ∈ X cố định, ., y : X → R là hàm tuyến tính, tức là:
∀α, β ∈ R, x
1
, x
2
: αx
1
+ βx
2
, y = α x
1
, y + β x
2
, y .
2) Với x ∈ X cố định, x, . : X → R là hàm tuyến tính.
3) Với x ∈ R : x, x ≥ 0; x, x = 0 ⇔ x = 0
Khi ấy ., . được gọi là tích vô hướng trên X. Không gian tuyến tính
X cùng với tích vô hướng ., . gọi là không gian tiền Hilbert. Ta định
nghĩa x =

x, x (thỏa mãn các điều kiện của chuẩn). Khi đó không
gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với x sinh bởi tích vô hướng
x =


x, x. Nếu không gian định chuẩn này là đầy đủ thì (X, x, x)
được gọi là không gian Hilbert H. Không gian Hilbert H cũng là không
gian tôpô với τ = {A ⊂ X, A mở theo chuẩn của X}.
Định lý 1.1.1. (Định lý F. Riesz): Cho H là không gian Hilbert, khi đó:
1) ∀a ∈ H, tương ứng x → x, a xác định phiếm hàm tuyến tính f
a
16
liên tục trên H với f
a
 = a .
2) Ngược lại, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên H, tồn tại
duy nhất a để f(x) = x, a , ∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.1.18. Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử x, y ∈ H
gọi là trực giao, ký hiệu x⊥y, nếu x, y = 0.
Định nghĩa 1.1.19. Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A =
∅. Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập A, nếu x⊥y (∀y ∈ A) và kí hiệu
x⊥A.
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff
Định nghĩa 1.1.20. Một không gian véctơ X được trang bị một cấu
trúc tôpô. Khi đó ta nói X là không gian tôpô tuyến tính, nếu cấu trúc
tôpô phù hợp với cấu trúc tuyến tính, tức là phép cộng và phép nhân là
hai ánh xạ tuyến tính, nghĩa là: nếu ∀x
α
, y
α
∈ X, x
α
→ x, y
α

→ y, λ
α
∈
R, λ
α
→ λ thì x
α
+ y
α
→ x + y, λ
α
x
α
→ λx.
Trong không gian tôpô tuyến tính, cấu trúc tôpô hoàn toàn được xác
định bởi tập các lân cận của gốc, biết tập này thì mọi lân cận của một
điểm tùy ý sẽ suy ra bằng một phép tịnh tiến. Do đó, ta thường nói về các
lân cận của gốc, gọi tắt là “lân cận”.
Ví dụ: Không gian định chuẩn và không gian Hilbert là những không gian
tôpô tuyến tính vì phép cộng véctơ và phép nhân véctơ với một số là liên
tục trong tôpô xác định bởi chuẩn.
Định nghĩa 1.1.21. Cho X là không gian tôpô tuyến tính nếu tồn tại họ
cơ sở lân cận của gốc 0 gồm toàn tập lồi thì ta nói X là không gian tôpô
17
tuyến tính lồi địa phương.
Không gian định chuẩn là lồi địa phương vì họ cơ sở lân cận trong đó là
các hình cầu có tâm ở gốc. Thật vậy: ta lấy U = {B(0, r), r ≥ 0} là cơ sở
lân cận của gốc 0 . Vì U là lân cận của gốc 0 thì tồn tại B(0, r), B(0, r) ∈ U
là tập lồi vì x
1

, x
2
∈ B(0, r), α ∈ [0, 1] , αx
1
+ (1 − α)x
2
 ≤ x
1
 +
(1 − α) x
2
 ≤ αr + (r + αr) → αx
1
+ (1 − αx
2
) ∈ B(0, r) → B(0, r)
là tập lồi suy ra không gian định chuẩn là không gian tôpô tuyến tính lồi
địa phương.
Định nghĩa 1.1.22. Cho (X, τ) là một không gian tôpô, τ gọi là tôpô
Hausdorff nếu với mọi x
1
, x
2
∈ X, x
1
= x
2
, thì ∃U
1
, U

2
∈ τ, U
1
∩ U
2
= ∅
và x
1
∈ U
1
, x
2
∈ U
2
.
Ví dụ: Không gian định chuẩn là không gian Hausdorff vì Với x
1
, x
2
∈
X, x
1
= x
2
↔ x
1
− x
2
 = r > 0, U
1

= B(x
1
,
r
4
), U
2
= B(x
2
,
r
4
) là tập
mở, U
1
∩ U
2
= ∅ (vì nếu U
1
∩ U
2
= ∅ thì ta lấy y ∈ U
1
∩ U
2
→ x
1
− y ≤
r
4

, x
2
− y ≤
r
4
→ x
1
− x
2
 ≤ x
1
− y + x
2
− y =
r
2
= r → r ≤
r
2
,
vô lý).
Vậy không gian định chuẩn là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff.
1.2 Nón và ánh xạ đa trị
1.2.1 Nón
Như ta đã biết trong trường số thực R, hai số bất kỳ đều có thể so sánh
được với nhau thông qua một quan hệ thứ tự toàn phần. Trong không gian
khác, ta không có tính chất như vậy. Tuy nhiên bằng cách sử dụng khái
18
niệm Nón trong không gian tuyến tính, người ta có thể đưa ra một thứ tự

từng phần để so sánh hai phần tử với nhau.
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊂ Y . Ta nói C
là một nón trong Y có đỉnh tại gốc (hay đơn giản C là nón trong Y ) nếu
∀x ∈ C, ∀t ≥ 0 ta có tx ∈ C (tức là tC ⊆ C, ∀t ≥ 0)).
Nón C được gọi là nón lồi nếu C đồng thời là tập lồi. Hơn nữa khi Y là
không gian tôpô tuyến tính, ta kí hiệu cl(C), int(C), conv(C) lần lượt là
bao đóng tôpô, phần trong tôpô, và bao lồi của nón C.
Nón C được gọi là nón đóng nếu C đồng thời là tập đóng. Kí hiệu
l(C) = C ∩ (−C), và ta thấy rằng C là nón lồi thì l(C) là không gian
tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C và nó được gọi là phần trong tuyến tính.
Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}.
Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
Nón C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊂ C.
Ví dụ 1.2.1:
1) Tập {0} và Y là nón trong Y , ta gọi chúng là nón tầm thường.
2) Với α
1
, α
2
cho trước, α tùy ý và α
1
< α < α
2
, C = Y, (x, y) ∈ R
2
:
y = α.x với 0 < α
1
≤ α ≤ α
2

, x ∈ R
+
;
Dễ thấy:
cl(C) = co(C) = C;
intC = {(x, y) ∈ R
2
= α.x với 0 < α
1
< α < α
2
, x ∈ R
+
}
l(C) = C ∩ (−C) = Y, hoặc {0}.
Ta thấy, nếu C là nón đóng, thì C là nón đúng. Ta định nghĩa quan hệ
thứ tự từng phần với nón C trong không gian tôpô tuyến tính Y như sau:
19
Với x, y ∈ Y, x  y nếu x − y ∈ C. Ta có thể viết x  y. Với
x, y ∈ Y, x  y nếu x − y ∈ C\l(C); x  y nếu x − y ∈ intC.
Định nghĩa 1.2.2. Cho nón C trong không gian tuyến tính Y . Gọi Y
∗
là không gian tôpô đối ngẫu của Y . Ký hiệu ξ, y là cặp đối ngẫu giữa
ξ ∈ Y
∗
và y ∈ Y .
Nón đối ngẫu tôpô: C

= {ξ ∈ Y
∗

: ξ, c ≥ 0,với mọi c ∈ C}.
Nón đối ngẫu tôpô chặt: C

+
= {ξ ∈ Y
∗
: ξ, c > 0, với mọi c ∈
C\l(C)}.
Nón đối ngẫu tôpô yếu: C = {ξ ∈ Y
∗
: ξ, c > 0, với mọi c ∈ intC}.
Định nghĩa 1.2.3. Cho Y là không gian tuyến tính với thứ tự được sinh
bởi nón lồi C. A là tập con của Y, A = ∅. Ta nói rằng:
1) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C nếu
x ≤ y với mọi y ∈ A (tức là: y − x ∈ C hay y ∈ x + C). Tập các điểm
hữu hiệu lý tưởng A đối với nón C được ký hiệu là IMin(A|C);
Khi đó x ∈ IMin(A|C) khi và chỉ khi A ⊆ x + C;
2) Điểm x ∈ A gọi là điểm hữu hiệu Pareto( cực tiểu Pareto) của A đối
với nón C nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C\l(C). Tập các điểm hữu
hiệu Pareto của A đối với nón C được ký hiệu là PMin(A|C);
Khi đó x ∈ P Min(A|C) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) = {x} .
3) Giả sử intC = ∅, C = Y , điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu của A
đối với nón C nếu x ∈ P Min(A|(intC ∪ {0})). Tức là x là điểm hữu hiệu
theo nón C
0
= intC ∪ {0}; Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón
C, ký hiệu WMin(A|C).
20
Khi đó
x ∈ W Min(A|C)

khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅.
4) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C
nếu tồn tại nón lồi
˜
C khác hoàn toàn không gian và chứa C\l(C) trong
phần trong của nó sao cho x ∈ P Min(A|
˜
C), ( tức là tồn tại nón lồi
˜
C,
˜
C = Y sao cho C\l(C) ⊆ int
˜
C, ˜x ∈ P Min(A|
˜
C) ).
Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được ký hiệu là
P rMin(A|C).
Khi đó ˜x ∈ P rMin(A|C) khi và chỉ khi A ∩ (x −
˜
C) = {x} ;
Từ định nghĩa ta có bao hàm thức sau: IMin(A|C) ⊆ Pr(A|C) ⊆
P Min(A|C) ⊆ W Min(A|C).
Ví dụ 1.2.2. Xét Y = R
2
, C = R
2
+
lấy hai tập A, B như sau:
A =


(x, y) : x
2
+ y
2
≤ 4, y ≤ 0

∪

(x, y) ∈ R
2
: x ≤ 0, −2 ≤ y ≤ 0

B = A ∪ {(−3; 3)}.
Ta có
IMin(A|C) = ∅;
P Min(A|C) = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
= 4, x < 0, y < 0}\{(0, −2),
(−2, 0)};
W Min(A|C) = P Min(A|C) ∪ {(0, −2), (−2, 0)};
IMin(B|C) = Pr(B|C) = P Min(B|C) = {(−3, −3)} .
21
1.2.2 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.2.4. Cho hai tập hợp bất kỳ X, Y (X = ∅). Ký hiệu 2
Y

là tập hợp tất cả các tập con của Y (mỗi phần tử của 2
Y
là một tập hợp),
nghĩa là 2
Y
:= {A|A ⊆ Y }. Tất nhiên ∅ ⊂ 2
Y
và Y ⊂ 2
Y
.
Nếu A ∈ 2
Y
và B ⊂ A thì B ∈ 2
Y
Ánh xạ F : X → 2
Y
đi từ X vào 2
Y
, biến mỗi phần tử x ∈ X thành
một tập con F (x) của Y (không loại trừ khả năng với một số x ∈ X nào
đó ta có F(x) là tập rỗng) được gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Nếu với mỗi x ∈ X mà tập F (x) luôn có đúng một phần tử thì ta nói
F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y. Kí hiệu F : X → Y .
Định nghĩa 1.2.5. Đồ thị Graph(F) , miền hữu hiệu domF của ánh xạ
đa trị F : X → 2
Y
tương ứng xác định bằng các công thức
Graph(F ) = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}
domF = {x ∈ X : F(x) = ∅} .
Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F

−1
: Y → 2
X
được xác định bởi
công thức F
−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} với y ∈ Y .
Định nghĩa 1.2.6. Cho F
1
, F
2
: X → 2
Y
, ánh xạ giao của F
1
và F
2
là
(F
1
∩ F
2
)(x) = F
1
(x) ∩ F
2
(x)
Nếu Y là không gian tôpô, F : X → 2
Y
, ký hiệu F và F

0
là các ánh xạ
bao đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi
F (x) = F (x), (F
0
)(x) = (F (x))
0
.
22
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, thì ánh xạ bao lồi và ánh xạ bao
đóng của F là
(coF )(x) = coF (x), (coF )(x) = coF (x).
Định nghĩa 1.2.7. Cho F : X → 2
Y
là ánh xạ đa trị, X và Y là các
không gian tôpô
1) F được gọi là ánh xạ đóng (mở) nếu Graph(F ) là tập đóng (tương
ứng mở) trong không gian tôpô tích X × Y .
2) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F(x) là tập đóng, ∀x ∈ X.
3) Nếu Y là một không gian vecto tôpô thì F được gọi là ánh xạ có giá
trị lồi nếu F(x) là tập lồi, ∀x ∈ X.
4) F được gọi là ánh xạ compact nếu F(x) là tập compact trong Y ,
∀x ∈ X.
Các phép tính về ánh xạ đa trị: Cho X, Y là các không gian tôpô
tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Các ánh xạ F
1
, F
2
: X → 2
Y

là các
ánh xạ đa trị. Ta có các phép tính sau:
1. (F
1
∪ F
2
)(x) = F
1
(x) ∪ F
2
(x);
2. (F
1
∩ F
2
)(x) = F
1
(x) ∩ F
2
(x);
3. F
1
c
(x) = Y \F
1
(x);
4. (F
1
× F
2

)(x) = F
1
(x) × F
2
(x);
5. (F
1
\F
2
)(x) = F
1
(x)\F
2
(x) = {y ∈ Y |y ∈ F
1
(x), y /∈ F
2
(x)};
6. (F
1
+ F
2
)(x) = F
1
(x) + F
2
(x);
7. (αF
1
)(x) = αF

1
(x);
8. (clF
1
)(x) = cl(F
1
(x)) = {y ∈ Y, ∃y
α
∈ F
1
(x), y
α
→ y};
9. (F
1
)
0
(x) = (F
1
(x))
0
;
23