Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự (LV1245)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
HỮU THỊ THANH HUYỀN
VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG
TRONG KHÔNG GIAN
ĐỊNH CHUẨN THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ
Hy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Hữu Thị Thanh Huyền
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn “Vector riêng của toán tử tuyến tính
dương trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự” là
công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS.
GVCC. Nguyễn Phụ Hy.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông

tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Hữu Thị Thanh Huyền
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector
thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Khái niệm không gian vector thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . 6
1.1.1. Tập hợp phần tử dương - Quan hệ sắp thứ tự trong không gian vector thực 6
1.1.2. Phần dương, phần âm và modun của phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp
thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Toán tử tuyến tính dương trong không gian vector thực nửa sắp
thứ tự C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1. Không gian vector thực C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Tập hợp E
+
và quan hệ "≤" trên không gian C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3. Toán tử u
0
-dương trên không gian C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong
không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Khái niệm không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự . . . . 29
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2. Một số tính chất thường gặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Mối liên hệ giữa tính dương và tính liên tục của toán tử tuyến

tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
2.3. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Sự tồn tại vector riêng của toán tử tuyến tính dương . . . . . 43
2.4.1. Tiêu chuẩn compact trong không gian Euclide m chiều R
m
. . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2. Không gian Banach C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.3. Sự tồn tại vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong không gian C[a, b]. .
50
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử tuyến tính dương trong các không gian định chuẩn
thực nửa sắp thứ tự đã được các nhà toán học nghiên cứu và đạt được
những kết quả phong phú và sâu sắc.
Sự mở rộng tính sắp thứ tự của tập hợp số thực vào các không gian
hàm đã xuất hiện khá sớm trong các công trình của Riss F., sau đó được
phát triển và ứng dụng trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ
tự (hay sắp thứ tự bộ phận) trong các công trình của Kantorovich L. V.
[5] và Krein M. G. [6].
Các nhà toán học thế hệ tiếp theo đã tiếp tục phát triển một cách sâu
sắc hơn và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau cho đến thời gian
hiện nay như Kraxnoxelxki M. A. [7], Vulikh B. Z. [8].
Năm 2012, trong luận văn Thạc sỹ của tác giả Nguyễn Văn Lợi [4] đã
nghiên cứu một số vấn đề trong không gian định chuẩn thực nửa sắp
thứ tự, cụ thể là về đối tượng toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trong
không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự theo một nón cố định.

Với mong muốn được nghiên cứu một cách sâu sắc hơn về các tính chất
trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự tôi đã chọn nghiên
cứu đề tài: “Vector riêng của toán tử tuyến tính dương trong
không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự”, trong đó quan hệ
3
sắp thứ tự trong không gian không định nghĩa theo nón mà định nghĩa
theo một tập các phần tử dương, thay điều kiện tính đóng của nón bằng
điều kiện sự tồn tại cận trên đúng của hai phần tử.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một cách hệ thống những kiến thức cơ bản về toán
tử tuyến tính dương và vectơ riêng của chúng trong không gian định
chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu định nghĩa về không gian vectơ thực nửa sắp thứ tự;
- Nghiên cứu định nghĩa, tính chất của toán tử tuyến tính dương trong
không gian C[a, b];
- Định nghĩa và một số tính chất về không gian định chuẩn thực nửa sắp
thứ tự;
- Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả
về:
+ Tính liên tục của toán tử tuyến tính dương;
+ Toán tử tuyến tính dương trong không gian C[a, b];
+ Điều kiện tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương trong
4
không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự.
• Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương trong không
gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo;
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;
- Tham khảo và hỏi ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của luận văn
Luận văn trình bày một cách có hệ thống một số vấn đề về không gian
vectơ thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương cố định, toán tử
tuyến tính dương trong không gian vectơ thực nửa sắp thứ tự, không
gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự, mối liên hệ giữa tính dương và
tính liên tục của toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính liên tục và
sự tồn tại vectơ riêng của toán tử tuyến tính dương. áp dụng các kết
quả đạt được trong không gian vector thực trừu tượng vào không gian
vector C[a, b] các hàm số liên tục trên đoạn [a, b].
5
Chương 1
Toán tử tuyến tính dương trong
không gian vector thực nửa sắp thứ
tự
1.1. Khái niệm không gian vector thực nửa sắp thứ
tự
1.1.1. Tập hợp phần tử dương - Quan hệ sắp thứ tự trong không
gian vector thực
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là không gian vector thực và tập hợp con
khác rỗng E
+
⊂ E. E
+
được gọi là tập hợp các phần tử dương của E,
nếu E
+

thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) ∀x, y ∈ E
+
=⇒ x + y ∈ E
+
;
(ii) ∀x ∈ E
+
, ∀λ ∈ R
+
=⇒ λx ∈ E
+
;
(iii) ∀x ∈ E
+
và x = θ thì −x /∈ E
+
(θ là kí hiệu phần thử không
của không gian E);
(iv) ∀x, y ∈ E, ∃z ∈ E sao cho:
• z − x ∈ E
+
, z − y ∈ E
+
;
6
• Nếu có u ∈ E sao cho u − x ∈ E
+
, u − y ∈ E
+

thì u − z ∈ E
+
.
Phần tử z thỏa mãn điều kiện (iv) trên đây được gọi là cận trên đúng
của hai phần tử x và y, kí hiệu là z = sup{x, y}.
Tương tự ta có khái niệm cận dưới đúng của hai phần tử. Phần tử
w ∈ E gọi là cận dưới đúng của hai phần tử x, y ∈ E và kí hiệu là
w = inf{x, y} nếu:
• x − w ∈ E
+
, y − w ∈ E
+
;
• Nếu ∃v ∈ E sao cho x − v ∈ E
+
, y − v ∈ E
+
thì w − v ∈ E
+
.
Ta cũng có thể mở rộng khái niệm cận trên đúng và cận dưới đúng cho
một tập hợp khác rỗng M ⊂ E.
Định nghĩa 1.1.2. Cho M là tập con khác rỗng của E, phần tử z ∈ E
được gọi là cận trên đúng của tập hợp M nếu:
• z − x ∈ E
+
, ∀x ∈ M;
• Nếu ∃u ∈ E sao cho u − x ∈ E
+
, ∀x ∈ M thì u − z ∈ E

+
.
Kí hiệu z = sup M.
Định nghĩa 1.1.3. Cho N là tập con khác rỗng của E, phần tử w ∈ E
được gọi là cận dưới đúng của tập hợp N nếu:
• x − w ∈ E
+
, ∀x ∈ N;
• Nếu ∃v ∈ E sao cho x − v ∈ E
+
, ∀x ∈ N thì w − v ∈ E
+
.
Kí hiệu w = inf N.
7
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử E là không gian vector thực, E
+
là tập tất
cả các phần tử dương trong không gian E. Với x, y ∈ E ta viết x ≤ y
nếu y − x ∈ E
+
.
Định lý 1.1.1. Quan hệ "≤" xác định trong Định nghĩa 1.1.4 là một
quan hệ sắp thứ tự trong E.
Chứng minh. Ta kiểm tra ba tiên đề về quan hệ thứ tự.
i) Tính phản xạ:
Với mọi x ∈ E
+
, x − x = θ ∈ E
+

, điều này có được vì theo định
nghĩa của E
+
ta lấy λ
0
= 0 và ∀x ∈ E
+
thì θ = λ
0
x ∈ E
+
. Do đó
x ≤ x, ∀x ∈ E
+
, nên tính phản xạ được thỏa mãn.
ii) Tính đối xứng:
Giả sử x, y ∈ E
+
, x ≤ y và y ≤ x khi đó x = y. Thật vậy, nếu
trái lại x = y thì x − y = θ. Do y − x ∈ E
+
và x − y ∈ E
+
nên
−(x − y) = y − x ∈ E
+
, điều này mâu thuẫn với định nghĩa của E
+
.
Như vậy tính đối xứng được thõa mãn.

iii) Tính bắc cầu:
Giả sử x, y, z ∈ E
+
, x ≤ y, y ≤ z, khi đó, vì z − x = (z −y)+(y −x) ∈
E
+
nên x ≤ z, hay tính bắc cầu cũng được thỏa mãn.
Vậy quan hệ "≤" là một quan hệ thứ tự trên E.
Nhận xét 1.1.1. Từ Định lí 1.1.1 ta có thể viết lại định nghĩa cận trên
đúng, cận dưới đúng của hai phần tử x, y ∈ E như sau:
• z = sup{x, y} nếu:
+) x ≤ z, y ≤ z;
8
+) giả sử ∃ u ∈ E sao cho x ≤ u, y ≤ u thì z ≤ u.
• w = inf{x, y} nếu:
+) w ≤ x, w ≤ y;
+) giả sử ∃ v ∈ E sao cho v ≤ x, v ≤ y thì v ≤ w.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử E là không gian vector thực, E
+
là tập tất
cả phần tử dương của E và "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trên E. Khi
đó ta gọi cặp (E, ≤) (ta thường viết gọn là E) là không gian vector thực
nửa sắp thứ tự theo tập các phần tử dương E
+
.
1.1.2. Phần dương, phần âm và modun của phần tử
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tự
theo tập các phần tử dương E
+
⊂ E, phần tử x ∈ E.

• Phần tử x
+
= sup{x, θ} gọi là phần dương của phần tử x;
• Phần tử x
−
= sup{−x, θ} gọi là phần âm của phần tử x;
• Phần tử |x| = x
+
+ x
−
gọi là modun của phần tử x.
Ta có các tính chất sau về phần dương, phần âm và modun của phần
tử.
Định lý 1.1.2. Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tự theo
tập các phần tử dương E
+
. Khi đó ∀x, y ∈ E mà x ≤ y ta có:
1) λx ≤ λy với λ ≥ 0;
2) λy ≤ λx với λ < 0.
9
Chứng minh. Giả sử ∀x, y ∈ E mà x ≤ y.
1) Với λ ≥ 0, vì x, y ∈ E nên λx, λy ∈ E. Hơn nữa, x ≤ y suy ra
y − x ∈ E
+
nên λy − λx = λ(y − x) ∈ E
+
hay λx ≤ λy ∀λ ≥ 0.
2) Với λ < 0 suy ra −λ > 0, theo 1) ta có λx − λy = −λ(y − x) ∈ E
+
.

Vậy λy ≤ λx với λ < 0.
Định lý 1.1.3. Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tự theo
tập các phần tử dương E
+
. Khi đó ∀x ∈ E ta có x = x
+
− x
−
.
Chứng minh. Theo định nghĩa x
+
= sup{x, θ}, x
−
= sup{−x, θ} nên ta
có





x
+
− x ∈ E
+
x
+
− θ ∈ E
+
=⇒






x ≤ x
+
θ ≤ x
+
=⇒





θ ≤ x
+
− x
θ = −x + x ≤ x
+
hay





θ ≤ x
+
− x
−x ≤ x
+

− x
=⇒ x
−
= sup{−x, θ} ≤ x
+
− x,
suy ra
x
−
+ x ≤ x
+
, (1.1.1)
và





x
−
− (−x) ∈ E
+
x
−
− θ ∈ E
+
=⇒






−x ≤ x
−
θ ≤ x
−
=⇒





θ ≤ x
−
+ x
θ = −x + x ≤ x
−
hay





θ ≤ x
−
+ x
x ≤ x
−
+ x
=⇒ x

+
= sup{x, θ} ≤ x
−
+ x. (1.1.2)
Từ (1.1.1) và (1.1.2) suy ra x
−
+ x = x
+
hay x = x
+
− x
−
.
10
Định lý 1.1.4. Với mọi x, y ∈ E ta có inf{x, y} = − sup{−x, −y}.
Chứng minh. Đặt z = sup{−x, −y}, ta có





−x ≤ z
−y ≤ z
=⇒





−z ≤ x

−z ≤ y
hay
− z ≤ inf{x, y}. (1.1.3)
Mặt khác, đặt v = inf{x, y} thì v ≤ x, v ≤ y nên





−x ≤ −v
−y ≤ −v
=⇒ z = sup{−x, −y} ≤ −v
hay
− z ≥ v = inf{x, y}. (1.1.4)
Vậy inf{x, y} = − sup{−x, −y}.
Định lý 1.1.5. Với mọi x, y, z ∈ E ta có:
1) sup{x, y} + z = sup{x + z, y + z};
2) inf{x, y} + z = inf{x + z, y + z}.
Chứng minh. 1) Với bất kì x, y, z ∈ E, đặt u = sup{x, y} ta có





x ≤ u
y ≤ u
=⇒






x + z ≤ u + z
y + z ≤ u + z
hay
sup{x + z, y + z} ≤ u + z = sup{x, y} + z. (1.1.5)
11
Mặt khác, với v = sup{x + z, y + z} ta có





x + z ≤ v
y + z ≤ v
=⇒





x ≤ v − z
y ≤ v − z
=⇒ sup{x, y} ≤ v − z
hay
sup{x, y} + z ≤ v = sup{x + z, y + z}. (1.1.6)
Kết hợp (1.1.5) và (1.1.6) ta có kết luận phần 1) của định lý.
2) Tương tự như trên, ta đặt w = inf{x, y} suy ra






x ≥ w
y ≥ w
=⇒





x + z ≥ w + z
y + z ≥ w + z
=⇒ inf{x + z, y + z} ≥ w + z = inf{x, y} + z. (1.1.7)
Đặt w
1
= inf{x + z, y + z} ta có





x + z ≥ w
1
y + z ≥ w
1
=⇒






x ≥ w
1
− z
y ≥ w
1
− z
=⇒ inf{x, y} ≥ w
1
− z
hay
inf{x, y} + z ≥ w
1
= inf{x + z, y + z}. (1.1.8)
Kết hợp (1.1.7) và (1.1.8) ta có kết luận phần 2) của định lý.
Định lý 1.1.6. Với mọi x ∈ E ta có:
1) inf{x
+
, x
−
} = θ;
2) sup{x, −x} = |x|.
Chứng minh. 1) Đặt u = inf{x
+
, x
−
}, ta sẽ chỉ ra rằng u = θ. Thật vậy,
theo định nghĩa của x
+

, x
−
ta suy ra x
+
≥ θ, x
−
≥ θ, do đó
inf{x
+
, x
−
} = u ≥ θ. (1.1.9)
12
Mặt khác, với y = x
+
− u, z = x
−
− u thì hiển nhiên, theo định nghĩa
của cận dưới đúng suy ra x
+
− u = y ≥ θ và x
−
− u = z ≥ θ. Suy ra
y − z = (x
+
− u) − (x
−
− u) = x
+
− x

−
= x.
Vì z ≥ 0 nên từ y − z = x suy ra y ≥ x hay x
+
= sup{x, θ} ≤ y. Do đó
x
+
≤ y = x
+
− u =⇒ −u ≥ θ
hay
u ≤ θ. (1.1.10)
Vậy từ (1.1.9) và (1.1.10) ta có inf{x
+
, x
−
} = 0.
2) Đặt sup{x, −x} = v, ta có
v = |x| + (v − |x|) = |x| + (sup{x, −x} − |x|)
= |x| + [sup{x − |x|, −x − |x|}]
= |x| + sup{x
+
− x
−
− x
+
− x
−
, −x
+

+ x
−
− x
+
− x
−
}
= |x| + sup{−2x
−
, −2x
+
}
= |x| − inf{2x
−
, 2x
+
}. (1.1.11)
Đặt z = inf{2x
−
, 2x
+
}, thì z ≥ θ do 2x
−
≥ θ, 2x
+
≥ θ. Do đó






z ≤ 2x
−
z ≤ 2x
+
=⇒





1
2
z ≤ x
−
1
2
z ≤ x
+
=⇒





θ ≤
1
2
z ≤ x
−

θ ≤
1
2
z ≤ x
+
.
Hay
θ ≤
1
2
z ≤ inf{x
−
, x
+
} = θ
(theo 1)). Vì vậy z = θ hay inf{2x
−
, 2x
+
} = θ. Thay vào (1.1.11) ta có
v = |x| − θ. Vậy v = |x| hay sup{x, −x} = |x|.
13
Định lý 1.1.7. Với mọi x, y ∈ E ta có |x
+
− y
+
| ≤ |x − y|.
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ E, ta có x
+
= sup{x, θ}, y

+
= sup{y, θ} nên
x ≤ x
+
, y ≤ y
+
. Hơn nữa,
x = (x − y) + y ≤ |x − y| + y
+
y = (y − x) + x ≤ |y − x| + x
+
= |x − y| + x
+
.
Do đó,





x
+
= sup{x, θ} ≤ |x − y| + y
+
y
+
= sup{y, θ} ≤ |x − y| + x
+
.
Hay






x
+
− y
+
≤ |x − y|
y
+
− x
+
≤ |x − y|
=⇒|x
+
− y
+
| = sup{x
+
− y
+
, y
+
− x
+
} ≤ |x − y|
=⇒|x
+

− y
+
| ≤ |x − y|.
Định lý 1.1.8. Với mọi x ∈ E, mọi λ > 0, ta có các điều sau:
1) (λx)
+
= λx
+
;
2) (λx)
−
= λx
−
;
3) |λx| = λ|x|.
Chứng minh. 1) Ta có (λx)
+
= sup{λx, θ}, λx
+
= λ sup{x, θ}. Vì x ≤
14
x
+
nên λx ≤ λx
+
và λx
+
≥ θ. Do đó






λx ≤ λx
+
θ ≤ λx
+
=⇒ (λx)
+
= sup{λx, θ} ≤ λx
+
. (1.1.12)
Mặt khác, ta có





λx ≤ (λx)
+
θ = λ.θ ≤ (λx)
+
=⇒





x ≤
1

λ
(λx)
+
θ ≤
1
λ
(λx)
+
,
nên sup{x, θ} ≤
1
λ
(λx)
+
hay
λx
+
= λ sup{x, θ} ≤ (λx)
+
. (1.1.13)
Từ (1.1.12) và (1.1.13) suy ra λx
+
= (λx)
+
, ∀λ > 0.
2) Ta có (λx)
−
= sup{−(λx), θ}, λx
−
= λ sup{−x, θ}. Vì −x ≤ x

−
nên −λx ≤ λx
−
và λx
−
≥ θ. Do đó





−x ≤ x
−
θ ≤ x
−
=⇒





−λx ≤ λx
−
θ = λθ ≤ λx
−
=⇒ (λx)
−
= sup{−λx, θ} ≤ λx
−
.

(1.1.14)
Mặt khác, ta có





−λx ≤ (λx)
−
θ = λ.θ ≤ (λx)
−
=⇒





−x ≤
1
λ
(λx)
−
θ ≤
1
λ
(λx)
−
,
nên λ sup{−x, θ} ≤ (λx)
−

hay
λx
−
= λ sup{−x, θ} ≤ (λx)
−
. (1.1.15)
Từ (1.1.14) và (1.1.15) suy ra λx
−
= (λx)
−
, ∀λ > 0.
15
3) Ta có
|λx| = (λx)
+
+ (λx)
−
= λx
+
+ λx
−
= λ(x
+
+ x
−
) = λ|x|.
Vậy |λx| = λ|x|.
Định lí được chứng minh.
1.2. Toán tử tuyến tính dương trong không gian vec-
tor thực nửa sắp thứ tự

1.2.1. Các định nghĩa
Giả sử E là không gian vector thực nửa sắp thứ tự theo tập các phần
tử dương E
+
, toán tử A : E −→ E, phần tử u
0
∈ E
+
và u
0
= θ.
Ta có các định nghĩa sau
Định nghĩa 1.2.1. Toán tử A gọi là cộng tính trên E, nếu (∀x, y ∈ E)
ta có A(x + y) = Ax + Ay.
Định nghĩa 1.2.2. Toán tử A gọi là thuần nhất trên E, nếu ∀x ∈
E, ∀λ ∈ R ta có A(λx) = λAx.
Định nghĩa 1.2.3. Toán tử A gọi tuyến tính, nếu toán tử A là là cộng
tính và thuần nhất trên E
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử A gọi là toán tử dương, nếu AE
+
⊂ E
+
.
Định nghĩa 1.2.5. Toán tử A gọi là toán tử đơn điệu, nếu ∀x, y ∈ E
mà x ≤ y ta có Ax ≤ Ay.
16
Định nghĩa 1.2.6. Toán tử A gọi là u
0
−bị chặn dưới, nếu (∀x ∈ E
+

, x =
θ)(∃n = n(x) ∈ N
∗
)(∃α = α(x) > 0) sao cho
αu
0
≤ A
n
(x). (1.2.1)
Định nghĩa 1.2.7. Toán tử A gọi là u
0
−bị chặn trên nếu (∀x ∈ E
+
, x =
θ)(∃m = m(x) ∈ N
∗
)(∃β = β(x) > 0) sao cho
A
m
(x) ≤ βu
0
. (1.2.2)
Định nghĩa 1.2.8. Toán tử A gọi là u
0
−dương trên E, nếu (∀x ∈
E
+
, x = θ)(∃s = s(x) ∈ N
∗
)(∃α = α(x) > 0)(∃β = β(x) > 0) sao cho

αu
0
≤ A
s
(x) ≤ βu
0
. (1.2.3)
1.2.2. Tính chất
Định lý 1.2.1. Giả sử toán tử A là toán tử cộng tính. Khi đó toán tử A
dương khi và chỉ khi toán tử A là toán tử đơn điệu.
Chứng minh. Giả sử A : E −→ E là toán tử cộng tính. Nếu toán tử A
là toán tử dương, theo định nghĩa ta có AE
+
⊂ E
+
. Khi đó, ∀x, y ∈ E
mà x ≤ y hay y − x ∈ E
+
, nên A(y − x) ∈ E
+
. Do toán tử A cộng tính
nên Ay − Ax = A(y − x) ∈ E
+
, hay Ax ≤ Ay, nghĩa là toán tử A là
toán tử đơn điệu.
Ngược lại, nếu toán tử A là toán tử đơn điệu, tức là ta có
Ax ≤ Ay ∀x, y ∈ E, x ≤ y.
Từ đó Ay − Ax ∈ E
+
, sử dụng toán tử A là toán tử cộng tính nên

A(y − x) = Ay − Ax ∈ E
+
. Như vậy, với phần tử tùy ý z ∈ E
+
ta có
17
z = z − θ ∈ E
+
, nên Az = A(z − θ) ∈ E
+
. Vậy AE
+
⊂ E
+
hay toán tử
A là toán tử dương.
Định lí được chứng minh.
Định lý 1.2.2. Nếu toán tử A là toán tử cộng tính và dương trên E thì
∀x ∈ E ta có |Ax| ≤ A(|x|).
Chứng minh. Ta có ∀x ∈ E thì x = x
+
− x
−
, nên sử dụng định lí 1.1.7
và giả thiết toán tử A cộng tính và dương, ta thu được
|Ax| = |A(x
+
− x
−
)| = |Ax

+
− Ax
−
|
≤ |Ax
+
| + |Ax
−
| = Ax
+
+ Ax
−
= A(x
+
+ x
−
) = A|x|,
hay |Ax| ≤ A(|x|), ∀x ∈ E.
Định lý 1.2.3. Toán tử A là u
0
-bị chặn trên và u
0
-bị chặn dưới trên E
nếu và chỉ nếu toán tử A là u
0
-dương trên E.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử toán tử A là toán tử u
0
-bị chặn
trên và u

0
-bị chặn dưới trên E.
Trước hết, đối với u
0
, theo giả thiết
∃s
1
= s
1
(u
0
) ∈ N
∗
, ∃α
1
= α
1
(u
0
) > 0, α
1
u
0
≤ A
s
1
u
0
=⇒u
0

≤ (α
−1
1
A
s
1
)u
0
= A
1
u
0
;
∃t
1
= t
1
(u
0
) ∈ N
∗
, ∃β
1
= β
1
(u
0
) > 0, β
1
u

0
≤ A
t
1
u
0
=⇒u
0
≥ (β
−1
1
A
t
1
)u
0
= A
2
u
0
.
18
Suy ra, bằng cách tác dụng liên tiếp các toán tử tương ứng A
1
, A
2
u
0
≤ A
t

1
1
u
0
= (α
−1
1
A
s
1
)
t
1
u
0
⇒ α
0
u
0
= α
t
1
1
u
0
≤ A
s
1
t
1

u
0
= A
k
u
0
u
0
≥ A
s
1
2
u
0
= (β
−1
1
A
t
1
)
s
1
u
0
⇒ β
0
u
0
= β

s
1
1
u
0
≥ A
t
1
s
1
u
0
= A
k
u
0
.
Ta nhận được hệ thức
α
0
u
0
≤ A
k
u
0
≤ β
0
u
0

, với α
0
> 0, β
0
> 0, k ∈ N
∗
. (1.2.4)
Giả sử x ∈ E
+
và x = θ. Theo định nghĩa, ∃ n, m ∈ N
∗
, ∃α = α(x) >
0, β = β(x) > 0,
αu
0
≤ A
n
x, A
m
x ≤ βu
0
. (1.2.5)
Suy ra, có thể coi n > m,
A
n−m
u
0
≥ A
n−m
(β

−1
A
m
x) = β
−1
αu
0
. (1.2.6)
+ Trường hợp n − m và k nguyên tố cùng nhau: (n − m, k) = 1. Tồn tại
hai số p, q ∈ N
∗
:
p(n − m) − qk = 1 (1.2.7)
hoặc
− p(n − m) + qk = 1. (1.2.8)
Đối với trường hợp (1.2.7) ta có:
Au
0
= A
p(n−m)−qk
u
0
≥ A
p(n−m)−qk
(β
−q
0
A
qk
u

0
) = β
−q
0
A
p(n−m)
u
0
≥ β
−q
0
(β
−1
α)
p
u
0
(do(1.2.4) và (1.2.6)).
Gọi r ∈ N
∗
là số sao cho m + rk > n. Khi đó,
A
m+rk
x ≤ βA
rk
u
0
≤ ββ
r
0

u
0
(do (1.2.4) và (1.2.5)), (1.2.9)
19
do (1.2.9) ta có
A
m+rk
x = A
m+rk−n
(A
n
x) ≥ αA
m+rk−n
u
0
≥ α[β
−q
0
(β
−1
α)
p
]
m+rk−n
u
0
.
(1.2.10)
(1.2.9)và (1.2.10) chứng tỏ toán tử A là toán tử u
0

−dương.
Đối với trường hợp (1.2.8) ta có
Au
0
= A
qk−p(n−m)
u
0
≤ A
qk−p(n−m)
[(βα
−1
)
p
A
p(n−m)
u
0
]
= (βα
−1
)
p
A
qk
u
0
≤ (α
−1
β)

p
β
q
0
u
0
(do (1.2.4) và (1.2.6)). (1.2.11)
Do đó,
A
n
x = A
n−m
(A
m
x) ≤ βA
n−m
u
0
≤ β[β
q
0
(α
−1
β)
p
]
n−m
u
0
(do (1.2.11))

(1.2.12)
(1.2.5) và (1.2.12) chứng tỏ toán tử A là toán tử u
0
−dương.
+ Trường hợp n − m và k có ước chung lớn nhất là d.
Đặt n − m = d
0
∈ N
∗
và kí hiệu
k = k
0
d, m = m
0
d + r, n = 
0
d + m
0
d + r = n
0
d + r.
Hiển nhiên, m
0
< n
0
.
Kí hiệu A
d
= B, A
r

x = y. Các hệ thức (1.2.4) và (1.2.5) có thể viết
lại:
α
0
u
0
≤ B
k
0
u
0
≤ β
0
u
0
,
αu
0
≤ B
n
0
y, B
m
0
y ≤ βu
0
.
Vì các số n
0
− m

0
và k
0
nguyên tố cùng nhau, y ∈ E
+
và y = θ, nên theo
chứng minh trên đây, tìm được các số s ∈ N
∗
, α

> 0, β

> 0 sao cho
α

u
0
≤ B
s
y ≤ β

u
0
.
20
Suy ra,
α

u
0

≤ A
sd+r
x ≤ β

u
0
.
Nên toán tử A là toán tử u
0
-dương trên E.
Điều kiện đủ. Giả sử toán tử A là toán tử u
0
-dương trên E. Theo định
nghĩa toán tử u
0
-dương ta có ∀x ∈ E
+
và x = θ, ∃s = s(x) ∈ N
∗
, ∃α =
α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0,
αu
0
≤ A
s
x ≤ βu
0
. (1.2.13)
Hệ thức (1.2.13) chứng tỏ toán tử A là toán tử u
0

-bị chặn trên và
u
0
-bị chặn dưới trên E.
Định lý được chứng minh.
1.3. Toán tử tuyến tính dương trong không gian vec-
tor thực nửa sắp thứ tự C[a, b]
1.3.1. Không gian vector thực C[a, b]
Xét tập hợp tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn
[a, b], (−∞ < a < b < +∞). Các phép toán cộng và nhân với vô hướng
trên C[a, b] xác định như sau:
Phép cộng:
+ : C[a, b] × C[a, b] −→ C[a, b]
(x, y) −→ x + y
xác định bởi (x + y)(t) = x(t) + y(t), ∀ t ∈ [a, b].
21
Phép nhân với vô hướng:
· : R × C[a, b] −→ C[a, b]
(λ, x) −→ λx
xác định bởi (λx)(t) = λx(t), ∀ t ∈ [a, b].
Dễ dàng thấy rằng tập hợp C[a, b] cùng với hai phép toán cộng và
nhân với vô hướng ở trên lập thành một không gian vector trên trường
số thực R.
Thật vậy, ta kiểm tra sựu thỏa mãn các tiên đề về không gian vector:
1. Với mọi x, y, z ∈ C[a, b] ta có
[(x + y) + z](t) = (x + y)(t) + z(t) = x(t) + y(t) + z(t)
= x(t) + (y + z)(t) = [x + (y + z)](t) ∀ t ∈ [a, b]
=⇒(x + y) + z = x + (y + z);
2. Với mọi x, y ∈ C[a, b] ta có
(x + y)(t) = x(t) + y(t) = y(t) + x(t)

= (y + x)](t) ∀ t ∈ [a, b]
=⇒x + y = y + x;
3. Tồn tại hàm không θ : t −→ θ(t) = 0, ∀t ∈ [a, b]. Ta có với mọi
x ∈ C[a, b] thỏa mãn
(θ + x)(t) = θ(t) + x(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b].
Hàm không θ là phần tử không của C[a, b];
22