Một số đặc trưng của các bán vi phân féchet của hàm liên tục trên không gian n¡

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC BÁN VI PHÂN FRÉCHET CỦA
HÀM LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN
n
¡

Trần Văn Bằng
1
, Phan Trọng Tiến
2
Tóm tắt: Bài viết này cung cấp những đặc trưng của dưới (trên) vi phân Fréchet của hàm
liên tục n biến và một số ví dụ cụ thể về tính trên (dưới) vi phân.
Từ khóa: Dưới vi phân, Dưới vi phân Fréchet, Giải tích không trơn

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Dưới (trên) vi phân là các công cụ quan trọng của Giải tích không trơn, chúng có vai trò
tương tự như đạo hàm (vi phân) trong Giải tích toán học. Cho đến nay, đã có rất nhiều các kết
quả, công trình về các tính chất định tính của các khái niệm này (xem [1,2,5],[8]-[10]). Vai
trò quan trọng của các khái niệm này còn được khẳng định qua các ứng dụng ý nghĩa của
chúng đối với lí thuyết tối ưu, lí thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng (xem
[3]-[5],[8]-[10] và các tài liệu trích dẫn trong đó).
Tuy nhiên đối với nhiều sinh viên đại học, học viên cao học chuyên ngành Toán, các
khái niệm này vẫn còn là những khái niệm trừu tượng, thậm chí là xa lạ, ngay cả việc tính
toán các dưới vi phân trong các trường hợp cụ thể. Vì vậy bài viết này nhằm mục đích giới
thiệu các công cụ quan trọng này của Giải tích không trơn.
Trong bài viết này, chúng tôi đề cập tới khái niệm dưới (trên) vi phân Fréchet-một trong
những khái niệm bán vi phân đơn giản nhất của hàm liên tục
n
biến, tập hợp những tính chất,
đặc trưng cơ bản nhất để giúp cho người đọc hiểu sâu sắc về chúng và để vận dụng trong việc
tính toán cụ thể. Các phép toán về dưới vi phân Fréchet cũng như những liên hệ của dưới vi
phân Fréchet với các loại dưới vi phân khác có thể tìm thấy trong [2,8-10].

2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Bán vi phân của hàm liên tục
Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu thông dụng sau đây:
n
¡
là không gian
Euclide
n
chiều, với tích vô hướng và chuẩn thông thường.
1

n
ii
i
x y x y



,
2
1
||
n
i
i
xx



,

11
( , , ), ( , , ) ;
n
nn
x x x y y y   ¡

Ω
n
 ¡
là một tập mở,
i
e
là véc tơ đơn vị của trục
,1 ; ( , )
i
x i n B x r
là hình cầu mở
tâm
x
bán kính
0r 
và
( , )B x r
là hình cầu đóng tâm
x
bán kính
0r 
. Nếu
u
khả vi

1
TS, Trường ĐHSP Hà Nội 2
2
ThS, Trường Đại học Quảng Bình
(Fréchet) tại
Ωx
thì đạo hàm của
u
tại
x
được kí hiệu là
11
( ); (Ω), (Ω), (Ω)
c
Du x C C C
lần
lượt là tập hợp tất cả các hàm liên tục, khả vi liên tục, khả vi liên tục và có giá compact trong
Ω
.
Định nghĩa 2.1: ([3], trang 28) Cho
(Ω).uC
Ta gọi các tập hợp
( ) ( ) .( )
( ) : limsup 0}
||
{p
n
yx
u y u x p y x

D u x
yx


  
  

¡
,
( ) ( ) .( )
( ) : liminf 0}
||
{p
n
yx
u y u x p y x
D u x
yx


  
  

¡

lần lượt là trên vi phân và dưới vi phân của
u
tại
x
và gọi dưới vi phân hoặc trên vi phân

là bán vi phân. Nếu
( ) ( ( ) )D u x D u x

   
thì ta nói hàm
u
dưới khả vi (tương ứng, trên
khả vi) tại
.x

Ví dụ 2.1: Tính
(0)Du

với
:u ¡¡
xác định bởi
1
.sin 0
()
0 0.
nÕu
nÕu
xx
ux
x
x










Theo định nghĩa ta có
(0)p D u


khi và chỉ khi
00
( ) (0) . 1
limsup limsup |sin | . 1 | | 0
| | | |
xx
u x u p x x
pp
x x x



    



nên
(0) .Du



(0)p D u


khi và chỉ khi
00
( ) (0) . 1
liminf liminf |sin | . | | 0 0,
| | | |
xx
u x u p x x
p p p
x x x



      



do đó
(0) {0}.Du



Nhận xét 2.1: Theo định nghĩa, để tìm bán vi phân, chúng ta cần tìm các giới hạn trên và
giới hạn dưới của các biểu thức tương ứng. Tuy nhiên vấn đề này thường không đơn giản,
nhất là đối với hàm nhiều biến số. Vì thế chúng ta cần phải chỉ ra các đặc trưng cụ thể hơn.
2.2. Một số tính chất, đặc trưng cơ bản của bán vi phân
Đầu tiên chúng ta quan tâm tới mối liên hệ giữa các bán vi phân và tính khả vi của
.u

Kết quả này được chỉ ra trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.1: ([2], Lemma 1.8) Cho
: Ωu  ¡
là một hàm liên tục trên
n
¡
. Khi đó
i) Nếu
u
khả vi tại
x
thì
( ) ( ) { ( )}.D u x D u x Du x



ii) Nếu
()D u x

và
()D u x

là các tập khác rỗng thì
u
khả vi tại
x
.
Ví dụ 3.2: Tính dưới vi phân của hàm
( ) | |, .u x x x¡

Do
u
khả vi tại mọi
0, ( ) 1x Du x
nếu
0x 
và
 
1Du x 
nếu
0x 
nên
( ) {1}D u x


nếu
0x 
và
( ) { 1}D u x


nếu
0x 
.
Tại
0x 
, tính trực tiếp bằng định nghĩa ta có
(0) [ 1,1].Du




Ví dụ 3.2: Tính
( ),D u x

biết
2 2 2
12
( ) | | .u x x x x   L

Do
u
khả vi trên
n
¡
và
1
( ) ( , , ) 2
n
xx
Du x u u xL
nên
( ) ( ) {2 }.D u x D u x x



Một trong những đặc trưng quan trọng của hàm khả vi tại một điểm là ta có thể xấp xỉ
(địa phương) hàm đó với một đa thức bậc nhất. Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta đặc trưng
tương tự của tính dưới (trên) khả vi. Kết quả này được sử dụng khá phổ biến trong các ứng
dụng (xem [8]), nhưng chúng tôi chưa thấy phát biểu cụ thể trong tài liệu nào. Chứng minh

dưới đây là của chúng tôi, bằng cách sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 3.1: ([7], Lemma 1.4) Cho
φ (Ω)C
và
φ
khả vi tại
0
Ω.x 
Khi đó tồn tại các
hàm
ψ

và
ψ

sao cho
1
ψ (Ω)C


,
00
ψ ( ) φ( ),D x D x



00
ψ ( ) φ( )xx



và
ψφ


,
ψφ



trên
00
( , )\{ }B x r x
với
0r 
nào đó.
Mệnh đề 3.2 Cho
u
là một hàm liên tục trên
Ω.
Khi đó
i)
()p D u x


khi và chỉ khi tồn tại
δ0
sao cho
( ) ( ) ( ) (| |), ( ,δ).u y u x p y x o y x y B x      

ii)

()p D u x


khi và chỉ khi tồn tại
δ0
sao cho
( ) ( ) ( ) (| |), ( ,δ).u y u x p y x o y x y B x      

Chứng minh. Giả sử
( ).p D u x


Đặt
η( ) ( ( ) ( ) .( )) ,y u y u x p y x

   
trong đó
: max{ ,0}ff


là phần dương của
.f
Theo giả thiết,
η (Ω)C
và
η
khả vi tại
yx
và
η( ) 0Dx

vì
η( ) 0x 
và
η( ) η( )
inf 0 sup .lim li
| | | |
m
yx
yx
yy
y x y x




Theo Bổ đề 3.1, tồn tại
1
ψ (Ω)C


sao cho
ψ ( ) η( ), ψ ( ) 0x x D x


và
ψη


trên
( , ) \{ }B x r x

với
0r 
nào đó.
Khi đó
ηψ


đạt cực đại địa phương chặt tại
x
,
(η ψ )( ) 0x


và
{ ( ) [ ( ) .( )]} ψ ( ) 0, ( , ) \{ }.u y u x p y x y y B x r x

      

Giả sử
( ) ( ) ( ) (| |), ( ,δ).u y u x p y x o y x y B x      
Khi đó ta có
( ) ( ) .( ) (| |)
( ) ( ) .( ) (| |) ,
| | | |
u y u x p y x o y x
u y u x p y x o y x
y x y x
   
      


nên
( ) ( ) .( ) (| |) (| |)
sup sup limlim li 0,
| | | | | |
m
yx
y x y x
u y u x p y x o y x o y x
y x y x y x


    
  
  

hay
( ).p D u x



ii) Chứng minh tương tự i).
Tiếp theo là một đặc trưng khác của bán vi phân, kết quả này là cầu nối giữa lí thuyết bán
vi phân và lí thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng (xem [3]).
Mệnh đề 3.3: ([3], Lemma 1.7]) Cho
(Ω).uC
Khi đó,
i)
()p D u x



nếu và chỉ nếu tồn tại
1
φ (Ω)C
sao cho
φ( )D x p
và
φu 
đạt cực đại
địa phương tại
x
;
ii)
()p D u x


nếu và chỉ nếu tồn tại
1
φ (Ω)C
sao cho
φ( )D x p
và
φu 
đạt cực
tiểu địa phương tại
.x

Định nghĩa 3.1: Cho
n
X  ¡

là một tập lồi, hàm
:uX ¡
được gọi là một hàm lồi
nếu:
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), , , [0,1].u tx t y tu x t u y x y X t        

Đối với các hàm lồi thì dưới vi phân Fréchet trùng với dưới vi phân theo nghĩa Giải tích
lồi. Kết quả này đã được nêu dưới dạng bài tập trong [3] (Exercise 1.3). Chứng minh dưới
đây là của chúng tôi.
Mệnh đề 3.4: Cho
n
X  ¡
là một tập lồi. Nếu
u
là một hàm lồi trên
X
thì
( ) { | ( ) ( ) .( ), }.
n
Du x p u y u x p y x y X

      ¡

Chứng minh. Đặt
( ) { | ( ) ( ) .( ), }.
n
u x p u y u x p y x y X       ¡

Theo định nghĩa
()ux

và Mệnh đề 3.2 ta có
( ) ( ).u x Du x



Ngược lại, nếu
( ),p Du x


theo định nghĩa ta có
(,δ)
δ0
( ) ( ) .( ) ( ) ( ) .( )
inf sup inf 0.
| | | |
lim
y x y B x
u y u x p y x u y u x p y x
y x y x


     



Mặt khác,
u
là hàm lồi nên tồn tại
δ0
sao cho

(,δ)
( ) ( ) .( )
inf 0.
||
y B x
u y u x p y x
yx

  


Suy
ra
( ) ( ) .( ) 0, ( ,δ)u y u x p y x y B x     
hay
( ) ( ) .( ), ( ,δ).u y u x p y x y B x    

Với mọi
yX
và với mọi
δ
0 min ,1
||
t
yx






thì
(1 ) ( ,δ).t x ty B x  
Vì
u
là một
hàm lồi nên
(1 ) ( ) ( ) ((1 ) ) ( ) ( ),t u x tu y u t x ty u x tp y x       

và do đó
(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).t u x tu y u x tp y x u y u x p y x        

Ví dụ 3.3: Cho hàm
:
n
u ¡¡
xác định bởi
12
( ) | | | | | |,
n
u x x x x   
với
1
( , , )
n
n
x x x¡
. Tính
(0)Du

và

0
()Du x

với
{
0
2
(0,0,1, ,1)
sè
n
n
x

¡
.
Vì
u
là một hàm lồi nên theo Mệnh đề 3.4,
11
(0) ( ) (0) . , | | . .
nn
n
i i i
ii
p D u u x u p x x x p x


       

¡

(3.1)
Lấy
(1,0, ,0)
n
x ¡
trong (3.1) ta có
1
1 p
, lấy
( 1,0, ,0)
n
x    ¡
trong (3.1) ta
có
1
1 ,p
do đó
1
1 1.p  
Tương tự ta chỉ ra được
11
i
p  
với
1 in
. Vậy
1
(0) { ( , , ) | [ 1,1], 1 }.
n
ni

D u p p p p i n

     ¡

Ngược lại, với
1
( , , ) , [ 1,1], 1
n
ni
p p p p i n    ¡
, ta có
1 1 1 1
. | . | | |.| | | |
n n n n
i i i i i i i
i i i i
p x p x p x x
   
  
   

nên (3.1) đúng với mọi
.
n
x¡
Vậy
1
(0) { ( , , ) | [ 1,1], 1 }.
n
ni

D u p p p p i n

     ¡

Tiếp theo ta tính
0
( ).Du x

Lại theo Mệnh đề 3.4,
0 0 0
1 1 2 2
13
( ) ( ) ( ) .( )
| | 2 . . .( 1), .
nn
n
i i i
ii
p D u x u x u x p x x
x n p x p x p x x


    
        

¡
(3.2)
Lấy
(1,0,1, ,1)
n

x ¡
trong (3.2) ta có
1
,12n n p   
suy ra
1
1p 
. Lấy
( 1,0,1, ,1)
n
x   ¡
trong (3.2) ta có
1
12n n p   
, suy ra
1
1.p 
Vậy
1
1 1.p  

Tương tự, lấy
n
x ¡
lần lượt là
(0,1, ,1)
và
(0, 1,1, ,1)
ta có
2

1 1.p  

Lấy
(0,0,2,1, ,1)
n
x ¡
trong (3.2) ta có
3
12n n p   
, suy ra
3
1p 
. Lấy
(0,0,0,1, ,1)x 
trong (3.2) ta có
3
32n n p   
, suy ra
3
1p 
. Vậy
3
1p 
.
Tương tự ta cũng chỉ được
1, 3, .
i
p i n
Như vậy,
01

( ) { ( , , ) | [ 1,1], 1,2, 1, 3 }.
n
n i i
D u x p p p p i p i n

       ¡

Ngược lại, với
1
( , , ) , [ 1, 1], 1,2, 1, 3
n
n i i
p p p p i p i n      ¡
ta có (3.2) trở thành
1 1 2 2 1 1 2 2
1 3 1 3
| | 2 . . ( 1) | | . . .
n n n n
i i i i
i i i i
x n p x p x x x p x p x x
   
         
   
(3.3)
Rõ ràng
1 1 2 2 1 1 2 2
3 3 1
. . | . | | . | | | | |
n n n

i i i
i i i
p x p x x p x p x x x
  
     
  
thỏa với mọi
n
x ¡
nên
(3.3) đúng. Vậy:
01
( ) { ( , , ) | [ 1,1], 1,2, 1, 3, }.
n
n i i
D u x p p p p i p i n

       ¡

Ví dụ 3.4: Cho hàm
:
n
u ¡¡
xác định bởi
12
( ) max(| |,| |, ,| |),
n
u x x x x
với
1

( , , ) .
n
n
x x x¡

Tính
()Du x

.
Dễ thấy,
u
là một hàm lồi trên
.
n
¡
Cố định
, 0.
n
xx¡

Đặt
: ( ) | | 1, ,{ } { }
i
I i u x x n
ta có
I 
và giả sử
iI
bất kì. Ta có
,.

ki
x x k I  

Theo Mệnh đề 3.4,
12
( ) ( ) ( ) .( ),
max(| |,| |, ,| |) | | .( ).
n
ni
p D u x u y u x p y x y
y y y x p y x

      
   
¡
(3.4)
Đặt
δ | | max(| |) 0
ij
jI
xx

  
, xét
. ( ), ( δ,δ)sgn
i
i
iI
y x t e x t


   

. Khi đó
jj
yx
nếu
jI
và
. ( ) .sgn( ),
k ikki
y x t x x t x   sgn
nếu
.kI
Với
y
này thì (3.4) cho ta
| . ( )| | | . . ( ) | | | | . . ( )
i i i i i
k I k
k k k
I
k
x t x x t p x x t x t p x

      

sgn sgn sgn

. . ( ).
kk

kI
t t p x



sgn
(3.5)
Nếu
0t 
thì (3.5) cho ta
1 . ( )
k
k
k
I
px



sgn
, còn nếu
0t 
thì (3.5) cho ta
1 . ( )
k
k
k
I
px




sgn
. Do đó
1 . ( ).
k
kI
k
px



sgn

Tiếp đến ta chọn
, δ δ) (
i
ty x t e  
Nếu
0
i
x 
thì: với
0,t 
(3.4) sẽ cho ta
1
i
p 
;
với

0,t 
(3.4) sẽ cho ta
1
i
p 
nếu
| | 1I 
và
0
i
p 
nếu
| | 1I 
(trong đó
||I
là số phần tử
của tập
I
). Nếu
0
i
x 
thì: với
0,t 
(3.4) sẽ cho ta
1
i
p 
; với
0,t 

(3.4) sẽ cho ta
1
i
p 
nếu
| | 1I 
và
0
i
p 
nếu
| | 1I 
.
Với chỉ số
jI
ta chọn
yy
với
kk
yx
nếu
kj
và
j
j
y x t
với
( δ,δ)t 
. Khi
đó (3.4) trở thành

| | | | . 0 .
i i j j
x x t p t p   
nên
0
j
p 
.
Vậy ta có
()
{ | 0 , . ( ) 1, . ( ) 1 | | 1;
0 . ( ) 1 | | 1}
n
j i i i i
iI
ii
D u x
p p j I p x p x i I I
p x i I I



      
   

nÕu sgn sgn nÕu vµ
sgn nÕu vµ
¡
(3.6)
Ngược lại, với

p
thuộc tập bên phải của (3.6) ta kiểm tra
( ) ( ) . , ( ) | | . , , .
k
nn
I
ki
k
u x h u x ph h u x h x p h i I h

          

hay ¡¡
(3.7)
Lấy
n
h ¡
sao cho
||δh 
ta có
( ) ( )u x h u x h  
trong đó
kk
hh
nếu
kI
,
0
k
h 

nếu
kI
. Khi đó (3.7) trở thành
( ) | | max | | | | .
ii
k
k k k
I
k
kk
I k I
k
u x h x p h x h x p h


     

hay
(3.8)
Ta có, do
| sgn( ) sg|| n( || )|
k k k k k ki
kk
ki
I k I I
x x px x xppx
  
  
  

nên
00
| | . ( ) ( ) ) .(
kk
k k k k k k k k ki i i
k I k I
i I k I
pp
x p h x h p x h p x h p



      
   

Mà
0 0 0 0
( ) ( ) max | | ( )max | |
( ( ))max | | max | |.
k k k k
k I i I i i
k I k I k I k
k k k k k k k k k k
k k k k k k
I
p p p p
k I k I
kI
x h p x h p p x h p x h
p x x h x h


   
   


       
   
   

sgn

Vậy (3.8) đúng khi
||δh 
. Khi
h
bất kì thuộc
n
¡
,
0h 
, với mọi
δ
0 min ,1 ,
||
t
h





do tính lồi của hàm
u
và áp dụng (3.8) với
h
là
th
ta có
(1 ) ( ) ( ) ((1 ) ( )) ( ) . .t u x tu x h u t x t x h u x tp h        

Do đó
( ) ( ) . ( ) ( ) . ( 0).tu x h tu x tp h u x h u x ph t       do

Vậy, (3.8) đúng với mọi
,
n
h ¡
do đó tại
0x 
ta có
()
{ | 0 , . ( ) 1, . ( ) 1 | | 1;
0 . ( ) 1 | | 1}.
n
j i i i i
iI
ii
D u x
p p j I p x p x i I I
p x i I I




      
   

nÕu sgn sgn nÕu vµ
sgn nÕu vµ
¡

Giả sử
0.x 
Theo Mệnh đề 3.4,

12
1
(0) ( ) . ,
max(| |,| |, ,| |) , .
n
n
n
n i i
i
p D u u y p y y
y y y p y y


    
   


¡
¡

Dễ thấy
0p 
thỏa mãn bất đẳng thức trên. Nếu
0p 
thì chọn
n
y ¡
xác định bởi
sgn( )
ii
yp
ta nhận được
1
| | 1.
n
i
i
p



Điều này cũng đúng với
0.p 
Ngược lại, nếu
1
: | | 1
n

n
i
i
pp



¡
thì ta có
1 2 1 2
11
| |max(| |, | |, ,| |) max(| |,| |, ,| |), .
nn
n
i i i n n
ii
p y p y y y y y y y

   

¡

Vậy
1
(0) | |{p : 1}.
n
n
i
i
D u p



  

¡

Tiếp theo, chúng chỉ ra mối liên hệ giữa bán vi phân và các bán vi phân theo từng biến.
Kết quả này được nêu trong [3], Exercise 2.8 (a). Bài tập đó khẳng định hai chiều, tuy nhiên
chúng tôi nhận thấy rằng phần đảo là không đúng (xem Ví dụ 3.5 dưới đây).
Mệnh đề 3.5: Cho
(Ω)uC
và
i
e
là véc tơ đơn vị thứ
i
của
n
¡
. Các tập
0
( ) ( ) α
( ) {α : suplim 0},
||
i
i
t
u x te u x t
D u x
t



  
  ¡

0
( ) ( ) α
( ) {α : inflm 0}
|
i
|
i
i
t
u x te u x t
D u x
t


  
  ¡

gọi là trên vi phân và dưới vi phân của
u
theo biến
i
x
tại
.x
Khi đó, nếu

1
( , , ) ( )
n
p p p D u x

L
thì
( ), 1, ,
ii
p D u x i n


và nếu
1
( , , ) ( )
n
p p p D u x


thì
( ), 1, , .
ii
p D u x i n



Chứng minh. Giả sử
1
( , , ) ( )
n

p p p D u x


, theo định nghĩa ta có:
( ) ( ) .( )
sup 0l .
||
im
yx
u y u x p y x
yx

  


Rõ ràng, với mỗi
1, ,in

(,δ) | | δ | | δ
( ) ( ) .
( ) ( ) .( ) ( ) ( ) .
sup sup sup
| | | | | |
i
ii
i
i
y B x t t
u x te u x p t
u y u x p y x u x te u x pte

y x te t
  
  
     



nên
δ 0 δ 0
(,δ) | | δ
( ) ( ) .
( ) ( ) .( )
inf sup inf sup
| | | |
i
i
y B x t
u x te u x p t
u y u x p y x
y x t




  
  








hay
0
( ) ( ) .
( ) ( ) .( )
sup sup
||
lim lim
||
i
i
y x t
u x te u x p t
u y u x p y x
y x t

  
  



suy ra
0
()
l
( ) .
sup 0
||

im
i
i
t
u x te u x p t
t

  


hay
( ).
ii
p D u x


Phần còn lại của mệnh đề được chứng minh tương tự.
Ví dụ 3.5: Cho
2
:u ¡¡
xác định bởi
22
12
( ) | | ,u x x x x  
với
2
12
( , ) .x x x¡
Do
hàm

u
lồi nên
(0) | | . , .
n
p D u x p x x

    ¡
Chọn
xp
ta suy ra
| | 1.p 

Mặt khác, với mọi
12
( , )p p p
sao cho
| | 1p 
, với mọi
2
12
( , )x x x¡
ta đều có
. | . | | |.| | | |p x p x p x x  
. Do đó
(0) (0,1).D u B



Tương tự Ví dụ 3.1 ta có kết quả
1

(0) [ 1,1]Du


và
2
(0) [ 1,1]Du


.
Do đó
[ 1,1] [ 1,1] (0,1).B   
Chứng tỏ chiều ngược lại của Mệnh đề 3.5 không đúng.
Hai mệnh đề sau đây cho chúng ta quy tắc tính bán vi phân của hàm trơn từng mảnh tại
các điểm không trơn. Đây là kết quả mà chúng tôi tách ra từ các kết quả về nghiệm nhớt
trong [3], Proposition 2.9.
Mệnh đề 3.6: (Dưới vi phân của hàm một biến trơn từng khúc)
Giả sử
u
liên tục trên khoảng
( , )a h a h
, khả vi trên các tập
( , ]a h a
,
[ , )a a h

nhưng không khả vi tại
.a
Khi đó ta có:

( ) [ ( ), ( )]D u a u a u a

  


và
( ) [ ( ), ( )],D u a u a u a
  



trong đó
()ua


và
()ua


là đạo hàm trái và đạo hàm phải của
u
tại
a
.
Chứng minh. Vì
u
có đạo hàm trái và phải tại
a
nên
( ) ( )( ) (| |)
()
( ) ( )( ) (| |) .

u a u a y a o y a y a
uy
u a u a y a o y a y a




    



    

nÕu
nÕu
(3.9)
Do đó, nếu
()p D u a


thì ta có
( ) ( ) ( ) (| |)u y u a p y a o y a    
.
Suy ra khi
ya
ta có
( ) ( )( ) (| |) ( ) ( ) (| |)
( ( ) )( ) (| |)
u a u a y a o y a u a p y a o y a
u a p y a o y a




        

    

nên
(| |)
( ) ( ) .
o y a
u a p u a p
ya



   


Khi
ya
ta có
( ) ( )( ) (| |) ( ) ( ) (| |)
( ( ) )( ) (| |)
u a u a y a o y a u a p y a o y a
u a p y a o y a



        


    

nên
(| |)
( ) ( )
o y a
u a p u a p
ya



   

. Vậy
[ ( ), ( )]p u a u a



.
Ngược lại, giả sử
[ ( ), ( )]p u a u a



từ (3.9) ta có với
ya
thì
( ) ( ) (| |)
( ) ( ) ( ) ( ) (| |).

u y u a o y a
u a p u y u a p y a o y a
ya

  

       


Với
ya
thì
( ) ( ) (| |)
( ) ( ) ( ) ( ) (| |).
u y u a o y a
u a p u y u a p y a o y a
ya

  

       


Do đó với mọi
( , )y a h a h  
thì
( ) ( ) ( ) (| |)u y u a p y a o y a    
hay
( ).p D u a




Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có
( ) [ ( ), ( )]D u a u a u a
  


.
Ví dụ 3.6: Tính dưới vi phân
1
()
2
Du

của hàm:
1
2
()
1
1.
2
nÕu
nÕu
xx
ux
xx












Ta có
1
( ) 1;
2
u




1
( ) 1
2
u



nên
1
()
2
Du



và
1
( ) [ 1,1].
2
Du



Để mở rộng Mệnh đề 3.6 cho trường hợp nhiều chiều ta kí hiệu:
12
Ω Ω Ω Γ,  
trong
đó
Ω ( 1, 2)
i
i 
là các tập con mở của
Ω
và
Γ
là một mặt cong trơn. Gọi
()Tx
,
Γx
là siêu
phẳng tiếp xúc với
Γ
tại
x
và

()nx
là véc tơ pháp tuyến đơn vị của
Γ
hướng vào tập
1
Ω
.
Kí hiệu
,
TN
PP
lần lượt là phép chiếu vuông góc trong
n
¡
lên
()Tx
và lên không gian véc tơ
sinh bởi
()nx
.
Mệnh đề 3.7: (Dưới vi phân của hàm trơn từng mảnh)
Cho
(Ω)uC
và hạn chế
i
u
trên
ΩΓ
i


nằm trong
1
(Ω Γ), 1, 2.
i
Ci
Khi đó
21
) ( ) ( ) ξ ( ),ξ [ ( ). ( ), ( ). ( )], Γ;
i
T
i D u x P Du x n x Du x n x Du x n x x

   

12
) ( ) ( ) ξ ( ),ξ [ ( ). ( ), ( ). ( )], Γ.
i
T
ii D u x P Du x n x Du x n x Du x n x x

   

Chứng minh. Việc chứng minh i) và ii) là tương tự. Sau đây ta chứng minh ii).
Vì
12
uu
trên
Γ
nên ta có
12

( )( ( )) 0u u x t
với mọi
[0,1],t 
trong đó
(.)x
là tham số
hóa của đường cong trơn bất kì nằm trong
Γ
sao cho
(0)xx
.
Do
Γ
là một mặt trơn nên
12
( )( ( )). ( ) 0, [0,1].D u u x t x t t

   

Đặc biệt, khi
0t 
ta có
12
( )( ).τ 0, τ ( ).D u u x T x   
Do đó
12
( ) ( ), Γ.
TT
P Du x P Du x x

Tại
Γ,x
vì
12
,uu
là các hàm khả vi trên
Γ
nên
( ) ( ) ( ( ) ( )) ,.( ) (| |), ( ,δ) Ω 1,2.
i i i
TN
u y u x P Du x P Du x y x o y x y B x i         

Do đó
()p D u x


khi và chỉ khi
( ( ) ( )).( ) ( ).( ) (| |), ( ,δ).
ii
T N T N
P Du x P Du x y x P p P p y x o y x y B x        
(3.10)
Lấy
τy x t
với
τ ( )Tx
trong (3.10) ta nhận được
( ). τ .τ (| τ |), ( δ,δ).
i

TT
P Du x t P p o t t    

Với
0,t 
ta có
(| τ |)
( ).τ .τ .
i
TT
ot
P Du x P p
t

Cho
0 ,t



ta có
( ).τ .τ 0.
i
TT
P Du x P p

Với
0,t 
ta có
(| τ |)
( ).τ .τ .

i
TT
ot
P Du x P p
t

Cho
0t



ta có
( ).τ .τ 0.
i
TT
P Du x P p
Chứng tỏ
( ( ) ).τ0
i
TT
P Du x P p
với mọi
τ ( )Tx
hay
12
( ) ( ).
T T T
P p P Du x P Du x

Mặt khác, khi

1
Ωy
,
()y x tn x
với
0t 
thì (3.10) cho ta
1
( ). ( ) . ( ) ( )/ ,
NN
P Du x n x P p n x o t t

Tương tự, khi
2
Ω ( ),y y x tn x  
với
0t 
thì (3.10) cho ta
2
. ( ) ( ). ( ) ( ) / .
NN
P p n x P Du x n x o t t

Mà
. ( ) . ( )
N
P q n x q n x
nên
12
( ) { : ( ) ξ ( );ξ [ ( ). ( ), ( ). ( )]}, Γ.

ni
T
D u x q q P Du x n x Du x n x Du x n x x

      ¡

Ngược lại, giả sử
12
{ : ( ) ξ ( );ξ [ ( ). ( ), ( ). ( )]}.
ni
T
p q q P Du x n x Du x n x Du x n x    ¡

Khi đó (3.10) trở thành
( ( ) ξ ( ))( ) (| |).
i
N
P Du x n x y x o y x   

(3.11)

Rõ ràng (3.11) đúng khi
τ, τ ( )y x t T x  
. Khi
1
Ωy
,
()y x tn x
với
0t 

thì ta có
1
1
1
( ( ) ξ ( ))( )
( ( ) ( ) ξ)
()() ξ 0.
| | | |
N
P Du x n x y x
Du x n x t
Du x n x
y x t


   


Khi
2
Ωy 
,
()y x tn x
với
0t 
thì ta có
2
2
2
( ( ) ξ ( ))( )

( ( ) ( ) ξ)
ξ ( ) ( ) 0
| | | |
N
P Du x n x y x
Du x n x t
Du x n x
y x t


   


nên (3.11) đúng.
Ví dụ 3.7: Tính
(0,1)Du

và
(0,1)Du

biết
2
2 1 1 2
( ) ( | |) , ( , ) .u x x x x x x

   ¡
Ta có
2 1 2 1
21
21

2 1 2 1 1
2 1 2 1 1
21
| | | |
( ) ( | |)
0 | |
0
0
0 | |.
nÕu
nÕu
nÕu vµ
nÕu vµ
nÕu
x x x x
u x x x
xx
x x x x x
x x x x x
xx



  



  



    





Điểm
(0,1)
nằm trên đường không trơn
12
0, 0xx
của
.u
Ta đặt
1 2 2 2
2 1 1 2 1 1
2
1
Ω { | , 0}; Ω { | , 0};
Γ { | 0}.
x x x x x x x x
xx
        
  
¡¡
¡

Khi đó,
1
21

( ) ,u x x x

2
21
( ) .u x x x
Ta có
1
( ) ( 1,1)Du x 
,
2
( ) (1,1)Du x 
nên
12
( ) (0,1) ( )
TT
P Du x P Du x
và
1
( ). ( ) 1,Du x n x 
2
( ). ( ) 1Du x n x 
.
Do đó
(0,1) {(0,1) ξ.(1, 0) | 1 ξ 1}
{(ξ,1) | 1 ξ 1} [ 1,1] {1}
Du

    
      

và
(0,1) .Du



3. KẾT LUẬN
Bài viết đề cập tới một số tính chất, đặc trưng cơ bản của các bán vi phân của hàm liên
tục
n
biến, đặc biệt là các ví dụ cụ thể về tính các bán vi phân, giúp cho người đọc có thể tiếp
cận với công cụ quan trọng của Giải tích không trơn này một cách thuận lợi hơn. Dưới vi
phân còn có một số đặc trưng quan trọng khác như đặc trưng thông qua nón pháp của trên đồ
thị. Tuy nhiên, do khuôn khổ của bài báo, chúng tôi không đề cập ở đây. Độc giả quan tâm
tới đặc trưng này có thể xem [1,9].


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Đông Yên, Giáo trình giải tích đa trị, Nxb Khoa học Tự nhiên và Công nghệ,
H., 2007.
2. J. M. Borwein and Q. J. Zhu, A survey of subdifferential calculus with applications,
Journal nonlinear analysis, Vol. 38, pp.687-773, 1999.
3. M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-
Jacobi-Bellman equations, Birkhauser, Berlin, 1997.
4. M. Bardi, M. G. Crandall, L. C. Evans, H.M. Soner, P. E. Souganidis, Viscosity
Solutions and Applications, Springer, 1995.
5. F. C. Clarke, Optimization and nonsmooth analysis, Canadian mathematical society
series of monographs and advanced texts, John Wiley, New York, 1983.
6. M. G. Crandall and P. L. Lions, Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans.
Amer. Math. Soc., 277: pp.1-42, 1983.
7. M. G. Crandall, L. C. Evans and P. L. Lions, Some properties of viscosity solutions of

Hamilton-Jacobi equations, Trans. Amer. Math. Soc., 282: pp.487-502, 1984.
8. A. Ya. Kruger, On Fréchet subdifferentials, Journal of Mathematical Sciences 9,
pp.3325-3358, 2003.
9. B. S. Mordukhovic, Variational analysis and generalized differentiation I,II, Springer,
2006.
10. R. T. Rockafellar and R. J-B. Wets, Variational analysis, Springer, New York, 1997.
SOME CHARACTERISTICS OF FRÉCHET SUBDIFFERENTIAL OF
CONTINUOUS FUNCTIONS ON THE SPACE
n
¡

Tran Van Bang, Phan Trong Tien
Abstract
In this paper, we are interested in some properties, characteristics of Fréchet super-and
subdifferentials of multivariables continuous functions and give concrete examples.