Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải xấp xỉ phương trình tích phân fredholm loại hai

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THÁC TRIỂN THEO THAM SỐ
GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI
Khuất Văn Ninh
1

Trần Mạnh Cường
2
hương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được
nghiên cứu trong các công trình của Trenoghin V.A., Fonarov A.A. và
Gaponenco Iu. L. Trong bài viết này, chúng tôi đi nghiên cứu ứng dụng của
phương pháp nói trên trong việc giải gần đúng phương trình toán tử loại hai,
với toán tử tích phân Fredholm.

1. MỞ ĐẦU

Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được nhiều nhà khoa học
nghiên cứu. Trong đó phần lớn các công trình nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình toán
tử loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz tác dụng trong không gian
Banach tuỳ ý .
Phương pháp này sử dụng quá trình lặp, thông qua một số hữu hạn các bước theo tham
số và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co.
2. NỘI DUNG
2.1. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy
biến
Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:

với mọi

(1)
Ta xét hai trường hợp của hạch suy biến:

(2)

(3)
Dưới dạng tổng quát ta hoàn toàn chứng minh được toán tử:

1
PGS.TS, Trường ĐHSP Hà Nội 2
2
Học viên Cao học, K15, Trường ĐHSP Hà Nội 2
x Ax f
A
X

       
,
b
a
u x f x K x t u t dt



 
;x a b
   
,,
n
K x t xt
 
 
, , , 1,2,

m
xt
K x t e n m


P


với hai hạch (2), (3) là đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số:

Như vậy với hai hạch (2), (3) phương trình tích phân Fredholm (1) có thể giải được bằng
phương pháp thác triển theo tham số.
Ví dụ 1. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

với mọi

(4)
Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:

với mọi
+ Toán tử hoàn toàn xác định.
+ Toán tử đơn điệu. Thật vậy, với mọi ta có:



.
+ Toán tử liên tục Lipschitz với hằng số .
Thật vậy, ta có:

   
,,
b
a
Au K x t u t dt

 
1
2
2
,
bb
aa
L K x t dxdt





   
3
2
0
sin
24
u x x x xtu t dt


  


0;
2
x





22
0; 0;
22
:A

   
   
   
LL
 
2
0
Au xtu t dt



0;
2
x






Au
Au
   
2
0;
2
,u t v t




L
       
22
00
,Au Av u v xt u t v t dt u x v x dx



   
    
   




   
2

2
0
0t u t v t dt




  





Au
3
24
L


   
2
0;
2
,u t v t




L
       

1
2
2
2 2 2
0 0 0
Au Av xt u t v t dt xt u t v t dt dx
  


   
    

   



  
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz  Buniakowsky vào đẳng thức trên
ta được:


Suy ra
Vậy là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số .
Khi đó phương trình (4) có nghiệm duy nhất.
Chọn N = 2 khi đó L/2 < 1 và đặt

1
2

o

.
Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (4) ta có quá trình lặp:


Lấy xấp xỉ và . Khi đó ta có:









.


   
11
22
2 2 2
2
22
0 0 0
.Au Av x t dxdt u t v t dt
  
   
   
   
   

   
   
 
3
2
2
0
.
24
Au Av x dx u v u v


     

A
3
1
24
L


     
3
22
1*
00
11
sin .
24 2 2
nn

u x x x xtu t dt xtu t dt



   

 
*
sinu t t t
 
0
0ut
   
3
2
1
0
1
sin sin
24 2
u x x x x t t t dt


   

33
1
sin 1
24 2 24
xx



   


 
3
1
11
sin .
2 2 24
u x x x x

    
   
3
2 2 2
22
21
0 0 0
1 1 1
sin
2 2 2 24
u x u x x t dt t tdt t dt
  



    




  
 
2
33
1
1 1 1
1
2 2 24 2 24
u x x




     




 
2
33
2
22
11
sin .
2 24 2 24
u x x x x x



      



.



Suy ra
Vậy nghiệm của phương trình (4) là:


Ví dụ 2. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

với mọi . (5)
Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:

với mọi .
+ Toán tử hoàn toàn xác định.
+ Toán tử đơn điệu. Thật vậy, với mọi ta có:

.
+ Toán tử là toán tử co, liên tục Lipschitz với hằng số .
Thật vậy, với mọi ta có:

.
Suy ra là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số , ngoài ra là
toán tử co với hệ số co .
Khi đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất.

   
23
3 3 3
31
22
1 1 1
1
2 24 2 24 2 24
u x u x x
  

   

      
   

   

 
23
33
3
1
sin .
2 48 48
u x x x x x

   
     
   

   
 
 
 
1
33
1
1
sin 1 .
2 48 48
nn
n
n
n
u x x x x x




   
     
   
   
   
lim sin .
n
n
u x u x x x

  

   
1
1
1
2
x
u x e xe xtu t dt


  

 
1;1x
   
22
1;1 1;1
:A

LL
 
1
1
Au xtu t dt



 
1;1x
Au
Au

   
 
2
1;1
,u t v t

L
,0Au Au u v  
Au
2
3
L 
   
 
2
1;1
,u t v t

L
   
11
1 1 1
22
2
22
1 1 1
2
3
Au Av x t dxdt u t v t dt u v
  

   
     
   
   
  
Au
2
3
L 
Au
2
3
q 
Chọn và đặt . Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
trình (5) ta có quá trình lặp:


Ta lấy xấp xỉ và chọn . Khi đó ta có:





.

.

Suy ra .
Vậy nghiệm của phương trình (5) là:

.
Ví dụ 3. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

với mọi . (6)
Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:
2N 
0
1
2


     
11
1
1*
11
11
2.
22
x
nn
u x e xe x tu t dt x tu t dt




   

 
*
t
u t e
 
0
0ut
 
1
1
1
1
1
2.
2
x t x
x
u x e xe x te dt e
e


    

     
11
1
2 * 1

11
11
2
22
x
u x e xe x tu t dt x tu t dt


   

1
1
1
2
xt
xt
e x t e dt
ee


   



 
2
1
.
3
x

x
u x e
e
   
     
11
1
3 * 2
11
11
2
22
x
u x e xe x tu t dt x tu t dt


   

1
1
11
.
23
xt
x
e x t e t dt
ee


   




 
3
1
9
x
x
u x e
e
   
 
 
1
1
3
n
x
n
n
x
u x e
e


  
   
1
lim

x
n
n
u x u x e



   
2
0
sin cos
2
u x x x x xtu t dt


   

0;
2
x





22
0; 0;
22
:A


   
   
   
LL

với mọi .
+ Toán tử hoàn toàn xác định.
+ Toán tử đơn điệu. Thật vậy, với mọi ta có:

.
+ Toán tử liên tục Lipschitz với hằng số .
Thật vậy, với mọi ta có:

.
Suy ra .
Khi đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất.
Chọn và đặt . Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
trình (6), ta có quá trình lặp:


Ta lấy xấp xỉ và chọn . Khi đó ta có:



.



.
 

2
0
Au xtu t dt



0;
2
x





Au
Au
   
2
0;
2
,u t v t




L
,0Au Au u v  
Au
3
24

L


   
2
0;
2
,u t v t




L
   
11
22
2 2 2
2
22
0 0 0
Au Av x t dxdt u t v t dt
  
   
   
   
   
   
   
 
3

2
2
0
24
Au Av x dx u v u v


     

2N 
0
1
2


     
22
1*
00
11
sin cos .
2 2 2
nn
u x x x x xtu t dt xtu t dt



    

 

*
sinu t t
 
0
0ut
   
2
1
0
1
sin cos sin cos .
22
u x x x x x t t t dt


    

 
1
sin cos
4
u x x x x

   
   
2
21
0
1
sin cos .

24
u x u x x t t t t dt



   



 
3
2
sin cos
4 48
u x x x x

    



.

Suy ra .
Vậy nghiệm của phương trình (6) là:

.
Ví dụ 4. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

với mọi . (7)
Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:

với mọi .
+ Toán tử hoàn toàn xác định.
+ Toán tử đơn điệu. Thật vậy, với mọi ta có:

.
+ Toán tử là liên tục Lipschitz. Thật vậy, với mọi ta có:

.
Suy ra là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số .
Khi đó phương trình (7) có nghiệm duy nhất.
Chọn và đặt . Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
trình (7) ta có quá trình lặp:


   
3
2
31
0
1
sin cos .
2 4 48
u x u x x t t t t dt



    




 
2
3
3
sin cos
4 48
u x x x x


    


 
3
1
sin cos
4 48
n
n
u x x x x



   


   
1
lim sin cos

n
n
u x u x x x


  
 
 
 
1
2 2 2
1
1
1
15
u x x xt x t u t dt

   

 
1;1x
   
22
1;1 1;1
:A

LL
 
 
1

22
1
Au xt x t u t dt



 
1;1x
Au
Au
   
 
2
1;1
,u t v t

L
       
22
11
2
11
,0Au Au u v x u x v x dx x u x v x dx

   
   
      
   
   
   


Au
   
 
2
1;1
,u t v t

L
 
   
11
1 1 1
22
2
2
22
1 1 1
Au Av xt x t dxdt u t v t dt L u v
  
   
       
   
   
  
Au
L
2N 
0
1

2


 
 
 
 
 
11
2 2 2 2 2
1*
11
1 1 1
1.
15 2 2
nn
u x x xt x t u t dt xt x t u t dt


     

Ta lấy xấp xỉ và chọn . Khi đó ta có:


Sử dụng phần mềm Maple qua 10 phép lặp, ta có kết quả sau:

Vậy qua 10 phép lặp nghiệm xấp xỉ của phương trình (7) là:

.
Tốc độ hội tụ: .
2.2. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch
không suy biến
Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:
với mọi , (8)
trong đó là hạch không suy biến.
Giả sử có thể xấp xỉ bởi hạch không suy biến nào đó:
(9)
Khi đó phương trình (8) có thể viết dưới dạng:
(10)
Vì nhỏ tuỳ ý khi đủ lớn, nên ta coi nghiệm của phương trình tích phân
tuyến tính với hạch suy biến :
với mọi , (11)
 
2
*
1u t t
 
0
0ut
 
  
1
2 2 2 2
1

1
11
1 1 .
15 2
u x x xt x t t dt

    

 
2
1
7
1
15
u x x
 
2
2
67
1
75
u x x
 
2
3
367
1
375
u x x
 

2
4
1867
1
1875
u x x
 
2
5
9367
1
9375
u x x
 
2
6
46867
1
46875
u x x
 
2
7
234267
1
234375
u x x
 
2
8

1171867
1
1171875
u x x
 
2
9
5859367
1
5859375
u x x
 
2
10
29296867
1
29296875
u x x
 
2
1 0.9999997269u x x
   
10
,2 0.0001655423671u x u x
       
,
b
a
u x f x K x t u t dt




 
;x a b
 
,K x t
 
,K x t
 
,
n
K x t
     
 
,
, , , ,
lim ax , 0.
nn
n
n
a x t b
K x t K x t x t
m x t






           

, , .
bb
nn
aa
u x f x K x t u t dt x t u t dt
  
  

 
,
n
xt

n
 
n
ux
 
,
n
K x t
       
,
b
n n n
a
u x f x K x t u t dt




 
;x a b
là nghiệm gần đúng của phương trình (8).
Ví dụ 5: Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:
với mọi . (12)
Giải: Khai triển Taylor đối với hàm theo tại ta có:
, với .
Lấy khai triển Taylor của hàm tới , khi đó phương trình (12) có nghiệm xấp xỉ
với nghiệm của phương trình:
. (13)
Xét toán tử định nghĩa bởi:
với mọi .
+ Toán tử hoàn toàn xác định.
+ Toán tử đơn điệu. Thật vậy, với mọi ta có:

.
+ Toán tử liên tục Lipschit với hằng số .
Thật vậy, ta có:

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz  Buniakowsky cho bất đẳng thức trên
ta được:
.
Sử dụng phần mềm Maple ta tìm được hằng số Lipschitz: .
   
1
24
0
11
2

4 15
xt
u x x x e u t dt   

 
0;1x
xt
e
xt
0xt 
   
 
 
2
1
1
1! 2! ! 1 !
n
c
n
xt
xt xt
xt e
e xt
nn

     

 
0;c xt

xt
e
 
4
xt
   
1
2 4 2 2 3 3 4 4
0
1 1 1 1 1
21
4 15 2 6 24
u x x x xt x t x t x t u t dt

       



   
22
0;1 0;1
:A LL
 
1
2 2 3 3 4 4
0
1 1 1
1
2 6 24
Au xt x t x t x t u t dt


    



 
0;1x
Au
Au
   
 
2
0;1
,u t v t L
           
2 2 2
1 1 1
2
0 0 0
1
,
2
Au Av u v u x v x dx x u x v x dx x u x v x dx
     
     
       
     
     
     
  

       
22
11
34
00
11
0
6 24
x u x v x dx x u x v x dx
   
   
    
   
   
   

Au
12L
   
 
2
0;1
,u t v t L
   
1
2 2 3 3 4 4
0
1 1 1
1
2 6 24

Au Av xt x t x t x t u t v t dt


      




   
1
2
2
11
2 2 3 3 4 4
00
1 1 1
1
2 6 24
xt x t x t x t u t v t dt dx




     







Au Av L u v  
1.356769084L 
Vậy là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số .
Khi đó phương trình (13) có nghiệm duy nhất.
Chọn và đặt . Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
trình (13) ta có quá trình lặp:

.
Lấy xấp xỉ và . Khi đó sử dụng phần mềm Maple ta có:





;

;

;

;

;

.
Tốc độ hội tụ: .
3. KẾT LUẬN
Trên đây là một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải một lớp
phương trình tích phân tuyến tính loại hai đơn điệu với hạch suy biến hoặc không suy biến.
A

1.356769084L 
2N 
0
1
2


   
1
2 4 2 2 3 3 4 4
1*
0
1 1 1 1 1 1
21
4 15 2 2 6 24
n
u x x x xt x t x t x t u t dt


       



 
1
2 2 3 3 4 4
0
1 1 1 1
1
2 2 6 24

n
xt x t x t x t u t dt

    



 
2
*
2u t t
 
0
0ut
 
2
1
0.8333333333 0.6250000000 0.03333333333u x x x  
34
0.05555555556 0.05535714286 ;xx
 
2
2
0.5687698413 0.7323908730 0.001622496221u x x x  
24
0.06287822421 0.05397238757 ;xx
 
2
3
0.7342382542 0.6435400034 0.03232149205xux x

34
0.05503460945 0.05556427282xx
 
2
4
0.6230351906 0.7044699779 0.01106065817xu x x  
34
0.06049904933 0.5445083408xx
 
2
5
0.6982070872 0.6632173815 0.02546619590xu x x  
34
0.05679487872 0.05520582659xx
 
2
6
0.6471699148 0.6912787189 0.01565579206xu x x  
34
0.05931945915 0.05469096645xx
 
2
7
0.6819045927 0.6721619675 0.02234303276xu x x  
34
0.05759790522 0.05504215855xx
 
2
8
0.6583932123 0.6850690887 0.01783504328xu x x  

34
0.05875718815 0.05480585446xx
   
8
,2 0.1592220124u x u x
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Abdul  Majid Wazwaz, Linear and Nonlinear Integral Equations Methods and Applications,
Springer, 2011.
2. Fonarov A.A., On some nonlinear analogy of Shauder
’
s method, Abstract. Amer. Math.Soc.
4(1),133, 1983.
3. Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh, Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà
xuất bản Khoa học và Kĩ thuật, H., 1992.
4. Khuat. V. N, A method of extending by parameter for approximate solutions of operator
equations, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No 1, 2011.
5. Trenoghin V.A., Functional Analysis, Moskva Nauka, 1980.
6. Trenoghin V.A., Global invertibility of nonlinear operator and method of extending by
parameter, DAN. 350 (4), 455  457 (in Russian), 1996.
7. Trenoghin V.A., Local invertibility of operator and method of extending by parameter,
Functional Analysis and Applications 30(2), 93  95 (in Russian), 1996.
8. Gaponenco Y.L., Method of extending by parameter for equation of the second kind with
Lípschitz continuity and a monotone operator, J.Calculus Math.Math. physics, 26 (8),
1123  1131 (in Russian), 1986.
AN APPLICATIONS OF METHOD OF EXTENDING BY PARAMETER FOR
APPROXIMATE SOLUTIONS OF FREDHOLM INTEGRAL EQUATION OF
SECOND KIND
Khuat Van Ninh, Tran Manh Cuong
Abstract
A method of extending by parameter has been reseached in the works of Trenoghin V.A

[6]

[8], Fonarov A.A. [4] and Gaponenco Y.L. [5]. In this paper we present some applications of
this method for approximate solutions of operator equation of second kind with the Fredholm integral
operator.