Phân bố thống kê bose – einstein biến dạng q với nhiệt độ chuyển pha của chất siêu dẫn

PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG q VỚI NHIỆT ĐỘ
CHUYỂN PHA CỦA CHẤT SIÊU DẪN
Lưu Thị Kim Thanh
1

Đỗ Thị Thắm
2


Chúng tôi áp dụng phân bố thống kê Bose – Einstein biến dạng q để
tính nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein, kết quả thu được là nhiệt độ ngưng
tụ Bose – Einstein không những phụ thuộc vào nồng độ mà còn phụ thuộc
vào tham số biến dạng q. Sau đó chúng tôi sử dụng phần mềm
Mathematica 7.0 tính toán nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn đối với kẽm.

1. Mở đầu
Đầu thế kỷ XX, sau khi xây dựng thống kê Bose - Einstein, trên cơ sở đặc điểm của hệ
các hạt boson đồng nhất là số hạt ở trong cùng một trạng thái có thể tùy ý chứ không như các
fermion đồng nhất phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli, Einstein đã tiên đoán rằng tồn tại
một trạng thái vật chất đặc biệt đó là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein. Kể từ đó, tiên đoán
của Einstein đã được ứng dụng giải thích các hiện tượng vật lý như hiện tượng siêu chảy, siêu
dẫn… và đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm.
Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ, bằng thực nghiệm đã tạo ra trạng thái ngưng tụ với kim
loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã được trao giải Nobel, phát minh này đã mở ra các công nghệ
mới cho khoa học.
Từ trước đến nay, các kết quả nghiên cứu bằng lý thuyết để tính nhiệt độ ngưng tụ đều
dùng phân bố thông kê Bose – Einstein, và có sự sai khác giữa các kết quả lý thuyết và thực
nghiệm. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã dùng phương pháp lý thuyết trường lượng tử
xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein biến dạng q [1, 2, 3], áp dụng phân bố thống kê
Bose – Einstein biến dạng q tính nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein [2]. Sau đó chúng tôi sử
dụng phần mềm Mathematica 7.0 tính toán cụ thể đối với vật liệu kẽm.

2. Nội dung
2.1. Phân bố thống kê Bose – Einstein biến dạng q
Biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử
ˆ
F
đối với
tập hợp chính tắc lớn là
 
 
ˆˆ
ˆ
HN
Tr e F
F
Z



(1)
trong đó, Z là tổng trạng thái, xác định tính chất nhiệt động của hệ và có dạng

1
PGS.TS, trường ĐHSP Hà Nội 2
2
Học viên Cao học K13, trường ĐHSP Hà Nội2

 
 
ˆˆ
HN

Z Tr e





1
kT


,
k
là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ của hệ, H là Hamiltonian của hệ,
ˆˆ
HN


và

là năng lượng của một dao động tử.
Thay
ˆ
F
bằng toán tử số hạt
ˆ
ˆˆ





q
N a a
vào (1) ta được:
 
 
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ








HN
q
q
Tr e a a
N a a
Z

(2)
Sử dụng khái niệm q-số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa như sau:
 
1
xx
qq

x
qq





(3)
trong đó, q là tham số biến dạng, nếu x là một toán tử cũng có định nghĩa giống như
biểu thức (3).
Các kết quả tính toán thu được là

 
 
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
00
H N H N
N
nn
Z Tr e n e n n e n
   
  

   


  



=
   
 
 
 
00
1
11
nn
nn
e
n e n e
ee
  
     
     


   
  

  


(4)

 
 

 
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
00
ˆ ˆ ˆ ˆ
H N H N
n
q
qq
nn
Tr e a a n e a a n n e n n
   
  

   



   

   



 
 
   
2
1

1.
e
q q e e
  
     

   


  
(5)
Thay (4) và (5) vào (2), ta thu được số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng
là:
 
 
   
 
2
1
2
1
1
1
ˆ
1.
1
kT
kT kT
e
e

N
q q e e
e q q e

  
   
     












  
  
(6)
Biểu thức (6) là hàm phân bố thống kê Bose – Einstein biến dạng q. Khi q=1 thì (6) trở
về phân bố thống kê Bose – Einstein quen thuộc.
2.2. Áp dụng phân bố thống kê Bose – Einstein biến dạng q nghiên cứu hiện tượng
ngưng tụ Bose – Einstein
Với khí boson, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ

đến
d



là
 
ˆ
dn N dN


(7)
trong đó,
ˆ
N
là số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng

, cũng chính là
hàm phân bố Bose – Einstein biến dạng q (6),
 
dN

là số các mức năng lượng trong
khoảng từ

đến
d



 
3
23

2.
2

mV
dN d
  

(8)
Các kết quả cho ta số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ

đến
d


là
 
 
 
 
 
3
23
2
1
2 . . 1

2
.1
m V g e
dn d

e q q e
  
     
  






  

ở đây g là bội suy biến, g=2s+1.
Lấy tích phân trong khoảng năng lượng từ 0 tới

, ta được tổng số hạt của hệ
 
 
 
 
3
23
2
1
0
2 . . 1

2
.1
m V g e

nd
e q q e
  
     








  


 
 
 
 
 
3
2
23
2
1
0
2 . .
1

4

.1
m V g
e
nd
e q q e
  
     








  

(9)
Thế hóa học

thỏa mãn điều kiện
0


và

là hàm nghịch biến của nhiệt độ, tức là
0
T





. Vậy khi nhiệt độ của hệ giảm thì

tăng, cuối cùng

đạt tới giá trị cực đại bằng 0
ở nhiệt độ T
c
nào đó. Ta hãy xác định nhiệt độ T
c
bằng cách thay

=0 vào biểu thức (9), ta
có
 
 
3
2
2
23
0
1
2.
1

4
1
c

cc
kT
kT kT
g m V
e
nd
e q q e








  

(10)
Đặt
,
c
x
kT

khi đó (10) được viết lại là

 
3
2
1

23
,
2
2.
.
4

c
q
g mkT V
nI


Và do đó nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein được xác định bởi công thức
14
2
2
33
3
22
33
1
,
2
2
. . .





c
q
n
T
V
I m k g

(11)
trong đó,
1
,
2
q
I
là một tích phân phụ thuộc vào tham số biến dạng q:
 
1
2
1
21
,
2
0
1
.
1
x
xx
q
e

I x dx
e q q e




  

(12)
Như vậy, theo (11), nhiệt độ ngưng tụ T
c
không chỉ phụ thuộc vào nồng độ vật chất mà
còn phụ thuộc vào thông số biến dạng q thông qua tích phân
1
,
2
q
I
.
2.3. Nhiệt độ ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn Z
n

Khối lượng của một nguyên tử Z
n
là :
23
65
6,02 . 10
A
M

m
N

(g/mol).
Bội suy biến g=2s+1 của nguyên tử Z
n
được tính như sau, cấu hình electron của nguyên
tử Z
n
được viết gọn là : [Ar]3d
10
4s
2
. Ta có thể biểu diễn các electron cuối cùng của nguyên tử
Z
n




3d
10
4s
2

Từ đó, ta thay s=0. Suy ra g=2s+1=1.
Theo (11), để tính được nhiệt độ ngưng tụ đối với mộ vật liệu siêu dẫn ta cần tính được
tích phân

 

1
2
1
21
,
2
0
1
.
1
x
xx
q
e
I x dx
e q q e




  

.
Trước hết, áp dụng tiêu chuẩn so sánh, chúng ta dễ dàng chứng minh được tính hội tụ
của tích phân

 
1
2
1

21
,
2
0
1
.
1
x
xx
q
e
I x dx
e q q e




  


Chúng tôi đã tính được các giá trị của
1
,
2
q
I
ứng với từng tham số biến dạng q theo hai
cách sau đây:
Cách 1: Sử dụng phương pháp gần đúng hình thang.
Cách 2: Sử dụng phương pháp tính số bằng phần mềm Mathematica 7.0.

Thay các giá trị đã tính được của
1
,
2
q
I
vào (11), ta sẽ thu được các giá trị của nhiệt độ
ngưng tụ ứng với từng thông số biến dạng q của vật liệu siêu dẫn Zn.







Với cùng nồng độ vật chất : n/V(m-3)= 2,127.1029 , giá trị nhiệt độ ngưng tụ Tc của
vật liệu siêu dẫn Zn, tương ứng với một số giá trị bất kỳ của q (0<q< 1 ) được biểu diễn trong
bảng thống kê dưới đây như sau :

Q
(0<q <1)
 
1
2
1
21
,
2
0
1

.
1
x
xx
q
e
I x dx
e q q e




  


14
2
2
33
3
22
33
1
,
2
2
. . .
c
q
n

T
V
I mk g






(K)
0.10
0.15
5.40
0.15
0.34
3.13
0.20
0.32
3.25
0.25
9.07
0.35
0.30
0.81
1.75
0.35
0.62
2.09
0.40
0.85

1.69
0.45
1.55
1.13
0.50
1.66
1.08
0.55
0.31
3.32
0.60
1.56
1.13
0.65
0.09
7.59
0.70
1.44
1.19
0.75
0.10
7.07
0.80
1.74
1.05
0.85
0.66
2.01
0.90
2.30

0.88
0.95
1.84
1.01
1.00
2.27
0.87

3. Kết luận
Thông qua bảng số liệu tính được ở trên cho vật liệu siêu dẫn Zn, ta thấy rằng:
+ Khi q =1, giá trị của nhiệt độ ngưng tụ Tc=0,87K, bằng đúng với giá trị của nhiệt độ
ngưng tụ khi áp dụng thống kê Bose – Einstein.
+ Khi 0 < q < 1, chúng tôi đã tính được các giá trị của nhiệt độ ngưng tụ Tc tương ứng
và hy vọng rằng trong các giá trị thu được đó sẽ có một kết quả trùng với kết quả của thực
nghiệm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Kibler M., Negadi T., On Quantum Groups and their Potential Use in
Mathematical Chemistry, Prepint Lycen, pp.9121, (1991).
2. Luu Thi Kim Thanh, The Averrage Energy for the q – Deformed Harmonic
Oscilator, Communications in Physics, Vol.19, No. 2, pp.124, (2009).
3. Ha Huy Bang, Some Physical Consequences of the General Deformations, Mod.
Phys. Lett. A10, No. 36, pp.2732, (1995).

THE q – DEFORMED BOSE – EINSTEIN STATISTICS DISTRIBUTION WHITH
PHASE TRANSFORMATION TEMPERATURE OF SUPERCONDUCTOR
Luu Thi Kim Thanh, Do Thi Tham

Abstract
We apply the q-deformed Bose – Einstein statistics distribution to determine Bose -

Einstein condensation temperature, the results obtained are Bose - Einstein condensation
temperature not only dependent on the concentration but also depends on parameters
deformation q. Then we use the Mathematica 7.0 software calculated the phase
transformation tempearature of superconductor for Zinc